Header Page of 161 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Phạm Thị Tâm ĐỊNH LÝ BẤT KHẢ QUY CỦA ABEL KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Phạm Thị Tâm ĐỊNH LÝ BẤT KHẢ QUY CỦA ABEL Chuyên ngành: Đại số KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC Th.s Nguyễn Huy Hưng Hà Nội – Năm 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 Lời cảm ơn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc Th.s Nguyễn Huy Hưng - Người tận tình hướng dẫn giúp đỡ em để em hoàn thành khóa luận Đồng thời, em xin trân thành cảm ơn thầy cô tổ Đại số thầy cô khoa Toán-Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, ban chủ nhiệm khoa Toán tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt khóa luận Trong khuôn khổ khóa luận, điều kiện thời gian, trình độ có hạn lần nghiên cứu khoa học không tránh khỏi hạn chế thiếu sót định Vì vậy, em kính mong nhận đóng góp thầy cô bạn Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày tháng 05 năm 2016 Sinh viên Phạm Thị Tâm i Footer Page of 161 Header Page of 161 Lời cam đoan Khóa luận kết thân đạt trình học tập nghiên cứu, dẫn Th.s Nguyễn Huy Hưng giúp đỡ Thầy, Cô khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Thầy, Cô trực tiếp giảng dạy Trong nghiên cứu, hoàn thành khóa luận tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Tôi xin khẳng định kết đề tài "Định lý bất khả quy Abel " trùng lặp với kết đề tài khác Hà Nội, ngày tháng 05 năm 2016 Sinh viên Phạm Thị Tâm ii Footer Page of 161 Header Page of 161 Mục lục Lời mở đầu 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Nhóm,Vành,Miền nguyên,Trường 1.2 Đa thức 1.3 Nhóm số 1.4 Một số khái niệm bổ trợ khác 10 PHÉP GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH BẬC THẤP 2.1 13 Một số khái niệm 13 2.1.1 Phương trình 13 2.1.2 Phương trình tương đương 14 2.1.3 Các phép biến đổi tương đương phương trình 14 2.2 Giải phương trình tổng quát bậc hai 18 2.3 Giải phương trình tổng quát bậc ba 19 2.4 Giải phương trình tổng quát bậc bốn 20 ĐỊNH LÝ BẤT KHẢ QUY CỦA ABEL 3.1 Một số định lý liên quan i Footer Page of 161 23 23 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.2 Phạm Thị Tâm 3.1.1 Bổ đề Abel 23 3.1.2 Định lý Gauss 24 3.1.3 Tiêu chuẩn Eisenstein 26 3.1.4 Định lý Sturm 27 3.1.5 Định lý Waring 28 Định lý bất khả quy Abel 28 3.2.1 Định lý 29 3.2.2 Hệ luận 30 3.2.3 Một số phương trình bậc n >4 giải đại số 3.2.4 34 Phương trình bậc n >4 không giải đại số 39 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 ii Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Tâm Lời mở đầu Bộ môn đại số có vị trí quan trọng Toán học Loài người biết giải phương trình bậc từ trước Công nguyên đến thời kì Phục hưng, khoảng kỉ 16 sau Công nguyên, với đời số phức người ta đưa công thức nghiệm phương trình đại số tổng quát có bậc không vượt bốn Các kết tạo động lực thúc nhà toán học nhiều kỉ tìm công thức nghiệm tổng quát phương