Cao Văn Dũng K50A1s-S phạm toán Khoa S Phm-ĐHQGHN Đc:Chợ Ea tam--Phờng EA Tam--TP BMT--ĐAKLAK Tel: 0500812457 phone: 0989966850 Phơng pháp giải hình học giải tích trong không gian Hình học giải tích trong không gian luôn có trong các đề thi vào đại học, tốt nghiệp trung học phổ thông, bài viết này là tổng ợp tất cả các dạng của đề thi. Mong bài viết này có thể giúp cho các bạn có thể học tốt và làm bài hình học giảI tích đợc tốt hơn trong các kì thi. A,Lý thuyết: Quy tắc hình hộp: ABCDABCD là hình hộp thì : ' 'AB AD AA AC+ + = uuur uuur uuur uuuur 3 vectơ đồng phẳng: , ,a b c r r r đồng phẳng khi : Hoặc ,x y sao cho c xa yb= + r r r Hoặc , 0a b c = r r r Tích vô hớng của 2 vectơ: cho 1 2 3 ( , , )a a a a r 1 2 3 ( , , )b b b b r Ta có : ( ) 2 3 3 1 1 2 2 3 3 2 3 1 1 3 1 3 2 1 2 3 3 1 1 3 , , , , , a a a a a a a b a b a b a b a b a b a b b b b b b b = = ữ r r Tính chất: +, ,a b r r cùng phơng , 0a b = r r +, ,a b a r r r và ,a b b r r r +, , . .sin( , )a b a b a b = r r r r r r +, , ,a b b a = r r r r Hệ quả: +, 1 , 2 ABC S AB AC = V uuur uuur +, , ABCD S AB AD = Y uuur uuur (diện tích hình bình hành) +, ' ' ' ' , . ' ABCDA B C D V AB AD AA = uuur uuur uuur (thể tích hình hộp) +, 1 , . 6 ABDCD V AB AC AD = uuur uuur uuur (thể tích tứ diện) +, , ,a b c r r r đồng phẳng , . 0a b c = r r r , ,a b c r r r không đồng phẳng , . 0a b c r r r Cao Văn Dũng K50A1s-S phạm toán Khoa S Phm-ĐHQGHN Đc: Chợ Ea tam--Phờng EA Tam TP BMT--ĐAKLAK 1 Cao Văn Dũng K50A1s-S phạm toán Khoa S Phm-ĐHQGHN Đc:Chợ Ea tam--Phờng EA Tam--TP BMT--ĐAKLAK Tel: 0500812457 phone: 0989966850 +, Góc của 2 mặt phẳng : 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 ( ) : 0 ( ) : 0 A x B y C z D A x B y C z D + + + = + + + = là: 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 . A A B B C C cos A B C A B C + + = + + + + B, Phơng pháp giải: I,Mặt phẳng: PTTQ(phơng trình tổng quát) mặt phẳng(mp) ( ) qua 0 0 0 0 ( , , )M x y z và có VTPT(vectơ pháp tuyến) ( , , )n A B C r là: 0 0 0 ( ) : ( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z + + = hay : ( ) : 0Ax By Cz D + + + = với 0 0 0 ( )D Ax By Cz= + + PTMP(phơng trình mặt phẳng) ( ) qua ( , 0,0) ; (0, , 0) ; (0,0, )A a ox B b oy C c oz có ph- ơng trình(pt) là: ( ) : 1 x y z a b c + + = Kết quả: +, 2 2 0 ( ) / / 0 0 A ox D B C = + +, 2 2 0 ( ) / / 0 0 B oy D A C = + +, 2 2 0 ( ) / / 0 0 C oz D A B = + +,PTMT toạ độ oxy: z=0 +,PTMT toạ độ oxz: y=0 +,PTMT toạ độ oyz: x=0 Vị trí tơng đối của mặt thẳng và mặt phẳng: Cho 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 ( ) : 0 ( ) : 0 A x B y C z D A x B y C z D + + + = + + + = Cao Văn Dũng K50A1s-S phạm toán Khoa S Phm-ĐHQGHN Đc: Chợ Ea tam--Phờng EA Tam TP BMT--ĐAKLAK 2 Cao Văn Dũng K50A1s-S phạm toán Khoa S Phm-ĐHQGHN Đc:Chợ Ea tam--Phờng EA Tam--TP BMT--ĐAKLAK Tel: 0500812457 phone: 0989966850 o 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 ( ) / /( ) A B C D A B C D = = o 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 ( ) ( ) A B C D A B C D = = = o 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) 0A A B B C C + + = o 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 . A A B B C C cos A B C A B C + + = + + + + Phơng trình chùm mặt phẳng: Tập hợp các mặt phẳng ( ) chứa đờng thẳng ( ) ( ) = I đợc gọi là chùm mặt phẳng xác định bởi mp ( ) và mp ( ) . Nếu 1 1 1 1 ( ) : 0A x B y C z D + + + = và 2 2 2 2 ( ) : 0A x B y C z D + + + = thì phơng trình mặt phẳng ( ) là: 1 1 1 1 2 2 2 2 ( ) : ( ) ( ) 0m A x B y C z D n A x B y C z D + + + + + + + = (*) với 2 2 0m n+ phơng trình (*) có thể viết lại: ( ) ( ) 0m n + = Các vấn đề: Viết PTMP(phơng trình mặt phẳng): 1. PTMP ( ) qua 0 0 0 0 ( , , )M x y z và có VTPT ( , , )n A B C r +,Xác định 0 0 0 0 ( , , )M x y z của mp +,Xác định VTPT ( , , )n A B C r +,áp dụng công thức : 0 0 0 ( ) : ( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z + + = 2. PTMP ( ) qua 0 0 0 0 ( , , )M x y z và có cặp VTCP(vectơ chỉ phơng) ,a b r r (với , 0a b r r r có giá song song hoặc nằm trên mp ( ) ) +,Tìm VTPT ,n a b = r urr +, ( ) là mp qua 0 0 0 0 ( , , )M x y z và có VTPT n r 3. PTMP ( ) qua 3 điểm không thẳng hàng A,B,C +,Tìm ,AB AC uuur uuur +,Tìm VTPT ,n AB AC = r uuur uuur +, ( ) là mp qua A và có VTPT n r 4. PTMP ( ) qua 0 0 0 0 ( , , )M x y z và ( ) vuông góc với 2 mp ( ) và ( ) cắt nhau +,Tìm VTPT của ( ) và ( ) là 1 n ur và 2 n uur +,Tìm VTPT của 1 2 ( ) : ,n n n = r r uur Cao Văn Dũng K50A1s-S phạm toán Khoa S Phm-ĐHQGHN Đc: Chợ Ea tam--Phờng EA Tam TP BMT--ĐAKLAK 3 Cao Văn Dũng K50A1s-S phạm toán Khoa S Phm-ĐHQGHN Đc:Chợ Ea tam--Phờng EA Tam--TP BMT--ĐAKLAK Tel: 0500812457 phone: 0989966850 +, ( ) là mp qua 0 0 0 0 ( , , )M x y z và có VTPT n r 5. PTMP ( ) qua 0 