HI CC TRNG CHUYấN THI MễN TON KHI 11 VNG DUYấN HI V NG BNG BC B NM 2015 TRNG THPT CHUYấN NGUYN TT THNH TNH YấN BI THI XUT Thi gian lm bi 180 phỳt ( ny cú 01 trang, gm 05 cõu) Cõu (4 im) Gii h phng trỡnh 1 ( x y 1)( )2 x y 3x y 2 2x y y y 2x 3( x y 1) x Cõu (4 im) Cho dóy s (xn) tha món: x x xn ; n n n1 n2 Chng minh dóy s trờn cú gii hn Cõu (4 im) Cho tam giỏc ABC Gi B1 l im i xng ca B qua AC, C l im i xng ca C qua cỏc ng thng AB, O1 l im i xng ca O qua BC Chng minh rng: Tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc AB1C1 nm trờn ng thng AO1 Cõu (4 im) Tỡm tt c cỏc a thc h s thc P(x) khụng ng nht khụng tha món: P(2014) = 2046, P( x) P( x 1) 33 32, x Cõu (4 im) Cho 2015 im trờn ng thng, tụ cỏc im bng mt mu xanh, , vng (mi im ch tụ mt mu) Cú bao nhiờu cỏch tụ khỏc cho khụng cú im liờn tip no cựng mu HT Ngi (H tờn, ký tờn -in thoi liờn h) Tụ Minh Trng-0915454109 P N + BIU IM CHM MễN TON KHI 11 Ni dung chớnh cn t Cõu im Cõu Cõu 1Gii h phng trỡnh f 1 ( x y 1)( ) 2(1) x y 3x y 2 2x y y y 2x 3( x y 1)(2) x y iu kin: 2x y y y 2x 4,0 0,5 p dng bt ng thc AM-GM cho v trỏi ca (1) ta cú: x x x y ( ) x y x y x y y 1 2( y 1) x y ( x y 3) x y x 3y 1,0 x y 1 y ( ) 3x y x y Chng minh tng t ta cng cú: Cng li ta c: x y 1 x ( ) x 3y x y x y 3x y Du ng thc xy x=y+1 hay y= x - Th vo (2) ta cú phng trỡnh x2 8x 10 x x x x iu kin xỏc nh ca (4) l: x (*) Vi k (*), ta cú: (4) 0,5 (4) (2 x 2)( x 5) (2 x 2)( x 2) 2x x5 x2 x5 x2 x5 x2 x5 x2 2x 2x x x ( x x 5) ( x 3) x7 x7 2x x x2 1 ( x 7) x 2x x x (tm (*)) ( Vỡ 2x x x 1) x2 1,0 1,0 Vi x y (tha iu kin) Vy h cú nghim nht ( x; y ) (7;6) Cõu x Cõu Cho dóy s (xn) tha món: x x xn ; n n n1 n2 4,0 Chng minh dóy s trờn cú gii hn *) Ta chng minh xn + n2 n n vi mi n (1) Tht vy: n = ỳng Gi s (1) ỳng vi n = k 1: xk + k2 xk k xk = k k xk2 k k2 xk 2 x k k k k2 k k k k k k k k 2 2,0 k k k k (pcm) k 2 *) Ta chng minh (xn) cú gii hn NX: (xn) tng v xn > vi mi n Ta cú 1 xn xn1 xn n n n 2,0 1 x1 xn n xn vi mi n 2 Vy (xn) cú gii hn Cõu Cõu Cho tam giỏc ABC Gi B1 l im i xng ca B qua AC, C1 l im i xng ca C qua cỏc ng thng AB, O1 l im i xng ca O 4,0 qua BC Chng minh rng: Tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc AB1C1 nm trờn ng thng AO1 K B1 A Q C1 P H O C B O1 Gi H l trc tõm ABC Gi AB1, CH ct ti P, AC1 v BH ct v ti Q Gi K l tõm ng trũn ngoi tip cỏc tam giỏc AB1C1 D thy O1 l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc HBC 1,0 ã ã ã