PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP HUYỆN THẠCH THÀNH MÔN: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC: 2016 – 2017 (Đề thi gồm 01 trang) Ngày thi: 03/04/2017 Thời gian: 120 phút không tính thời gian ghi đề Câu 1: (4,0 điểm) Tính giá trị biểu thức sau: a) A = 68.74 + 27.68 – 68 b) B = 23.53 – 3.{539 – [639 – 8.(78 : 76 + 20170)]}  151515 179   1500 1616  + 10 ÷−  − c) C =  ÷  161616 17   1600 1717        − 1÷ d) D =  − 1÷ − 1÷ − 1÷  2     100  Câu 2: (2,0 điểm) Tìm số nguyên x, biết: a) 2016 : [25 – (3x + 2)] = 32.7 b) x x x x x x x x x x 220 + + + + + + + + + = 10 15 21 28 36 45 55 66 78 39 Câu 3: (3,0 điểm) a) Cho A = + 32 + 33 + 34 + … + 390 Chứng minh A chia hết cho 11 13 b) Tìm tất cặp số nguyên x, y cho: xy – 2x + y + = Câu 4: (4,0 điểm) a) Tìm số tự nhiên lớn có chữ số, cho chia cho dư chia cho 31 dư 28 b) Tìm số nguyên n để phân số 4n + có giá trị số nguyên 2n − Câu 5: (5,0 điểm) Vẽ hai góc kề bù xOy zOy Vẽ tia Om tia On theo thứ tự tia phân giác góc xOy góc zOy Vẽ tia Om' tia đối tia Om a) Tính số đo góc mOn · 'Oz = 300 b) Tính số đo góc kề bù với góc yOm, biết m c) Cần vẽ thêm tia phân biệt chung gốc O không trùng với tia vẽ hình để tạo thành tất 300 góc Câu 6: (2,0 điểm) a) Tìm số tự nhiên a b thỏa mãn: (100a + 3b + 1)(2a + 10a + b) = 225 b) Cho A = 1 1 + + + + 1+ 1+ + 1+ + + + + + + + 2017 Chứng minh A < ĐÁP ÁN Câu 1: (4,0 điểm) a) A = 68.74 + 27.68 – 68 = 68.(74 + 27 – 1) = 68.100 = 6800 b) B = 23.53 – 3.{539 – [639 – 8.(78 : 76 + 20170)]} B = 8.125 – 3.{539 – [639 – 8.(72 + 1)]} B = 1000 – 3.{539 – [639 – 8.(49 + 1)]} B = 1000 – 3.{539 – [639 – 8.50]} B = 1000 – 3.{539 – [639 – 400]} B = 1000 – 3.{539 – 239} B = 1000 – 3.300 B = 1000 – 900 B = 100  151515 179   1500 1616  + 10 ÷−  − c) C =  ÷  161616 17   1600 1717   15.10101   15 16.101  + ÷−  − C=  ÷  16.10101 17   16 17.101  C= 15 15 16 + − + 16 17 16 17  15 15   16  C =  − ÷+  + ÷  16 16   17 17  C=0+1 C=1       − 1÷ d) D =  − 1÷ − 1÷ − 1÷  2     100   −  −  − 16   − 1000  D =  ÷ ÷ ÷  ÷      100  D= Câu 2: −3 −8 −15 −9999 2 1002 D= − 1.3 2.4 3.5 99.101 22 32 42 1002 D= − (1.2.3 99)(3.4.5 101) (2.3.4 100).