Đề luyện thi học sinh giỏi Huyện - đề 1 1/ a) Tìm nghiệm tự nhiên của phơng trình: 2 m 2 n = 1984 b) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x 2 656xy 657y 2 = 1983 2/ Tìm cực trị: a) Tìm giá trị lớn nhất của S = x 6 + y 6 biết x 2 + y 2 = 1 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của F = 2x 2 + y 2 biết x y = 1 3/ Cho 1 22 2 2 2 2 + +++ + = xyyx yx xxyyx y yxyyx x A a) Rút gọn A b) Tìm cặp số nguyên (x,y) để A = -7 4/ Lúc 8 giờ, An rời nhà mình để đến nhà Bích với vận tốc 4 km/h. Lúc 8 giờ 20 phút, Bích cũng rời nhà mình để đến nhà An với vận tốc 3 km/h. An gặp Bích trên đờng, rồi cả hai cùng đi về nhà Bích. Khi trở về đến nhà mình, An tính ra rằng quãng đờng mình đi dài gấp 4 lần quãng đờng Bích đã đi. Tính khoảng cách từ nhà An đến nhà Bích. 5/ Cho tam giác ABC đều. Gọi M là trung điểm của BC. Lấy hai điểm P và Q bất kì lần lợt trên hai cạnh AB và AC sao cho góc PMQ = 60 0 a) Chứng minh rằng: MB 2 = QC.BP b) Chứng minh rằng: QM, PM lần lợt là phân giác của góc CQP và góc BPQ. Kẻ MH vuông góc PQ. Khi P, Q di chuyển trên AB, AC nhng vẫn đảm bảo góc PMQ = 60 0 thì điểm H di chuyển trên đờng cố định nào ? Đề luyện thi học sinh giỏi Huyện - đề 1 1/ a/ Tìm nghiệm tự nhiên của phơng trình: 2 m 2 n = 1984 b/ Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x 2 656xy 657y 2 = 1983 2/ Tìm cực trị: a) Tìm giá trị lớn nhất của S = x 6 + y 6 biết x 2 + y 2 = 1 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của F = 2x 2 + y 2 biết x y = 1 3/ Cho 1 22 2 2 2 2 + +++ + = xyyx yx xxyyx y yxyyx x A a) Rút gọn A b) Tìm cặp số nguyên (x,y) để A = -7 4/ Lúc 8 giờ, An rời nhà mình để đến nhà Bích với vận tốc 4 km/h. Lúc 8 giờ 20 phút, Bích cũng rời nhà mình để đến nhà An với vận tốc 3 km/h. An gặp Bích trên đờng, rồi cả hai cùng đi về nhà Bích. Khi trở về đến nhà mình, An tính ra rằng quãng đờng mình đi dài gấp 4 lần quãng đờng Bích đã đi. Tính khoảng cách từ nhà An đến nhà Bích. 5/ Cho tam giác ABC đều. Gọi M là trung điểm của BC. Lấy hai điểm P và Q bất kì lần lợt trên hai cạnh AB và AC sao cho góc PMQ = 60 0 c) Chứng minh rằng: MB 2 = QC.BP d) Chứng minh rằng: QM, PM lần lợt là phân giác của góc CQP và góc BPQ. e) Kẻ MH vuông góc PQ. Khi P, Q di chuyển trên AB, AC nhng vẫn đảm bảo góc PMQ = 60 0 thì điểm H di chuyển trên đờng cố định nào ? Đề luyện thi học sinh giỏi Huyện - đề 2 1/ a) Tìm nghiệm tự nhiên của phơng trình: xy- 4x = 35 5y b) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: 2x 3 + xy 7 = 0 2/ Tìm giá trị lớn nhất của A = (3 - x)(4 - x)(2x + 3y) với 0 ;3 x 40 y 3/ Cho 3011 1 209 1 127 1 65 1 2222 + + + + + + + = xxxxxxxx A a) Rút gọn A b) Tìm x để A 0 4/ Một nông dân mang cam ra chợ bán cho ngời khách thứ nhất 2 1 số cam và thêm 2 1 quả, bán cho ngời khách thứ hai 2 1 số cam còn lại và thêm 2 1 quả, bán cho nời khách thứ ba 2 1 số cam còn lại và thêm 2 1 quả .Cứ tiếp tục nh vậy cho đến khi ngời khách thứ sáu mua xong thì số cam vừa hết. Tính tổng số cam của ngời nông dân đem bán. 5/ Cho hình chữ nhật nội tiếp một tam giác (một cạnh của