ã A Vỡ vy 900 CAB ABH HB Xột t giỏc B1AHC Ta cú HCA B1AHC ni tip ng trũn (w1).Tng t C1AHB ni tip ng trũn (w2) 1,0 Trc ng phng ca (K) v (w1) l AB1, Trc ng phng ca (O1) v (w1) l CH Nờn P l tõm ng phng ca (O1), (K) v (w1) v 1,0 nú phi nm trờn trc ng phng ca (O1) v (K) Tng t ta Chng minh c Q nm trờn trc ng phng ca cỏc ng trũn (O1) v (K) Vỡ vy, PQ vuụng gúc O1K ã PA ãBH QB ã P ( cựng chn cung AH ca (w2) Li cú QC 1 nờn PQB1C1 ni tip v tam giỏc AQP ng dng tam giỏc AC1B1 1,0 ã AK 900 C ã KA 900 A ãB C 900 PQA ã Ta li cú C nờn KA l 1 1 ng vuụng gúc PQ Vy KA v O1K vuụng gúc PQ nờn A, K, O1 thng hng Cõu Cõu Tỡm tt c cỏc a thc h s thc P(x) khụng ng nht khụng tha 4,0 P(2014) = 2046, P( x) P( x 1) 33 32, x Gi s P(x) tha u bi Khi ú ta cú P ( x 1) [P( x) 32]2 33, x Suy P(2014 1) (2046 32) 33 2014 33 t x0=2014, ta cú 2 1,0 x0 32 2046, P( x0 ) x0 32 P(2014) = 2046 Xột dóy {xn} nh sau: x0=2014, x1 x02 1, x n1 xn2 1, n=1,2,3 1,0 Khi ú P( x0 ) x0 32 P( x1 ) P( x02 1) [P( x0 ) 32]2 33 x02 33 x02 32 x1 32 P( x2 ) P( x12 1) [P( x1 ) 32]2 33 x12 33 x12 32 x2 32 Bng quy np d dng chng minh c P( xn ) xn 32, n 0,1,2 (*) Xột a thc h s thc 1,0 Q( x) P( x) x 32 T (*) ta cú Q(x) nhn xn lm nghim vi mi n=0,1,2 Mt khỏc dóy {xn } n tng nghiờm ngt nờn Q(x) suy P(x) = x+32 Th li ta cú P(x) tha u bi Vy: Cú nht a thc P(x) = x + 32 1,0 Cõu Cho 2015 im trờn ng thng, tụ cỏc im bng mt mu xanh, , vng (mi im ch tụ mt mu) Cú bao nhiờu cỏch tụ khỏc 4,0 cho khụng cú im liờn tip no cựng mu Gi S n l s cỏch tụ mu tha cho n ( n ) im (bi toỏn ca ta l n 2015 ) Ta s tớnh Sn theo S n , xột hai im cui cựng ca S n cú hai 1,0 trng hp xy ra: +Nu hai im cui cựng mu th thỡ im th n 1khỏc mu im cui +Nu hai im cui khỏc mu thỡ im th n tụ bt kỡ T ú sinh hai s c trng M n l s cỏch tụ n im m hai im cui cựng mu, Pn l s cỏch tụ mu n im m hai im cui khỏc mu v c hai cựng tha im liờn tip khỏc mu 1,0 Ta cú: Sn1 2M n 3Pn , Pn1 2Sn ; M n1 Pn Th thỡ Sn1 Pn1 6Sn1 4Sn2 6Sn1 Vy ta cú h thc truy hi: Sn 6Sn 4Sn Bõy gi ta tớnh S3 , S thy S3 27 24 , S4 4! 12 49 Phng trỡnh c trng X X 1,0 cú nghim l: x1 13, x2 13 Cụng thc xỏc nh Sn ax1n bx2n vi a, b tha món: 24 13 23 a 13(3 13)3 a (3 13) b(3 13) 24 4 24 13 23 a (3 13) b(3 13) 49 b 13(3 13)3 3 1,0 Sau ú cho n 2015 ta c kt qu bi toỏn (H tờn, ký tờn -in thoi liờn h) Tụ Minh Trng-0915454109 S GIO DC V O TO BC GIANG TRNG THPT CHUYấN BC GIANG NP NGN HNG DUYấN HI MễN TON LP 11 Thi gian lm bi: 180 phỳt, khụng