(2.3.4 100) D= − 1.101 100.2 D= − 101 200 a) 2016 : [25 – (3x + 2)] = 32.7 2016 : [25 – (3x + 2)] = 9.7 2016 : [25 – (3x + 2)] = 63 25 – (3x + 2) = 2016 : 63 25 – (3x + 2) = 32 b) 3x + = 25 – 32 3x + =–7 3x =–9 x =–3 x x x x x x x x x x 220 + + + + + + + + + = 10 15 21 28 36 45 55 66 78 39 1 1  220 1 1 1 ⇔ x  + + + + + + + + + ÷=  10 15 21 28 36 45 55 66 78  39 1 1 1 1  220 1 ⇔ 2x  + + + + + + + + + ÷=  12 20 30 42 56 72 90 110 132 156  39 1 1 1 1  220  ⇔ 2x  + + + + + + + + + ÷=  3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10 10.11 11.12 12.13  39  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  220 ⇔ 2x  − + − + − + − + − + − + − + − + − + − ÷ =  4 5 6 7 8 9 10 10 11 11 12 12 13  39  1  220 ⇔ 2x  − ÷ =  13  39 ⇔ 2x 10 220 = 39 39 ⇔ 2x = 220 10 : 39 39 ⇔ 2x = 22 ⇔ x = 11 Câu 3: a) A có 90 số hạng mà 90 M5 nên: A = + 32 + 33 + 34 + … + 390 A = (3 + 32 + 33 + 34 + 35) + (36 + 37 + 38 + 39 + 310) + … + (386 + 387 + 388 + 389 + 390) A = 3.(1 + + 32 + 33 + 34) + 36.(1 + + 32 + 33 + 34) + … + 386.(1 + + 32 + 33 + 34) A = 3.121 + 36.121 + … + 386.121 A = 121(3 + 36 + … + 386) A = 11.11(3 + 36 + … + 386) M11 ⇒ A M11 A có 90 số hạng mà 90 M3 nên: A = + 32 + 33 + 34 + … + 390 A = (3 + 32 + 33) + (34 + 35 + 36) + … + (388 + 389 + 390) A = 3.(1 + + 32) + 34.(1 + + 32) + … + 388.(1 + + 32) A = 3.13 + 34.13 + … + 388.13 A = 13(3 + 34 + … + 388) M11 ⇒ A M13 b) Ta có: xy – 2x + y + = ⇔ x(y – 2) + (y – 2) + = – ⇔ (x + 1)(y – 2) = – = (– 3) = ( – 3).1 Ta có bảng sau: x+1 y–2 x y –3 –1 –3 –4 Câu 4: a) Gọi số cần tìm a ( a ∈ N,100 ≤ a ≤ 999 ) Vì a chia cho dư chia cho 31 dư 28 nên: 8 8 a − M  a − + 8M a + 1M a + + 64M a + 65M ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  a − 28M31 a − 28 + 31M31 a + 3M31 a + + 62M31 a + 65M31 Vì (8, 31) = nên a + 65 M(8.31) hay a + 65 M248 ⇔ a = 248k – 65 (k ∈ N*) Vì a số có chữ số lớn nên k = 4, a = 248.4 – 65 = 927 Vậy số cần tìm 927 b) Ta có: 4n + 4n − + n(2n − 1) + 7 = =n+ = 2n − 2n − 2n − 2n − Vì n nguyên nên để 4n + nguyên nguyên hay 2n – ∈ Ư(7) = {–7; –1; 1; 7} 2n − 2n − ⇔ 2n ∈ {– 6; 0; 2; 8} ⇔ n ∈ {– 3; 0; 1; 4} Vậy với n ∈ {– 3; 0; 1; 4} 4n + có giá trị số nguyên 2n − Câu 5: (5,0 điểm) · · · · a) Vì xOy kề bù với zOy nên: xOy + zOy = 1800 · Vì tia Om tia phân giác xOy nên: 1· · mOy = xOy · Vì tia On tia phân giác zOy nên: 1· · nOy = zOy · · Vì xOy kề bù với zOy nên tia Oy nằm hai tia Ox Oz mà tia Om tia phân giác · · tia