Đang tải... (xem toàn văn)
0.1 Đề thi cho khối lớp 5 Question Paper for Grade 5 1. Biết rằng số tự nhiên N chia hết cho 3 và 4, còn khi N chia 7 thì dư 3, hỏi N nhỏ nhất bằng bao nhiêu? 2. Nếu K là trung điểm của đoạn thẳng MN thì MK = KN. Trong hình bên, I, J là các trung điểm của các cạnh hình vuông với diện tích 144 cm2 và 400 cm2 . Tính diện tích của tam giác ABC. A B J I C 3. Những người anh em cùng tìm ra một kho báu (gồm vàng và bạc). Họ chia nhau số tài sản thì mỗi người được đúng 120 kg (vàng và bạc). Người anh cả nhận được 30 kg vàng, nhiều hơn số vàng của mỗi người còn lại; người anh cả cũng nhận được 1 8 số bạc trong kho báu. Hỏi trong kho báu có bao nhiêu kg vàng? 4. Tính tổng các chữ số của A = 234 × 555 . . . 555 | {z } 66 chữ số 5 . 5. Trong một hộp có 1 quả bóng ghi số 1, 2 quả bóng được ghi số 2, ..., 100 quả bóng được ghi số 100. Ta lấy bóng từ hộp ra mà không nhìn, hỏi phải lấy ít nhất bao nhiêu quả để đảm bảo trong đó có 10 quả ghi số giống nhau. 6. N là một số có bốn chữ số mà khi viết các chữ số của nó theo thứ tự ngược lại thì ta thu được một số gấp bốn lần N. Hãy tính giá trị của N. 7. Trong một căn phòng có 26 người gồm những người là người thật thà (là người luôn nói thật) và những người là người dối trá (là người luôn nói dối).
HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM MYTS Mathematical Young Talent Search Vietnam Mathematical Society Hexagon of Maths & Science 27/03/2016 02/04/2016 HEXAGON 0.1 Đề thi cho khối lớp 5/ Question Paper for Grade Biết số tự nhiên N chia hết cho 4, N chia dư 3, hỏi N nhỏ bao nhiêu? Nếu K trung điểm đoạn thẳng M N M K = KN Trong hình bên, I, J trung điểm cạnh hình vuông với diện tích 144 cm2 400 cm2 Tính diện tích tam giác ABC A C J I B Những người anh em tìm kho báu (gồm vàng bạc) Họ chia số tài sản người 120 kg (vàng bạc) Người anh nhận 30 kg vàng, nhiều số vàng người lại; người anh nhận 81 số bạc kho báu Hỏi kho báu có kg vàng? Tính tổng chữ số A = 234 × 555 555 66 chữ số 5 Trong hộp có bóng ghi số 1, bóng ghi số 2, , 100 bóng ghi số 100 Ta lấy bóng từ hộp mà không nhìn, hỏi phải lấy để đảm bảo có 10 ghi số giống N số có bốn chữ số mà viết chữ số theo thứ tự ngược lại ta thu số gấp bốn lần N Hãy tính giá trị N Trong phòng có 26 người gồm người người thật (là người nói thật) người người dối trá (là người nói dối) MYTS Mathematical Young Talent Search Người nói Người thứ hai nói Người thứ ba nói : "Trong phòng người thật thà" : "Trong phòng có không người thật thà" : "Trong phòng có không hai người thật thà" Người cuối nói : "Trong phòng 25 người thật thà" Hỏi phòng có tất người thật thà? Ở xứ sở Magic Wood có ba loài vật: có 12 rắn, 23 chuột 31 mèo Hễ rắn ăn mèo, biến