k phỏt Cõu (4 im) Ký hiu x l s nguyờn ln nht khụng vt quỏ x Gii phng trỡnh x x x 2015 Cõu (4 im) Gii h phng trỡnh: x y y x x y y x x y Cõu (4 im) Tỡm tt c cỏc hm f : Ơ Ơ tha ng thi hai iu kin sau: i) Vi mi cp a, b nguyờn dng khụng nguyờn t cựng nhau, ta cú f(a).f(b)=f(ab) ii) Vi mi b a, b nguyờn dng tn ti mt tam giỏc khụng suy bin cú di ba cnh l f(a), f(b) v f(a+b-1) Cõu (4 im) Cho tam giỏc nhn ABC khụng cõn Gi H, O ln lt l trc tõm, tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC, hai ng cao AD, BE OD ct BE ti K, OE ct AD ti L Gi M l trung im AB Chng minh rng K, L, M thng hng v ch bn im C, D, O, H cựng nm trờn mt ng trũn Cõu (4 im) Cho s nguyờn n Chng minh rng mi h gm ớt nht 2n1 hp khụng rng phõn bit ca 1,2, , n u tỡm c ba hp m mt chỳng l hp ca hai cũn li - Ht Thớ sinh khụng c s dng ti liu Giỏm th coi thi khụng gii thớch gỡ thờm TRNG THPT CHUYấN BC GIANG P N NP NGN HNG DUYấN HI LP 11 NI DUNG CU Ta cú x IM 1,0 x x 2015 x x 2015 x1 x x 2015 x x pt x x a  a 2015 x a x 2015 x Cõu (4 im) a a 8060 * 1,0 Do a 2015 x a x 2015 x a a 8060 2015 (t/ m); a a 8060 a Vy S a a a 1,5 4a 2 8060 2015 loai ; a  ; a 2015 0,5 y iu kin : x x y y 2x x y x xy y x y x y x y x x y y y x x y y x y x 1,5 2 x y Cõu (4im Th vo pt u ta c ) x x x 5x x x x x x x 1 x x x x x x 21 x x 3x y 21 2,0 0,5 T k 2, vi mi b a, b nguyờn dng, ta cú f a f b f a b ; f a f a b f b ; f a b f b f a ; a b 2: f f ; f f 1.0 a 3; b : f f f f f f f f f f f or f Nu f(2)=1 Do 2f(2)>f(1) nờn f(1)=1 Quy np chng minh f(n)=1 vi mi n nguyờn dng Cho a=n; b=2 : f(n+1)=2 Cho a=n-1; b=2 ta cú f(n)=2, gi s cú n +1 khụng rng ca {1,2, ,n+1} Nu ớt nht n-1+1 hp chỳng khụng cha n+1, theo gi thit quy np ta cú pcm Nu ớt nht n-1+2 hp cha n+1 thỡ b n+1 cỏc hp ny v ta ỏp dng gi thit quy np Nu cú ỳng n-1 khụng cha n+1 thỡ cú ỳng n-1 cha n+1 (cú nhiu hn phn t) v {n+1} Loi b n+1 nhng ny ta c n khỏc rng ca {1,2, ,n}, v ú chỳng phi cú hai trựng nhau, gi ú l A Do vy AU{n+1}=B 1, 2, , n (pcm) Ngi : Trn Th H Phng - t: 0983207082 1,5 0.5 1.5 1.0 1,0 ) Ta cú : rm rm rm (mod 2015); rm T rm T rmT (mod 2015) rm rm T (mod 2015) rm rm T Bng quy np ta chng minh c: rm-k = rm+T-k vi k=1;2; ;m-1 (2) (0,5 im) T (1) v (2) suy (rn)n>0 l mt dóy tun hon B sung vo dóy (b n) phn t b = tha b + b1 = b2 suy r0 = Khi ú dóy (rn) l dóy tun hon bt u t phn t u tiờn r0 = Do ú tn ti vụ s phn t dóy (rn) bng 0.Nh vy cõu b c chng minh xong (0,5 im) Cõu (4 im) Cho