trình đại số bậc năm Và câu trả lời đến từ hai nhà toán học Niels Henrik Abel Évariste Galois.Niels Henrik Abel, nhà toán học xuất sắc Na Uy, đưa ý kiến quan trọng: phương trình bậc cao bốn dạng tổng quát giải tốt phương pháp đại số túy Nói cách khác, Abel muốn cho thấy nghiệm phương trình hoàn toàn biểu diễn phép tính cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa khai Lý luận Abel quan trọng, mở đường cho nhà toán học khác, đặc biệt Galois, tìm hướng để giải triệt để vấn đề công thức nghiệm tổng quát phương trình bậc n E.Galois (1811 - 1832) thiên tài toán học người Pháp chứng minh lí thuyết nhóm phương trình bậc n, n>4 giải tổng quát thức (không có công thức thức tổng quát biểu diễn nghiệm hệ số phương trình tổng quát bậc lớn 4) Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Tâm Cũng từ trở đi, lý thuyết phương trình không đóng vai trò chủ đạo môn Đại số mà đối tượng phân môn nhóm, vành, trường Có thể nói định lý bất khả quy Abel công trình nghiên cứu đặt dấu chấm hết cho trình tìm cách giải phương trình bậc cao bốn, đồng thời mở bước phát triển cho đại số đại Tuy nhiên nay, Việt Nam, tài liệu định lý chưa nhiều nên em mạnh dạn lựa chọn đề tài ”Định lý bất khả quy Abel ” Khóa luận gồm ba chương Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Cách giải phương trình bậc thấp Chương Định lý bất khả quy Abel Chương dành cho việc trình bày lí thuyết bổ trợ liên quan lý thuyết trường, đa thức, nhóm số khái niệm phục vụ cho nội dung chứng minh phía sau Ở chương 2, em trình bày số khái niệm liên quan cách giải phương trình bậc thấp bao gồm: phương trình bậc hai, phương trình bậc ba, phương trình bậc bốn Chương nội dung khóa luận Phần đầu chương em dành để đưa số định lý liên quan Tiếp đó, em trình bày định lý, cách chứng minh định lý bất khả quy Abel hai hệ luận quan trọng suy từ định lý Cuối số phương trình có bậc lớn bốn giải đại số không giải đại số Phương pháp nghiên cứu đề tài đọc tài liệu trao đổi kinh Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Tâm nghiệm Hà Nội, ngày tháng 05 năm 2016 Sinh viên Phạm Thị Tâm Footer Page of 161 Header Page 10 of 161 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Nhóm,Vành,Miền nguyên,Trường Định nghĩa 1.1 Ta gọi phép toán hai (hay gọi tắt phép toán) tập hợp X = ∅ ánh xạ f từ X × X đến X Giá trị f (x, y) f (x, y) gọi hợp thành x y Cái hợp thành x y thường kí hiệu cách viết x y theo thứ tự định với dấu đặc trưng cho phép toán đặt x, y Trong dấu mà người ta hay dùng tới nhiều nhất, dấu + ; dấu người ta thường quy ước bỏ đi; với dấu đó, hợp thành x y viết x + y, x.y hay xy Một phép toán hai kí hiệu dấu + gọi phép cộng, hợp thành x + y lúc gọi tổng x y; phép toán hai kí hiệu dấu gọi phép nhân, hợp thành x.y hay xy lúc gọi tích x y Người ta dùng kí hiệu x ◦ y, x ∗ y, x⊥y Một phép toán hai ”∗ ” tập hợp X gọi kết hợp (x∗ y)∗ z = x∗ (y ∗ z), ∀x, y, z ∈ X; giao hoán Footer Page 10 of 161 Header Page 