Chuyên đề: Một số ứng dụng định lí Viét A Đặt vấn đề I - Lý chọn ®Ị tµi  Nh đà biết phơng trình bậc hai nội dung quan trọng chơng trình đại số lớp 9, toán liên quan đến phơng trình bậc hai vô phong phú Do khả gặp phơng trình bậc hai kì thi tuyển sinh vào THPT, vào trờng chuyên, lớp chọn cao Mà đặc biệt toán liên quan đến định lý Viet Tuy nhiên phân phối chơng trình cho phần định lý Viet rÊt Ýt (1 tiÕt lý thuyÕt, tiÕt bµi tËp), đại đa số học sinh thờng lúng túng đứng trớc toán có liên quan đến định lý Viet ứng dụng số ứng dụng định lí Trớc thực tế đó, nhằm giúp em nắm đợc cách có hệ thống có khả giải đợc tập phần cách thành thạo, nhằm phát huy khả suy luận, óc phán đoán, tính linh hoạt học sinh, đà nghiên cứu viết chuyên ®Ị: “Mét sè øng dơng cđa ®Þnh lý Viet” II Mục đích nghiên cứu - Thứ nhất: Xuất phát từ nhu cÇu thùc tÕ vËn dơng cđa häc sinh, tríc thiên hớng tốt, cha tốt mà thấy cần phân loại số phơng pháp giải cho em - Thứ hai: Bản thân ngời thầy rầt cần trau dồi tự học tham khảo làm chủ kiến thức III Phơng pháp nghiên cứu - Nghiên cứu vấn đề lý thuyết phuơng trình bậc hai, định lý Viet chơng trình đại số lớp - Nghiên cứu qua tài liệu tham khảo, chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi - Qua thực tế giảng dạy đặc biệt từ kinh nghiệm båi dùìng häc sinh giái, «n tËp cho häc sinh thi vào THPT - Qua trao đổi , học hỏi kinh nghiệm bạn bè đồng nghiệp, đồng chí có nhiều năm công tác, có bề dày kinh nghiệm IV Nhiệm vụ đề tài Đề cập tới số ứng dụnh định lý Viet Rút số nhận xét ý làm dạng , cách giải dạng Từ dần hình thành khả tổng hợp, khái quát lực t khác cho học sinh V Giới hạn nghiên cứu - Chuyên đề áp dụng đợc với đối tợng học sinh Tuy nhiên với đối tợng giáo viên cần lựa chọn hệ thống tập với mức độ khó, dễ phù hợp - Chuyên đề áp dụng tốt việc ôn luyện học sinh giỏi, hớng dẫn học sinh ôn thi vào THPT, đặc biệt ôn thi vào trờng chuyên, lớp chọn - 2- Chuyên đề: Một số ứng dụng định lí Viét b giải vấn đề I – cë së cña lý thuyÕt  §iỊu kiƯn vỊ nghiệm phơng bậc hai ẩn Phơng trình: ax2 + bx + c = (*)  b 4ac a) Nếu < (*) vô nghiƯm  b b) NÕu  = th× (*) cã nghiÖm kÐp: x1 x  2a c) NÕu > (*) có nghiệm phân biệt x1  * NÕu (*) cã nghiƯm, gäi nghiƯm ®ã x1, x2 thì: b 2a ; x2   b  2a  b  S  x1  x    a  c P x x   a  (Viet) Phần I Một số ứng dụng định lí viét Dạng 1: ứng dụng định lí Viét vào việc nhẩm nghiệm phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0, a I Phơng pháp giải Xét phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = ( a 0) (*) c NÕu a + b + c = th× (*) cã nghiƯm x1 1; x  a  c NÕu a - b + c = th× (*) cã nghiÖm x1  1; x  a NÕu x1  x m  n ; x1 x m.n phơng trình có nghiƯm: x1 m; x n hc x m; x1 n II Một số ví dụ VD1: Giải phơng trình sau cách nhẩm nhanh - 3- Chuyên ®Ị: Mét sè øng dơng cđa ®Þnh lÝ ViÐt a b (1) x  (  ) x  15 0 1 2m  x2  x 0 (Víi m n (2  m)(m  3) c (m -3)x2 – (m +1)x – 2m + = m 2; m 3, x lµ Èn) ( m lµ tham sè, x lµ Èn) Hớng dẫn: a phần HS dễ nhận thấy a + b + c 0, a - b + c 0, nhng có a.c = phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 x áp dụng hÖ thøc ViÐt cã:    x x Vậy phơng trình có nghiệm là:  vµ   15   x x 1 (2) (3)  15 < Do 2 b Đây phơng tr×nh bËc hai cã: a + b + c  m  2m   0 m  (2  m)(m  3) 2m  (Với m 2; m 3) Nên phơng trình đà cho cã nghiƯm ph©n biƯt x1 1; x  m c phơng trình không HS sai lầm vội vàng kết luận ngay: a b + c = m – + m + – 2m + = Nªn x1  ; x 2m mà không thấy đợc phơng trình đà cho cha phải phơng trình bậc hai Vì ta cần xét m = 0; m – 0, råi nhÈm nghiƯm Gi¶i: + NÕu m – =  m = phơng trình (3) trở thành -4x =  x = -1 + NÕu m – m phơng trình (3) có a – b + c = 0, nªn cã nghiƯm x1  1; x  2m  m KÕt luËn: Nh vËy, ta ph¶i nhÈm nghiƯm cđa PT d¹ng: ax2 + bx + c = ( a 0) (*) ta cần + Xét a = sau ®ã nhÈm nghiƯm + XÐt a 0 kiĨm tra sau ®ã nhÈm nghiƯm Trong thùc tÕ HS cã thĨ ph¶i nhÈm nghiƯm cđa PT bËc ba bậc (dạng đặc biệt) Để giải đợc tốt định lí, phải đa PT dạng PT bậc nhẩm đợc nghiệm VD2: Nhẩm nghiệm phơng trình x x  x  0 (4) Híng dÉn PT (4) có tổng hệ số là: + – – = 0, nªn PT (4) cã nghiƯm x = Khi ®ã ta ®a PT (4) vỊ d¹ng: (x -1)(5x2 + 6x + 1) = 0, nhÈm tiÕp nghiÖm: 5x2 + 6x + = Kết phơng trình (4) có nghiệm: x1 = 1; x = -1; x3 =  VD3: Giải phơng trình : x (x +1)(5x2 - 6x - ) = Híng dÉn: Phơng trình có dạng x 5x2 (x +1) – ( x+ 1)2 = (5) NhËn thấy x = -1 nghiệm phơng trình (5) nên ta chia vế cho ( x +1)2 ta đợc: x2 x Đặt x x +5 x x -6=0 ta đợc X + X = Dễ dàng nhận đợc X = ; X = -6 Sau ®ã giải tiếp tìm đợc x - 4- Chuyên đề: Một số ứng dụng định lí Viét Dạng 2: Tính giá trị biểu thức nghiệm phơng trình bậc hai I Phơng pháp giải Đối với bất phơng trình nghiệm phơng trình dạng biểu thức ta gặp biểu thức đối xứng không đối xứng nghiƯm Víi biĨu thøc ®èi xøng ta cã thĨ biĨu thị biểu thức theo S = x1 + x2 P = x1 x2 nhờ tính đợc giá trị biểu thức mà giải phơng trình II Một số ví dụ VD1: Giả sử x1 x2 nghiệm phơng trình bậc hai 3x2 – cx + 2c -1 = TÝnh theo c giá trị biểu thức A = Giải: Theo định lý viét ta có: 1 + x1 x 23  x  x2     c   x x    S= 1 x 23  x13  x1  x   3x1 x  x1  x  + = = x13 x 23 x13 x 23 x13 x 23 S= 2c  c  c    3  3  2c        c c  18c  =   2c  1 Víi biĨu thøc kh«ng ®èi xøng nghiƯm tríc hÕt ta cịng ph¶i tÝnh S = x1 + x2 ; P = x1 x2 Sau cần kéo biến đổi biểu thức nhiều xuất S P từ ta tính đợc giá trị biểu thức VD2: Không giải phơng trình , hÃy tính hiệu lập phơng nghiệm lớn nhỏ phơng trình bậc hai : x2 - 85 x 1 0 16 (*) 85 21    16 16 16 Hớng dẫn: Phơng trình (*) có biệt x1, x2 Không tính tổng quát Giả sử x1 áp dụng định lý viét, ta có S = x1 + x2 =  85    Phơng trình (*) có nghiệm phân x2 P = x1 x2 =  21 16 ta cã x13  x 23 = (x1 - x2 ) x12  x 22  x1 x = (x1 - x2 )  x1  x   x1 x Do x1  x2 nªn x1 - x2 =  x1  x  = x12  x 22  x1 x =  x1  x   x1 x VËy x13  x 23 =  s  p s  p 64 85 84  85 21     = 16 16 16  16 16  =  =1 VD3: a Gi¶ sư x1 , x2 nghiệm phơng trình x ax  = TÝnh S = x17  x 27 theo a b Tìm đa thức bậc cã hƯ sè nguyªn nhËn a 7  làm nghiệm Hớng dẫn: a x17 x 27 không biẻu diễn trực tiếp đợc dới dạng x1 + x2 x1 x2 Tuy nhiªn ta cã thĨ biĨu diƠn S = x17  x 27 = x14  x 24 x13  x 23  x13 x 23  x1  x - 5- Chuyên đề: Một số ứng dụng định lí Viét Nh ta ph¶i tÝnh x14  x 24 ; x13  x 23 theo a ThËt vËy kÝ hiÖu S n x1n  x 2n Theo ViÐt ta cã: Do ®ã S x12  x 22  x1  x   x1 x a  2  x1  x a   x1 x 1 S  x14 x 24  x12  x 22   x12 x 22  a    = a  4a  S  x13  x 23  x1  x   3x1 x  x1  x  a  3a VËy S  a  4a  2 a  3a   a a  7a 14a 7a b Để tìm đa thức bậc nhận làm nghiệm nghĩa ta phải tìm đa thức bậc mà thay vào giá trị đa thức b»ng 0: Theo phÇn a cã: x17  x 27 = a  7a  14a  7a  a  7a  14a  7a - x17  x 27 0 (1) Nh trớc hết ta phải lập phơng trình bậc có hệ số: Đặt x1  ; x  ta cã: x1 + x2 = 3  a ; x1 x2 = 7  1 Do ®ã x1, x2 nghiệm phơng trình x  x  0 Theo (1)    7  14  7     0  3 15   105  210  105  34 0 VËy đa thức cần tìm 15 x 105 x  210 x  105 x  34 Với biểu thức cần tính biểu thức mà không đối xứng nghiệm trớc hÕt ta t¸ch S =x1 + x2 ; P= x1 x2 sau cần có nhìn nhận cách linh hoạt khéo léo để biến đổi biểu thức ®· cho nh»m x hiÖu S; P tõ ®ã tÝnh đợc giá trị biểu thức VD4: Cho phơng trình x  x  0 Gäi nghiệm phơng trình x1, x2 Tính giá trÞ cđa biĨu thøc A = x   x 1 Hớng dẫn : biểu thức A biểu thức đối xứng gi÷a vÕ nghiƯm x1 , x2 Nh vËy nÕu ®Ó ý kü ta thÊy x1    x1 (Đề thi vào lớp 10 THPT Nguyễn TrÃi năm học 2005-2006) Có x1 + x2 = 5; x1 x2 =  x1  , x2 Vì x1 nghiệm phơng trình x x nªn x12  x1  0  x12  x1  x1    x1  2 x1    x1   =  x1  = x1  Khi ®ã A = x1  x1   x2   A  x1  x   x1  x  x1 x   A = 5+2 -   1  A = ( v× A 0 * VD7 sau mặt S P3 nhng vội vằng bình phơng vế gặp bế tắc Thế nhng học sinh khéo thay thÕ x1  bëi x1  nh trªn với bình phơng vế giá trị biểu thức A tính đớc cách dễ dàng Với biểu thức mà có chứa luỹ thừa bậc cao th× viƯc biĨu diƠn l thõa bËc cao cđa nghiệm qua luỹ thừa thấp nghiệm phơng án giúp cho việc tính toán thuận lợi nhiều Với phơng trình a x  bx  c 0 cã nghiÖm x1 , x2 vµ S = x1 + x2 ; P = x1 x2 Khi ®ã : - 6- Chuyên đề: Một số ứng dụng định lí Viét x12  x1  x  x1  x1 x Sx1  P x13 = x1 x12 x1  Sx1  P  Sx12  Px1 = S  Sx1  P   Px1 S x1  SP  Px1 =  S  P  x1  SP x14  x1 x13  S  2SP  x1  P  S P VD 5: Cho phơng trình x  x  0 , cã nghiÖm x1 , x2 ( thøc : A= x14  x 23  3x12  x  B= x15  3x12  x1   x giá trị biĨu x 24  x 2 Híng dẫn: Theo định lí Viét có S = 2; P = - áp dụng hệ thức ta cã: x12 2 x1  ; x 22 2 x  x 23   1 x  2.1 5 x  x14   2.2.1.x1  1.  1 12 x1  x 24 12 x  x15 x1 x14 x1 12 x1  5 12 x12  x1 = 12 x1  1  x1 29 x1  12 Ta cã : A= x14  x 23  3x12  x  12 x1   2(5 x  2)  3(2 x1  1)  x  12 x1   10 x   x1   x  18 x1  18 x  18( x1  x )  40 x 24  x 2 2 = 12 x1  x1  3x1  x1    x  1  x 2 2 = x1  x1   4x2  4x2  = 3x1  x Vì phơng trình có ac = -1 nên x1 , x trái dấu mà x x1  Khi ®ã B = x1    x  1 B = x1  3x   3. x1  x   2 11 = 3.2 -  B = x15  3x12  x1   * §èi với biểu thức nghiệm hai phơng trình Trong thùc tÕ nhiỊu ta ph¶i tÝnh biĨu thøc nghiệm hai phơng trình Để làm đợc tập kiểu ta phải tìm S,P phơng trình xem xét, thay cách hợp lý ( thờng phải thay nhiều lần ) ta tách đợc giá trị biểu thức VD2: Giả sử x1 , x hai nghiệm phơng trình x ax 0 vµ x , x lµ nghiƯm phơng trình x bx Tính giá trị biểu thức: M = x1  x3 . x  x3 . x1  x . x  x  theo a vµ b Híng dÉn: Theo hƯ thøc ViÐt ta có: - 7- Chuyên đề: Một số ứng dụng định lí Viét x1 x a   x1 x 1 vµ  x  x  b   x x 1 Do ®ã  x1  x3 . x  x  x1 x  x1 x  x x  x x = + x1 x  x x  = x1 x  x x vµ  x  x . x1  x   x1 x  x x  x1 x  x x = + x x  x1 x  = x x  x1 x3  M =  x1 x  x x . x x  x1 x  M = x1 x x 42  x12 x3 x  x 22 x3 x  x1 x x32 M = x 42  x12  x 22  x32 M=  x32  x 42    x12  x 22     M=  x3  x   x3 x  x1  x   x1 x M= b  2   a  2 b  a VD 6: Gäi a,b lµ hai nghiệm phơng trình : x px b,c hai nghiệm phơng trình : x  qx  0 Chøng minh hÖ thøc  b  a . b  c  pq Hớng dẫn: Vì a,b hai nghiệm phơng trình : x px b,c hai nghiệm phơng trình : x qx nên theo định lý ViÐt ta cã : ; Ta cã  b  a . b  c  = b  ab  bc  ac = b  ab  bc  ac  2 ab  bc  = b  a  b   c a  b   2 ab  bc  =  a  b  b  c   2 ab  bc  =   p   q   21  2  pq ( Điều phải chứng minh) Bài tập áp dụng : BT1 Cho phơng trình : x x Không tính nghiệm phơng tr×nh h·y tÝnh: d x1 x  x x1 a x13  x 23 e x1  x b x1  x a  b   ab 1 c p b  c  q  bc 2 x12 x2  x  x1 BT2 Cho phơng trình : x  3x  0 Kh«ng tÝnh nghiƯm phơng trình , hÃy tìm giá trị biÓu thøc: A= x13  3x12 x  x 23  3x1 x 22 B= x1 x x x    x x  x1 x1   1      x1 x  C x1  x  x x1 BT3 Cho phơng trình x mx m Không tính nghiệm x1 x theo m, h·y tÝnh A = x12  x 22 B= x12 x2  x  x1  x12  3x1 x  x 22 x12 x  x1 x 22 Cho phơng trình ax bx  c 0  a 0 cã nghiÖm x1 ; x TÝnh theo a,b,c c¸c biĨu thøc - 8- C= Chuyên đề: Một số ứng dụng định lÝ ViÐt A=  x1  3x  x  3x1  B= x1 x2  x  3x1 x1  x cho phơng trình x x gọi x1 ; x nghiệm phơng trình Tính : A= x12 x1  x 22  x  B = x13  x12  x 23  x 22  Cho phơng trình x a x  a  3a  0 gäi x1 ; x nghiệm phơng trình Tìm giá trị a để  ax12 ax 22 ( thi häc sinh giái năm 2002 -2003) x1 x Cho phơng trình x x  0 cã nghiÖm x1 ; x hÃy tính giá trị biểu thức A = x1  3x B= x18  x 26 13x Cho phơng trình x x gọi x1 nghiệm âm phơng trình Tính giá trị biểu thức C = x18  10 x1  13  x1 Cho phơng trình ax bx c a 0 cã nghiƯm x1 ; x tho¶ m·n x1  x 22 CMR : b  a c ac 3abc 10 Giả sử phơng tr×nh x  ax  b 0 cã nghiƯm x1 ; x phơng trình x cx  d 0 cã nghiÖm x , x CMR  x1  x3  x1  x  x  x3  x  x  2 b  d   a  c  b  d    a  c   b d Dạng 3: ứng dụng địng lý Viét vào việc tìm số biết tổng tích cđa chóng NÕu hai sè v vµ V cã tỉng v + V = S tích u.v =p v V nghiệm phơng trình x  Sx  P 0 (*) §iỊu kiƯn để phơng trình (*) có nghiệm S  P 0 hay S 4 P Đó điều kiện tồn hai số v vµ V mµ tỉng v + V = S vµ v V =P Nh vËy biÕt tæng hai số ta tìm đợc hai số thông qua tích giải phơng trình bậc hai VD2: Tính hai cạnh hình chữ nhật cho biết chu vi b»ng 4a vµ diƯn tÝch b»ng b2 ( a,b  cho trớc) Hớng dẫn: Gọi x,y độ dài cạnh hình chữ nhật ( x; y2a ) Theo gi¶ thiÕt ta cã x+y= 2a x.y= b Do x,y nghiệm phơng trình X  2aX  b 0 (1) Cã   a  b  a  b . a  b  V× a,b   a+b  * NÕu a  b  Phơng trình (1) có nghiệm : X a  a  b a2  b2 X a  V× P  S 0  X  X Vậy hai cạnh hình chữ nhật là: Nếu a=b    =0 (1) cã nghiƯm kÐp lµ x1 x a Khi hình chữ nhật vuông cạnh a Nếu a b (1) vô nghiệm hình chữ nhật thoả mÃn đầu VD1: Tìm sè a,b biÕt a a+b = 10 vµ ab = 32 b a+b = vµ a2 +b2 = 13 c a –b = vµ ab = 80 d a2 +b2 = 29 ab = 10 Các số a,b cần tìm ( có) nghiệm phơng trình x2-10x+ 32 = có S2 P   x a     y a  - 9- a a   b2  b   x a     y a  a a 2 b b 2 Chuyên đề: Một số ứng dụng định lí Viét ( hay ) Hớng dẫn: VD dễ dàng phát để tìm a b trớc hết ta phải xác định đợc a.b ( phần a) ; a+b ( ë phÇn b;c) a Cã  a  b a  b  2ab 13  2ab  2ab = 12  ab =6 Nªn a,b nghiệm phơng trình : x x Giải phơng trình ta ®ỵc x1 3; x 2 VËy a= b = a= b= b cã a- b =  a+ (-b) = a.b =80  a.(-b) = -80  a vµ -b nghiệm phơng trình x x 80 Giải phơng trình đợc x1 10; x  vËy a= 10 vµ b= a = -8 b = -10 ( a  b)  ab 10 a  b 29   c Cã    ab 10 ab 10 ( a  b) 49   a+b = ab = 10 a+b =-7 vµ ab = 10 ab 10 * NÕu a+b = vµ ab = 10  a,b lµ nghiệm phơng trình x x 10 giải phơng trình đợc x1 2; x a= -2 b = -5 a= -5 b = -2 VD3: Giải hệ phơng trình sau: a b Nhận xét : Để giải hệ phơng trình ( phần a) ta biến đổi để tìm đợc x+y xy sau đa phơng trình bậc đà biết cách giải a (I) Đặt (I)   2 2  x  y  xy 5   y  xy 7 x x  y    yz  xy x  y   x  y   x  y  x  y  xy 5   y  xy 7 x  x  y   x  y  S  x    p  xy  14 y  S  P 5   S 3; S   S  P 5   S  12 0 S S  S S  S z xy 7  ( x  y )  12 0        6 zx 7   xy 5  xy 5 z  3  P 5        S  P S  P 3 (1) 2  Giải (1) : Theo định lý Viét, x,y nghiệm phơng trình t1 2; t t  3t  0 VËy (1) cã nghiệm (1;2) ; (2;1) Giải (2): Theo định lý Viét, x,y nghiệm phơng trình t 4t phơng trình t 4t  0 cã   nªn trêng hợp vô nghiệm Vậy nghiệm hệ phơng trình đà