tam giỏc ABC ni tip ng trũn (O) Tip tuyn ca (O) ti B, C ct ti S Trung trc ca AB, AC ct phõn giỏc gúc BAC th t ti M v N Bit BM ct CN ti P Gi I l tõm ng trũn ni tip tam giỏc MNP Chng minh ba im S, A, I thng hng HD E A N O H I P M C D B E S Khụng mt tớnh tng quỏt ta gi s bi toỏn cú v trớ tng i nh hỡnh v Gi D l trung im ca BC, E l giao ca phõn giỏc gúc A vi (O) khỏc A F l trung im ca MN a) +) Chng minh OP l trung trc ca MN (1 im) Vỡ hai tam giỏc cõn MAB v NAC cú cỏc cp gúc tng ng bng nờn d thy : ã ã ã PMN PNM ,ã OMN ONM suy hai tam giỏc PMN v OMN cõn ti P v O Vy OP l trung trc ca MN +) Chng minh I, H i xng qua d (1 im) 1 ã ã ã ã ã ã ã ã Ta cú: IMF BME BAC , HMF HON BAC IMF HMF Ta c pcm b)+) Chng minh AD, AS i xng qua AE (0,5 im) Gi EK l ng kớnh ca (O) Ta cú (DSEK) = -1 nờn A(DSEK) = -1 m AE v AK vuụng gúc vi suy AE l phõn giỏc gúc SAD Ta cú pcm Da vo tớnh cht ca phộp i xng trc ta thy A, I, S thng hng v ch A, H, D thng hng Ta dựng Melenauyt vi tam giỏc OEF chng minh iu ny (1,5 im) A HO FO cos A ; A A HF FH MF tan sin 2 HO DE AF dpcm HF DO AE MF cot A DE R(1 cos A) DO R cos A cos A 2sin Cõu (4 im): Cho hm f : R R ( R {x R| x 0}) cho: f ( x ) f y f ( x y xf (4 y )) x, y a) Chng minh f l hm tng khụng nghiờm ngt trờn R + b) Tỡm tt c cỏc hm f tha iu kin trờn HD a) Thay x=y=0 ta cú f(0)=0 Xột hm g(x) = x2 + f(4y)x l hm ng bin trờn R + vỡ f(4y)>=0 M: g (0) 0; g () TGT g ( x) [0;+) nờn vi mi s dng a bt k luụn tn ti x0 a= g(x0) > Do ú f(y+a) = f(g(x0)+y) >= f(y) vi mi s a dng Chng t f l hm tng khụng nghiờm ngt.(1 im) x b) Xột hai trng hp sau: TH1: Tn ti t > f(t) = Thay x t f ( y ) f ( y t t f (4 y )) f (t y ) M f (t ) f (t y ) f ( y ) f ( y t ) y f (0) f (t ) f (2t ) f (nt ) n Z Kt hpvi f(x) l hm khụng gim nờn f(x) = vi mi x khụng õm Vỡ nu ngc li tn ti u > f(u) > thỡ luụn tn ti n nguyờn dng nt > u nhng f(nt) = mõu thun vi tớnh khụng gim ca hm f (1 im) TH2: Vi mi s dng t cú f(t) > Theo chng minh trờn suy f l hm tng ngt Thay y bi y2 ta cú: f(x2) + f(y2) = f(x2 + y2 + xf(4y2)) 2 2 Thay x bi y, y bi x2: f ( y ) f x f (y x yf (4 x )) Vỡ f tng ngt nờn: x y xf (4 y ) y x yf (4 x ) x( f (4 y ) yf (4 x ) f (4 y ) f (4 x ) kf x 0; y y x f ( x) k x Th li ta c k=1 (2 im) KL: Bi toỏn cú hai nghim l f ( x) 0; f ( x) x Cõu (4 im): Vi mi s nguyờn dng m, kớ hiu C(m) l s nguyờn dng k ln nht cho luụn tn ti mt tõp S gm m s nguyờn dng mi s nguyờn chy t n k hoc thuc S hoc l tng hai phn t thuc S (hai phn t ny khụng nht thit phõn bit) Chng minh: m(m 6) m(m 3) C ( m) HD Trc tiờn ta tớnh th mt vi giỏ tr ban u ca C(m) cm nhn bi toỏn D thy: C(1)=2; C(2)=4; C(3)=8 Nhn xột: Vic tớnh C(m) quy v vic m s phn t ca A xỏc nh bi: A S ( S S ) ; S S x y | x, y S +) (2 im) Chng minh: C ( m) m(m 3) | A || S | | S S || S | | S | C|2S | | S | (| S | 3) m(m 3) 2 Chỳ ý : ỏnh giỏ s phn t ca S+S ta chia hai trng hp x trựng y v x khỏc y Rừ rng {1;2;3; ;k} l mt ca A nờn ta c pcm +) (2 im) Chng minh: m(m 6) C ( m) Ta s ch mt B cho vi mi s nguyờn chy t n m(m+6)/4 hoc thuc B hoc l tng hai s (khụng nht thit phõn bit) thuc S(m) Khi ú C(m)>=m(m+6)/4 Xột hai trng hp sau: TH1: m = 2n (1 im) Xột B(m) = {1; 2; 3; ; n; 2n+1; 3n+2; ; (n+1)n+n} gm m phn t v d thy B ( B B) cha dóy s liờn tip t n (n+1)n + 2n v rừ rng (n+1)n + 2n = 2n(2n+6)/4 TH2: m = 2n+1(1 im) Khi ú ta xõy dng B(m)={1;2;3; ; n+1;2n+3;3n+5; ;(n+1)n+2n+1}gm m phn t v B ( B B) cha dóy s liờn tip t n (n+1)n+3n+2 v rừ rng (n+1)n+3n+2 > (2n+1)(2n+7)/4 T hai TH trờn ta c pcm D B - THI OLIMPIC TON CP TRNG NM 2013 Bi 1: Gii phng trỡnh: x 24 x 28 x x 20 x Bi 2: Tỡm tt c cỏc hm f tha món: f : R R v f ( x xy f ( y )) f ( x) f ( y ) 1 ( f ( x) f ( y ) ) x, y R Bi 3: Cho a,b,c l ba s dng Chng minh: a bc b ca b bc c c ca a c ab a ab b Bi 4: Cho a,b,c l ba s nguyờn v dóy (an) xỏc nh bi: a0 a; a1 b; a2 c an 2an 2an an Tỡm s nguyờn k cho 4an an+1 + k l mt s chớnh phng Bi 5: Tỡm cỏc s a,b,c,d nguyờn dng v tha món: (2 a + 1)b = (2 c - 1)d Bi 6: Chng minh rng t 2013 s dng phõn bit luụn cú th chn c hai s cho tng v hiu ca chỳng u khụng bng cỏc s cũn li HI CC TRNG CHUYấN THI MễN: TON, KHI: 11 VNG DUYấN HI V NG BNG BC B NM 2015 TRNG PT VNG CAO VIT BC Thi gian lm bi: 180 phỳt THI XUT ( ny gm cú 01 trang, gm 05 cõu) Cõu (4 im) Gii h phng trỡnh sau: x xy y 2 y( xy y y xy ) Cõu (4 im) Cho dóy s an a1 n 1, n Ơ tha món: n 2 a n a n a a n n n n Tỡm lim an Cõu (4 im) T mt im O c nh ta v hai tip tuyn n nhng ng trũn thay i tõm C cho hai tip tuyn ú luụn vuụng gúc vi a) Tỡm hp tõm ca nhng ng trũn (C) i qua mt im A c nh khỏc vi O b) Cho ng trũn cú tõm C chy trờn mt ng thng c nh khụng i qua O Tỡm hp cỏc tip im T v T ca nhng ng trũn ú vi cỏc tip tuyn v t O Cõu (4 im) Tỡm tt c cỏc hm s f : (0; ) Ă tha cỏc iu kin sau õy: f (0) y x v f ( xy ) f ( x) f ( ) f ( y ) f ( ) , x, y (0; ) Cõu (4 im) Tn ti hay khụng hai s nguyờn dng phõn bit p, q cho q n n chia ht cho p n