SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐĂK LĂK KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2016 – 2017 MÔN THI: TOÁN – THCS ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 05/4/2017 Bài 1: (4 điểm)   a  1 a    a  1 a      a  a  a  a  a   1) Cho số thực a, mà a > Rút gọn biểu thức: A     x  3x y  y  2) Giải hệ phương trình sau: 16  3 y  x Bài : (4 điểm) 1) Tìm m để phương trình x   2m  1 x  3m   có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x12  x22  2) Cho số thực b thỏa mãn điều kiện đa thức P  x   x  bx  2017 có giá trị nhỏ số thực dương Chứng minh hai phương trình x  12 10 x  b  x  12 10 x  b  có hai nghiệm phân biệt Bài 3: (4 điểm) 1) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn phương trình  x  y 2) Với số tự nhiên n , ta đặt M  n   2n  24n 1n Chứng minh số 2M  n  chia hết cho 31 Bài 4: (4 điểm) Cho đường tròn (O) có tâm O Dây AB cố định đường kính Gọi I trung điểm đoạn AB Trên cung nhỏ AB lấy hai điểm C, E cho góc CIA EIB góc nhọn CI cắt đường tròn (O) điểm D khác C EI cắt đường tròn (O) điểm F khác E Các tiếp tuyến với đường tròn (O) C D cắt M; tiếp tuyến với đường tròn (O) E F cắt N Nối OM cắt CD P ON cắt EF Q Chứng minh rằng: 1) Tứ giác PQNM nội tiếp 2) MN song song với AB Bài 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC cân C, có góc đỉnh 360 Chứng minh AC   AB Bài 6: (2 điểm) Cho hai số thực a, b thay đổi cho  a  2;1  b  Tìm giá trị lớn biểu thức A   a  b    2   b  a    a b  b a G GVV:: N Ngguuyyễễnn D Dưươơnngg Hả Hảii –– TTH HC CSS PPhhaann C Chhuu TTrriinnhh –– BBM MTT –– Đ Đăăkk LLăăkk ((SSưưuu ttầầm m và ggiiớớii tthhiiệệuu)) ttrraanngg 11 BÀI GIẢI Bài 1: (4 điểm)  a 1 1   a  1 a    a  1 a     1) A         a  a  a  a  a   a  a 1 1   a 1  a 1  a 1  a 1  a   a 1        a  a 1 1 a 1      a  a   a  a   a   a   0, a    a  x  3x y  y   2) 16 (ĐK: x  0, y  )  *  y   x   x 1    1  16  y   x  1 x  y     x  Ta có *   16   3 y    x  y    x   16 2   y   x                 a 1 1   a        x 1 x 1   Giải 1    121 (TMĐK) 3 y  11  y    x  y 1   x  y    x  y 1  x  y  Giải    16    3y  y    y  y    y 1  y   y    x  (TMĐK) ( y   y  )   y 1    x 1 x  Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  121  y 1  y  Bài : (4 điểm) 2 1) Ta có:    2m  1   3m  1   m  1   với m Nên phương trình có hai  x1  x2    2m  1 nghiệm phân biệt với m Theo Vi ét, ta có:   x1 x2  3m  Khi x12  x22    x1  x2   x1 x2  m    2m  1   3m  1   2m  m     m  1 2m  1    m    2 2 b b2 b2 b2 2) P  x   x  bx  2017   x    2017   2017  Do Min P  x   2017  2 4  G GVV:: N Ngguuyyễễnn D Dưươơnngg Hả Hảii –– TTH HC CSS PPhhaann C Chhuu TTrriinnhh –– BBM MTT –– Đ Đăăkk LLăăkk ((SSưưuu ttầầm m và ggiiớớii tthhiiệệuu)) ttrraanngg 22 b2   b   2017  2 2017  b  2017 Phương trình: x  12 10 x  b  có 1  360  4b Ta có 2017  Phương trình: x  12 10 x  b  có 2  360  4b 360  2017  