Mục lục Mở đầu Vectơ đặc trưng nghiệm hệ phương trình vi phân đại số 1.1.Vectơ đặc trưng 1.1.1 Số mũ Lyapunov 1.1.2 Vectơ đặc trưng hàm số 1.1.3 Vectơ đặc trưng ma trận hàm 19 1.2 Phương trình vi phân đại số 21 1.2.1 Chỉ số cặp ma trận 21 1.2.2 Phương trình vi phân đại số tuyến tính 24 Vectơ đặc trưng nghiệm hệ phương trình vi phân đại số số 29 2.1 Vectơ đặc trưng nghiệm hệ phương trình vi phân đại số 29 2.2 Hệ chuẩn tắc phương trình vi phân đại số tuyến tính số 32 2.3 Hệ qui cấp m 38 Sự ổn định nghiệm phương trình vi phân phương trình vi phân đại số 43 3.1 Sự ổn định nghiệm tầm thường phương trình vi phân thường nhờ khái niệm vectơ 43 3.2 Tính ổn định tiệm cận mũ nghiệm tầm thường phương trình vi phân đại số 58 3.3 Định nghĩa vectơ đặc trưng ổn định (cấp m) hệ vi phân đại số tuyến tính số 77 Kết luận 81 Tài liệu tham khảo 83 MỞ ĐẦU Năm 1892, Lyapunov đưa sử dụng khái niệm số mũ đặc trưng để nghiên cứu tính ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân tuyến tính Khái niệm số mũ đặc trưng Lyapunov Hoàng Hữu Đường mở rộng thành khái niệm số mũ vectơ đặc trưng (chỉ số vectơ đặc trưng) để nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trình vi phân trường hợp tới hạn vào năm 1965 - 1982 Bắt đầu từ năm 1980, nhu cầu thực tiễn phát triển lý thuyết, phương trình vi phân đại số ý nghiên cứu sâu rộng Nhiều tác giả Việt Nam: GS Phạm Kỳ Anh, GS Nguyễn Đình Công, GS Nguyễn Hữu Dư, PGS Vũ Hoàng Linh, TS Lê Công Lợi, GS Vũ Ngọc Phát, GS Vũ Tuấn tham gia nghiên cứu giải vấn đề khác phương trình vi phân đại số Một câu hỏi đặt cách tự nhiên là: Có thể sử dụng lý thuyết số mũ đặc trưng Lyapunov để nghiên cứu tính chất định tính phương trình vi phân đại số? Vấn đề Nguyễn Đình Công Hoàng Nam nghiên cứu, giải [3] [5], [6] Trong luận văn, đặt vấn đề sử dụng khái niệm vectơ đặc trưng Hoàng Hữu Đường để nghiên cứu hệ phương trình vi phân đại số Các vấn đề luận văn quan tâm là: 1) Đưa khái niệm vectơ đặc trưng nghiệm phương trình vi phân đại số tuyến tính qui số 1; trình bày mối quan hệ vectơ đặc trưng nghiệm phương trình vi phân đại số vectơ đặc trưng nghiệm phương trình vi phân thường tương ứng 2) Hệ chuẩn tắc phương trình vi phân đại số tuyến tính qui số 3) Hệ qui cấp m 4) Định nghĩa ổn định (cấp m) vectơ đặc trưng phương trình vi phân đại số nhiễu động tuyến tính phi tuyến Các kết nhận luận văn tương tự kết tương ứng [3] Chúng ý thức kết luận văn giai đoạn sơ khai Tuy nhiên theo cảm nhận đề tài đáng quan tâm Luận văn gồm phần Mở đầu, chương, phần Kết luận tài liệu tham khảo Trong chương 1, nhắc lại khái niệm số mũ đặc trưng; trình bày lại khái niệm vectơ đặc trưng hàm số ma trận hàm chứng minh cách chi tiết số tính chất vectơ đặc trưng Đồng thời, trình bày