n vi mi s nguyờn dng n ? Ht -Giỏo viờn Phm Th Lan (D: 0982 217 044 ) P N + BIU IM CHM MễN TON KHI 11 Cõu Cõu Ni dung chớnh cn t x xy y (1) 2 y ( xy y y xy ) +) iu kin : y x y im 4,0 (2) 0.5 1.0 + Tr v vi v hai phng trỡnh ca h ta cú: x xy y y xy y y xy x x x x Chia c hai v ca PT cho y , ta cú: y y y y x + t t t 2; ta cú phng trỡnh: y 1.0 2t 5t t t 2t (t 3) t 2( t 1) (1 t 1) t (t 3) 2t t 1 t Vi t 2; thỡ 2t 1.0 t t 1 t x 2 Kt lun: Nghim ca h phng trỡnh l: ; 2 Vi t=3 suy x=3y thay vo PT (1): y y 0.5 4.0 Cõu D thy an 0, n Ơ * T gi thit ta cú n an1 n2 n an 1,0 1 Vi mi n Ơ * , t yn ta cú y1 v an n 2 1,0 1 n2 2 y n y n n y n y y y n n n n1 n n 4 n 4n2 n n n an Do ú yn y1 2 n n 16 n2 n n n2 Vy lim an 2 1,0 1,0 Cõu T " O D ' A C T' I E a)T giỏc OTCT cú gúc vuụng v OT = OT nờn nú l mt hỡnh vuụng Gi R l bỏn kớnh ca ng trũn (C), ta cú CO = R Do ú: 0,5 uuur uuur CA R v OC , OT CO R 2 Vy tõm C trờn ng trũn tõm I l hp nhng im cú t s khong cỏch ti A v O bng ng kớnh DE ca ng trũn tõm I i qua cỏc 0,5 im A v O to nờn mt hng im iu hũa; ta cú (OADE ) Ngc li ly im C bt k trờn ng trũn tõm I, ta cú C'A C 'O 0,5 T O k hai tip tuyn OT v OT ta cú CT1 = CA = OT Vy OT1CT1 l hỡnh vuụng Vy hp cỏc im C l ng trũn tõm I vi I l trung im ca on 0,5 DE ú D, E, O, A l mt hng im iu hũa b) OT uuur uuur OC v (OC , OT ) Vy T l nh ca C phộp ng dng tõm O t s k 0,5 , gúc quay im C chy trờn ng thng nờn im T chy trờn ng thng ' l nh ca phộp ng dng trờn 0,5 Vi im T ta dựng phộp ng dng tõm O t s k , gúc quay 0,5 ta tỡm c hp cỏc im T l ng thng '' nh ca phộp ng dng O, , 0,5 4.0 Cõu 1,0 Cho Thay thay vo (1), cú: 1,0 vo (1) c Khi ú (1) tr thnh Trong (2) thay y bi (2) cú 0,5 Trong (2) thay y = x : Vy vi 0,5 1,0 thỡ Cõu Gi s tn ti hai s p, q nguyờn dng phõn bit cho q n n chia ht cho p n n vi mi s nguyờn dng n, th thỡ q n n > p n n q p Gi s a l mt s nguyờn t ln hn q v n l s t nhiờn tha n ( p 1)(a 1) Khi ú n = (p+1)a p n p (moda ) (1) 0,5 0,5 Vỡ p < q < a nờn (p, a) =(q, a)=1 Theo nh lý nh Fermat, ta cú p a 1(mod a) p ( p 1)( a 1) 1(mod a) p ( p 1)( a 1)1 p(mod a) Do ú p n p(moda) (2) n n T (1) v (2) suy p n 0(mod a) hay p n a (4) Chng minh tng t, ta c q q(mod a) (3) v q n a T (1) v (3) suy q n n q p(moda) (5) T (4) v (5) suy (q p)Ma iu ny khụng th sy vỡ p q a Vy khụng tn ti hai s nguyờn dng phõn bit p, q cho q n n chia ht cho p n n vi mi s nguyờn dng n n 0,5 0,5 n 1 TRNG THPT CHUYấN VNH PHC THI XUT THI CHN HC SINH GII