360  4b  360  2017     2  360  2017  360  4b  360  2017 Mà 2 2017  b  2017   Vậy hai phương trình có hai nghiệm phân biệt Bài 3: (4 điểm)  y   2m  1)  x  y   y  1 y  1  x   y   2n mn  x  1 2  Từ (1) (2)  2m  2n   22   m  2, n   x  3, y  2) +) Nếu n chẵn  n   n  4t  t  N   2n  24t  16 t  5k1   k  N  4n   n  4p  1 p  N   4n 1 n  24p 1  16p  5k   k  N  Nên M  n   5k   k  N   2M n    25k 3    32k  131 (1) +) Nếu n lẽ  n  4t  1 t  N   2n  24t 1  16 t  5k   k  N  4n   n  4p  p  N   24n 1 n  24p  16 p  5k   k  N  Nên M  n   5k   k  N   2M n    25k 3    32k  131 (2) Từ (1) (2) suy 2M  n  chia hết cho 31 Bài 4: (4 điểm) D O P F Q A I C B E N 1) Tứ giác PQNM nội tiếp T Ta có: OC = OD (bán kính), MC = MD (MC, MD hai tiếp tuyến (O))  OM trung trực CD  OM  DP   900 (MD tiếp tuyến (O) D), OM  DP (cmt) Xét ODM: ODM  OD2 = OP.OM (a) Chứng minh tương tự có: OF2 = OQ.ON (b) Lại có OD = OF (bán kính) M OP ON  OQ OM  (góc chung); OP  ON (cmt) Xét OPQ ONM có: O OQ OM Từ a), b), c)  OP.OM = OQ.ON  G GVV:: N Ngguuyyễễnn D Dưươơnngg Hả Hảii –– TTH HC CSS PPhhaann C Chhuu TTrriinnhh –– BBM MTT –– Đ Đăăkk LLăăkk ((SSưưuu ttầầm m và ggiiớớii tthhiiệệuu)) ttrraanngg 33   ONM   tứ giác PQNM nội tiếp (đpcm) Vậy OPQ ONM (c-g-c)  OPQ 2) MN song song với AB   OQI   900 (theo câu a) Tứ giác OPIQ có: OPI   QPI  (góc nội tiếp chắn cung QI ) Vậy tứ giác OPIQ nội tiếp  QOI   OPQ  (cmt)  QOI   ONM   QPI   OPQ   OPI   90 (do OM  DP) Lại có ONM  ONT vuông T (T giao điểm OI MN)  OI  MN, mặt khác OI  AB (vì IA  IB  AB (gt)) Vậy AB // MN (đpcm) C Bài 5: (2 điểm) 0    CBA   180  ACB  180  36  72 (ABC cân C) Ta có CAB 2    360 Kẻ phân giác BD góc ABC  CBD  ABD 36 x D Chứng minh BDC cân D, ABD cân B Đặt AC = BC = x, AB = BD = CD = a (x, a > 0) Mặt khác BD phân giác ABC A CD AD CD  AD AC a x nên       x  ax  a   * BC AB BC  AB BC  AB x xa  a B  1 AC  a 1 a (vì x > 0)   :a  AB 2 x  y  Bài 6: (2 điểm) Áp dụng BĐT xy  2 4  2 a b  a  b       a b a b  2 Ta có: A   a  b    b  a     a b  b a  4 Đặt a   x  a   x  4; b   y  b   y  a a b b Lại có  a  2,  b  suy a  3a   2  3 0 x 3  a  1 a     a  3a   a   a a a b  3b   2 b  b    b  b   b    3 0 y 3    b b b Giải phương trình (*) ta x  x  y  x Nên A   y  8 3     8   64 4  2 a  b  a  b  b  a  b  a  a  b  Đẳng thức xảy  a  1 a     a  b   b  1 b      a  b  Vậy Max(A) = 64   a  b  G GVV:: N Ngguuyyễễnn D Dưươơnngg Hả Hảii –– TTH HC CSS PPhhaann C Chhuu TTrriinnhh –– BBM MTT –– Đ Đăăkk LLăăkk ((SSưưuu ttầầm m và ggiiớớii tthhiiệệuu)) ttrraanngg 44 ...   OQI   90 0 (theo câu a) Tứ giác OPIQ có: OPI   QPI  (góc nội tiếp chắn cung QI ) Vậy tứ giác OPIQ nội tiếp  QOI   OPQ  (cmt)  QOI   ONM   QPI   OPQ   OPI   90 (do OM ... Ta có: OC = OD (bán kính), MC = MD (MC, MD hai tiếp tuyến (O))  OM trung trực CD  OM  DP   90 0 (MD tiếp tuyến (O) D), OM  DP (cmt) Xét ODM: ODM  OD2 = OP.OM (a) Chứng minh tương tự có: