C©u 1: Số gia hàm số hàm số y = f(x) điểm x0 tính theo công thức: a y = f( x) b b y = f(x) – f(x f(x0) c y = f( x) – f(x) d y = f( x+ x) – f(x f(x) C©u 2: Hệ số góc tiếp tuyến điểm M0 (x0;f(x0)) đồ thị hàm số y = f(x) : a f ’(x) b f(x) cc f ’(x0) d f(x0) C©u 3: Hệ số góc cát tuyến AB với đồ thị hàm số y = f(x), biết hoành độ hai điểm A B x1, x2 , cho công thức: x2  x1 a f ( x2 )  f ( x1 ) f ( x2 )  f ( x1 ) b x1  x2 f ( x1 )  f ( x2 ) c x2  x1 f ( x2 )  f ( x1 ) d d x2  x1 Nhắc lại định nghóa hàm số đồng biến, nghịch biến Hàm số y = f(x) xác định khoảng (a;b) -Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) khoảng (a;b) với x1,x2  (a;b) mà x1 < x2 f(x1) < f(x2) -Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) khoảng (a;b) với x1,x2  (a;b) mà x1 < x2 f(x1) > f(x2) Dễ dàng nhận thấy f(x) đồng biến khoảng (a;b)  y/ x > khoảng (a;b) f(x) nghịch biến khoảng (a;b)  y/ x < khoảng (a;b) Hàm số đồng biến nghịch biến khoảng gọi chung đơn điệu khoảng Từ ta có: y f(x) đồng biến (a;b) f’(x) = lim 0 x khoảng x  y f(x) nghịch biến (a;b) f’(x) = lim 0 x khoảng x  Điều kiện đủ tính đơn điệu Định lí 1( Định lí Lagrăng ) Nếu hàm số y = f(x) liên tục đoạn [a;b] có đạo hàm khoảng (a;b) tồn điểm c  (a;b) cho: f(b) – f(a) = f’(c) (b – a) hay f (b)  f (a ) f '(c)  b a Ý nghóa hình học định lí Lagrăng Xét cung AB đồ thị hàm số y = f(x) tọa độ điểm A (a;f(a)), điểm B (b;f(b)) y Hệ số góc cát tuyến AB f(b) B C f (b)  f ( a) f(c) b a Đẳng thức f (b)  f (a ) f '(c)  b a Có nghóa f(a) O A a c b x y f(b) C f(c) f(a) O B A a c b x Hệ số góc tiếp tuyến cung AB điểm (c;f(c)) hệ số góc cát tuyến AB Vậy giả thiết định lí lagrăng thỏa mãn tồn điểm C cung AB cho tiếp tuyến song song với cát tuyến AB Định lí Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm khoảng (a;b) a) Nếu f’(x) > với x  (a;b) hàm số y = f(x) đồng biến khoảng b) Nếu f’(x) < với x  (a;b) hàm số y = f(x) nghịch biến khoảng Chứng minh đ/lí Lấy x1, x2 (x1 < x2 ) khoảng (a;b) Áp dụng định lý Lagrăng cho hàm số y = f(x) đoạn [x1;x2], Tồn điểm c  (x1;x2) cho: f(x2) – f(x1) = f’(c) (x2 – x1) b)Neáu f’(x) < khoảng (a;b) f’ (c) < 0, mặt khác x2 – x1> nên f(x2) – f(x1) < 0, tức f(x1) > f(x2) Vậy hàm số y = f(x) nghịch biến khoảng ( a;b) Định lí mở rộng định lí 2: Định lí Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm khoảng (a;b) Nếu f’(x)  (hoặc f’(x)  0) , đẳng thức xảy hữu hạn điểm khoảng (a;b) hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) khoảng Ví dụ Tìm khoảng đồng biến nghịch biến hàm số y = x3 – 6x2 + 9x Giải Hàm số cho xác định với x  R Ta có y’ = 3x2 – 12x + xác định R y’ =  x = x = Bảng biến thiên x y’ y - + + _ + Vậy hàm số đồng biến khoảng (-  ;1) (3; +  ), nghịch biến khoảng (1;3) Ví dụ Tìm khoảng đơn điệu hàm số y = 3x   x Giải Hàm số xác định với x 2 0, x R x 1 Ta coù: y’ =  3 x x y’cuõng xác định với x  0, x R Dấu y’ dấu x2 – Bảng biến thieân x y’ y -1 - + _ _ + + -1 11 Vậy hàm số đồng biến khoảng (-  ;-1) (1; + ), nghịch biến khoảng (-1;0) (0;1) ... nghóa hàm số đồng biến, nghịch biến Hàm số y = f(x) xác định khoảng (a;b) -Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) khoảng (a;b) với x1,x2  (a;b) mà x1 < x2 f(x1) < f(x2) -Hàm số y = f(x) nghịch biến. .. đẳng thức xảy hữu hạn điểm khoảng (a;b) hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) khoảng Ví dụ Tìm khoảng đồng biến nghịch biến hàm số y = x3 – 6x2 + 9x Giải Hàm số cho xác định với x  R Ta có y’ =... f(x) đồng biến khoảng (a;b)  y/ x > khoảng (a;b) f(x) nghịch biến khoảng (a;b)  y/ x < khoảng (a;b) Hàm số đồng biến nghịch biến khoảng gọi chung đơn điệu khoảng Từ ta có: y f(x) đồng biến