0 0 0 ( , , )M x y z và qua giao tuyến 2mp cắt nhau là 1 1 1 1 1 ( ) : 0A x B y C z D + + + = và 2 2 2 2 2 ( ) : 0A x B y C z D + + + = +, ( ) có dạng : 1 1 1 1 2 2 2 2 ( ) ( ) 0m A x B y C z D n A x B y C z D+ + + + + + + = (*) với 2 2 0m n+ +, ( ) qua 0 0 0 0 ( , , )M x y z thế vào phơng trình (*) +,Rút ra m theo n chọn m,n rồi thế vào phong trình (*) 6. PTMP ( ) qua 0 0 0 0 ( , , )M x y z và ( ) vuông góc với đờng thẳng (d) +,Tìm VTCP u r của (d) +, ( ) là mp qua 0 0 0 0 ( , , )M x y z và có VTPT n r = u r 7. PTMP ( ) qua 0 0 0 0 ( , , )M x y z và ( ) chứa đờng thẳng (d) TH1: (d) có dạng tổng quát +, Tìm PTMP ( ) ta dùng công thức chùm mp. TH2: (d) có dạng chính tắc Cách 1: +, Chuyển phơng trình (d) về dạng phơng trình tông quát +,Dùng công thức chùm mp Cách 2: +,Tìm ( )A d và có VTCP u r của (d) +,Tìm 0 u AM= r uuuuur ,n u v = r r r +, ( ) là mp qua 0 0 0 0 ( , , )M x y z và có VTPT n r 8. PTMP ( ) chứa đờng thẳng 1 ( )d và ( ) // 2 ( )d +,Tìm 1 ( )A d và có VTCP 1 u ur của 1 ( )d +,Tìm VTCP 2 u uur của 2 ( )d +,Tìm 1 2 ,n u u = r ur uur +, ( ) là mp qua A và có VTPT n r II,Đờng thẳng: PTTQ(phơng trình tổng quát): 1 1 1 1 2 2 2 2 0 ( ) : 0 A x B y C z D d A x B y C z D + + + = + + + = VTCP(vectơ chỉ phơng): 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 , , B C C A A B u B C C A A B = ữ r Cao Văn Dũng K50A1s-S phạm toán Khoa S Phm-ĐHQGHN Đc: Chợ Ea tam--Phờng EA Tam TP BMT--ĐAKLAK 4 Cao Văn Dũng K50A1s-S phạm toán Khoa S Phm-ĐHQGHN Đc:Chợ Ea tam--Phờng EA Tam--TP BMT--ĐAKLAK Tel: 0500812457 phone: 0989966850 Đặc biệt: +,phơng trình trục ox: 0 0 y z = = +,phơng trình trục oy: 0 0 x z = = +,phơng trình trục oz: 0 0 x y = = PTTS(phơng trình tham số): (d) qua 0 0 0 0 ( , , )M x y z và có VTCP ( , , )u a b c r : (d) : 0 0 0 x x at y y bt z z ct = + = + = + PTCT(phơng trình chính tắc): (d) : 0 0 0 x x y y z z a b c = = Vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng phẳng: Cho 1 1 1 1 1 1 1 ( ) : x x y y z z d a b c = = qua 1 1 1 ( , , )A x y z và có VTCP 1 1 1 1 ( , , )u a b c= r 2 2 2 2 2 2 2 ( ) : x x y y z z d a b c = = qua 2 2 2 ( , , )B x y z và có VTCP 2 2 2 2 ( , , )u a b c= r o 1 2 ( ),( )d d chéo nhau 1 2 , ,u u AB ur uur uuur không đồng phẳng 1 2 , . 0u u AB ur uur uuur o 1 2 ( ),( )d d đồng phẳng 1 2 , ,u u AB ur uur uuur đồng phẳng 1 2 , . 0u u AB = ur uur uuur 1 2 ( ),( )d d đồng phẳng 1 2 , . 