37 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Tâm Hiệu số số lượng thay đổi dấu chuỗi Sturm hình thành cho hai đầu mút −∞ +∞ 3, phương trình có ba nghiệm thực hai nghiệm lại hai nghiệm phức 3.1.5 Định lý Waring Trong lý thuyết số, định lý Waring đề xướng vào năm 1770 Edward Waring Ông rằng: với số tự nhiên k, tồn số nguyên dương s cho số tự nhiên tổng nhiều s số hạng lũy thừa k m x= k (m ≤ s) i=1 Ví dụ Mỗi số tự nhiên tổng nhiều số bình phương, số lập phương 19 số hạng lũy thừa bốn Định lý chứng minh đầy đủ Hilbert vào năm 1909, sau biết đến với tên gọi định lý Hilbert - Waring 3.2 Định lý bất khả quy Abel Đa thức khả quy bất khả quy đặt quan hệ đa thức chúng đóng vai trò giống hợp số số nguyên tố đóng vai trò số nguyên Vì vậy, đa thức khả quy phân tích thành tích hữu hạn đa thức bất khả quy Tất định lý có liên quan trình bày dựa định lý bất khả quy Abel hay gọi định lý hàm bất khả quy Footer Page 37 of 161 28 Header Page 38 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.2.1 Phạm Thị Tâm Định lý Cho phương trình f (x) = a0 + a1 x + + an−1 xn−1 + xn = (1) bất khả quy R Nếu nghiệm phương trình bất khả quy (1) nghiệm phương trình F (x) = R tất nghiệm phương trình (1) nghiệm phương trình F (x) = Đồng thời F (x) chia hết cho f (x) hàm dư, tức F (x) = f (x).F1 (x) (F1 (x) ∈ R[x]) Chứng minh Ta chứng minh định lý dựa thuật toán Ơclit, thuật toán quen thuộc tìm ước chung lớn hai đa thức F (x) f (x) R F (x) = F1 (x).g(x); f (x) = f1 (x).g(x), Thuật toán dẫn đến chuỗi phép chia để cuối rút g(x) = V (x).F (x) + v(x).f (x), tất hàm đa thức R Nếu hàm F (x) f (x) ước số chung g(x) số, mà ta đặt số Tuy nhiên, theo giả thiết, f (x) bất khả quy nghiệm α phương trình f (x) = nghiệm phương trình F (x) = nên thực có ước số chung, bậc (x − α),  F (x) f (x) Khi đó, f bất khả  f1 (x) = quy f (x) = f1 (x).g(x) nên  f (x) = g(x) Footer Page 38 of 161 29 Header Page 39 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Tâm Thay vào phương trình F (x) = F1 (x).g(x) ta F (x) = F1 (x).f (x) Do vậy, F (x) f (x) nghiệm f (x) nghiệm F (x) 3.2.2 Hệ luận Định lý trực tiếp dẫn đến hai hệ luận quan trọng sau (I) Cho phương trình f (x) = bất khả quy R Nếu nghiệm phương trình f (x) = nghiệm phương trình F (x) = R, có bậc thấp bậc f , tất hệ số F không (II)Nếu f (x) = phương trình bất khả quy nhóm R, phương trình bất khả quy khác R có nghiệm chung với f (x) = Định lý Cho phương trình f (x) = xn + a1 xn−1 + + an−1 x + an = (1) bất khả quy bậc n R Gọi α nghiệm phương trình (1) Khi đó, số nhóm R(α) biểu diễn đa thức bậc (n − 1) α với hệ số R-số Và cách biểu diễn Chứng minh Gọi ζ số nhóm R(α) (được xác định phép nghiệm α phương trình (1) R) Theo định nghĩa 1.17, ta biểu diễn ζ = Ψ(α)/Φ(α) Ψ, Φ đa thức R Có α nghiệm phương trình (1) ⇒ f (α) = hay αn + a1 αn−1 + + an−1 α + an = Footer Page 39 of 161 30 Header Page 40 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Tâm ⇒ αn = −a1 αn−1 − − an−1 α − an Do đó, lũy thừa α có số mũ n lớn n biểu diễn lũy thừa αn−1 , αn−2 , , α đó, biểu diễn ζ = ψ(α)/ϕ(α), (với ϕ(α) = 0) ψ, ϕ đa thức R có bậc không lớn (n -1) Lại có, phương trình f (x) = phương trình bất khả quy bậc n nhóm R, ϕ(x) = 0, degϕ(x) ≤ n − 1, nên theo hệ luận I, f (x) ϕ(x) ước số chung nào, tức (f (x), ϕ(x)) = ⇒ ∃u(x), v(x) ∈ R[x] cho u(x).