cho ( x;y) = ( 2;1) (1;2) b Cã :    P 5 x  y    yz  xy x  y   x  y  z 6  zx 7  xy  yz    2( xy  x  y  z    yz  z   ( 2) 9 6 zx 7  z  14 xz ) 14  y  z 6( ) x   yz  zx 7 ( 2)  xy  y( x  z) 9(3)  z)  y 6( )   ( x   yz  zx 7 ( 2)  xy   z) 9(3)  y( x Tõ (1) vµ (3) theo định lí Viét y x+z nghiệm phơng trình t=3 t 3 0 t  6t  0 tõ (1) (2) vµ (3)  Tõ (5) vµ (6) Theo định lí Viet x z nghiệm phơng trình t1 1; t 2 t  3t  0 VËy hƯ ph¬ng trình đà cho có nghiệm ( x,y,z) = ( 1;3;2) ; (2;3;1) Nhận xét : Vậy từ toán giải hệ phơng trình ba ẩn cách biến dổi thích hợp ta đà đa toán dạng tìm số biết tổng tích chúng ( víi sè thø nhÊt lµ x+z) , sè thø y ta giải đợc hệ nhờ định lí Viet Bài tập áp dụng: 1.Tìm số biết : a Tỉng lµ 18 vµ tÝch lµ 45 b Tỉng lµ vµ tÝch lµ -12 c Tỉng lµ -10 vµ tÝch lµ 16 3( 4)  y   z (5)  x  x z 2( 6)  - 10 - Chuyên đề: Một số ứng dụng định lí Viét d.Tổng 2+ tích e.Tỉng lµ vµ tÝch lµ -17 T×m sè x,y biÕt: a x – y = vµ x.y = 90 b x  y 625 vµ x+y = 35 c x  y 164 vµ x-y = d x  y 208 vµ x.y = 96 e x  y  xy 52 vµ x+y = T×m sè x,y biÕt: a x  y 34 vµ x.y = 15 b x  y 10 vµ x+y –xy = c x  y 2 vµ xy = - d x-y = vµ xy = 66 e x  y 177 vµ xy = -10 Dạng 4: ứng dụng định lí Viét vào việc xét dấu nghiệm phơng trình bậc hai Xét phơng trình bậc hai: ax bx c 0 (a 0) Cã  b  4ac P= x1 x  c a S = x1  x  b a Trong nhiỊu trêng hỵp ta cần so sánh nghiệm phơng trình bậc hai với số cho trớc xét dấu nghiệm phơng trình bậc hai mà không cần giải phơng trình đó, ta ứng dụng định lí Viét 1.phơng trình có nghiệm dơng P S 2.Phơng trình cã nghiƯm ©m    0   P S Phơng trình có nghiệm trái dấu: P Nhiều toán đòi hỏi tìm điều kiện để phơng trình bậc có nghiệm không âm Thờng có cách giải: Cách 1: Có P ( Trờng hợp có nghiệm dơng nghiệm không âm) Hoặc P = Trờng hợp tồn nghiệm Hoặc: Thì hai nghiệm dơng Cách 2: Trớc hết phải có phơng trình có nghiệm không âm : S ( Trờng hợp tồn nghiệm dơng) Hoặc S=0 ( Trờng hợp tồn nghiệm không âm) Hoặc S 0, P ( Trờng hợp có nghiệm không âm nghiệm âm) Tuỳ theo đầu mà chọn cách xét biểu thức P hay S  P  0   S  VD1: Tìm giá trị m để phơng trình sau cã nghiƯm cïng dÊu Khi ®ã nghiƯm mang dÊu g× ? a x  2mx  5m  0 (1) b mx  mx (2) Hớng dẫn: a Phơng trình (1) cã nghiÖm x1 , x cïng dÊu - 11 - Chuyên đề: Một số ứng dụng định lí Viét   P  m   5m  5m  0 4    m     m         m     m       m  m      m  5  2  2 4   m 1  5 m 4 Mặt khác: S = x1 + x2 = 2m > (Do m nhận giá trị dơng) nên PT có nghiƯm d¬ng b PT (2) cã hai nghiƯm x1 ; x2 cïng dÊu vµ chØ   m 0  m(m  12)  m 12  m  12m 0   m  m b m Mặt khác: S = x1 + x2 =    nªn PT cã hai nghiƯm cïng ©m a m  a m 0     0 P  VD2: Cho phơng trình (m + 1)x2 + 2(m + 4)x + m + = T×m m để phơng trình có: a Một nghiệm b Hai nghiệm dấu phên biệt c Hai nghiệm âm phân biệt Híng dÉn: a PT ®· cho cã mét nghiƯm vµ chØ  a 0   a 0    ' 0   m  0    m  0   (m  4)  (m  1) 0   m      m   3(2m  5) 0  m    m   b PT ®· cho cã nghiƯm ph©n biƯt cïng dÊu vµ chØ  a 0  '    P     m   3(2m  5)    m 1  1   m 1 m    5 m  c §Ĩ PT có hai nghiệm âm phân biệt  m    a 0 m    '      m    P   m  1   S     2(m  4)   m     m   5  m1 m    m    m   Qua vÝ dơ nµy, nhấn mạnh cho HS hiểu đợc dạng ax2 + bx + c = cã nghiƯm nghÜa lµ nh nào? VD3: Cho phơng trình (m 4)x2 2(m – 2)x + m -1 = T×m m để phơng trình - 12 - Chuyên đề: Một số ứng dụng định lí Viét a Có hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có GTTĐ lớn b Có nghiệm trái dấu GTTĐ Hớng dẫn: HS đà biết điều kiện để phơng