lại số kiến thức phương trình vi phân đại số tuyến tính nhằm phục vụ cho chương sau Chương đưa khái niệm vectơ đặc trưng nghiệm phổ hệ phương trình vi phân đại số số Đồng thời đưa khái niệm hệ chuẩn tắc phương trình vi phân đại số tuyến tính số 1, hệ qui cấp m dựa mở rộng khái niệm tương ứng hệ phương trình vi phân tuyến tính [2] Trong chương 3, trình bày lại khái niệm vectơ dùng để nghiên cứu ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến trường hợp tới hạn hệ tuyến tính tương ứng Đồng thời trình bày lại khái niệm số mũ trung tâm phương trình vi phân đại số tuyến tính dùng để nghiên cứu tính ổn định tiệm cận mũ nghiệm phương trình vi phân tuyến tính tương ứng Và phần cuối đưa khái niệm: vectơ đặc trưng phương trình vi phân đại số tuyến tính qui số ổn định (cấp m) nhiễu động tuyến tính nhiễu động phi tuyến Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS.TS Tạ Duy Phượng, người tận tình bảo, tạo điều kiện giúp đỡ có thêm nhiều kiến thức, khả nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới ban lãnh đạo Viện Toán học, Viện Khoa học công nghệ Việt Nam tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập hoàn thành tốt luận văn Cuối xin gửi lời cảm ơn đặc biệt đến người bạn người thân gia đình tạo điều kiện thuận lợi, động viên, giúp đỡ suốt trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, ngày 20 tháng năm 2011 Người thực Nguyễn Thị Khuyên Chương Vectơ đặc trưng nghiệm hệ phương trình vi phân đại số Trong chương ta nhắc lại số khái niệm, tính chất số mũ Lyapunov; vectơ đặc trưng vectơ hàm ma trận hàm; khái niệm phương trình vi phân đại số tuyến tính 1.1 Vectơ đặc trưng Năm 1982 luận án Tiến sĩ khoa học mình, Hoàng Hữu Đường đưa khái niệm vectơ đặc trưng mở rộng khái niệm số mũ đặc trưng Lyapunov áp dụng vectơ đặc trưng nghiên cứu tính ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân trường hợp tới hạn Trước tiên nhắc lại khái niệm số mũ Lyapunov (số mũ đặc trưng) hàm số, ma trận hàm số tính chất số mũ Lyapunov 1.1.1 Số mũ Lyapunov Xét hàm số thực f (t) = eαt , α số thực Số α đặc trưng cho tốc độ tăng trưởng hàm eαt : Nếu α > eαt → +∞ t → +∞; α = eαt = số với t; α < eαt → t → +∞ Số α gọi số mũ đặc trưng hàm eαt Từ sau, ta xét t → +∞ nên gọn, t → +∞ ta viết t → ∞ ln |f (t)| Như vậy, để t so sánh tăng trưởng hàm |f (t)| với hàm mũ, điều cần thiết phải Ta viết |f (t)| = eα(t).t , α(t) = xem xét giá trị hàm α(t), sở đưa vào khái niệm số mũ đặc trưng hàm số sau Định nghĩa 1.1.1 [3] Giả sử f (.) hàm nhận giá trị thực xác định khoảng J = [t0 , +∞) Số (hoặc giá trị +∞, −∞) xác định công thức χ(f ) := lim ln |f (t)| t→∞ t gọi số mũ Lyapunov (số mũ đặc trưng) hàm số f (.) Nói chung số mũ Lyapunov hữu hạn vô hạn, sau chủ yếu