ϕ(x) + v(x).f (x) = Thay x = α ta u(α).ϕ(α) = (do f (α) = 0) suy = u(α) ϕ(α) Suy ζ = ψ(α)/ϕ(α) = u(α).ψ(α) Khai triển tích u(α).ψ(α) lại biểu diễn lũy thừa α có số mũ n lớn n qua lũy thừa αn−1 , αn−2 , , α Cuối ta thu ζ = C0 + C1 α + + Cn−2 αn−2 + Cn−1 αn−1 (Ci ∈ R-số, i = 0, n − 1) Giả sử có cách biểu diễn ζ = d0 + d1 α + + dn−2 αn−2 + dn−1 αn−1 , di = Ci , di ∈ R-số, i = 0, n − Ta có C0 + C1 α + + Cn−2 αn−2 + Cn−1 αn−1 = d0 + d1 α + + dn−2 αn−2 +dn−1 αn−1 ⇒ (C0 −d0 )+(C1 −d1 )α+ +(Cn−2 −dn−2 )αn−2 +(Cn−1 −dn−1 )αn−1 = Tức α nghiệm phương trình (C0 −d0 )+(C1 −d1 )α + +(Cn−2 −dn−2 )αn−2 +(Cn−1 −dn−1 )αn−1 = (2) phương trình có bậc n − Theo hệ luận I đó, tất hệ số phương trình (2) không tức Ci = di Footer Page 40 of 161 31 Header Page 41 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Tâm (∀i = 0, n − 1) Như vậy, hàm f (x) bất khả quy R lại khả quy R(α) với α nghiệm phương trình f (x) = Đây ví dụ đơn giản hàm bất khả quy nhóm trở thành khả quy qua phép nghiệm Ta xét trường hợp tổng quát hơn, mà đó, hàm f (x), có bậc nguyên tố p, bất khả quy R trở thành khả quy qua qua phép nghiệm phương trình bất khả quy g(x) = bậc q khác R Ta có định lý sau Định lý Cho hai phương trình bất khả quy R f (x) = xp + a1 x + + ap−1 x + ap = (với p số nguyên tố) g(x) = xq + b1 x + + bq−1 x + bq = Gọi α nghiệm phương trình g(x) = Khi đó, f (x) khả quy R(α) q p Chứng minh Giả sử có f (x) khả quy R(α), tức f (x) phân tích thành tích hai đa thức ψ(x, α) ϕ(x, α) có bậc tương ứng m n f (x) = ψ(x, α).ϕ(x, α) ⇒ f (r) = ψ(r, α).ϕ(r, α) với r số hữu tỷ ⇒ f (r) − ψ(r, α).ϕ(r, α) = hay hàm u(x) = f (r) − ψ(r, α).ϕ(r, α) R nhận α nghiệm Theo định lý hàm bất khả quy (định lý bất khả quy Abel) ta có: gọi α, α , α , nghiệm phương trình Footer Page 41 of 161 32 Header Page 42 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Tâm bất khả quy g(x) = α, α , α , nghiệm phương trình u(x) = Do g(x) có bậc q nên phương trình g(x) = có nhiều q nghiệm (định lý 1.2) Do α nghiệm phương trình u(x) = ⇒ f (r) − ψ(r, α ).ϕ(r, α ) = ∀r hữu tỷ, ⇒ f (x) − ψ(x, α ).ϕ(x, α ) = ∀x hữu tỷ Hoàn toàn tương tự f (x) − ψ(x, α ).ϕ(x, α ) = ∀x hữu tỷ, f (x) − ψ(x, α ).ϕ(x, α ) = ∀x hữu tỷ Khi đó, từ q phương trình f (x) = ψ(x, α).ϕ(x, α) f (x) = ψ(x, α ).ϕ(x, α ) f (x) = ψ(x, α ).ϕ(x, α ) tương ứng với q nghiệm α, α , α , phương trình bất khả quy g(x) = 0, cách nhân vế với vế, ta thu f q (x) = Ψ(x).Φ(x), Ψ(x) = ψ(x, α).ψ(x, α ).ψ(x, α ) đa thức bậc m.q, Φ(x) = ϕ(x, α).ϕ(x, α ).