thành chuột, mèo ăn chuột biến thành rắn Hơn nữa, rắn ăn chuột, biến thành mèo Hỏi nhiều có vật Magic Wood không ăn nữa? Đáp án khối lớp Biết số tự nhiên N chia hết cho 4, N chia dư 3, hỏi N nhỏ bao nhiêu? Lời giải Từ giả thiết suy tồn số nguyên dương a, b cho N = 7a + = 12b Thử giá trị b = 1, 2, tìm cặp số b = 2, a = nhỏ Thử lại thấy N = 24 thỏa mãn Đáp số N = 24 Trong hình bên, I, J trung điểm cạnh hình vuông với diện tích 144 cm2 400 cm2 Tính diện tích tam giác ABC Chứng minh Từ giả thiết suy cạnh hai hình vuông 12 cm 20 cm Kéo dài cạnh hình vuông để tạo hình chữ nhật AXY Z Dễ thấy, độ dài cạnh hình chữ nhật 16 + 20 = 36 20 + 12 = 32 Diện tích ba tam giác vuông ZAC, BY C BAX 36 × 10 22 × 28 32 × , , 2 MYTS Mathematical Young Talent Search MZ C A J I LY X B Từ đó, diện tích tam giác 36 × 32 − 180 − 308 − 128 = 536 Đáp số: 536 Những người anh em tìm kho báu (gồm vàng bạc) Họ chia số tài sản người 120 kg (vàng bạc) Người anh nhận 30 kg vàng, nhiều số vàng người lại; người anh nhận 81 số bạc kho báu Hỏi kho báu có kg vàng? Lời giải Trả lời: 120 Lượng bạc mà người anh nhận 120−30 = 90 Suy tổng số bạc kho báu 90 × = 720 kg Giả sử số người phát kho báu n Vậy nên tổng số vàng bạc 120n Số vàng 120n−720 Ta có 120n − 720 < 30 n Lưu ý 120n ≥ 720, suy n ≥ Kết hợp hai bất đẳng thức cho ta n = Tức × 120 − 720 = 120 lượng vàng kho báu MYTS Mathematical Young Talent Search 4 Tính tổng chữ số A = 234 × 555 555 66 chữ số Lời giải Lưu ý số 234 chia hết ta viết A = 26 × × × 111 111, 66 chữ số A = 130 × 999 999 66 chữ số Lưu ý 999 999 = 1066 − Vậy nên, 66 chữ số A = 130 000 000 −130 66 chữ số Đặt phép tính ta A = 12 9999 999 870 64 chữ số Thành ra, tổng chữ số A + + × 64 + + + = 594 Đáp số 594 Trong hộp có bóng có số 1, bóng có số 2, , 100 bóng có số 100 Ta lấy bóng từ hộp mà không nhìn, hỏi phải lấy để đảm bảo có 10 có số giống MYTS Mathematical Young Talent Search Lời giải Trong trường hợp xấu ta chọn phải tất số 1, 2, , số từ 10 đến 100 số có Như có tất 45 + × 91 = 864 Vậy phải lấy 865 để đảm bảo có 10 số Đáp số: 865 N số có bốn chữ số mà viết chữ số theo thứ tự ngược lại ta thu số gấp bốn lần N Hãy tính giá trị N Lời giải Ta cần tìm abcd cho × abcd = dcba Chú ý a ≥ × abcd số có năm chữ số Thành ra, a = a = Vì dcba số chẵn nên a = Ta có × abcd ≥ 8000 Suy dcba ≥ 8000 Suy d = d = Do × d tận nên suy d = Vậy × 2bc8 = 8cb2 Liên hệ biểu diễn qua hệ thập phân cho ta 4(2000 + 100b + 10c + 8) = 8000 + 100c + 10b + Tức 6c = 39b + Nếu b ≥ 6c ≥ 39 × + > 60, dẫn đến c > 10, loại Vậy nên b = 1, dẫn đến c = Đáp số: 2178 Trong phòng có 26 người gồm người người thật (là người nói thật) người người dối trá (là người nói dối) Người nói : "Trong phòng người thật thà" Người thứ hai nói : "Trong phòng có không người thật thà" Người thứ ba nói : "Trong phòng có không hai người thật thà" Người cuối nói : "Trong phòng 25 người thật thà" Hỏi phòng có tất người thật thà? MYTS Mathematical Young Talent Search Lời giải Ta có nhận xét sau: Nếu nói dối, tất người trước nói dối Trong phòng chắn có người dối trá, người nói thật theo lời anh ta, phòng người nói thật (mâu thuẫn) Tương tự, ta kết luận phòng có người thật Giả sử phòng có x người dối trá Người cuối nói dối nói: "Trong phòng x − người thật thà", nghĩa phòng có x người thật Mặt khác người thứ x + người thật từ lời nói suy có không x người thật Tóm lại, có tất x người thật Như x + x = 26 hay x = 13 Vậy phòng có tất 13 người thật Ở xứ sở Magic Wood có ba loài vật: có 12 rắn, 23 chuột 31 mèo Hễ rắn ăn mèo, biến thành chuột, mèo ăn chuột biến thành rắn Hơn nữa, rắn ăn chuột, biến thành mèo Hỏi nhiều có vật Magic Wood không ăn nữa? Lời giải Nhiều loài tồn Đó loài mèo, tính chẵn lẻ mèo chuột giống vậy, tất số mèo biến mất, tức cần 31 lần ăn Kéo theo 35 vật tồn Mặt khác, 23 mèo ăn 23 chuột, biến thành rắn, thfi có 35 rắn mèo Tiếp theo, rắn ăn mèo, biến thành chuột, bị mèo ăn nốt Tức 35 rắn Lời giải Gọi số lần rắn ăn mèo a, mèo ăn chuột b rắn ăn chuột c Gọi x, y, z số rắn, số mèo, số chuột Ta có 12 − a − c + b = x, 31 − a − b + c = y, 23 − b − c + a = z MYTS Mathematical Young Talent Search (1) Không ăn ba số x, y, z có hai số Do y, z tính chẵn lẻ, x khác tính chẵn lẻ với y, z nên suy 31 − a − b + c = 0, 23 − b − c + a = Giải hệ cho ta b = 27 Do đó, a − c = Số rắn 12 + 27 − a − c = 39 − a − c Để số lượng rắn lớn a + c phải nhỏ Tức a + c = a − c + 2c = + 2c nhỏ nhất, tức c = Vậy nên, đáp số 39 − = 35 MYTS Mathematical Young Talent Search 0.2 Đề thi cho khối lớp 6/ Question Paper for Grade A Trong hình bên ABCD hình bình hành có diện tích 174 cm2 Điểm E nằm hình bình hành cho tam giác ECD có diện tích 28 cm2 Nếu diện tích tam giác ABE x cm2 , tính giá trị x D E B C Những người anh em tìm kho báu (gồm vàng bạc) Họ chia số tài sản người 120 kg (vàng bạc) Người anh nhận 30 kg vàng, nhiều số vàng người lại; người anh nhận 81 số bạc kho báu Hỏi kho báu có kg vàng? Tính tổng chữ số A = 234 × 555 555 66 chữ số Trong hộp có bóng ghi số 1, bóng ghi số 2, , 100 bóng ghi số 100 Ta lấy bóng từ hộp mà không nhìn, hỏi phải lấy để đảm bảo có 10 ghi số giống Tìm số có sáu chữ số abcdef mà chữ số hàng đơn vị f chuyển vị trí tận bên trái ta thu số lớn gấp năm lần số ban đầu, tức f abcde = × abcdef Một bóng đá khâu từ 32 miếng da Mỗi miếng ngũ giác màu đen khâu với miếng màu trắng, miếng lục giác màu trắng khâu với miếng màu đen, hình vẽ Hỏi có miếng màu trắng? MYTS Mathematical Young Talent Search