xét trường hợp số mũ Lyapunov hữu hạn Chúng ta qui ước ln = −∞, f (t) ≡ χ(f ) = −∞ Định lý 1.1.1 [4] Nếu χ(f ) = α = ±∞ 1) Với > ta có f (t) = o e(α+ )t , nghĩa |f (t)| = 0; t→∞ e(α+ )t lim (1.1) |f (t)| = ∞, nghĩa tồn dãy tk → ∞ cho t→∞ e(α− )t 2) lim |f (tk )| = ∞ tk →∞ e(α− )tk lim (1.2) Ngược lại, có số α mà với > ta có (1.1) χ(f ) ≤ α; có (1.2) χ(f ) ≥ α Cuối cùng, có hai công thức (1.1) (1.2) χ(f ) = α Như vậy, χ(f ) = α t → ∞ hàm số y = |f (t)| tăng chậm hàm mũ y1 = e(α+ )t với > Hơn nữa, hàm |f (t)|e−(α+ )t → theo dãy tk → ∞ tăng nhanh hàm y2 = e(α− )t hàm |f (t)|e(−α+ )t không bị chặn Định nghĩa 1.1.2 [4] Hàm f (t) gọi có số mũ đặc trưng tồn giới hạn hữu hạn χ(f ) = lim ln |f (t)| t→∞ t Nếu hàm số f (.) có số mũ đặc trưng số mũ đặc trưng tích hàm số f (.) g(.) xác định J tổng số mũ Lyapunov hàm số đó, nghĩa χ(f g) = χ(f ) + χ(g) Sau nhắc lại số tính chất số mũ đặc trưng Giả sử f1 (.), , fm (.) hàm số nhận giá trị thực xác định J = [t0 , ∞), i) χ(f ) = χ(|f |) ii) χ(cf ) = χ(f ) với số thực c = m iii) Với c1 , , cm số thực χ ci fi i=1 tồn ck = cho χ(fk ) > χ(fj ) với m j = k, (j = 1, , m; ≤ k ≤ m) χ ci fi i=1 m iv) χ m fi i=1 ≤ χ(fi ) i=1 = χ(fk ) ≤ max χ(fi ) 1≤i≤m Giả sử F (.) = [fjk (.)] n × q ma trận hàm xác định J Định nghĩa 1.1.3 [3] Số (hoặc giá trị ±∞) χ(F ) := max χ(fjk (t)) j,k gọi số mũ Lyapunov ma trận hàm F (.) Số mũ Lyapunov ma trận hàm có số tính chất tương tự số mũ Lyapunov vectơ hàm i) Nếu F (.) ma trận vuông χ(F T ) = χ(F ) với F T (t) ma trận chuyển vị ma trận F (t) với t ∈ J ii) χ(F ) = χ(||F ||) ii) Nếu F1 (.), , Fm (.) n × n ma trận hàm xác định J = [t0 , +∞) m χ Fi ≤ max χ(Fi ), i i=1 m χ m Fi ≤ i=1 χ(Fi ) i=1 Dưới trình bày chi tiết khái niệm vectơ đặc trưng hàm số, ma trận hàm số tính chất chúng (xem [2]) Khái niệm vectơ đặc trưng mở rộng khái niệm số mũ đặc trưng Lyapunov 1.1.2 Vectơ đặc trưng hàm số Định nghĩa 1.1.4 ([2], trang 5) Xét không gian tuyến tính A (trên R) ánh xạ tùy ý χ : A → ∆ ∆ tập có thứ tự ( ) Đặt χ−1 (α), Aδ := α δ χ−1 (α) gọi thớ α ∈ ∆ Các thớ χ−1 (α) thứ tự theo α Tập Aδ , δ ∈ ∆ lập nên lọc không gian A Aα ⊆ Aβ với α ≺ β, Aα = A α∈∆ Ta giả sử không gian Aα không gian tuyến tính Khi ánh xạ χ gọi ánh xạ mũ Bổ đề 1.1.1 [2] Ánh xạ χ ánh xạ mũ thỏa mãn hai điều kiện i) Với x ∈ Aα , c = 0, χ(cx) = χ(x) ii) Với x1 , x2 ∈ Aα , χ(x1 + x2 ) max(χ(x1 ), χ(x2 )) Chứng minh Giả sử χ ánh xạ mũ χ(x) = δ, χ(cx) = β với x ∈ Aα , số thực c = 0, δ, β ∈ ∆ Ta chứng minh δ = β Vì χ(x) = δ nên x ∈ Aδ Do cx ∈ Aδ hay χ(cx) δ Suy β χ(cx) = β nên cx ∈ Aβ Suy x = (cx) ∈ Aβ Do χ(x) c δ β Vậy ta có (i) δ Vì β hay Giả sử χ(x1 ) = α1 , χ(x2 ) = α2 α1 ≺ α2 với x1 , x2 ∈ Aα Vì α1 ≺ α2 nên Aα1 ⊆ Aα2 Suy x1 ∈ Aα2 Do x1 + x2 ∈ Aα2 Suy