ϕ(x, α ) đa thức bậc n.q Rõ ràng Ψ(x) Φ(x) hàm đối xứng nghiệm α, α , α , phương trình g(x) = Do theo định lý Waring, Ψ(x) Φ(x) biểu diễn cách hợp lý theo hệ số g(x), cho Ψ(x) Φ(x) đa thức R Vì f q (x) = Ψ(x).Φ(x) nên β nghiệm phương trình bất khả quy f (x) = β nghiệm Ψ(x) β nghiệm Φ(x), mà Ψ(x) = 0, Φ(x) = 0, Footer Page 42 of 161 33 Header Page 43 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Tâm đó, theo định lý bất khả quy Abel, Ψ(x) Φ(x) chia hết cho f (x) hàm dư Do f (x) bất khả quy R nên f ước số hay Từ ta có   Ψ(x) = f µ (x) ⇒ (µ + ν = p)  Φ(x) = f ν (x)   degΨ(x) = degf µ (x) ⇒  degΦ(x) = degf ν (x)   m.q = µ.p  nq = ν.p   m.q p  n.q p m, n < p, p số nguyên tố, nên suy q p 3.2.3 Một số phương trình bậc n >4 giải đại số • Bổ đề 3.2.3 Cho phương trình bậc n (với n số nguyên tố lẻ) f (x) = bất khả quy nhóm R số hữu tỷ Nếu phương trình f (x) = giải cách đại số R phương trình f (x) = có nghiệm thực Chứng minh xn − = ⇔ (x − 1)(xn−1 + xn−2 + + x + 1) = √ 2π 2π Gọi η bậc n đơn vị, η = n = cos + i.sin Do nghiệm n n n n−1 phương trình x −1 = 1, 1.η, 1.η , , 1.η ; η không nghiệm đa thức x − nên η phải nghiệm phương trình Footer Page 43 of 161 34 Header Page 44 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Tâm xn−1 + xn−2 + + x + = Theo định lý 2, (n − 1) n (n số nguyên tố lẻ) nên f (x) không √ khả quy R(α) Với K ∈ R-số, đặt λ = p K (q số nguyên tố) cho f (x) bất khả quy nhóm R trở thành khả quy R(λ) tức f (x) = ψ(x, λ).ϕ(x, λ).χ(x, λ) Ở đây, ψ, ϕ, χ, đa thức bất khả quy R(λ) (nhưng không đa thức R) có hệ số đa thức λ R Do λ nghiệm phương trình bất khả quy xq = K (q số nguyên tố), mà f (x) khả quy R(λ) nên theo định lý ta có q n; n, q số nguyên tố nên suy q = n Khi đó, phương trình xq = K trở thành xn = K theo bổ đề Abel, n nghiệm phương trình bất khả quy xn = K R λ0 = λ, λ1 = λ.η, λ2 = λ.η , , λn−1 = λ.η n−1 Theo trên, ψ(x, λ) ước số f (x) (trong R(λ)); λ0 , λ1 , , λn−1 nghệm phương trình bất khả quy R xq = K nên theo phần chứng minh định lí 2, ψ(x, λi ) ước số f (x) (∀i = 1, n − 1) ψ(x, λi ) hàm bất khả quy R(λ) ( ψ(x, λ)) bất khả quy R(λ) Mặt khác, ta có ψ(x, λη µ ) = ψ(x, λη ν ), (∀µ = ν; µ, ν ∈ {0, 1, , n − 1}) Thật vậy, ngược lại, giả sử ∃µ, ν ∈ {0, 1, , n − 1}, µ = ν cho ψ(x, λη µ = ψ(x, λη ν ) Cũng theo chứng minh định lý 2, λ thay nghiệm λη µ−ν , từ suy ψ(x, λ) = ψ(x, λη µ−ν ) Đặt H = λη µ−ν Khi ψ(x, λ) = ψ(x, λH) Footer Page 44 of 161 35 Header Page 45 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Tâm ⇒ ψ(x, λH) = ψ(x, λH ) tương tự có ψ(x, λH ) = ψ(x, λH ) ⇒ ψ(x, λ) = ψ(x, λH) = ψ(x, λH ) = = ψ(x, λH n−1 ) ψ(x, λH) + ψ(x, λH ) + + ψ(x, λH n−1 ) ⇒ ψ(x, λ) = n Vế phải phương trình đa thức đối xứng n nghiệm λ, λH, λH , , λH n−1 phương trình xn = K, đồng thời đa thức x R, suy ψ(x, λ) đa thức x R Tuy nhiên theo trên, ψ(x, λ) không đa thức x R ( mâu thuẫn) ⇒ điều giả sử sai hay ψ(x, λη µ = ψ(x, λη ν ), (∀µ = ν; µ, ν ∈ {0, 1, , n − 1}) Do f (x) ψ(x, λi )∀i = 0, n − 1, nên đặt Ψ(x) = f Ψ, tức ∃U (x) đa thức x R cho n−1 ψ(x, λi ) i=0 f (x) = Ψ(x).U (x), (degU (x) < degf (x)) Lại có f (x) bất khả quy R nên U (x) = 1, f (x) = Ψ(x) = ψ(x, λ0 ).