VNG DUYấN HI V NG BNG BC B LN TH VIII- NM 2015 MễN TON - LP 11 Thi gian: 180 phỳt ( khụng k thi gian giao ) Bi (4,0 im) Cho a, b, c l cỏc s thc tha a b c v ab bc ca Chng minh rng 10 a 2b b2c c 2a Bi (4,0 im) Cho trc s thc dng v xột dóy s dng xn tha vi mi n Ơ * xn1 xn Chng minh rng dóy xn hi t v tỡm gii hn ca nú Bi (4,0 im) Cho tam giỏc ABC nhn khụng cõn, ni tip ng trũn O P l im nm tam giỏc cho AP BC ng trũn ng kớnh AP ct cỏc cnh AC, AB ln lt ti E , F v ct ng trũn O ti im G khỏc A Chng minh rng GP, BE, CF ng quy Bi (4,0 im) Cho a1, a2 , , an l cỏc s thc khụng õm v khụng ng thi bng (n Ơ * ) a) Chng minh rng a thc P x x n a1x n1 a2 x n2 an cú nht mt nghim thc dng kớ hiu l m b) Gi x0 l mt nghim thc bt kỡ ca P x Chng minh rng x0 m Bi (4,0 im) Cú cp v chng c xp ngi trờn mt gh di Bit rng mi ngi v ch ngi cnh chng mỡnh hoc ngi cnh mt ngi ph n khỏc Hi cú bao nhiờu cỏch sp xp ch ngi tha Ht -Chỳ ý: Giỏm th coi thi khụng gii thớch gỡ thờm P N THI CHN HSG VNG DUYấN HI V NG BNG BC B LN TH VIII- NM 2015 MễN TON - LP 11 (ỏp ỏn gm trang) Bi (4,0 im) Ni dung trỡnh by im t x a 2b b 2c c a; y ab bc ca ; z abc Khi ú x y ab(a b) bc(b c ) ca (c a ) ab(2 c ) bc (2 a ) ca (2 b) 3z 1,0 xy a b b c c a abc(a b c ) 3a b c z z Do ú x,y l nghim ca phng trỡnh: t (2 3z )t z z (*) Ta cú (2 z ) 4(9 z z 1) z 27 1,0 3 3 3 3 2 2 3z 27 z z Khi ú x, y Vy bi toỏn quy v vic chng minh 3z 27 z z (1) v 1,0 3z 27 z z 10 (2) Thy vy (1) 27 z z z 81z 18 z (9 z 1) (ỳng) V (2) 27 z z 27 z 2916 z 216 z (54 z 2) (ỳng) Vy bi toỏn c chng minh 1,0 Bi (4,0 im) Ni dung trỡnh by im Xột hm s f ( x) x , x x x f '( x ) x x Ta cú f '( x) x ; x x2 Ta cú bng bin thiờn ca hm f(x): x x0 0 f'(x) + f(x0) + + + f(x) Suy f ( x) f x0 1,0 ( 1) 1,0 1 xn1 xn xn1 Suy xn xn hay xn l dóy gim Kt hp vi xn vi mi n ta suy dóy xn hi t Do ú xn1 t lim xn Chuyn qua gii hn ta c Vy lim xn 1 ( 1) x0 0,5 0,5 Bi (4,0 im) Ni dung trỡnh by im A E G F P O Q L K T C B D Gi AD l ng kớnh ca (O), d thy G,P,D thng hng v PE || CD; PF || BD Gi s PE,PF ct DB,DC ti K,L; EF ct BC ti T Theo nh lý Desargues chng minh BE, CF, GP (hay PD) ng quy ta ch cn chng minh T,K,L thng hng TB EC FA TB FB AE p dng nh lý Menelaus ta c: (1) TC EA FB TC EC AF AE BE D thy t giỏc EFBC ni tip nờn (2) AF CF Cng t EFBC ni tip suy FCL FCA ACL EBA 900 EBA ABK KBE T giỏc PKDL l hỡnh bỡnh hnh suy PKB PLC BE KB Suy EBK : FCL (3) CF CL BF PK DL Ta cú BF PL CE.PK S PKDL (4) CE PL DK TB DL KB