Trong phòng có 26 người gồm người người thật (là người nói thật) người người dối trá (là người nói dối) Người nói Người thứ hai nói Người thứ ba nói : "Trong phòng người thật thà" : "Trong phòng có không người thật thà" : "Trong phòng có không hai người thật thà" Người cuối nói : "Trong phòng 25 người thật thà" Hỏi phòng có tất người thật thà? Ở xứ sở Magic Wood có ba loài vật: có 12 rắn, 23 chuột 31 mèo Hễ rắn ăn mèo, biến thành chuột, mèo ăn chuột biến thành rắn Hơn nữa, rắn ăn chuột, biến thành mèo Hỏi nhiều có vật Magic Wood không ăn nữa? Đáp án Khối lớp Trong hình bên ABCD hình bình hành có diện tích 174 cm2 Điểm E nằm hình bình hành cho tam giác ECD có diện tích 28 cm2 Nếu diện tích tam giác ABE x cm2 , tính giá trị x A D E B C Lời giải Qua điểm E kẻ đường thẳng song song với CD ta thu hai hình bình hành Khi đó, diện tích hình bình hành nhỏ hơn, có diện tích gấp hai lần diện tích tam giác ECD Vậy nên ta có 2x + 28 × = 174 Từ suy x = 59 MYTS Mathematical Young Talent Search 10 7 7 7 mèo ăn chuột biến thành rắn Hơn nữa, rắn ăn chuột, biến thành mèo Hỏi nhiều có vật Magic Wood không ăn nữa? T ◦ Tam giác ABC có góc ∠BAC = 70 Đường trung trực cạnh BC cắt phân giác góc A T Biết góc ∠BAT tù, góc ∠CAT nhọn, tính số đo góc ∠T BC A B C Xung quanh bờ hồ hình tròn có trồng dừa Người ta nhận thấy độ lệch chiều cao hai liên tiếp Chứng minh năm có chiều cao MYTS Mathematical Young Talent Search 16 7 7 7 Đáp án Khối lớp Một hình vuông hình ngũ giác vẽ phía tam giác Tính số đo góc đánh dấu Lời giải Dễ thấy tam giác CAF cân A AC = AF Mỗi góc ngũ giác 108◦ , nên ∠CAF = 60◦ + 108◦ = 168◦ Do đó, ∠CF A = ∠F CA = 180◦ − 168◦ = 6◦ Thành ra, ∠BCI = 60◦ − 6◦ = 54◦ Tương tự, ta tính góc ∠EBA tam giác cân ABE ∠ABE = ∠AEB = 180◦ − 150◦ = 15◦ Từ đó, ∠CBI = 60◦ − 15◦ = 45◦ Vậy, góc cần tìm (đánh dấu) góc tam giác CBI đỉnh I Thành ra, ∠BIF = 45◦ + 54◦ = 99◦ C B H D I A G E F MYTS Mathematical Young Talent Search 17 7 7 7 Ba số thực x, y, z thỏa mãn |x| − = |y| + = 10 − |z| Tìm giá trị lớn K = y(x + z) Chứng minh Từ giả thiết suy |x| + |z| = 13 Lưu ý x + z ≤ |x| + |z| = 13, với moi x, z ∈ R Lại |y| + = 10 − |z| ≤ 10 nên |y| ≤ Thành K ≤ 13 × = 78 Có thể chọn x = 13, y = 6, z = Đáp số: 78 A Tam giác ABC cân có AB = AC = cm Đường trung tuyến BD = cm Nếu BC = x cm, tính giá trị x D E B C Lời giải Hạ đường cao BE, gọi DE = k Áp dụng định lý Pythagore cho hai tam giác vuông ABE BDE ta BE = AB − AE , BE = BD2 − DE Thay giá trị độ dài cho ta BE = 82 − (4 + k)2 , BE = 62 − k Trừ vế ta 82 − 62 − (4 + k)2 + k = MYTS Mathematical Young Talent Search 18 7 7 7 Khai triển tính toán ta k = 3/2 Từ đó, BE = 135 , EC = 25 Do đó, BC = 135 + 25 160 = = 40 4 Đáp số: x = 40 Trong phòng có 