trình d¹ng ax2 + bx + c = (a 0) có hai nghiệm trái dấu S < Tuy nhiên liên quan đến GTTĐ nghiệm, ta phải có thêm ĐK tích nghiệm nũa a PT đà cho có hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có GTTĐ lớn vµ chØ   m 4  a 0  1  m   m P   0    2m4    m  m   S     2(m  2)  m   b PT ®· cho cã hai nghiệm trái dấu GTTĐ chØ   m 4  a 0    2(m  2) S   0   m   P 0   m  m  0  m 4    m   m 1 m c Ta xét khả sau: TH1: NÕu m – = m = phơng đà cho trở thành -4x + =  x   Vậy m = giá trị thoả mÃn TH2: NÕu m – 0  m 4 ph¬ng trình đà cho phơng trình bậc hai có khả xảy để phơng trình có nghiệm dơng i) PT có nghiệm trái dấu Điều xảy P = ac <  m   1 m  m   ' 0  ii) PT có nghiệm kép dơng Điều xảy chØ   b '     a m 0   m 0 m    m  iii) PT cã nghiệm nghiệm dơng Điều xảy m   m 1  m 1  2(m  2) m Kết hợp lại ta có: Với m m = phơng trình có nghiệm dơng '  P 0  S   VD4: T×m giá trị m để phơng trình sau có nghiệm không âm (m + 1)x2 2x + m – = Híng dÉn: Ta xÐt khả xảy ra: i) Khi m + =  m = -1, PT ®· cho cã d¹ng -2x – =  x = -1 < Vậy m = -1 giá trị cần tìm ii) Khi m -1 PT đà cho phơng trình bậc hai - 13 - Chuyên đề: Một số ứng dụng định lí Viét Cách 1: PT đà cho có nghiệm không âm + Hoặc PT có nghiệm dơng, tức là: ( m 1)( m  1) 0  ' 0     S   m   2  m 0  m     1 m   m   m   + Hc PT có nghiệm âm nghiệm không âm, tức lµ:   ' 0   P 0  S   m   m  0   m   m     m   Kh«ng có giá trị m thoả mÃn m m Vậy giá trị cần tìm m -1 < m Cách 2: PT đà cho có nghiệm không âm + Hoặc PT có nghiệm trái dấu, tức là: P = hay – < m < + Hc PT cã mét nghiƯm b»ng 0, tøc lµ: P = hay m = + Hc PT cã nghiƯm cïng dơng, tức là: ' P  S    m    m     m Vậy giá trị cần tìm  m    m  m Cách 3: PT đà cho có nghiệm âm  ' 0  P   S    m    m     m     m  m    Vậy phơng trình đà cho có nghiệm không âm -1 < m Bài tập áp dụng BT1: Cho phơng trình x2 – 2(m + 1)x + m2 – 4m + = a Tìm m để phơng trình có nghiệm b Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt dơng BT2: Cho phơng trình (m 1)x2 – 2(m – 3)x + m – = Tìm m để phơng có hai nghiệm a Trái dấu b Hai nghiệm dơng c Hai nghiệm âm BT3: Cho phơng trình mx2 2(m 3)x + m + = Tìm m để phơng trình a Có nghiệm dơng b Có nghiệm không dơng Dạng ứng dụng định lí Viét vào so sánh nghiệm phơng trình bậc hai với số cho trớc I Phơng pháp giải dạng toán thờng gặp là: Tìm điều kiện tham số để so sánh nghiệm với số cho trớc Để giải tập kiểu ta thờng thực bớc sau: - 14 - Chuyên đề: Một số ứng dụng định lí Viét B1: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm B2: Từ điều kiện đầu tìm đợc biểu thức mối liên hệ nghiệm phơng trình B3: Thay tổng, tích nghiệm vào biểu thức B4: Tìm giá trị tham số, kết luận II Một số ví dụ Vd1: Tìm m để phơng trình x2 – mx + m = cã nghiÖm x1 ; x2 tho¶ m·n x1   x2 Híng dÉn: m Phơng trình đà cho có nghiệm x1 ; x2 vµ chØ  0  m(m  4) 0    m 4  x   x (1) Ta cã: x1   x2    x1    x2 (2) TH1: x = -2 lµ mét gnhiệm PT đà ta có: (-2)2 m(-2) + m =  + 3m =  m  4 Ta tÝnh nghiƯm cßn lại nhờ vào định lí Viét nh sau: c x1.x2  m  ( 2) x2   x2     x1 a 3 Vậy m giá trị cần tìm TH2: x1    x2  ( x1  2)( x2  2)   x1 x2  2( x1  x2 )    m  2m    m Kết hợp hai trờng hợp đối chiếu với điều kiện có nghiệm m 4 giá trị cần tìm VD2: Với giá trị m phơng trình x2 + x + m = cã hai nghiƯm ®Ịu lín m Hớng dẫn : Cách 1: PT đà cho cã nghiƯm tho¶ m·n m  x1 x2 vµ chØ   0   x1  m   x  m    0 1  4m 0  ( x1  m)( x2  m)     x1 x2  m( x1  x2 )  ( x  m )  ( x  m)   1  m    m  2m      2m     m    m    