0u u AB = ur uur uuur o 1 2 ( ),( )d d cắt nhau 1 2 ,u u ur uur không cùng phơng 1 1 1 2 2 2 : : : :a b c a b c 1 2 ,u u ur uur cùng phơng o 1 2 ( ),( )d d song song 2 2 2 1 ( , , ) ( )B x y z d Cao Văn Dũng K50A1s-S phạm toán Khoa S Phm-ĐHQGHN Đc: Chợ Ea tam--Phờng EA Tam TP BMT--ĐAKLAK 5 Cao Văn Dũng K50A1s-S phạm toán Khoa S Phm-ĐHQGHN Đc:Chợ Ea tam--Phờng EA Tam--TP BMT--ĐAKLAK Tel: 0500812457 phone: 0989966850 1 2 , . 0u u AB = ur uur uuur 1 2 1 2 1 2 1 1 1 : : : :x x y y z z a b c 1 2 ,u u ur uur cùng phơng o 1 2 ( ),( )d d trùng nhau 2 2 2 1 ( , , ) ( )B x y z d 1 1 1 2 2 2 : : : :a b c a b c= 1 2 1 2 1 2 1 1 1 : : : :x x y y z z a b c = o 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) . 0 0d d u u u u a a b b c c = + + = r r ur uur o Có 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 cos . a a b b c c a b c a b c + + = + + + + với 1 2 ( , )d d = Các vấn đề: Viết PTĐT(phơng trình đờng thẳng) TH1:Đờng thẳng (d) đợc xác định bởi 1 điểm và 1 VTCP 1. PTĐT (d) qua 0 0 0 0 ( , , )M x y z và có VTCP ( , , )u a b c r +,Dùng PTTS hay PTCT 2. PTĐT (d) qua 0 0 0 0 ( , , )M x y z và (d) song sonh với 1 đờng thẳng ( ) cho trớc +,Tìm VTCP u r của (d) +,(d) là đờng thẳng qua 0 0 0 0 ( , , )M x y z và có VTCP u r 3. PTĐT (d) qua 0 0 0 0 ( , , )M x y z và (d) song sonh với 2 mp cắt nhau ( ),( ) +,Tìm VTPT của mp ( ) : 1 n ur Tìm VTPT của mp ( ) : 2 n uur +,Tìm 1 2 ,u n n = r ur uur +,(d) là đờng thẳng qua 0 0 0 0 ( , , )M x y z và có VTCP u r 4. PTĐT (d) qua 0 0 0 0 ( , , )M x y z và ( ) ( ) : 0d Ax By Cz D + + + = +Tìm VTPT của mp ( ) là n r Cao Văn Dũng K50A1s-S phạm toán Khoa S Phm-ĐHQGHN Đc: Chợ Ea tam--Phờng EA Tam TP BMT--ĐAKLAK 6 Cao Văn Dũng K50A1s-S phạm toán Khoa S Phm-ĐHQGHN Đc:Chợ Ea tam--Phờng EA Tam--TP BMT--ĐAKLAK Tel: 0500812457 phone: 0989966850 +,(d) là đờng thẳng qua 0 0 0 0 ( , , )M x y z và có VTCP u r = n r 5. PTĐT (d) qua 0 0 0 0 ( , , )M x y z và (d) vuông góc với 2 đờng thẳng 1 ( )d và 2 ( )d +,Tìm VTCP của 1 ( )d là 1 u ur +,Tìm VTCP của 2 ( )d là 2 u uur Gọi 1 2 ,u u u = r r uur +,(d) là đờng thẳng qua 0 0 0 0 ( , , )M x y z và có VTCP u r 6. PTĐT (d) qua 0 0 0 0 ( , , )M x y z , ( ) ( )d và (d) cắt ( ) +,Lập PTMP ( ) qua 0 0 0 0 ( , , )M x y z và ( ) ( ) +,Tìm giao điểm N của ( ) và ( ) +,(d) là đờng thẳng đi qua 2 điểm 0 M và N 7. PTĐT (d) qua 0 0 