26 người gồm người người thật (là người nói thật) người người dối trá (là người nói dối) Người nói Người thứ hai nói Người thứ ba nói : "Trong phòng người thật thà" : "Trong phòng có không người thật thà" : "Trong phòng có không hai người thật thà" Người cuối nói : "Trong phòng 25 người thật thà" Hỏi phòng có tất người thật thà? Lời giải Ta có nhận xét sau: Nếu nói dối, tất người trước nói dối Trong phòng chắn có người dối trá, người nói thật theo lời anh ta, phòng người nói thật (mâu thuẫn) Tương tự, ta kết luận phòng có người thật Giả sử phòng có x người dối trá Người cuối nói dối nói: "Trong phòng x − người thật thà", nghĩa phòng có x người thật Mặt khác người thứ x + người thật từ lời nói suy có không x người thật Tóm lại, có tất x người thật Như x + x = 26 hay x = 13 Vậy phòng có tất 13 người thật Giả sử K số gồm mười số (không thiết khác nhau) cho số K tổng bình phương tất chín số lại Hãy tìm tất số K MYTS Mathematical Young Talent Search 19 7 7 7 Hướng dẫn Không tính tổng quát giả sử mười số tập K có thứ tự sau a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ a10 Từ giả thiết số aj viết dạng tổng bình phương chín số lại nên ta chọn j = j = 10 Thành a1 = a22 + a23 + · · · a210 , a10 = a21 + a22 + · · · + a29 Từ suy tất số K không âm Vì a1 ≤ a10 nên suy a22 + a23 + · · · + a210 ≤ a21 + a22 + · · · + a29 Tức a210 ≤ a21 Suy a10 ≤ a1 số không âm Tức suy tất số tập K Cho nên aj = 9a2j , hay aj = aj = 91 Đáp số: K= (0, 0, , 0), 1 , , , 9 Ở xứ sở Magic Wood có ba loài vật: có 12 rắn, 23 chuột 31 mèo Hễ rắn ăn mèo, biến thành chuột, mèo ăn chuột biến thành rắn Hơn nữa, rắn ăn chuột, biến thành mèo Hỏi nhiều có vật Magic Wood không ăn nữa? Lời giải Nhiều loài tồn Đó loài mèo, tính chẵn lẻ mèo chuột giống vậy, tất số mèo biến mất, tức cần 31 lần ăn Kéo theo 35 vật tồn Mặt khác, 23 mèo ăn 23 chuột, biến thành rắn, thfi có 35 rắn mèo Tiếp theo, rắn ăn mèo, biến thành chuột, bị mèo ăn nốt Tức 35 rắn MYTS Mathematical Young Talent Search 20 7 7 7 Lời giải Gọi số lần rắn ăn mèo a, mèo ăn chuột b rắn ăn chuột c Gọi x, y, z số rắn, số mèo, số chuột Ta có 12 − a − c + b = x, 31 − a − b + c = y, 23 − b − c + a = z (3) Không ăn ba số x, y, z có hai số Do y, z tính chẵn lẻ, x khác tính chẵn lẻ với y, z nên suy 31 − a − b + c = 0, 23 − b − c + a = Giải hệ cho ta b = 27 Do đó, a − c = Số rắn 12 + 27 − a − c = 39 − a − c Để số lượng rắn lớn a + c phải nhỏ Tức a + c = a − c + 2c = + 2c nhỏ nhất, tức c = Vậy nên, đáp số 39 − = 35 T Tam giác ABC có góc ∠BAC = 70◦ Đường trung trực cạnh BC cắt phân giác góc A T Biết góc ∠BAT tù, góc ∠CAT nhọn, tính số đo góc ∠T BC A B C Lời giải Kẻ T H,T K vuông góc với AB, AC Do góc ∠BAT tù ∠AHT = 90◦ nên H thuộc tia đối