Cauchy-Schwarz inequality kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức cauchy-schwarz Chúng ta biết nhiều bất đẳng thức cổ điển ứng dụng chúng đễ giải toán bất đẳng thức Mỗi loại chúng có kĩ thuật sử dụng riêng ta tinh ý phát nhiều lời giải đẹp, độc đáo mà nhiều kĩ thuật chứng minh khác Người làm toán, đặc biệt người đam mê toán bất đẳng thức thực thích toán giải phương pháp sử dụng bất đẳng thức cổ điển Trong chuyên đề xin giới thiệu với bạn kĩ thuật thêm bớt bất đẳng cauchy-schwarz Một kĩ thuật thật đơn giản thú vị Đầu tiên xin nhắc lại nội dung bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Với hai số thực a1, a2, …, an b1, b2, …, bn ta có bất đẳng thức: (a12+a22+ …+an2)(b12+b22+ …+bn2) ≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2 Dấu xảy aibj=ajbi với i≠j Ta nhìn bất đẳng thức dạng khác sau: Với hai số thực a1, a2, …, an b1, b2, …, bn thoả mãn bi dương ta có: an2 (a1 + a2 + + an ) a12 a22 + + + ≥ b1 b2 bn b1 + b2 + + bn Đẳng thức xảy aibj=ajbi với i≠j Để sử dụng thật tốt bất đẳng thức bạn phải có nhìn hai chiều với bất đẳng thức Nói chung bất đẳng ứng dụng giải toán nhiều hay dễ sử dụng bất đẳng thức dạng tắc Bây ta vào xét ví dụ để thấy sức mạnh bất đẳng thức cauchy-schwarz Nguyễn Đức Lâm, 11 toán Duclam3004@Gmail.com Cauchy-Schwarz inequality Ví dụ Ta chứng minh bất đẳng thức Nettbits ba biến a,b,c số dương Chứng minh rằng: a b c + + ≥ b+c c+a a +b Lời giải Lời giải toán đơn giản Sử dụng bất đẳng Cauchy-Schwarz ta a b c a2 b2 c2 (a + b + c ) 3(ab + bc + ca ) + + = + + ≥ ≥ = b + c c + a a + b ab + ac bc + ab ac + bc 2(ab + bc + ca ) 2(ab + bc + ca ) Đẳng thức xảy a=b=c ♠ Ví dụ a, b, c số dương tuỳ ý Chứng minh bất đẳng thức bc ca ab a +b+c + + ≤ b + c + 2a c + a + 2b a + b + 2c Lời giải Ta sử dụng nhận xét sau để giải toán trên: bc bc bc 1 bc bc = ≤ ( + )= ( + ) b + c + 2a ( a + b) + ( a + c ) a + b a + c a+b a+c Từ đánh giá ta bc ca ab ac bc a +b+c + + ≤ ∑( + )= b + c + 2a c + a + 2b a + b + 2c a ,b,c a + b a + b Đây điều phải chưúng minh Đẳng thức xảy a=b=c ♠ Lời giải thật thú vị phải không bạn, điều đáng ý cách giải việc phát đẳng thức sau ab ac ∑ (a + b + a + b) = a + b + c a ,b , c Cố gắng tạo đẳng thức cách tách nhóm thích hợp ta có lời giải đẹp Kĩ thuật ứng dụng cho ví dụ sau Ví dụ a,b,c số dương có tổng Chứng minh bất đẳng thức sau 1 1 + + ≤ 2 2 2 4a + b + c a + 4b + c a + b + 4c 2 Nguyễn Đức Lâm, 11 toán Duclam3004@Gmail.com Cauchy-Schwarz inequality Lời giải Sử dụng tư tưởng Ta cố gắng tìm đẳng thức Ta ý đến đẳng thức sau ∑( a ,b , c a2 b2 + )=3 a + b2 a + b2 Ta ý đến đẳng thức sau 4a2+b2+c2=2a2+(a2+b2)+(a2+c2) sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta phân tích sau (a + b + c) a2 b2 c2 = ≤ + + 4a + b + c 2a + ( a + b ) + ( a + c ) 2a a + b a + c Từ phân tích ta a2 b2 c2 9∑ ≤ ∑ + ∑( + 2) = 2 4a + b + c 2a a +b a +c Từ ta điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a=b=c=1 ♠ Qua ví dụ ta thấy kĩ thuật tách nhóm để sử dụng bất đẳng CauchySchwarz thật đơn giản cho lời giải đẹp, vừa hay lại vừa độc đáo Khi phương pháp tách nhóm để đưa đẳng thức không hiệu ta nên sử lí nào? Nói chung việc ước lượng thông qua đẳng thức không quan trọng lắm, miễn sau sử dụng Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta ước lượng bước Thay cố gắng tìm kiếm đẳng thức ta ước lượng thông qua bất đẳng