Trường THCS TÂN BÌNH Toán 8 PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC Nhắc Lại Kiến Thức Lớp 7: x m . x n = x m + n i Ví dụ: a) x 3 .x 5 = x 8 b) 2x 3 .5x 2 = 2.5.x 3 .x 2 = 10x 5 c) 3xy 2 .(– 4x 2 y) = 3.(– 4).x.x 2 .y 2 .y = –12 x 3 .y 3 (x m ) n = x m . n ; (x . y) n = x n . y n i Ví dụ: a) ( ) 2 3 3.2 6 x =x = x b) (2x) 3 = 2 3 .x 3 = 8x 3 c) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 3 2 6 3xy =3 .x . y = 9x y Lưu ý: • 2x 2 ≠ (2x) 2 nên cần chú ý khi trình bày bài giải • (– 2x) 2 = (2x) 2 (tổng quát: luôn đúng với số mũ chẵn) • (– 2x) 3 = – (2x) 3 (tổng quát: luôn đúng với số mũ lẻ) NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC  Quy Tắc : iA.(B + C – D) = A.B + A.C – A.Di  Ví Dụ : Thực hiện các phép nhân: 1) 4x 2 (5x 3 – 2x + 3) 3) (2x 2 + 3x – 1)4x 5) – (– u 2 + 2uv)( – 2v) 2) – 2x 3 (5 – 3x) 4) – (3x – 3)2x 2  Bài Tập Tự Luyện : Bài 1: Thực hiện phép nhân(rút gọn nếu được): 1) 5x 4 (4x 2 – 3x + 1) 3) 3y 2 (4y 3 + 2 3 y 2 – 1 3 ) 6) 3x(2x – 7) + 2x(5 – 3x) 2) (– 4x 5 )( – 2x 3 + 5x 2 – 3) 4) (– 2a 3 – 1 4 b – 5bc)8ab 2 7) 3x(x – 4y) – 12 5 y(y – 5x) Bài 2: Tính giá trò của các biểu thức sau: 1) 5x(4x 2 – 2x + 1) – 2x(10x 2 – 5x – 2) với x = 15 2) 2x(x – y) – y(y – 2x) với x = – 1 3 ; y = – 2 3 3) 3x(x – 4y) – (y – 5x) 12 5 y với x = – 4; y = – 5 Bài 3: Tìm x: 1) 5x(12x + 7) – 3x(20x –5) = –100 5) 3(2x – 1) – x(3x – 2) = 3x(1 – x) + 2 2) 3x(2x – 7) + 2x(5 – 3x) = 5 6)      ÷  ÷     2 1 1 1 3 8 x - x -4 x = -14 - x - 4 2 2 2 3 3) 0,6x(x – 0,5) – 0,3x(2x + 1,3) = 0,138 7) 2x 3 (2x – 3) – x 2 (4x 2 – 6x + 2) = 0 GV. Hồ Vónh Thònh 1 5) 5x(12x + 7) – 3x(20x – 5) Trường THCS TÂN BÌNH Toán 8 4) x(x – 1 3 ) – 1 2 x(2x – 3) = 1 4 Bài 4: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trò của biến: 1) x(x 2 + x + 1) – x 2 (x + 1) – x + 5 2) x(x 3 + 2x 2 – 3x + 2) – (x 2 + 2x)x 2 + 3x(x – 1) + x – 12 3) 3x(x – 5y) + (y – 5x).(– 3y) – 1 – 3(x 2 – y 2 )  Bài Tập Nâng Cao : Bài 1: Thực hiện phép tính: 1) (3x n + 1 – 2x n ) 4x 2 3) 3x n – 2 (x n + 2 – y n + 2 ) + y n + 2 (3x n – 2 – y n – 2 ) 2) 2(x 2n + 2x n y n +y 2n ) – y n (4x n + 2y n ) 4) (3x 2m – 1 – 3 7 y 3n – 5 + x 2m y 3n – 3y 2 )8x 3 – 2m .y 6 – 3n Bài 2: Chứng minh rằng biểu thức n(2n – 3) – 2n(n + 1) luôn chia hết cho 5 với mọi n là số nguyên. Bài 3: Xác đònh a, b để: x 2 + bx – c = 2x(x – 1) – x(x + b) + 1 NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC  Quy tắc : I(A+B).