tia AB Vì ∠CAT nhọn ∠T KC vuông nên K thuộc tia AC Vậy nên, ∠HAT = ∠T AK Suy ra, hai tam giác ∆T AH = ∆T AK Dẫn đến, T H = T K, mà T B = T C nên suy hai tam giác T BH T CK Suy ∠T BH = ∠T CK, thành ∠T BA = ∠T CA MYTS Mathematical Young Talent Search 21 7 7 7 Do ∠CAT nhỏ góc BAT nên T, B thuộc hai nửa mặt phẳng bờ AC Đoạn BT cắt AC I Do ∠AIB = ∠T IC ∠ABI = ∠T CI, suy ∠BAI = ∠CT I Suy ra, ∠BT C = ∠BAC = 70◦ , suy ∠T BC = 180◦ −70◦ = 55◦ Do ∠CAT nhỏ góc BAT nên T, B thuộc hai nửa mặt phẳng bờ AC Đoạn BT cắt AC I Do ∠AIB = ∠T IC ∠ABI = ∠T CI, suy ∠BAI = ∠CT I Suy ra, ∠BT C = ∠BAC = 70◦ , suy ∠T BC = 180◦ −70◦ = 55◦ H T A K I C B Xung quanh bờ hồ hình tròn có trồng dừa Người ta nhận thấy độ lệch chiều cao hai liên tiếp Chứng minh năm có chiều cao Chứng minh Đặt |a − b| = |b − c| = |c − d| = |d − e| = |e − a| = k ≥ 0, ta có a − b = k, b − c = k, c − d = k, d − e = k, e − a = k, với j = ±1 Cộng vế cho ta = k( Do tổng d = e MYTS j + + + + ) số lẻ nên từ suy k = 0, kéo theo a = b = c = Mathematical Young Talent Search 22 8 8 8 HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM Kỳ thi Tìm Kiếm Tài Toán học trẻ A G B Cho lục giác ABCDEF , với G trung điểm F A, I điểm đường chéo CF cho IC = 13 IF Chứng minh tam giác IGE F I C E D Biết α nghiệm đa thức P (x) = x3 + 9x − 5; β nghiệm thực đa thức Q(x) = x3 − 15x2 + 84x − 165 Chứng minh α + β = Bác Dư chép lên bảng số tự nhiên từ đến n Do sơ suất, bác Dư quên viết số tự nhiên nên trung bình cộng số bảng 599 Hỏi 17 bác Dư quên viết số nào? Ở xứ sở Magic Wood có ba loài vật: có 12 rắn, 23 chuột 31 mèo Hễ rắn ăn mèo, biến thành chuột, mèo ăn chuột biến thành rắn Hơn nữa, rắn ăn chuột, biến thành mèo Hỏi nhiều có vật Magic Wood không ăn nữa? Giả sử K số gồm mười số (không thiết khác nhau) cho số K tổng bình phương tất chín số lại Hãy tìm tất số K M Cho tam giác ABC với D, E, F trung điểm BC, CA AB Một đường thẳng qua A cắt DE, DF M, N tương ứng Gọi P giao điểm BM , CN Chứng minh ba điểm E, F , P thẳng hàng MYTS A N P E F B D Mathematical Young Talent Search C 23 8 8 8 Xung quanh bờ hồ hình tròn có trồng dừa Người ta nhận thấy độ lệch chiều cao hai liên tiếp Chứng minh năm có chiều cao Xác định tất số nguyên dương n cho 7n − 12 2n − 14 24n + + n = 2n 3n MYTS Mathematical Young Talent Search 24 8 8 Đáp án Khối lớp A G B Cho lục giác ABCDEF , với G trung điểm F A, I điểm đường chéo CF cho IC = 13 IF Chứng minh tam giác IGE F I C E D Lời giải Gọi O trung điểm CF Vì lục giác ABCDEF tính đối xứng nên O tâm lục giác Ta chứng minh hai tam giác IOE, GF E Ta có OE = OF Lại có OI = OC/2 = AF/2 = GF Mặt khác, ∠EF G = ∠EOI = 120◦ Suy hai tam giác EF G EOI Suy EG = EI, ∠GEF = ∠IEO Suy ∠GEI = ∠F EO = 60◦ Vậy nên, tam giác