m2   m   1 m  Cách 2: Từ việc tìm m để phơng trình có hai nghiệm lớn m ta đa tìm m để PT có nghiệm dơng Bằng cách: Đặt t = x m x = t + m PT đà cho viết đợc dới dạng lµ (t + m)2 + t + 2m =  t + (2m+1)t + m2 + 2m = (*) - 15 - Chuyên đề: Một số ứng dụng định lí Viét VD3:Cho phơng trình m  4.x  2 m  2 x  m Tìm m để phơng trình cã nghiƯm x1 ; x tho¶ m·n : x1 0 x vµ x1  x Hớng dẫn: Vì x1 nên x1 x1 vËy x1  x   x1  x hay S x1  x 0 Do ®ã phơng trình đà cho có hai nghiệm x1 ; x thoả mÃn điều kiện toán  x1  0 x   x1  x 0 a   0   p   s    4 m  m    m    2 m   0 m   2  m  m   m   0  m   2 m  2 0   m   4 m  1    m4 Vậy giá trị cần tìm m là: m4 VD4: Cho hai phơng trình bậc hai: (1) x  mx  n 0 (2) c¸c tham số m,n,p,q phải thoả mÃn điều kiện để c¸c nghiƯm x  px  q 0 x1 ; x cđa (1) vµ x , x (2) thoả mÃn điều kiện Mỗi phơng trình có nghiệm bị kẹp nghiệm phơng trình ( Đề thi chọn HS thuộc Ba Lan 1950) Hớng dẫn : Không tính tổng quát, giả sư r»ng x1  x vµ x3  x Theo yêu cầu đề ta phải cã : x1  x3  x2  x4 hc x3  x1  x4  x2 DƠ dµng trờng hợp ta có x3 x1  x3  x  x  x1  x  x  0 (3) Do phơng trình (1) có hai nghiệm x1 ; x nên theo định lí Viét ta có: x m x Và phơng trình (2) có hai nghiệm x , x nên theo định lí ViÐt ta cã: n x x 1 2  x  x    x x q p   Ta cã (3)  x32   x1  x  x3  x1 x x 42   x1  x  x  x1 x     x32  mx  n  x 42  mx  n    q  mpq  np  2nq  mnp  m q  n Vậy điều kiện cần tìm (q  n )   m  p . mq np Bài tập áp dụng: Tìm m để phơng trình 2mx x  m 0 cã nghiƯm tho¶ m·n x  12 x Theo phơng trình : x m  1 x   m  1 0 a Tìm giá trị m để phơng trình có mét nghiƯm nhá h¬n 1, mét nghiƯm lín h¬n b Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm nhỏ Tìm m để phơng tr×nh mx  2 m  2 x  Có hai nghiệm phân biệt nghịch đảo hai nghiệm nhỏ Cho hai phơng trình : x px n 0 x  2mx  n Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm nằm xen hai nghiệm phơng trình Dạng 6: ứng dụng định lí Viét vào lập phơng trình có hai biêu thức chứa hai nghiệm ta cần lập phơng trình bậc hai nhận số x1 ; x nghiệm Điều dựa ®Þnh lý “ NÕu NÕu x1  x S x1 x P x1 , x nghiệm phơng trình x Sx P VD1: lập phơng trình bậc hai có hai nghiệm : - 16 - Chuyên đề: Một số ứng dụng định lí Viét 1 10 72 10 Giải: Theo ®Þnh lÝ ViÐt ta cã: S  x1  x = 10  72 P x1 x  + 10  72 20 = 10  722  10  72 = 28 10  72 = v× S 4 P nên x1 , x nghiệm phơng tr×nh 10  72 10  72 28 20 x2  x 0  28 x  20 x  0 28 28 Nh vËy víi toán lập phơng trình bậc hai đà biết trớc hai nghiệm ta cần áp dụng định lí Viét đảo song cần lu ý điều kiện để có hai nghiệm S P VD2: Cho phơng trình x px q 0 (1) cã hai nghiƯm x1 vµ x phơng trình hÃy lập phơng trình bậc hai theo y mà nghiệm số : y1  x1  ; x1  y2  x2  x2  Theo ViÐt ta cã x1  x  p x1 x q x1 x  x1  x 1 2q  + = = p q2 x1  x  x1 x   x1  x   S  y1  y = x1 x   x1  x   q  p  = x1 x   x1  x   q  p  Víi S 4 P th× y1 , y hai nghiệm phơng trình p y1 y = y2  V× hay 2q  q  p 1 y  0 p  q 1 q  p 1 p 4q   p  q  1 y  2 q  1 y   q   p ( phơng trình (1) có hai nghiƯm nªn 2q  q  p 1 4 0 p  q 1 q  p 1 S p VD3: Lập phơng trình bậc hai có hai nghiƯm x1 x 4 vµ x1 x2 a2    x1  x a Để lập đợc phơng trình bậc hai trớc hết ta cần tìm x1 x ThËt vËy ta cã x1 x 4 vµ x1 x   x1  x  2.4   x1  x  x2 x x  x1  x1 x  x x1 = = =   x1  x   x1  1. x  1 x1 x   x1  x     x1  x    x1  x  a     x1  x  a         x1  x   a     x1  x   a    x1  x = a  Víi ®iỊu kiƯn S 4 P  (a  1) 4.4  (a   4).a   4 0  a  0  a 3 a Khi x1 , x nghiệm phơng trình : X   a  1 