TB LC KD T ú ỏp dng nh Thay (2), (3), (4) vo (1) ta c TC DK CL TC LD KB lý menelaus cho tam giỏc DBC ta suy T,K,L thng hng Bi toỏn c chng minh 1,0 1,0 1,0 Bi (4,0 im) Ni dung trỡnh by im Xột a thc Q x an x n an1 x n1 an2 x n2 a1 x Khi ú nu y0 l nghim ca Q x thỡ l nghim ca ca P x y0 Xột hm s Q x an x n an1 x n1 an2 x n2 a1 x , x 0; 1,0 Do cỏc s a1 , a2 , , an khụng ng thi bng nờn i 1, 2, , n : suy lim Q x a : Q a x Mt khỏc Q nờn Q Q a x0 0; a : Q x0 (1) Ta cú Q ' x nan x n1 n an1 x n1 a1 0, x 0; Q x ng bin trờn 0; (2) 1,0 T (1) v (2) ta cú Q x cú nghim dng nht hay P x cú nghim dng nht b) Phn chng rng tn ti mt nghim thc ca P x l x0 tha x0 m Ta cú x0n a1 x0n1 a2 x0n2 an x0 a1 x0 n n a2 x0 n2 an , suy P x0 1,0 1,0 Mt khỏc lim P x nờn P x li cú mt nghim dng na ln hn m, mõu thun x vi phn (a) Vy x0 m (pcm) Bi (4,0 im) Ni dung trỡnh by im Trc ht ta cú 4! cỏch xp ch cho ph n Ta c nh mt b ngi ny m * Nu gia n m cú nam thỡ phi cú ớt nht nam, cng vy nu gia hai nam m cú n thỡ phi cú ớt nht n 1,0 * Ta coi nhng ngi ph n l cỏc nhúm, thỡ ta cú cỏc cỏch biu din nhúm nh sau: 11 1111 Nu n to thnh nhúm (1,1,1,1): Khi ú cú ớt nht n phi ngi gia ngi n ụng, khụng tha Nu n to thnh nhúm (2,1,1): Khi ú gia nhúm (2,1) phi cú ớt nht nam; gia nhúm (1,1) phi cú ớt nht nam 0,5 0,5 Nh th ch cú cỏch xp ch nht tha món: GBBGGBBG Nu n to thnh nhúm (2,2): Ta cú cỏc dng sau: + GGBBBBGG: Cú 2! cỏch + BGGBBBGG hoc GGBBBGGB: cú 1.2=2 cỏch + BBGGBBGG hoc GGBBGGBB: cú 1.2=2 cỏch + BGGBBGGB: cú cỏch 0,5 Vy TH ny cú cỏch Nu n to thnh nhúm (3,1): Ta cú cỏc dng sau: + GGGBBBBG hoc GBBBBGGG + BGGGBBBG hoc GBBBGGGB 0,5 + BBGGGBBG hoc GBBGGGBB Tng t s cú 2! cỏch Nu n to thnh nhúm (4): Ta cú cỏc dng sau: + GGGGBBBB hoc BBBBGGGG + BGGGGBBB hoc BBBGGGGB 0,5 + BBGGGGBB Tng t cú 3!.2 2!.2 2! 18 cỏch Vy tng s cỏch xp ch tha l 4!1 18 816 cỏch - Ht - 0,5 ... hn ì 25 = 100, mõu thun Danh sỏch cỏc thy cụ xut bi Thy Nguyn Sn H: Cõu lp 10 v Cõu lp 11 Thy Nguyn Minh H: Cõu lp 11 Thy H Duy Hng: Cõu 2,3,4 lp 10 v Cõu 1,4 lp 11 Biờn son thi: ... tớch m cỏc nhõn t ch khỏc v th t thỡ ch c tớnh ln? P N V BIU IM XUT THI HC SINH GII KHU VC DUYấN HI - BBB 2015 Mụn: Toỏn Lp 11 Cõu 1:(4 im) Cho x, y, z dng tha xy + yz + zx + 2xyz = Chng minh:... khụng ln hn 100 Chng minh rng tn ti hỡnh vuụng 25 ì 25 vi cỏc cnh l cỏc ng li cho tng tt c cỏc s hỡnh vuụng ú cú tr tuyt i khụng ln hn 25 Hng dn gii thi lp 10 u tiờn y = khụng tha Vi y = 0, chia