IGE Các khác vẽ lưới tam giác A B G C I D O F E Người đề xuất: Phạm Văn Thuận Biết α nghiệm đa thức P (x) = x3 + 9x − 5; β nghiệm thực đa thức Q(x) = x3 − 15x2 + 84x − 165 Chứng minh α + β = Chứng minh Vì α nghiệm đa thức P (x) nên ta có α3 + 9α − = Lưu ý β nghiệm Q(x) nên Q(β) = β − 15β + 84β − 165 = MYTS Mathematical Young Talent Search 25 8 8 8 Ta chứng minh − α nghiệm Q(x) Thực vậy, ta có Q(5 − α) = (5 − α)3 − 15(5 − α)2 + 84(5 − α) − 165 = −α3 − 9α + = Tức − α nghiệm Q(x), mà β nghiệm Q(x) Vì tính nghiệm thực, suy − α = β, tức α + β = Người đề xuất: Nguyễn Tiến Lâm, Phạm Văn Thuận Bác Dư chép lên bảng số tự nhiên từ đến n Do sơ suất, bác Dư quên Hỏi viết số tự nhiên nên trung bình cộng số bảng 599 17 bác Dư quên viết số nào? Chứng minh Giả sử số bỏ sót d Khi đó, tổng S số tự nhiên lại S = + + + ··· + n − d = n(n + 1) − d Vì trung bình cộng số bảng 599/17 nên ta có S = Vậy nên n(n + 1) 599 −d= (n − 1) 17 599 (n − 1) 17 Lưu ý d ≤ n nên 599 n(n + 1) (n − 1) ≥ − n 17 Bất đẳng thức cho ta n ≤ 70 Lại có 599 (n − 1) ≤ n(n+1) − Bất đẳng 17 thức cho ta n ≥ 69 Để S số tự nhiên n − phải chia hết cho 17 Nghĩa n = 69 Từ suy d = 19 Đáp số: 19 Ở xứ sở Magic Wood có ba loài vật: có 12 rắn, 23 chuột 31 mèo Hễ rắn ăn mèo, biến thành chuột, mèo ăn chuột biến thành rắn Hơn nữa, rắn ăn chuột, biến thành mèo Hỏi nhiều có vật Magic Wood không ăn nữa? MYTS Mathematical Young Talent Search 26 8 8 8 Lời giải Nhiều loài tồn Đó loài mèo, tính chẵn lẻ mèo chuột giống vậy, tất số mèo biến mất, tức cần 31 lần ăn Kéo theo 35 vật tồn Mặt khác, 23 mèo ăn 23 chuột, biến thành rắn, thfi có 35 rắn mèo Tiếp theo, rắn ăn mèo, biến thành chuột, bị mèo ăn nốt Tức 35 rắn Lời giải Gọi số lần rắn ăn mèo a, mèo ăn chuột b rắn ăn chuột c Gọi x, y, z số rắn, số mèo, số chuột Ta có 12 − a − c + b = x, 31 − a − b + c = y, 23 − b − c + a = z (4) Không ăn ba số x, y, z có hai số Do y, z tính chẵn lẻ, x khác tính chẵn lẻ với y, z nên suy 31 − a − b + c = 0, 23 − b − c + a = Giải hệ cho ta b = 27 Do đó, a − c = Số rắn 12 + 27 − a − c = 39 − a − c Để số lượng rắn lớn a + c phải nhỏ Tức a + c = a − c + 2c = + 2c nhỏ nhất, tức c = Vậy nên, đáp số 39 − = 35 Người đề xuất: Dusan Djukic Giả sử K số gồm mười số (không thiết khác nhau) cho số K tổng bình phương tất chín số lại Hãy tìm tất số K Hướng dẫn Không tính tổng quát giả sử mười số tập K có thứ tự sau a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ a10 MYTS Mathematical Young Talent Search 27 8 8 8 Từ giả thiết số aj viết dạng tổng bình phương chín số lại nên ta chọn j = j = 10 Thành a1 = a22 + a23 + · · · a210 , a10 = a21 + a22 + · · · + a29 Từ suy tất số K không âm Vì a1 ≤ a10 nên suy a22 + a23 + · · · + a210 ≤ a21 + a22 + · · · + a29 