ψ(x, λ1 ).ψ(x, λ2 ) ψ(x, λn−1 ) Do đó, ψ(x, λi ) phải thừa số tuyến tính, tức là, ω0 , ω1 , , ωn−1 nghiệm x − ω0 , x − ω1 , , x − ωn−1 thừa số tuyến tính f (x), x − ω0 = ψ(x, λ0 ), x − ω1 = ψ(x, λ1 ), , x − ωn−1 = ψ(x, λn−1 ) Và ω0 = C0 + C1 λ0 + C2 λ0 + + Cn−1 λ0 n−1 ω1 = C0 + C1 λ1 + C2 λ1 + + Cn−1 λ1 n−1 ωn−1 = C0 + C1 λn−1 + C2 λn−1 + + Cn−1 λn−1 n−1 Footer Page 45 of 161 36 Header Page 46 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Tâm đó, tất Ci R-số Vì f (x) có bậc lẻ nên từ chứng minh ta kết luận: phương trình f (x) = có nghiệm thực • Định lý Kronecker Cho phương trình f (x) = bậc n (với n số nguyên tố lẻ) giải cách đại số bất khả quy R số hữu tỷ phương trình f (x) = có nghiệm thực có nghiệm thực Chứng minh Áp dụng bổ đề 3.2.3, phương trình f (x) = có nghiệm thực, không tính tổng quát ta giả sử nghiệm ω0 = C0 + C1 λ0 + C2 λ0 + + Cn−1 λ0 n−1 √ (trong λ0 = λ = n K nghiệm phương trình bất khả quy xn = K, Ci R-số, i = 0, n − 1) Khi đó, ta xét hai trường hợp Trường hợp Cơ số K khả quy λ số thực Trường hợp Cơ số K khả quy λ số phức Trường hợp Ở đây, ta giả định λ số thực, bậc n đơn vị thuộc nhóm R Khi ta có liên hợp phức ω0 ω0 = C0 + C1 λ0 + C2 λ0 + + Cn−1 λ0 n−1 , đó, Ci liên hợp phức Ci (i = 0, n − 1) R-số Theo giả thiết, ω0 số thực nên ω0 = ω0 ⇒ (C0 −C0 )+(C1 −C1 ).λ0 +(C2 −C2 ).λ0 + +(Cn−1 −Cn−1 ).λ0 n−1 = hay λ nghiệm phương trình bậc (n − 1) R Footer Page 46 of 161 37 Header Page 47 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Tâm (C0 − C0 ) + (C1 − C1 ).x + (C2 − C2 ).x2 + + (Cn−1 − Cn−1 ).xn−1 = Nhưng λ nghiệm phương trình bất khả quy bậc n xn = K (trên R) nên theo hệ luận I (phía sau định lý bất khả quy Abel), ta có C0 − C0 = C1 − C1 = C2 − C2 = = Cn−1 − Cn−1 = hay Ci − Ci , ∀i = 0, n − Các đại lượng Ci số thực (∀i = 0, n − 1) Hơn nữa, có ωv = C0 + C1 λv + C2 λv + + Cn−1 λv n−1 ωn−v = C0 +C1 λn−v +C2 λn−v + +Cn−1 λn−v n−1 (v ∈ {1, 2, , n−1) √ Nhưng λv = λ.η v λn−v = λ.η n−v = λ.η n η −v = λ.η −v ( η = n 1) liên hợp phức nên suy ωv ωn−v liên hợp phức, tức Phương trình f (x) = có nghiệm thực n − nghiệm phức liên hợp thành cặp(ω1 ωn−1 ; ω2 ωn−2 ; ) (I) Trường hợp Trong trường hợp này, khả quy λ0 = λ = √ √ n n K có liên hợp phức λ = K √ n Đặt Λ = λ.λ = K.K Rõ ràng Λ số thực Nếu riêng √ n phép Λ = K.K (tức λ) đủ để làm f (x) khả quy lúc Λ đóng vai trò λ, ta quay trường hợp 1, ta giả sử f (x) bất khả quy R(Λ) không trở thành khả quy bổ sung thêm phép λ Từ ω0 = C0 + C1 λ0 + + Cn−1 λ0 n−1 ω0 = C0 + C1 λ0 + + Cn−1 λ0 Footer Page 47 of 161 n−1 suy = C0 + C1 ( λΛ0 ) + + Cn−1 ( λΛ0 )n−1 38 Header Page 48 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Tâm Theo giả thiết, ω0 = ω0 nên C0 + C1 λ0 + + Cn−1 λ0 n−1 = C0 + C1 ( λΛ0 ) + + Cn−1 ( λΛ0 )n−1 Trong phương trình này, ngoại trừ λ0 , lại tất đại lượng thuộc nhóm R(Λ), phương trình xn = K (theo bổ đề Abel) bất khả quy nhóm này, ta thay λ0 phương trình nghiệm λv phương trình xn = K Hơn Λ Λ λ nữa, lại có = = = λ.