ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM BÙI THỊ THANH AN ĐƯA BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TRÊN BIÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM BÙI THỊ THANH AN ĐƯA BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TRÊN BIÊN Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN Thái Nguyên, 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mục lục Lời mở đầu Bài toán biên cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai 1.1 1.2 Các loại toán biên cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai 1.1.1 Phương trình elliptic tuyến tính cấp hai 1.1.2 Các loại toán biên cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Công thức Green 1.2.1 Công thức Green 1.2.2 Điều kiện cần cho tồn nghiệm toán Dirichlet 1.2.3 Điều kiện cần cho tồn nghiệm toán Neumann 10 1.3 Hàm số Levi 11 1.4 Công thức biểu diễn tích phân Stokes 12 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.5 Nghiệm hàm số Green 13 Toán tử tích phân phương trình tích phân 16 2.1 Toán tử tích phân miền 16 2.2 Toán tử tích phân lớp đơn 20 2.3 Toán tử tích phân lớp kép 25 2.4 Phương trình tích phân biên 28 Đưa toán biên phương trình tích phân 30 3.1 Đưa toán Dirichlet phương trình tích phân 30 3.2 Đưa toán Neumann phương trình tích phân 33 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời mở đầu Trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, phương pháp nghiên cứu toán biên cho phương trình elliptic thường đưa phương trình tích phân biên Trong giáo trình thông thường, vấn đề trình bày cho toán Dirichlet Neumann cho phương trình Poisson Vấn đề cần tổng quan trình bày cho toán biên nói phương trình elliptic tuyến tính cấp hai với hệ số biến thiên Bản luận văn gồm phần mở đầu chương Cụ thể là: Chương 1: Bài toán biên cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Trong chương này, giới thiệu số kiến thức toán biên Dirichlet Neumann cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai, công thức Green, hàm số Levi, công thức biểu diễn tích phân Stokes, nghiệm hàm số Green Chương 2: Toán tử tích phân phương trình tích phân Chương giới thiệu số toán tử tích phân, cụ thể là: toán tử tích phân miền, toán tử tích phân lớp đơn, toán tử tích phân lớp kép phương Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn trình tích phân biên Chương 3: Đưa toán biên phương trình tích phân Chương trình bày việc đưa toán Dirichlet, Neumann phương trình tích phân Bản luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình, chu đáo PGS.TS Hà Tiến Ngoạn Dưới hướng dẫn thầy, bước đầu làm quen say mê nghiên cứu toán Nhân đây, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy, cô Viện Toán học Việt Nam tận tình bảo, giúp đỡ hoàn thành khoá luận tốt nghiệp Tôi xin cảm ơn tới thầy cô khoa Toán, khoa Sau đại học - trường ĐH Sư phạm, ĐH Thái Nguyên, anh chị học viên lớp cao học toán khoá 16 bạn bè giúp đỡ nhiều trình học tập trường Cuối cùng, xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình: bố, mẹ em trai tạo điều kiện tốt cho học tập hoàn thành luận văn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Bài toán biên cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai 1.1 Các loại toán biên cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai 1.1.1 Phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Định nghĩa 1.1.1 Một phương trình liên hệ ẩn hàm u(x1 , , xn ), biến độc lập xi đạo hàm riêng gọi phương trình vi phân đạo hàm riêng (hay phương trình đạo hàm riêng cho gọn) Nó có dạng ∂u ∂u ∂ku F (x, u(x), , , , , k1 , ) = ∂x1 ∂xn ∂x1 ∂xknn F hàm đối số nó, với kí hiệu x = (x1 , , xn ) ∈ Rn , u(x) = u(x1 , , xn ) Cấp cao đạo hàm riêng u có mặt phương trình gọi cấp phương trình Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình gọi tuyến tính tuyến tính ẩn hàm đạo hàm riêng ẩn hàm Xét m2 + m + hàm thực aik (x), bi (x), c(x)(i, k = 1, 2, , m) xác định miền Ω Kí hiệu M toán tử tuyến tính bậc hai m M= i,k=1 ∂2 aik + ∂xi ∂xk m bi i=1 ∂ + c ∂xi Ta giả thiết aik (x) = aki (x), ta nói M thuộc loại elliptic dạng toàn phương tương ứng m aik (x)ξi ξk i,k=1 ¯ dạng xác định mà ta giả thiết xác định với x ∈ Ω, dương M gọi elliptic Ω aik đo Ω tồn số a0 > cho với x ∈ Ω tất m số thực (ξ1 , ξ2 , , ξm ) : m m ξi2 a0 i=1 ≤ m aik (x)ξi ξk ≤ a−1 ξi2 (1.1) i=1 i,k=1 ¯ tính elliptic Hiển nhiên Ω bị chặn aik liên tục Ω hệ tính elliptic Hằng số a0 gọi số elliptic toán tử M Định nghĩa 1.1.2 Nếu f (x) hàm xác định Ω, ta có phương trình đạo hàm riêng m i,k=1 ∂ 2u + aik ∂xi ∂xk m bi i=1 ∂u + cu = f ∂xi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.2) Hàm u(x) gọi nghiệm thông thường phương trình (1.2) Ω u(x) khả vi liên tục hai lần Ω thoả mãn (1.2) điểm Ω 1.1.2 Các loại toán biên cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Trong luận văn xét hai toán biên sau phương trình elliptic (1.2): A Bài toán Dirichlet Nội dung toán Dirichlet tìm nghiệm u(x) T phương trình (1.2) cho u(x) = ϕ(x), ∀x ∈ ∂T (1.3) ϕ(x) hàm số cho trước ∂T B Bài toán Neumann Giả sử x ∈ ∂T Ta kí hiệu n vectơ pháp tuyến đơn vị điểm x với thành phần toạ độ X1 , X2 , , Xm tức n = (X1 , X2 , , Xm ) (1.4) X12 + X22 + Xm = Ta kí hiệu ν vectơ đối pháp tuyến (conormal) điểm x với thành Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn phần toạ độ Y1 , Y2 , , Ym Yi = a m m aik Xk k=1 m aik Xk a= i=1 (1.5) k=1 Đạo hàm hàm u(x) theo hướng ν điểm x ∈ ∂T tính theo công thức du(x) = dν m j=1 ∂u(x) Yj ∂xj (1.6) Nội dung toán Neumann tìm nghiệm u(x) phương trình (1.2) cho a du(x) = ϕ(x), dν x ∈ ∂T (1.7) ϕ(x) hàm số cho trước ∂T 1.2 1.2.1 Công thức Green Công thức Green Trong mục giả sử hàm aik m ei = bi − k=1 ∂aik ∂xk (1.8) thuộc lớp C (1) miền Ω; giả thiết Mu cho công thức: m Mu = i,k=1 ∂ ∂u aik + ∂xk ∂xi m ei i=1 ∂u + cu ∂xi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.9) data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Bài toán biên cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai 1.1 Các loại toán biên cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai 1.1.1 Phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Định nghĩa... Bài toán biên cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai 1.1 1.2 Các loại toán biên cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai 1.1.1 Phương trình elliptic. .. Chương 1: Bài toán biên cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Trong chương này, giới thiệu số kiến thức toán biên Dirichlet Neumann cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai, công thức