X  - 17 - a Chuyên đề: Một số ứng dụng định lí Viét VD4: Biết x1 ; nghiệm phơng trình x px  q 0 Cßn x ;  nghiệm phơng trình x p1 x  q1 0 biÕt x1  x H·y lập phơng trình bậc hai có hai nghiệm x1 x2 giải: Theo ta có  p  q   p1  q1   p  q1 . q1  q V× x1  x nªn p  p1 0   q1  q p  p1 ta cã : x1    p ; x    p1 (1)  x1  x =   p  p1   2 * NÕu  0 x1  q ; x  q1  x1 x =  Do vËy S  x1  x    p  p1   P= x1 x = qq1  p  p1   q  q1   q.q1 2 q p1   p  p1  Với giá trị p , q S P x1 , x c¸c nghiƯm q  q qp  p  p .x phơng trình x   p  p1  0 p  p ( q  q )   * Víi  0 tõ (1)  x1  p ; x  p1  Ta có phơng trình : x p p1  x  p p1 0 Nh vËy để lập phơng trình bậc biết nghiệm thoả mÃn điều kiện ( số cho trớc liên quan tới nghiệm phơng trình phơng trình đó) Ta cần: B1: Tính tổng S tích P chúng B2: Lập phơng trình dạng : X SX P ( Điều kiện để cã nghiƯm lµ S  P 0 ) tập áp dụng: Lập phơng trình bậc hai biÕt hai nghiƯm : d a  b vµ a  b 1 a vµ e a+b m vµ a- b m b 1+ vµ 1- f m- m  vµ m+ m  c 3 vµ 3 2 Gọi x1 , x nghiệm phơng trình 3x x 0 Kh«ng tÝnh x1 , x h·y lËp phơng trình bậc hai ẩn y mà nghiệm y1  x1  1 ; y x x2 x1 3.Cho phơng trình x 2mx  0 , cã nghiÖm x1 , x hÃy tìm phơng trình bậc hai có hai nghiƯm lµ: X x1  3 ; X x  x1 x2 Gäi x1 , x nghiệm phơng trình x  x  0 Kh«ng tÝnh x1 , x hÃy lập phơng trình bậc hai Èn sè y mµ nghiƯm lµ y1  x1  x 1 ; y2  x1  x2  Gäi p, q lµ hai nghiƯm phơng trình bậc hai 3x x Không giải phơng trình hÃy lập phơng trình bậc hai mà nghiệm là: a p q vµ q p b (p + q)2 (p q)2 BT6 Giả sử PT ax2 + bx + c = (a kh¸c 0) có nghiệm x1, x2 khác Tìm PT bậc hai mà nghiệm trờng hợp sau: - 18 - Chuyên đề: Một số ứng dụng định lí Viét 1 a  x1  vµ   x  b vµ x1 x2 d x  x vµ x x 2 c 2x1 vµ 2x2 e x12 x 22 g Lớn nghiệm PT đà cho lợng n h Gấp n lần nghiệm PT đà cho BT7 Gọi x1, x2 nghiệm cña PT x2 - 7x + = a LËp PT bËc hai cã nghiƯm 2x1- x2 vµ 2x2 - x1 b Tính giá trị A = x1  x  x  x1 (Đề thi tuyển sinh vào trờng THPT NK - ĐHQG, năm học: 2000 2001) BT8 Lập PT bậc hai cã hai nghiÖm x1, x2 cho: 4 x1 x  5( x1  x )  0   ( x1  1)( x  1)  ( m  1)  m Dạng 8: ứng dụng định lí Viét vào giải toán cực trị liên quan đến biểu thức nghiệm PT bậc hai Các biểu thức thờng gặp cho nghiệm PT ta phải tìm GTNN, GTLN biểu thức nghiệm PT I Phơng pháp giải Để giải biểu thức thuộc dạng ta phải hớng dẫn HS: B1: Tìm điều kiện để PT bậc hai có nghiệm B2; Sử dụng định lí Viét biểu diƠn tỉng, tÝch hai nghiƯm theo tham sè, rỉi thay vào biêut thức cần tìm sau tìm GTLN, GTNN cđa biĨu thøc Êy II C¸c vÝ dơ VD1: Cho phơng trình x 2(m 1) x (2m 5) tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 biểu thức B = 12 - 10x1x2 – ( x 22  x12 ) đạt giá trị lớn Giải: Xét x  2(m  1) x  (2m  5) phơng trình có hai nghiệm (m 1)  ( 2m  5) 0  m   , ®óng víi mäi m Vậy phơng trình có hai nghiệm x1, x2  b  2(m  1)   2m  ; x1 x  2m  2a Mặt khác: B = 12 - 10x1x2 ( x 22  x12 ) = 51 – 4m2 + 12m = 60 – (2m – 3)2  Vậy giá trị lớn B = 60 2m – =  m  Theo ViÐt ta cã: x1  x  - 19 - .. .Chuyên đề: Một số ứng dụng định lí Viét b giải vấn đề I cở sở lý thuyÕt  Điều kiện nghiệm phơng bậc hai... phơng trình có nghiệm: x1 m; x n hc x m; x1 n II Mét số ví dụ VD1: Giải phơng trình sau cách nhẩm nhanh - 3- Chuyên đề: Một số ứng dụng định lí Viét a b (1) x  (  ) x  15 0 1 2m  x2  x...   x a     y a  a a 2  b  b 2 Chuyên đề: Một số ứng dụng ®Þnh lÝ ViÐt ( hay 0 ) Híng dÉn: ë VD dễ dàng phát để tìm a b trớc hết ta phải xác định đợc a.b ( phÇn a) ; a+b ( ë phÇn b;c)