(C + D – E) = A.C + A.D – A.E + B.C + B.D – B.E Ví dụ: Thực hiện phép nhân: 1) (x 2 – 2)(x + 3) 3) (2a – 1)(a 2 – 5 + 2a) 5) 3(1 – 4x)(x – 1) 2) – (x + 3)(2x – 3) 4) – ( 5y 2 – 11y + 8)(3 – 2y) 6) – x(x + 1)(x – 2) 7) (x + 1)(x – 2)(2x – 1)  Bài tập tự luyện Bài 1: Thực hiện phép nhân(rút gọn nếu được): 1) (5x 2 – 4x)(x – 2) 4) (x 2 + 5x + 2)(x 2 – 3x + 4) 7) (x + 3)(x – 3)5x 2) – (x + 3)(5x 2 + 3x – 1) 5) – (2x – y)(4x 2 + 2xy + y 2 ) 8) (x – 2)(3x + 1)(x + 1) 3) (x 2 – xy + y 2 )(x + y) 6) – 4(3x + 2)(x + 3) 9) (x 3 + x 2 y + xy 2 y 3 )(x – y) Bài 2: Tính giá trò của biểu thức sau: 1) (3x – 5)(7 – 5x) – (5x + 2)(2 – 3x) với x = – 4 2) (x + 3)(x 2 – 3x + 27) – x(x – 1)(x + 1) với x = – 2 Bài 3: Tìm x: 1) (2x – 1)(3x + 1) + (3x – 4)(3 – 2x) = 5 4) 3(1 – 4x)(x – 1) + 4(3x + 2)(x + 3) =38 2) (3x – 5)(7 – 5x) – (5x + 2)(2 – 3x) = 4 5) x(x + 5)(x – 5) – (x + 2)(x 2 – 2x + 4) =3 3) (x + 2)(x 2 – 2x + 4) – x(x 2 + 2) = 5 6) (x + 1)(x + 2)(x + 5) – x 3 – 8x 2 = 27 Bài 4: Chứng minh giá trò biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trò của biến: 1) (x – 3)(x + 2) + (x – 1)(x + 1) – (2x – 1)x 2) (x + 1)(x 2 – x + 1) – (x – 1)(x 2 + x + 1) GV. Hồ Vónh Thònh 2 Trường THCS TÂN BÌNH Toán 8 3) x(x 3 + x 2 – 3x + 2) – (x 2 – 2)(x 2 + x + 3) + 4(x 2 – x – 2) Bài 5: Chứng minh đẳng thức: 1) (a + b)(a – b) = a 2 – b 2 4) (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 2) (a + b)(a 2 – ab + b 2 ) = a 3 + b 3 5) (a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2 3) (a – b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 – b 3 6) (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 7) (a – b) 3 = a 3 – 3a 2 b + 3ab 2 – b 3  Bài tập nâng cao Bài 1: Chứng minh đẳng thức: 1) (x – y – z) 2 = x 2 + y 2 + z 2 – 2xy + 2yz – 2xz 2) (x + y – z) 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2xy – 2yz – 2xz 3) (x + a)(x + b) = x 2 + (a + b)x + a.b 4) (x + a)(x + b)(x + c) = x 3 + (a + b + c)x 2 + (a.b + b.c + c.a)x + a.b.c Bài 2: (cùng một dạng) 1) Tìm 3 số tự nhiên chẵn liên tiếp, biết tích 2 số sau lơn hơn tích hai số đầu là 192. 2) Tìm ba số tự nhiên lẻ liên tiếp, biết tích hai số sau lơn hơn tích hai số đầu là 180. 3) Tìm 4 số tự nhiên liên tiếp, biết tích hai số sau lơn hơn tích hai số đầu là 34. Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì: 1) (n 2 + 3n – 1)(n + 2) – n 3 + 2 chia hết cho 5. 2) n(n + 5) – (n – 3)(n + 2) chia hết cho 6. 