χ(x1 + x2 ) α1 Vậy ta có (ii) Ngược lại, giả sử χ thỏa mãn (i) (ii), ta chứng minh χ ánh xạ mũ, tức chứng minh Aα không gian tuyến tính với α ∈ ∆ Thật vậy, lấy x ∈ Aα , c ∈ R, c = Khi χ(cx) = χ(x) α Suy cx ∈ Aα Do đó, x ∈ Aα −x ∈ Aα Ta có = x − x χ(0) χ(x1 ) max(χ(x), χ(−x)) α, χ(x2 ) α Do ∈ Aα Với x1 , x2 ∈ Aα ta có α Theo (ii), χ(x1 + x2 ) Suy x1 + x2 ∈ Aα 10 max(χ(x1 ), χ(x2 )) α Do R1 C - hàm không gian bất biến imP (t) không gian nghiệm(3.38), với thuộc vào R1 > 0, tồn số dương DR1 , phụ cho với ≤ t0 ≤ t ta có ||P (t)U (t, t0 )|| ≤ DR1 , e t t0 (R1 (τ )+ )dτ , ||uδ (t)|| ≤ DR1 , e t t0 (R1 (τ )+ t + DR1 , k e )dτ ||uδ (t0 )|| + t s (R1 (τ )+ )dτ δ(s)||uδ (s)||ds t0 Đặt y(t) = ||uδ (t)||e− t t0 (R1 (τ )+ )dτ , ta có t y(t) ≤ DR1 , ||uδ (t0 )|| + kDR1 , δ(s)y(s)ds t0 Áp dụng bổ đề Gronwall - Bellman ta có y(t) ≤ DR1 , ||uδ (t0 )||ekDR1 , t t0 δ(s)ds , ||uδ (t)|| ≤ DR1 , ||uδ (t0 )||e t t0 (R1 (τ )+ +kDR1 , δ( ))dτ (3.40) Gọi X(t, t0 ) ma trận nghiệm cực đại (4.1) chuẩn hóa t0 Ta biết X(t, t0 ) U (t, t0 ) liên hệ đẳng thức sau X(t, t0 ) = Ps (t)U (t, t0 )P (t0 ) = Ps (t)P (t)U (t, t0 )P (t0 ) −1 với t ≥ t0 ≥ Do ma trận P = A−1 A, Ps = I − QA1 B bị chặn R+ số dương µ, ta có ||X(t, t0 )|| ≤ ||Ps (t)||||P (t)U (t, t0 )||||P (t0 )|| ≤ µ DR1 , e 69 t t0 (R1 (τ )+ )dτ với t ≥ t0 ≥ Do R1 C - hàm (3.26) Ngược lại, giả sử R C - hàm (3.26) x(t), u(t) nghiệm tương ứng (3.26) (3.38) (như u(t) ∈ imP (t)), ta có x(t) = Ps (t)u(t) u(t) = P (t)x(t) Vì R(t) C - hàm (3.26), với vào R > tồn DR, phụ thuộc cho t t0 (R(τ )+ ||x(t)|| ≤ DR, ||x(t0 )||e )dτ Do vậy, P Ps bị chặn R+ µ > 0, ta có ||u(t)|| = ||P (t)x(t)|| ≤ ||P (t)||||x(t)|| ≤ µDR, ||x(t0 )||e t t0 (R(τ )+ )dτ ≤ µDR, ||Ps (t0 )||||u(t0 )||e ≤ µ2 DR, ||u(t0 )||e t t0 (R(τ )+ t t0 (R(τ )+ )dτ )dτ Từ kéo theo R(t) C - hàm imP (t) (3.38) Như C - lớp R (3.26) RUimP không gian bất biến imP không gian nghiệm (3.26) trùng Giả sử xδ (t) nghiệm hệ nhiễu (3.31) (3.26) Ta có xδ (t) = P (t)xδ (t) + Q(t)xδ (t) =: uδ (t) + vδ (t), uδ (t), vδ (t) nghiệm (3.34) (3.35) tương ứng 70 Nhờ (3.37), ||vδ || ≤ C1 ||uδ ||, áp dung (3.40) ta có ||xδ (t)|| ≤ ||uδ (t)|| + ||vδ (t)|| ≤ ||uδ (t)|| + C1 ||uδ (t)|| = (1 + C1 )||uδ (t)|| t t0 (R(τ )+ ≤ (1 + C1 )DR, ||uδ (t0 )||e ≤ (1 + C1 )DR, µ||xδ (t0 )||e ≤ DR, ||xδ (t0 )||e t t0 (R(τ )+ +DR, kδ(τ ))dτ t t0 (R(τ )+ +kDR, δ(τ ))dτ +DR, δ(τ ))dτ , (3.41) {(1 + C1 )µDR, , kDR, , DR, } phụ thuộc vào R DR, = max + t∈R Như vậy, với ≤ t0 ≤ t ta có ||xδ (t)|| ≤ DR, e ||xδ (t0 )|| t t0 (R(τ )+ +DR, δ(τ ))dτ (3.42) với nghiệm xδ (t) (3.31) Hệ thức thứ định lý chứng minh Mặt khác, từ (3.42) ta có ||Xδ (t, t0 )|| = max xδ ||xδ (t)|| ≤ DR, e ||xδ (t0 )|| t t0 (R(τ )+ +DR, δ(τ ))dτ , Rδ (t) := R(t) + + DR, δ(t) C - hàm (3.31) với C hàm R(t) (3.26) với > cố định Dễ thấy Rδ ≤ R + DR, δ + Với > cho trước ta chọn R cho R < Ω + DR, = ta có Ωδ ≤ Rδ ≤ Ω + Định lý chứng minh 71 δ0 thỏa mãn Xét phương trình A(t)x + B(t)x + f (t, x) = 0, (3.43) f (t, x) nhiễu phi tuyến nhỏ có chuẩn δ0 > ||f (t, x)|| ≤ δ(t)||x|| ≤ δ0 ||x||, (3.44) với t ∈ R+ Định lý 3.2.18 Giả sử (3.26) phương trình vi phân đại số tuyến tính có số ma trận A(t), B(t), A−1 (t), P (t) liên tục, bị chặn R+ Giả thiết thêm nhiễu f (t, x) (3.43) thỏa mãn điều kiện α (3.44) thỏa mãn ||fx (t, 0)|| ≤ với số < α < ||G−1 ||||Q|| cố định Khi với > với t0 > tồn δ1 > D = D( ) > cho δ0 ≤ δ1 với nghiệm x(t) (3.43) bất đẳng thức sau ||x(t)|| ≤ D||x(t0 )||e(Ω+ )(t−t0 ) , (3.45) Ω số mũ trung tâm (3.26) Chứng minh Giả sử x(t) nghiệm hệ nhiễu (3.43) Theo hai định lý trên, với C - hàm R (3.26) với > tồn số DR, cho ||x(t)|| ≤ DR, ||x0 ||e Chọn δ0 = DR, t t0 (R(τ )+ , ta có ||x(t)|| ≤ DR, ||x0 ||e Do Ω = inf R, với R∈R +DR, δ(τ ))dτ t t0 (R(τ )+2 )dτ > tao tìm C - hàm R cho R cho t R(τ )dτ < (Ω + )(t − t0 ) + ln µ, t0 e t t0 R(τ )dτ < µe(Ω+ )(t−t0 ) Từ suy ||x(t)|| ≤ DR, ||x0 (t)||µe(Ω+3 )(t−t0 ) Do > tùy ý, định lý chứng minh Định nghĩa 3.2.33 Giả sử (3.26) phương trình vi phân đại số tuyến tính số Nghiệm tầm thường x(t) (3.26) gọi ổn định tiệm cận mũ tồn số γ, K > cho với x0 ∈ Rm , nghiệm toán giá trị đầu A(t)x + B(t)x = 0, t ∈ [0, +∞), với điều kiện đầu P (0)(x(0) − x0 ) = thỏa mãn đánh giá sau ||x(t)|| ≤ K||P (0)x0 ||e−γt , ≤ t < +∞ Định nghĩa 3.2.34 Giả sử x(t) ∈ CN nghiệm toán giá trị đầu f (x (t), x(t), t) = 0, với điều kiện đầu x(0) − x0 ∈ N (0) [0, +∞) U không gian Rm Khi nghiệm x(t) gọi ổn định U (theo Lyapunov) có số τ > với cho 73 > tồn δ = δ( ) > 1) Mỗi toán giá trị đầu f (x (t), x(t), t) = 0, thỏa mãn điều kiện đầu x(0) − z ∈ N (0), với |z − x0 | ≤ τ z ∈ U , có nghiệm xác định [0, +∞) 2) |z − x0 | ≤ δ z ∈ U kéo theo ||x(t, 0, x0 ) − x(t, 0, z)|| ≤ với t ≥ Nghiệm x(t) gọi ổn định tiệm cận Lyapunov U x(t) ổn định U có số σ ∈ (0, τ ) cho lim ||x(t, 0, x0 ) − x(t, 0, z)|| = t→∞ với z ∈ U mà ||z − x0 || ≤ σ Định lý 3.2.19 Giả sử (3.26) phương trình vi phân đại số có số ln ||x(t)|| ≤ t→∞ t Khi nghiệm tầm thường (3.26) ổn định tiệm cận mũ λ(Qs ) := lim sup nghiệm tầm thường phương trình vi phân thường tương ứng phép chiếu bị chặn P ∈ C (R+ , L(Rm )) u = (P (t)Ps (t) − P (t)G−1 (t)B(t))u, t ∈ [0, +∞), (3.46) ổn định tiệm cận mũ imP (t) Chứng minh Giả sử nghiệm tầm thường (3.26) ổn định tiệm cận mũ, tồn số α, k > cho với x0 ∈ Rm , nghiệm toán giá trị ban đầu A(t)x + B(t)x = 0, t ∈ [0, ∞] P (0)(x(0) − x0 ) = 74 thỏa mãn đánh giá sau ||x(t)|| ≤ k||P (0)x0 ||e−αt , ≤ t ≤ ∞ Do P ∈ C (R+ , L(R)m ) phép chiếu bị chặn R+ dọc