thức Ta xem xét ví dụ sau để thấy điều Ví dụ Chứng minh với số thực dương a,b,c ta có bất đẳng thức: a2 b2 c2 + + ≤ (2a + b)(2a + c) (2b + a )(2b + c) (2c + a)(2c + b) Lời giải Ta ý đến đẳng thức (2a+b)(2a+c)=(2a2+bc)+a(a+b+c)+a(a+b+c) Từ sử dụng Bất đẳng Cauchy-Schwarz ta 1 ≤ + + (2a + b)(2a + c) 2a + bc a (a + b + c) a (a + b + c) ⇒ a2 a2 2a ≤ ( + ) (2a + b)(2a + c) 2a + bc a + b + c Sử dụng ước lượng ta Nguyễn Đức Lâm, 11 toán Duclam3004@Gmail.com Cauchy-Schwarz inequality a2 ∑ (2a + b)(2a + c) ≤ (∑ 2a a2 2a a2 + ) = ( + 2) ∑ ∑ + bc a +b+c 2a + bc Cuối ta chứng minh bất đẳng thức a2 b2 c2 + + ≤ (*) 2a + bc 2b + ca 2c + ab Thật ta có a2 a2 bc ≤ ⇔ + ∑ 2a + bc ∑ 2a + bc ≤ ⇔ ≤ ∑ 2a + bc Nhưng mà theo bất bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có bc (bc) = ∑ 2a + bc ∑ 2a 2bc + (bc)2 ≥ (ab + bc + ca ) =1 ∑ (ab)2 + 2∑ a 2bc Ta điều phải chứng minh Bất đẳng thức cho minh hoàn toàn Có đẳng thức ♠ a=b=c Ví dụ a,b,c số thực không âm có nhiều số không ta có a2 b2 c2 + + ≤ 2 2 2 3a + (b + c) 3b + (a + c) 3c + (a + b) Lời giải Chú ý đẳng thức xảy điểm (a,b,c)=(t,t,0) (t ∈ R) hoán vị Ta ý đến đẳng thức 3a2+(b+c)2=(2a2+2bc)+(a2+b2+c2) Từ sử dụng bất đẳng Cauchy-Schwarz ta a2 a2 a2 1 = ≤ ( + ) 2 2 2 3a + (b + c) (2a + 2bc) + (a + b + c ) 2a + 2bc a + b + c Sử dụng ước lượng ta a2 a2 a2 a2 ≤ ( + ( ) ≤ ( ∑ 3a + (b + c)2 ∑ 2a + 2bc ∑ a + b2 + c ∑ 2a + bc + 1) a2 b2 c2 + + ≤1 Cuối ta cần chứng minh 2a + bc 2b + ca 2c + ab Bất đẳng bất đẳng thức (*) mà ta chứng minh ♠ Nói chung kĩ thuật tách nhóm thường cho lời giải đẹp gọn gàng Nhưng trường hợp ta không tìm đựoc đẳng thức lẫn bất Nguyễn Đức Lâm, 11 toán Duclam3004@Gmail.com Cauchy-Schwarz inequality đẳng thức ta phải sử lí sao? Trong trường hợp ta phải sử dụng đến kĩ thuật thêm-bớt Ta xem xét ví dụ sau Ví dụ Cho a,b,c độ dài cạnh tam giác Chứng minh a b c + + ≥1 3a − b + c a + 3b − c −a + b + 3c Lời giải Cả tử số mẫu số phân thức bất đẳng thức dương áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy-Schwarz bạn thử trực tiếp thấy bất đẳng thức đổi chiều Bây ta làm giảm tử số lượng đảm bảo tử số dương (nghĩa dương nhỏ tốt) Với ý 4a-(3a-b+c)=a+b-c>0 Từ ta thấy bớt lượng ¼ thích hợp Viết bất đẳng thức cho dạng tương đương a b c 1 − )+( − )+( − )≥ 3a − b + c a + 3b − c −a + b + 3c 4 a + b − c −a + b + c a −b +c ⇔ + + ≥1 3a − b + c a + 3b − c − a + b + 3c ( Đến sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta cần chứng minh (a + b + c) ≥ ∑ (a + b − c )(3a − b + c ) Nhưng bất đẳng thức đẳng thức Ta có điều phải chứng minh ♠ Hi vọng bạn ứng dụng tốt kĩ thuật thấy vẻ đẹp bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cổ điển Cuối chúc bạn thành công.! Nguyễn Đức Lâm, 11 toán Duclam3004@Gmail.com .. .Cauchy- Schwarz inequality Ví dụ Ta chứng minh bất đẳng thức Nettbits ba biến a,b,c số dương Chứng minh rằng: a b c + + ≥ b+c c+a a +b Lời giải Lời giải toán đơn giản Sử dụng bất đẳng Cauchy- Schwarz. .. thức sau 1 1 + + ≤ 2 2 2 4a + b + c a + 4b + c a + b + 4c 2 Nguyễn Đức Lâm, 11 toán Duclam3004@Gmail.com Cauchy- Schwarz inequality Lời giải Sử dụng tư tưởng Ta cố gắng tìm đẳng thức Ta ý đến đẳng... đẳng Cauchy- Schwarz ta 1 ≤ + + (2a + b)(2a + c) 2a + bc a (a + b + c) a (a + b + c) ⇒ a2 a2 2a ≤ ( + ) (2a + b)(2a + c) 2a + bc a + b + c Sử dụng ước lượng ta Nguyễn Đức Lâm, 11 toán Duclam3004@Gmail.com