Tức a210 ≤ a21 Suy a10 ≤ a1 số không âm Tức suy tất số tập K Cho nên aj = 9a2j , hay aj = aj = 91 Đáp số: K= (0, 0, , 0), 1 , , , 9 Người đề xuất: Nguyễn Tiến Lâm M Cho tam giác ABC với D, E, F trung điểm BC, CA AB Một đường thẳng qua A cắt DE, DF M, N tương ứng Gọi P giao điểm BN , CM Chứng minh ba điểm E, F , P thẳng hàng A N P E F B D C Nếu M N song song với BC dễ thấy AM DB, AN DC hai hình bình hành Suy M N = BC, dẫn đến M N BC hình bình hành Nên hai đường chéo BM, CN cắt trung điểm đường Suy P M = P B, lại có F trung điểm AB nên F P song song với AM , dẫn đến song song với CD Tương tự ta có P E song song với CD Từ kết luận P, E, F ba điểm thẳng hàng MYTS Mathematical Young Talent Search 28 8 8 8 Nếu M N không song song với BC K giao điểm M N với EF (kéo dài) Gọi P giao điểm BM với EF Theo định lý Thales áp dụng cho hai tam giác đồng dạng KAF KM E, ta có Lại có CE NF = AE NF ME ME PE KE = = = KF AF BF PF = KE , suy KF CE PE = , NF PF tức P , N, C thẳng hàng Suy P trùng với P Vậy nên P, E, F thẳng hàng Người đề xuất: Nguyễn Lê Phước, Trần Quang Hùng Xung quanh bờ hồ hình tròn có trồng dừa Người ta nhận thấy độ lệch chiều cao hai liên tiếp Chứng minh năm có chiều cao Chứng minh Đặt |a − b| = |b − c| = |c − d| = |d − e| = |e − a| = k ≥ 0, ta có a − b = k, b − c = k, c − d = k, d − e = k, e − a = k, với j = ±1 Cộng vế cho ta = k( Do tổng j + + + + ) số lẻ nên từ suy k = 0, kéo theo a = b = c = d = e Người đề xuất: Nguyễn Tiến Lâm Xác định tất số nguyên dương n cho 7n − 12 2n − 14 24n + + n = 2n 3n Chứng minh Rõ ràng, nghiệm phương trình phải số nguyên dương Viết lại phương trình dạng (7n − 12)3n + (2n − 14)2n + 24n = 6n , MYTS Mathematical Young Talent Search 29 8 8 8 sau biến đổi ta (2n − n2 )(3n − 2n + 14) = (3n − 2n)(3 − n)(n − 4) Giả sử n ∈ N Thì 3n = (1 + 2)n ≥ + 2n cho 3n − 2n 3n − 2n + 14 dương Vì 2n > n2 với n, trừ với n = 2, 3, Suy n lớn n = hai vế trái dấu (vế trái dương, vế phải âm) Vậy nên ta cần xét trường hợp n = 2, 3, Thử trực tiếp cho ta n = nghiệm Đáp số: n = Người đề xuất: Michel Bataille MYTS Mathematical Young Talent Search 30 ... a23 + · · · a210 , a10 = a21 + a 22 + · · · + a29 Từ suy tất số K không âm Vì a1 ≤ a10 nên suy a 22 + a23 + · · · + a210 ≤ a21 + a 22 + · · · + a29 Tức a210 ≤ a21 Suy a10 ≤ a1 số không âm Tức... Talent Search 29 8 8 8 sau biến đổi ta (2n − n2 )(3n − 2n + 14) = (3n − 2n)(3 − n)(n − 4) Giả sử n ∈ N Thì 3n = (1 + 2) n ≥ + 2n cho 3n − 2n 3n − 2n + 14 dương Vì 2n > n2 với n, trừ với n = 2, 3, Suy... 720 kg Giả sử số người phát kho báu n Vậy nên tổng số vàng bạc 120 n Số vàng 120 n− 720 Ta có 120 n − 720 < 30 n Lưu ý 120 n ≥ 720 , suy n ≥ Kết hợp hai bất đẳng thức cho ta n = Tức × 120 − 720 = 120