N (t), ||P || = µ, với u(t) = P (t)x(t) nghiệm (3.46) tương ứng với x(t) ta có ||u(t)|| = ||P (t)x(t)|| ≤ µ||x(t)|| ≤ µk||P (0)x0 ||e−αt = µk||u(0)||e−αt , ≤ t ≤ +∞ Như vậy, nghiệm tầm thường phương trình vi phân thường tương ứng (3.46) ổn định tiệm cận mũ với imP (t) Ngược lại, giả sử nghiệm tầm thường (3.46) ổn định tiện cận mũ imP (t), nghĩa tồn k, α > cho với u(0) ∈ imP (0) ta có ||u(t)|| ≤ k||u(0)||e−αt , ≤ t ≤ +∞ Giả sử x0 ∈ Rm vectơ x(t) nghiệm (3.26) thỏa mãn điều kiện ban đầu P (0)(x(0) − x0 ) = Gọi u(t) nghiệm (3.46) tương ứng với x(t) nói trên, ta có u(t) = P (t)x(t), x(t) = Ps (t)u(t) Rõ ràng u(0) = P (0)x(0) ∈ imP (0) Ngoài ra, P (0)x(0) = P (0)x0 Vì λ(Qs ) ≤ λ(Ps ) = λ(I − Qs ) ≤ nên tồn số M > cho α ||Ps || ≤ M e t với t ≥ 75 Mà x(t) = Ps (t)u(t) nên ||x(t)|| ≤ ||Ps (t)||||u(t)|| ≤ ||Ps (t)||.k||u(0)||e−αt α ≤ M e t k||P (0)x0 ||e−αt , ∀t ≥ Vậy ||x(t)|| ≤ k1 ||P (0)x0 ||e−αt , t ≥ 0, k1 = kM , nghĩa nghiệm tầm thường (3.26) ổn định tiệm cận mũ Định lý 3.2.20 Giả sử (3.26) phương trình vi phân đại số có số + ma trận A(t), B(t), A−1 (t), P (t) liên tục, bị chặn R Giả sử điều kiện (3.44) thỏa mãn ||fx (t, 0)|| đủ nhỏ Nếu số mũ trung tâm Ω (3.26) âm tồn δ1 > cho δ0 < δ1 tồn số dương D, γ cho nghiệm x(t) (3.43) thỏa mãn bất đẳng thức sau ||x(t)|| ≤ D||x(0)||e−γt , với t ≥ nghĩa nghiệm tầm thường hệ nhiễu (3.43) ổn định tiệm cận mũ Chứng minh Vì f (t, 0) = nên x = nghiệm (3.43) Hơn với > tồn D > δ1 > cho δ0 < δ1 , nghiệm x(t) (3.43) thỏa mãn bất đẳng thức sau ||x(t)|| ≤ D ||x(0)||e(Ω+ )t Vì Ω < nên ta tìm > cho −γ := Ω + < Vậy ||x(t)|| ≤ D ||x(0)||e−γt , nghiệm tầm thường (3.43) ổn định tiệm cận mũ 76 3.3 Định nghĩa vectơ đặc trưng ổn định (cấp m) hệ vi phân đại số tuyến tính số Xét hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính qui số A(t)x (t) + B(t)x(t) = (3.47) A(t)x + B(t)x + F (t)x = 0, (3.48) hệ A(t), B(t) ma trận liên tục khúc, rankA(t) = r < m, Q ∈ C (R+ , L(Rm )) phép chiếu lên N (t) với t ≥ t0 > ta có ||A(t)|| ≤ a, ||B(t)|| ≤ b c ||F (t)|| ≤ (3.49) , m−1 (3.50) lni t i=0 a, b, c số (m) α2 (m) ··· Giả sử α1 (m) λ1 λ2 (m) ··· (m) λn (m) αn vectơ đặc trưng hệ (3.47) vectơ đặc trưng hệ (3.48) (m) Định nghĩa 3.3.35 Các vectơ đặc trưng αi hệ (3.47) gọi ổn định (cấp m) nhiễu động tuyến tính với > 0, tồn δ > cho với b < δ αji = λji với j = 0, 1, , m − |αmi − λmi | ≤ với i = 1, 2, , n Nếu ta đặt (m) |αi (m) − λi | = {|α1i − λ1i |, , |αmi − λmi |}, (m) định nghĩa viết |αi (m) − λi | (m) (m) = {0, 0, , } với i = 1, 2, , n Xét hệ phi tuyến A(t)x (t) + B(t)x(t) + f (t, x(t)) = 0, 77 (3.51) f (t, x) vectơ hàm liên tục thỏa mãn c ||f (t, x)|| ≤ ||x|| m−1 (3.52) lni t i=0 (m) Ta nói vectơ đặc trưng αi hệ (3.47) ổn định (cấp m) nhiễu động phi tuyến với > 0, tồn δ > cho với b < δ (3.52) vectơ đặc trưng λ(m) (3.51) tồn (m) vectơ αj cho (m) |λ(m) − αi | (m) Ta thấy nghiệm không tầm thường ξ(t) hệ (3.51) thỏa mãn hệ tuyến tính (3.48) với F (t) = [Fij (t)] = Rõ ràng ||F (t)|| ≤ fi (t, ξ(t)) ξj (t) ||ξ(t)||2 |fi (t, ξ(t))| ||ξ(t)|| ≤ ||ξ(t)||2 δ m−1 Do hệ (3.47) lni t i=0 có vectơ đặc trưng ổn định (cấp m) nhiễu động tuyến tính vectơ ổn định nhiễu động phi tuyến Xét hệ (3.47) với t ≥ t0 Giả sử X(t) = {X1 (t), , Xq (t)} hệ sở chuẩn tắc (đối với vectơ đặc trưng cấp m) thứ tự theo vectơ đặc trưng cấp m tăng dần hệ (3.47) Xk (t) nhóm nghiệm Giả sử Mk (t) không gian sinh nhóm nghiệm X1 (t), , Xk (t) Nk+1 (t) không gian sinh nhóm nghiệm Xk+1 (t), , Xq (t) Giả sử Rk (t) rk+1 (t) hàm giới nội cho đặt px (t) = d ln ||x(t)|| dt 78 với x(t) ⊂ Mk (t) ta có t t px (τ )dτ ≤ D + s Rk (τ ) + dτ, m−1 lni τ s i=0 với x(t) ⊂ Nk+1 (t) ta có t t rk+1 (τ ) − px (τ )dτ ≥ −d + s dτ, m−1 lni τ s i=0 D , d số phụ thuộc tương ứng vào Rk rk+1 , với t ≥ s ≥ t0 Ta nói không gian Mk (t) cảm sinh tách cấp m (với cặp Rk (t), rk+1 (t)) với t ≥ s ≥ t0 bất đẳng thức sau nghiệm t (rk+1 (τ ) − Rk (τ ))dτ ≥ α(lnm t − lnm s) − d, (3.53) s α > 0, d ≥ Giả sử S(τ ) tập tất nghiệm x(t, τ ) hệ (3.47) cho ||x(t, τ )|| = Xét tập hàm đo giới nội {Gi (τ )} cho với x(t, τ ) ∈ S(τ ), α(m) (x(t, τ )) (m) αi ta có đánh giá t ||x(t, τ )|| ≤ Ci eτ Gi (ξ)dξ cho tồn hữu hạn t ωG = lim t→∞ lnm t Gi (ξ) − α0i − t0 α1i αm−1,i − · · · − m−2 dξ ξ lni ξ i=0 Rõ ràng ωG ≥ αmi Gọi βi = inf ωGi Khi vectơ Gi (m) βi = (α0i , α1i , , αm−1,i , βi ) 79 (m) gọi vectơ (cấp m) ứng với vectơ αi (m) Nhận xét 3.3.5 Rõ ràng αi (m) βi Xét phương trình vi phân đại số (3.47) có số Giả sử Q ∈ C (R+ , L(Rm )) phép chiếu lên N (t) := kerA(t) Giả thiết thêm G−1 bị chặn R+ Sau ta giả thiết δ(t) := c m−1 ≤ δ0 lni t i=0 với t ∈ R+ với số δ0 > Giả thiết thêm f (t, x) có đạo hàm riêng liên tục x R+ chuẩn ||fx (t, 0)|| đủ nhỏ Ta chứng minh nghiệm (3.51) nghiệm (3.48) Định lý 3.3.21 Giả sử f hàm liên tục theo hai biến khả vi theo x thỏa mãn (3.52) đồng thời thỏa mãn ||fx (t, 0)|| ≤ α ||G−1 ||.||Q|| (3.54) với số < α < Khi nghiệm không tầm thường x0 (t) hệ (3.51) nghiệm hệ (3.48), F (t) thỏa mãn (3.50) với t ∈ R+ Chứng minh Từ (3.52) ta có f (t, 0) = với t ∈ R+ Do x = nghiệm tầm thường (3.51) Ta có A + BQ + fx Q = (A + BQ)(I + (A + BQ)−1 fx Q) Theo giả thiết với t ∈ R+ < α < 1, ta có ||(A + BQ)−1 fx Q|| ≤ ||(A + BQ)−1 ||.||fx ||.||Q|| ≤ α < 80 Do I + (A + BQ)−1 fx Q khả nghịch với t ∈ R+ ta có ||(I + (A + BQ)−1 fx Q)−1 || ≤ 1−α Suy (3.51) chuyển R+ , nghiệm toán giá trị đầu (3.51) nên nghiệm không tầm thường x0 (t) (3.51) không bị triệt tiêu với t ∈ R+ Đặt F (t, x) := (x, x0 (t)) ||x0 (t)||2 f (t, x0 (t)) Vì F (t, x) tuyến tính theo biến thứ hai nên F (t, x) = F (t)x với F (t) Ngoài với x ∈ R+ ta có ||F (t)x|| = ||F (t, x)|| ≤ ||x||||x0 (t)|| ||f (t, x0 (t))|| ≤ ||x0 (t)||2 c m−1 ||x|| lni t i=0 Suy ||F (t)|| ≤ δ(t) Hơn nữa, F (t)x0 (t) = F (t, x0 (t)) = (x0 (t), x0 (t)) f (t, x0 (t)) = f (t, x0 (t)) ||x0 (t)||2 Do x0 (t) nghiệm (3.48) 81 KẾT LUẬN Trong luận văn hoàn thành công việc sau Trình bày lại khái niệm: số mũ Liapunov, vectơ đặc trưng hàm số ma trận hàm số tính chất chúng; nhắc lại số kiến thức phương trình vi phân đại số tuyến tính Đưa khái niệm vectơ đặc trưng hệ phương trình vi phân đại số số 1, hệ chuẩn tắc phương trình vi phân đại số tuyến tính số 1, hệ qui cấp m Các khái niệm đưa dựa khái niệm tương tự [2] [3] Trình bày lại ổn định nghiệm tầm thường phương trình vi phân thường nhờ khái niệm vectơ tính ổn định tiệm cận mũ nghiệm tầm thường phương trình vi phân đại số Do thời gian trình độ hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Chúng mong nhận góp ý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! 82 Tài liệu tham khảo [1] B.P Demidovich, Những giảng lý thuyết toán học ổn định (bản dịch Vũ Tuấn Cấn Văn Tuất, thảo) [2] Hoàng Hữu Đường (1982), Lý thuyết vectơ đặc trưng ứng dụng để nghiên cứu ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân, Luận án Tiến sĩ Khoa học, Trường Đại học Tổng hợp Hà Nội [3] Hoàng Nam (2004), Lý thuyết số mũ Lyapunov cho phương trình vi phân đại số tuyến tính qui số 1, Luận án Tiến sĩ, Viện Toán học [4] Tạ Duy Phượng (2008), Nhập môn lý thuyết ổn định chuyển động, giảng trường hè sinh viên, Viện Toán học [5] Nguyen Dinh Cong and Hoang Nam (2003), "Lyapunov’s inequality for linear differential algebraic equations of index 1", Acta Mathematica Vietnamica, Vol 28, No 1, pp 73 - 88 [6] Nguyen Dinh Cong and Hoang Nam (2004), "Lyapunov regularity of linear differential algebraic equations of index 1", Acta Mathematica Vietnamica, Vol 29, No 1, pp - 21 [7] E Giepentrog, R Ma ¨rz (1986), Differential Algebraic Equations and Their Numerical Treatment, Teubner - Text Math 88, Leipzig 83 ... thức phương trình vi phân đại số tuyến tính 1.2.1 Chỉ số cặp ma trận Khái niệm số cặp ma trận sử dụng nhiều vi c nghiên cứu phân lớp phương trình vi phân đại số, từ giúp sâu nghiên cứu lớp phương. .. tương ứng cho hệ phương trình vi phân thường nghiên cứu [2] 2.1 Vectơ đặc trưng nghiệm hệ phương trình vi phân đại số Dưới xét vectơ đặc trưng nghiệm hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính số Trong. .. 38 Sự ổn định nghiệm phương trình vi phân phương trình vi phân đại số 43 3.1 Sự ổn định nghiệm tầm thường phương trình vi phân thường nhờ khái niệm vectơ 43 3.2 Tính ổn định tiệm