η v = λ.η v = λv , nên ta λv λ.η v ηv C0 + C1 λv + + Cn−1 λv n−1 = C0 + C1 λv + + Cn−1 λv n−1 hay ωv = ωv , (v ∈ {1, 2, , n − 1}) Vì vậy, tất nghiệm phương trình f (x) = số thực (II) Từ (I) (II) ta có điều phải chứng minh 3.2.4 Phương trình bậc n >4 không giải đại số Ngoài trường hợp nói phương trình cao bậc bốn thường giải phương pháp đại số Ví dụ Xét phương trình bậc năm đơn giản x5 − a.x − b = giải cách đại số a  b số nguyên dương   a p, b p   thỏa mãn: tồn số nguyên tố p cho b p2     44 a5 > 55 b4   a p, b p Thật vậy, (a, b nguyên dương; p nguyên tố), nên theo  b p2 định lý Schoenemann, phương trình bất khả quy Giả thiết lại cho 44 a5 > 55 b4 , mà định lý Sturm chứng minh Footer Page 48 of 161 39 Header Page 49 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Tâm với điều kiện phương trình cho có ba nghiệm thực hai nghiệm phức Bởi vậy, phương trình cho không giải đại số theo tiêu chuẩn Eisenstein Cũng cách này, tương tự ta rằng, phương trình x7 − a.x − b = không giải đại số a vàb số nguyên dương thỏa  a p, b.p    mãn: tồn số nguyên tố p cho b p2     66 a7 > 77 b6 v v Footer Page 49 of 161 40 Header Page 50 of 161 Kết luận Trên toàn nội dung đề tài: "Định lý bất khả quy Abel" Trước tiên, em đưa hệ thống lý thuyết định lý, bổ đề bổ trợ làm tiền đề sở cho việc chứng minh định lý ứng dụng định lý bất khả quy Abel Nói chung, chứng minh khó đọc liên quan tới nhiều kiến thức phức tạp sơ cấp lẫn cao cấp Bởi vậy, khóa luận thực với mong muốn trình bày tường minh có hệ thống nội dung định lý hệ định lý bất khả quy Abel, số định lý quan trọng toán sơ cấp, qua giúp bạn đọc tiếp cận với định lý cách dễ dàng hơn, để từ sâu vào nghiên cứu lĩnh vực Đại số sơ cấp Hy vọng tài liệu góp ích phần bạn sinh viên quan tâm tới đại số nói riêng toán học nói chung Chắc chắn khóa luận tránh khỏi sai sót, em mong nhận đóng góp ý kiến chân thành thầy cô bạn Footer Page 50 of 161 41 Header Page 51 of 161 Tài liệu tham khảo [1] Ngô Thúc Lanh, (1987), Đại số số học tập 2, 3, NXB Giáo Dục [2] Nguyễn Tiến Quang, (2005), Cơ sở lý thuyết trường lý thuyết Galoa, NXB Đại học Sư Phạm [3] 100 toán quan trọng toán sơ cấp, trung tâm tư vấn xuất bản, (1999), NXB Giao thông vận tải Footer Page 51 of 161 42 ... 3.1.2 Định lý Gauss 24 3.1.3 Tiêu chuẩn Eisenstein 26 3.1.4 Định lý Sturm 27 3.1.5 Định lý Waring 28 Định lý bất khả quy Abel. .. liệu định lý chưa nhiều nên em mạnh dạn lựa chọn đề tài Định lý bất khả quy Abel ” Khóa luận gồm ba chương Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Cách giải phương trình bậc thấp Chương Định lý bất khả. .. Phần đầu chương em dành để đưa số định lý liên quan Tiếp đó, em trình bày định lý, cách chứng minh định lý bất khả quy Abel hai hệ luận quan trọng suy từ định lý Cuối số phương trình có bậc lớn