hcn nằm trên cạnh đáy của tam giác và hai đỉnh kia của hcn nằm trên hai cạnh còn lại của tam giác. Biết diện tích hcn bằng 63 cm 2 , cạnh đáy bằng 30 cm, đờng cao ứng với đáy là 10 cm. Tính các kích thớc của hcn. Đề luyện thi học sinh giỏi Huyện - đề 2 1/ a) Tìm nghiệm tự nhiên của phơng trình: xy- 4x = 35 5y b) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: 2x 3 + xy 7 = 0 2/ Tìm giá trị lớn nhất của A = (3 - x)(4 - x)(2x + 3y) với 0 ;3 x 40 y 3/ Cho 3011 1 209 1 127 1 65 1 2222 + + + + + + + = xxxxxxxx A a) Rút gọn A b) Tìm x để A 0 4/ Một nông dân mang cam ra chợ bán cho ngời khách thứ nhất 2 1 số cam và thêm 2 1 quả, bán cho ngời khách thứ hai 2 1 số cam còn lại và thêm 2 1 quả, bán cho nời khách thứ ba 2 1 số cam còn lại và thêm 2 1 quả .Cứ tiếp tục nh vậy cho đến khi ngời khách thứ sáu mua xong thì số cam vừa hết. Tính tổng số cam của ngời nông dân đem bán. 5/ Cho hình chữ nhật nội tiếp một tam giác (một cạnh của hcn nằm trên cạnh đáy của tam giác và hai đỉnh kia của hcn nằm trên hai cạnh còn lại của tam giác. Biết diện tích hcn bằng 63 cm 2 , cạnh đáy bằng 30 cm, đờng cao ứng với đáy là 10 cm. Tính các kích thớc của hcn. Đề luyện thi học sinh giỏi Huyện - đề 3 Bài 1: Cho x thoả mãn đồng thời hai phơng trình: x + a + b + c =7 (1) x 2 + a 2 + b 2 + c 2 = 13 (2) (a, b, c là tham số) Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất (nếu có của x) Bài 2: Giải và biện luận phơng trình: ( ) 1 1 11 1 2 2 + + = + + x xa x b x ax Bài 3: Rút gọn biểu thức sau: A = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 224224224 222 bacacbcba bacacbcba ++ ++ Bài 4: Ngời ta đặt một vòi nớc chảy vào một bể chứa và một vòi chảy ra ở lng chừng bể. Khi bể cạn nếu mở hai vòi thì sau 2h42 đầy bể. Còn nếu đóng vòi chảy ra, mở vòi chảy vào thì sau 1h30 đầy bể. Biết vòi chảy vào mạnh gấp hai lần vòi chảy ra. a) Tính thời gian nớc chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc nớc ngang ở chỗ vòi chảy ra. b) Nếu chiều cao bể là 2m thì khoảng cách từ chỗ đặt vòi chảy ra đến đáy bể là bao nhiêu? Bài 5: Cho hbh ABCD (AB > AD). Từ C kẻ CE, CF lần lợt vuông góc với AB và AD. C/m: AB.AE + AD.AF = AC 2 Đề luyện thi học sinh giỏi Huyện - đề 3 Bài 1: Cho x thoả mãn đồng thời hai phơng trình: x + a + b + c =7 (1) x 2 + a 2 + b 2 + c 2 = 13 (2) (a, b, c là tham số) Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất (nếu có của x) Bài 2: Giải và biện luận phơng trình: ( ) 1 1 11 1 2 2 + + = + + x xa x b x ax Bài 3: Rút gọn biểu thức sau: A = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 224224224 222 bacacbcba bacacbcba ++ ++ Bài 4: Ngời ta đặt một vòi nớc chảy vào một bể chứa và một vòi chảy ra ở lng chừng bể. Khi bể cạn nếu mở hai vòi thì sau 2h42 đầy bể. Còn nếu đóng vòi chảy ra, mở vòi chảy vào thì sau 1h30 đầy bể. Biết vòi chảy vào mạnh gấp hai lần vòi chảy ra. c) Tính thời gian nớc chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc nớc ngang ở chỗ vòi chảy ra. d) Nếu chiều cao bể là 2m thì khoảng cách từ chỗ đặt vòi chảy ra đến đáy bể là bao nhiêu? Bài 5: Cho hbh ABCD (AB > AD). Từ C kẻ CE, CF lần lợt vuông góc với AB và AD. C/m: AB.AE + AD.AF = AC 2 Đề luyện thi học sinh giỏi Huyện - đề 4 Bài 1: Tìm cực trị biểu thức a) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 4x 2 + 4x - 62x + 1 + 6 b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của: C = 1 323 2 2 + + x xx Bài 2: Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phơng trình: x 2 - y 2 = 2(2x + y) + 1 Bài 3:(4 điểm) Cho biểu thức: A = + + + + x x x x : x xx x xx 1 1 1 1 11 2 3 2 3 a) Rút gọn A b) Tính giá trị của A với 2x - 1= 2 Bài 4: (4 điểm) An hỏi Bình: "Năm nay cha mẹ anh bao nhiêu tuổi?" Bình trả lời: "Cha tôi hơn mẹ tôi 4 tuổi. Trớc đây khi tổng số tuổi của cha và mẹ tôi là 104 tuổi thì tuổi của ba anh em chúng tôi là 14, 10 và 6. Hiện nay tổng số tuổi của cha và mẹ tôi gấp hai lần tổng số tuổi của ba anh em chúng tôi". Tính xem tuổi của cha và mẹ Bình hiện nay là bao nhiêu? Bài 5: Cho đoạn BC cố định. Điểm A di động sao cho góc BAC = 90 o . Tìm quỹ tích trọng tâm G của ABC. Đề luyện thi học sinh giỏi Huyện - đề 4 Bài 1: Tìm cực trị biểu thức a) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 4x 2 + 4x - 62x + 1 + 6 b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của: C = 1 323 2 2 + + x xx Bài 2: Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phơng trình: x 2 - y 2 = 2(2x + y) + 1 Bài 3:(4 điểm) Cho biểu thức: A = + + + + x x x x : x xx x xx 1 1 1 1 11 2 3 2 3 c) Rút gọn A d) Tính giá trị của A với 2x - 1= 2 Bài 4: (4 điểm) An hỏi Bình: "Năm nay cha mẹ anh bao nhiêu tuổi?" Bình trả lời: "Cha tôi hơn mẹ tôi 4 tuổi. Trớc đây khi tổng số tuổi của cha và mẹ tôi là 104 tuổi thì tuổi của ba anh em chúng tôi là 14, 10 và 6. Hiện nay tổng số tuổi của cha và mẹ tôi gấp hai lần tổng số tuổi của ba anh em chúng tôi". Tính xem tuổi của cha và mẹ Bình hiện nay là bao nhiêu? Bài 5: Cho đoạn BC cố định. Điểm A di động sao cho góc BAC = 90 o . Tìm quỹ tích trọng tâm G của ABC. Đề luyện thi học sinh giỏi Huyện - đề 5 Bài 1: Tìm nghiệm nguyên chúng của hai phơng trình sau: x + y + z = 3 (1) x 3 + y 3 + z 3 = 3 (2) Bài 2: Chứng minh rằng với mọi a, b, c, d ta có: a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ab + ac + ad Bài 3: Cho biểu thức: A = ( ) ( ) ( ) ( ) 1583 32 529 1255 453 18012020 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ++ + + + + ++ xx xx xx x xx xx a) Rút gọn A b) Tìm x Z để A Z Bài 4: Lớp 8A có 16 học sinh giỏi môn Toán, 15 học sinh giỏi môn Văn. Số học sinh vừa giỏi Toán vừa giỏi Văn bằng nửa số học sinh không giỏi Toán mà cũng không giỏi Văn. Hỏi có bao nhiêu học sinh vừa giỏi Toán vừa giỏi Văn biết rằng sĩ số lớp 8A là 37 hs. Bài 5: Cho ABC vuông tại A, một đờng thẳng cắt hai cạnh AB, AC tại D và E. a) CMR: CD 2 CB 2 = ED 2 EB 2 b) Tìm tập hợp điểm M sao cho diện tích BMC bằng diện tích ABC. Đề luyện thi học sinh giỏi Huyện - đề 5 Bài 1: Tìm nghiệm nguyên chúng của hai phơng trình sau: x + y + z = 3 (1) x 3 + y 3 + z 3 = 3 (2) Bài 2: Chứng minh rằng với mọi a, b, c, d ta có: a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ab + ac + ad Bài 3: Cho biểu thức: A = ( ) ( ) ( ) ( ) 1583 32 529 1255 453 18012020 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ++ + + + + ++ xx xx xx x xx xx c) Rút gọn A d) Tìm x Z để A Z Bài 4: Lớp 8A có 16 học sinh giỏi môn Toán, 15 học sinh giỏi môn Văn. Số học sinh vừa giỏi Toán vừa giỏi Văn bằng nửa số học sinh không giỏi Toán mà cũng không giỏi Văn. Hỏi có bao nhiêu học sinh vừa giỏi Toán vừa giỏi Văn biết rằng sĩ số lớp 8A là 37 hs. Bài 5: Cho ABC vuông tại A, một đờng thẳng cắt hai cạnh AB, AC tại D và E. a) CMR: CD 2 CB 2 = ED 2 EB 2 b) Tìm tập hợp điểm M sao cho diện tích BMC bằng diện tích ABC. Đề luyện thi học sinh giỏi Huyện - đề 6 Bài 1: a) Tìm nghiệm nguyên của bất phơng trình: x 2 + 2y 2 + 2z 2 < 2xy + 2yz + 2z b) Giải phơng trình: 1 3x + x - 4 = 5x + 1 Bài 2: Cho a, b, c, d, e là những số dơng thoả mãn: a + b + c + d + e = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của A = ab + bc + cd + de Bài 3: Cho biểu thức: A = 1 - 144 1 21 1 14 5 21 2 22 ++ + xx x x x x x : a) Rút gọn A b) Tìm x để A = 2 1 Bài 4: Trên một đờng ô tô đi qua ba thành phố A, B, C (B nằm giữa A, C) có hai ngời chuyển động đều: Minh xuất phát từ A bằng ô tô và Nam xuất phát từ B bằng xe máy. Họ khởi hành để đi về phía C cùng vào hồi 8 giờ và cùng đến C vào hồi 10 giờ 30 (cùng ngày). Trên đờng sắt liền bên đờng ô tô, một tàu hoả chuyển động đều từ C đến A, gặp Nam vào hồi 8 giờ 30 và gặp Minh vào hồi 9 giờ 06. Biết quãng đờng AB bằng 75 km và vận tốc tàu hoả bằng 2/3 vận tốc của Minh. Tính quãng đờng BC. Bài 5: Từ điểm D trên cạnh huyền BC của ABC vuông ta kẻ DE vuông góc với AB, DF vuông góc với AC. CMR: DB.DC = EA.EB + FA.FC Đề luyện thi học sinh giỏi Huyện - đề 6 Bài 1: a) Tìm nghiệm nguyên của bất phơng trình: x 2 + 2y 2 + 2z 2 < 2xy + 2yz + 2z b) Giải phơng trình: 1 3x + x - 4 = 5x + 1 Bài 2: Cho a, b, c, d, e là những số dơng thoả mãn: a + b + c + d + e = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của A = ab + bc + cd + de Bài 3: Cho biểu thức: A = 1 - 144 1 21 1 14 5 21 2 22 ++ + xx x x x x x : a) Rút gọn A b) Tìm x để A = 2 1 Bài 4: Trên một đờng ô tô đi qua ba thành phố A, B, C (B nằm giữa A, C) có hai ngời chuyển động đều: Minh xuất phát từ A bằng ô tô và Nam xuất phát từ B bằng xe máy. Họ khởi hành để đi về phía C cùng vào hồi 8 giờ và cùng đến C vào hồi 10 giờ 30 (cùng ngày). Trên đờng sắt liền bên đờng ô tô, một tàu hoả chuyển động đều từ C đến A, gặp Nam vào hồi 8 giờ 30 và gặp Minh vào hồi 9 giờ 06. Biết quãng đờng AB bằng 75 km và vận tốc tàu hoả bằng 2/3 vận tốc của Minh. Tính quãng đờng BC. Bài 5: Từ điểm D trên cạnh huyền BC của ABC vuông ta kẻ DE vuông góc với AB, DF vuông góc với AC. CMR: DB.DC = EA.EB + FA.FC . có 16 học sinh giỏi môn Toán, 15 học sinh giỏi môn Văn. Số học sinh vừa giỏi Toán vừa giỏi Văn bằng nửa số học sinh không giỏi Toán mà cũng không giỏi Văn có 16 học sinh giỏi môn Toán, 15 học sinh giỏi môn Văn. Số học sinh vừa giỏi Toán vừa giỏi Văn bằng nửa số học sinh không giỏi Toán mà cũng không giỏi Văn.