On tia phân giác zOy nên tia Oy nằm hai tia Om On, đó: xOy · · · + yOn = mOn mOy ⇔ 1· 1· · xOy + zOy = mOn 2 ⇔ · · · xOy + zOy = mOn ⇔ · 1800 = mOn ( ) · ⇔ mOn = 900 · 'Oz kề bù với zOm · b) Vì hai tia Om Om' đối nhau, m · 'Oz + zOm · ⇒ m = 1800 ⇔ 300 · + zOm = 1800 · = 1500 zOm ⇔ · · Vì hai tia Ox Oz đối nhau, zOm kề bù với mOx · · ⇒ zOm + mOx = 1800 · ⇔ 1500 + mOx = 1800 ⇔ · = 300 mOx · · · Vì tia Om tia phân giác xOy nên: mOy = 300 = mOx · · Vì hai tia Om Om' đối nhau, yOm kề bù với yOm ' · · ⇒ yOm + yOm ' = 1800 · ⇔ 300 + yOm ' = 1800 ⇔ · yOm ' = 1500 c) Giả sử cần vẽ thêm n tia phân biệt chung gốc O không trùng với tia vẽ hình để tạo thành tất 300 góc Khi tổng số tia gốc O hình n + Cứ tia gốc O tạo với n + tia gốc O lại thành n + góc, mà có n + tia nên tạo thành: (n + 5)(n + 6) góc Vì tia tạo với ngược lại nên góc tính hai lần, suy số góc tạo thành là: (n + 5) ( n + ) góc Vì có 300 góc tạo thành nên: ⇔ n + = 24 ⇔ n = 19 Câu 6: (n + 5) ( n + ) = 300 ⇔ (n + 5)(n + 6) = 600 = 24.25 100a + 3b + a) Ta có: (100a + 3b + 1)(2a + 10a + b) = 225 (1) 225 lẻ nên  a lẻ (2)  + 10a + b *) Với a = 0: (1) ⇔ (100.0 + 3b + 1)(20 + 10.0 + b) = 225 ⇔ (3b + 1)(1 + b) = 225 = 32.52 3b + = 25 ⇔ b=8 Vì 3b + chia cho dư 3b + > + b nên: (3b + 1)(1 + b) = 25.9  1 + b = *) Với a số tự nhiên khác 0: Khi 100a chẵn, từ (2) ⇒ 3b + lẻ ⇒ b chẵn ⇒ 2a + 10a + b chẵn, trái với (2) nên b ∈∅ Vậy: a = ; b = b) Ta có: A= 1 1 + + + + 1+ 1+ + 1+ + + + + + + + 2017 1 1 + + + + (1 + 2017).1009 A = (1 + 3).2 (1 + 5).3 (1 + 7).4 2 2 A= 2 2 + + + + 2.4 3.6 4.8 1009.2018 A= 1 1 + + + + 2.2 3.3 4.4 1009.1009 A<  1  + + + + ÷ 2.2  2.3 3.4 1008.1009  A< 1 1 1  +  − + − + + − ÷ 2 3 1008 1009  A< 1  + − ÷  1009  A< 1 + A< ... C =  ÷  161 6 16 17   160 0 1717   15.10101   15 16. 101  + ÷−  − C=  ÷  16. 10101 17   16 17.101  C= 15 15 16 + − + 16 17 16 17  15 15   16  C =  − ÷+  + ÷  16 16   17 17...ĐÁP ÁN Câu 1: (4,0 điểm) a) A = 68 .74 + 27 .68 – 68 = 68 .(74 + 27 – 1) = 68 .100 = 68 00 b) B = 23.53 – 3.{539 – [63 9 – 8.(78 : 76 + 20170)]} B = 8.125 – 3.{539 – [63 9 – 8.(72 + 1)]}... 100).(2.3.4 100) D= − 1.101 100.2 D= − 101 200 a) 20 16 : [25 – (3x + 2)] = 32.7 20 16 : [25 – (3x + 2)] = 9.7 20 16 : [25 – (3x + 2)] = 63 25 – (3x + 2) = 20 16 : 63 25 – (3x + 2) = 32 b) 3x + = 25 – 32 3x