3) (n – 1)(n + 1) – (n – 7)(n – 5) chia hết cho 12. Bài 4: cho a, b là hai số tự nhiên. Số a chia 5 dư 1, số b chia 5 dư 2. Chứng minh: a.b chia 5 dư 2. NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐANG NHỚ 1. Bình phương của một tổng: (A + B) 2 = A 2 + 2.A.B + B 2 2. Bình phương của một hiệu: (A – B) 2 = A 2 – 2.A.B + B 2 3. Hiệu hai bình phương: A 2 – B 2 = (A + B)(A – B) 4. Lập phương của một tổng: (A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3 5. Lập phương của một hiệu: (A – B) 3 = A 3 – 3A 2 B + 3AB 2 – B 3 6. Tổng hai lập phương: A 3 + B 3 = (A + B)(A 2 – A.B + B 2 ) 7. Hiệu hai lập phương: A 3 – B 3 = (A – B)(A 2 + A.B + B 2 ) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Phần I (nhằm làm quen với hằng đẳng thức) Bài 1: Tính: 1) (x + 1) 2 6) 3   −  ÷   2 1 x y 2 11) (x + 3)(x – 3) 16) (x + 2) 3 2) (2x + 5) 2 7) 2 2   −  ÷   2 4 3 x 3 12) (2x – 3y)(2x + 3y) 17)    ÷   3 1 x+ 3 3) (3x + 2y) 2 8) (2x 2 – 3xy 3 ) 2 13) (5y + 4x)(4x – 5y) 18)   −  ÷   3 1 3x y 3 GV. Hồ Vónh Thònh 3 Trường THCS TÂN BÌNH Toán 8 4)    ÷   2 3 4 x+ y 2 3 9)(0,2x – 2y) 2 14) 1 1 3 3 2 x y    −  ÷ ÷    x+ y 2 19) (4x 2 – 5y 3 ) 3 5) 2 1 2    ÷   2 2x + 10) 2 2 2 3 4 y   −  ÷   2 1 x y 15)    −  ÷ ÷    3 3 1 2 2 1 x y y + x 2 5 5 2 20) 3 2   −  ÷   3 1 5x y 5 Bài 2: Điền vào chổ trống để được các hằng đẳng thức: 1) x 2 + 4x + … = (… + 2) 2 10) … – … = (3 + … )(2x – …) 2) … + 4x + 1 = (2x + …) 2 11) … – 16y 6 = ( … – … )(3x 2 + …) 3) 16x 2 + … + 9y 2 = (… + 3y) 2 12) x 3 + … + … + 1 = ( x + 1 ) … 4) x 2 + … + … = 1 . 3    ÷   2 + 13) … + … + … + 27 = (x + …) 3 5) x 2 – 8xy + … = ( … – … ) 2 14) 8x 3 – … + 6x – … = (… – 1) 3 6) … – 10 3 xy 2 + … = 1 . 3    ÷   2 x + 15) x 3 – … + … – … = 3 1 . 3    ÷   + 7) x 2 – … = ( … + 1)(… – …) 16) x 3 – … = (x – 2)(… + … + …) 8) … – … = ( … + 3)( x – …) 17) … + 27 = ( 2x + …)(… – … + …) 9) 16x 2 – … = ( … – 5y)( … + … ) 18) 64x 6 + … = ( … + … )(… – … + 9y 2 ) Bài 3: Viết các đa thức sau thành dạng tích: 1) x 2 – 4 7) x 3 – 8 13) x 2 + 2xy + y 2 2) x 2 – y 2 8) 64x 3 – 1 27 14) x 2 – 6xy + 9y 2 3) 25x 2 – 9y 2 9) – 27y 3 + x 3 15) x 3 + 3x 2 + 3x +1 4) 9x 4 – 16y 6 10) x 2 + 4x + 4 16) 8x 3 – 12x 2 + 6x – 1 5) – 9x 2 + 16y 4 11) x 2 – 6x + 9 17) – 4x 2 – 4x – 1 6) 4 9 x 2 – 25 16 y 2 12) x 2 – 10x + 25 18) – 4x 2 + 6xy – 9 4 y 2 Phần II: Các dạng bài tập có sử dụng hằng đẳng thức A – BÀI TẬP CƠ BẢN: Dạng 1: Tính nhanh 1) 101 2 3) 47.53 5) (31,8) 2 – 2 . 31,8 . 21,8 + (21,8) 2 7) 74 2 + 24 2 – 48.74 2) 199 2 4) 29,9 . 30,1 6) 34 2 + 68.66 + 66 2 Dạng 2: Rút gọn và tính giá trò biểu thức 1) Tính giá trò các biểu thức sau: a) x 2 + 4x + 4 với x = 98 c) (x – 10) 2 – x(x + 80) với x = 0,98 b) x 3 + 3x 2 + 3x + 1 với x = 99 2) Rút gọn: a) (x + y) 2 + (x – y) 2 e) (2x + 1) 2 + 2(4x 2 – 1) + (2x – 1) 2 GV. Hồ Vónh Thònh 4 Trường THCS TÂN BÌNH Toán 8 b) (a + b) 2 – (a – b) 2 f) (x + y+ z) 2 – 2(x + y+ z)(x+ y) + (x+ y) 2 c) (x + y) 2 + 2(x + y)(x – y) + (x – y) 2 g) (x + 3)(x 2 – 3x + 9) – (54 + x 3 ) d) (2x + 5) 2 – 2(2x + 5)(2x – 5) + (2x – 5) 2 h) (a + b) 3 – (a – b) 3 – 2b 3 Dạng 3: Tìm x biết 1) (x – 5) 2 – x(x – 6) = 5 4) (x + 6)(x – 6) – x(x – 4) = 4 2) (x – 7) 2 – x(x – 9) = 14 5) (x + 3) 2 – (x – 2)(x + 2) = – 5 3) (x – 5)(x + 5) – x(x – 10) = 5 6) (x – 3) 2 – x(x – 2) = – 5 Dạng 4: Chứng minh rằng giá trò biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trò của biến: 1) (x + 1)(x 2 – x + 1) – (x – 1)(x 2 + x + 1) 3) (2x + 3)(4x 2 – 6x + 9) – 2(4x 3 – 1) 2) (2x – 1) 2 – 2(2x – 1)(2x + 1) + (2x + 1) 2 4) (x – 2) 2 – (x – 3)(x + 3) + 2(2x – 3) 5) (x + y)(x 2 – xy + y 2 ) + (x – y)(x 2 + xy + y 2 ) – 2x 3 Dạng 5: Chứng minh đẳng thức 1) (a + b) 2 – 2ab = a 2 + b 2 5) (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) = (ac + bd) 2 + (ad – bc) 2 2) (a + b) 2 – (a – b) 2 = 4ab 6) (a – b) 2 = (b – a) 2 3) (a + b) 2 + (a – b) 2 = 2(a 2 + b 2 ) 7) (– a – b) 2 = (a + b) 2 4) (a + b) 3 = a 3 + b 3 + 3ab(a + b) Lưu ý: (a – b) 2 = (b – a) 2 Tổng quát: (a – b) n = (b – a) n với n là số mũ chẵn (a – b) 3 = – (b – a) 3 Tổng quát: (a – b) n = – (b – a) n với n là số mũ lẻ B – BÀI TẬP NÂNG CAO: Dạng 2: Rút gọn và tính giá trò biểu thức 1) Rút gọn: a) (x 2 – 2x + 2)(x 2 – 2)(x 2 + 2x + 2)(x 2 + 2) b) (x + 1) 2 – (x – 1) 2 + 3x 3 – 3x(x + 1)(x – 1) c) (2x – 5)(4x 2 + 10x + 25)(2x + 5)(4x 2 – 10x + 25) – 64x 6 2) Cho x – y = 7. Tính giá trò các biểu thức sau: A = x(x + 2) + y(y – 2) – 2xy B = x 3 – 3xy(x – y) – y 3 – x 2 + 2xy – y 2 3) Cho x + 2y = 5. Tính giá trò biểu thức sau: C = x 2 + 4y 2 – 2x + 10 + 4xy – 4y 4) Cho a + b = 5 và ab = 6. không tính a, b hãy tính: a) a 2 + b 2 b) a 3 + b 3 c) a 4 + b 4 5) Cho x + y = 3 và x 2 + y 2 = 4. Tính giá trò của biểu thức x 3 + y 3 6) Cho x – y = 3 và x 2 + y 2 = 15. Tính giá trò của biểu thức x 3 + y 3 7) a + b + c = 0 và a 2 + b 2 + c 2 = 1. Tính giá trò của biểu thức: M = a 4 + b 4 + c 4 Dạng 3: Tìm x biết 1) (2x – 1) 2 + (x + 3) 2 – 5(x + 7)(x – 7) = 0 5) 25x 2 – 2 = 0 GV. Hồ Vónh Thònh 5 Trường THCS TÂN BÌNH Toán 8 2) (x + 2) 2 – x 2 + 4 = 0 6) (x + 2) 2 – 9 = 0 3) x(x – 5)(x + 5) – (x – 2)(x 2 + 2x + 4) = 3 7) (x + 2) 2 = (2x – 1) 2 4) x 2 – 81 = 0 8) (x 2 – 2) 2 + 4(x –1) 2 – 4(x 2 – 2)(x –1) = 0 Dạng 5: Chứng minh đẳng 1) Chứng minh đẳng thức: a) (a + b + c) 2 + a 2 + b 2 + c 2 = (a + b) 2 + (b + c) 2 + (c + a) 2 b) (a + b + c) 2 + (b + c – a) 2 + (c + a – b) 2 + (a + b – c) 2 = 4(a 2 + b 2 + c 2 ) 2) Cho x 2 – y 2 – z 2 = 0. Chứng minh rằng: (5x – 3y + 4z)(5x – 3y – 4z) = (3x – 5y) 2 3) Cho a 2 – b 2 = 4c 2 . Chứng minh rằng: (5a – 3b + 8c)(5a – 3b – 8c) = (3a – 5b) 2 4) Cho a + b + c = 2p. Chứng minh rằng: 2bc + b 2 + c 2 – a 2 = 4p(p – a) 5) Cho a + b + c = abc và 1 1 1 + + = 2 a b c . Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 + + = 2 a b c Dạng 6: Tìm giá trò nhỏ nhất, lớn nhất của một biểu thức 1) Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức: a) A= x 2 – 2x + 1 e) E = x 2 – 4x + y 2 – 8y + 6 b) B = x 2 + x + 1 f) F = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) c) C = 4x 2 + 4x + 11 g) G = 2x 2 + 2y 2 + 2xy + 2y – 2x + 2008 d) D = (x – 3)(x + 5) + 4 2) Tìm giá trò lớn nhất của biểu thức: a) A = 2x – x 2 + 4 d) D = 4x – x 2 – 1 b) B = – x 2 – 4x e) E = 5 – x 2 + 2x – 4y 2 – 4y c) C = – 9x 2 + 24x – 18 Dạng 7: Phương pháp tổng bình phương 1) Chứng minh rằng: a) Nếu a 2 + b 2 + c 2 + 3 = 2(a + b + c) thì a = b = c = 1 b) Nếu a 2 + b 2 + c 2 = ab + bc + ca thì a = b = c c) Nếu (a + b + c) 2 = 3(ab + bc + ca) thì a = b = c 2) Tìm a, b, c thỏa đẳng thức: a 2 – 2a + b 2 + 4b + 4c 2 – 4c + 6 = 0 Dạng 8: Áp dụng vào số học 1) Tìm số dư của n 2 khi chia cho 5, biết n chia 5 dư 2. 2) Tìm số dư của n 2 khi chia cho 3, biết n không chia hết cho 3. 3) Biết số tự nhiên a chia cho 5 dư 1, số tự nhiên b chia cho 5 dư 2. Chứng minh rằng tổng các bình phương của hai số a và b chia hết cho 5. 4) Chứng minh: tổng các lập phương của 3 số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 9. Dạng 9: Chứng minh bất đẳng thức thỏa mãn với mọi biến số Chứng minh rằng với mọi x, y: 1) x 2 + x + 1 > 0; 4) x 2 + xy + y 2 + 1 > 0; 2) – 4x 2 – 4x – 2 < 0; 5) x 2 + 5y 2 + 2x – 4xy – 10y + 14 > 0; 3) x 2 + 4xy + 4y 2 + 5 > 0; 6) 5x 2 + 10y 2 – 6xy – 4x – 2y + 3 > 0. GV. Hồ Vónh Thònh 6 . 7)(n – 5) chia hết cho 12. Bài 4: cho a, b là hai số tự nhiên. Số a chia 5 dư 1, số b chia 5 dư 2. Chứng minh: a.b chia 5 dư 2. NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐANG NHỚ. 10x + 25 18) – 4x 2 + 6xy – 9 4 y 2 Phần II: Các dạng bài tập có sử dụng hằng đẳng thức A – BÀI TẬP CƠ BẢN: Dạng 1: Tính nhanh 1) 101 2 3) 47.53 5) (31,8)