0 0 ( , , )M x y z và (d) cắt 2 đờng thẳng 1 ( ) , 2 ( ) cho trớc Cách 1: +, Lập PTMP ( ) qua 0 0 0 0 ( , , )M x y z và 1 ( ) +,Tìm giao điểm N của ( ) và 2 ( ) +,(d) là đờng thẳng qua 0 M ,N +,Chứng tỏ (d) cắt 1 ( ) Cách 2: +, Lập PTMP ( ) qua 0 0 0 0 ( , , )M x y z và 1 ( ) +, Lập PTMP ( ) qua 0 0 0 0 ( , , )M x y z và 2 ( ) +,(d) là giao tuyến của ( ) và ( ) ( ) 0 ( ) : ( ) 0 d = = +,Chứng tỏ (d) cắt 1 ( ) , 2 ( ) 8. PTĐT (d) qua 0 0 0 0 ( , , )M x y z , 1 ( ) ( )d và (d) cắt 2 ( ) +,Lập PTMP ( ) qua 0 0 0 0 ( , , )M x y z và 1 ( ) ( ) +,Tìm giao điểm N của ( ) và 2 ( ) +, (d) là đờng thẳng qua M,N TH2: (d) xác định là giao tuyến của 2 mặt phẳng: 1. Phơng trình đờng vuông góc chung của 2 đờng thẳng chéo nhau 1 ( )d và 2 ( )d +,Trong không gian cho 2 đờng thẳng chéo nhau: 1 1 1 1 1 1 1 ( ) : x x y y z z d a b c = = qua 1 1 1 ( , , )A x y z và có VTCP 1 1 1 1 ( , , )u a b c= r Cao Văn Dũng K50A1s-S phạm toán Khoa S Phm-ĐHQGHN Đc: Chợ Ea tam--Phờng EA Tam TP BMT--ĐAKLAK 7 Cao Văn Dũng K50A1s-S phạm toán Khoa S Phm-ĐHQGHN Đc:Chợ Ea tam--Phờng EA Tam--TP BMT--ĐAKLAK Tel: 0500812457 phone: 0989966850 2 2 2 2 2 2 2 ( ) : x x y y z z d a b c = = qua 2 2 2 ( , , )B x y z và có VTCP 2 2 2 2 ( , , )u a b c= r gọi 1 2 ,t u u = r ur uur +,Gọi ( ) là mp qua 1 1 1 ( , , )A x y z và có VTPT 1 ,n u t = r ur r +,Gọi ( ) là mp qua 2 2 2 ( , , )B x y z và có VTPT 2 ,m u t = ur uur r +,Đờng vuông góc chung của 1 ( )d và 2 ( )d là giao tuyến của ( ) và ( ) 2. (d) qua giao điểm M của mp ( ) và đờng thẳng ( ) và ( ) ( ), ( ) ( )d d Cách 1: +,Tìm toạ độ giao điểm của ( ) và ( ) +,Lập phơng trình mp ( ) qua điểm M và ( ) ( ) +,(d) là giao tuyến của 2 mp ( ) và ( ) ( ) 0 ( ) : ( ) 0 d = = Cách 2: +,Tìm toạ độ giao điểm của ( ) và ( ) +,Tìm VTCP u r của ( ) Tìm VTPT n r của ( ) Tìm ,t n u = r r r +, (d) là đờng thẳng qua M và có VTCP t r 3. ( ) / /( )d và ( )d cắt 1 ( )d và 2 ( )d +, Lập mp ( ) chứa 1 ( )d và ( ) / /( ) +,Lập mp ( ) chứa 2 ( )d và ( ) / /( ) +, (d) là giao tuyến của ( ) và ( ) ( ) 0 ( ) : ( ) 0 d = = +,Chúng tỏ ( )d cắt 1 ( )d và 2 ( )d 4. Phơng trình hình chiếu (d) của (d) lên mp ( ) +,Tìm ( )A d và có VTCP u r của(d) +,Tìm VTPT n r của ( ) +,Tìm ,t n u = r r r +,Gọi ( ) là mp chứa (d) và ( ) ( ) ( ) qua A và co VTPT t r . Viết PTMP ( ) +,Hình chiếu (d) của (d) lên mp ( ) là giao tuyến của ( ) và ( ) .PTĐT (d) là: Cao Văn Dũng K50A1s-S phạm toán Khoa S Phm-ĐHQGHN Đc: Chợ Ea tam--Phờng EA Tam TP BMT--ĐAKLAK 8 Cao Văn Dũng K50A1s-S phạm toán Khoa S Phm-ĐHQGHN Đc:Chợ Ea tam--Phờng EA Tam--TP BMT--ĐAKLAK Tel: 0500812457 phone: 0989966850 ( ) 0 ( ') : ( ) 0 d = = Vị trí tơng đối của đờng thẳng và mặt phẳng: Cho (d) : 0 0 0 x x y y z z a b c = = qua 0 0 0 ( , , )A x y z và có VTCP ( , , )u a b c r và mặt phẳng ( ) : 0Ax By Cz D + + + = có VTPT ( , , )n A B C= r o ( )d cắt ( ) . 0 0u n Aa Bb Cc + + r r o 0 0 0 0 0 0 0 ( ) / /( ) 0 ( , , ) ( ) Aa Bb Cc u n d Ax By Cz D A x y z + + = + + + r r o 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) 0 ( , , ) ( ) Aa Bb Cc u n d Ax By Cz D A x y z + + = + + + = r r o ( ) ( ) ,d u n r r cùng phơng : : : :A B C a b c = o 2 2 2 2 2 2 sin . Aa Bb Cc A B C a b c + + = + + + + với ( , )d = và 0 0 90 Khoảng cách : o Khoảng cách từ 0 0 0 ( , , )M x y z mặt phẳng ( ) : 0Ax By Cz D + + + = 0 0 0 2 2 2 Ax By Cz D d A B C + + + = + + o Khoảng cách từ 1 1 1 ( , , )M x y z đến (d) : 0 0 0 x x y y z z a b c = = qua 0 0 0 ( , , )A x y z và có VTCP ( , , )u a b c r 0 ,M M u d u = uuuuuur r r o Khoảng cách giữa 2 đờng thẳng chéo nhau: Cao Văn Dũng K50A1s-S phạm toán Khoa S Phm-ĐHQGHN Đc: Chợ Ea tam--Phờng EA Tam TP BMT--ĐAKLAK 9 Cao Văn Dũng K50A1s-S phạm toán Khoa S Phm-ĐHQGHN Đc:Chợ Ea tam--Phờng EA Tam--TP BMT--ĐAKLAK Tel: 0500812457 phone: 0989966850 Trong không gian cho 2 đờng thẳng chéo nhau: 1 1 1 1 1 1 1 ( ) : x x y y z z d a b c = = qua 1 1 1 ( , , )A x y z và có VTCP 1 1 1 1 ( , , )u a b c= r 2 2 2 2 2 2 2 ( ) : x x y y z z d a b c = = qua 2 2 2 ( , , )B x y z và có VTCP 2 2 2 2 ( , , )u a b c= r 1 2 1 2 , . , u u AB d u u = ur uur uuur ur uur Chú ý: có thể tính khoảng cách giữa 1 ( )d và 2 ( )d bằng cách lập phơng trình mặt phẳng ( ) chứa 2 ( )d và // 1 ( )d . Tính khoảng cách từ ( )A Mặt cầu: Phơng trình mặt cầu (S) tâm I(a,b,c) bán kính R: 2 2 2 2 ( ) ( ) ( )x a y b z c R + + = Hay: 2 2 2 2 2 2 0x y z ax by cz d+ + + = điều kiện: 2 2 2 0a b c d+ + > 2 2 2 R a b c d = + + Phơng trình đờng tròn: 2 2 2 2 2 2 0 0 x y z ax by cz d Ax By Cz D + + + = + + + = Bán kính 2 2 r R d= Với R: bán kính mặt cầu (S) d: khoảng cách từ tâm I ( ) Điều kiện tiếp xúc của mặt phẳng ( ) và mặt cầu (S) là: ( ( ))I d R = Các dạng đề thờng gặp : Cao Văn Dũng K50A1s-S phạm toán Khoa S Phm-ĐHQGHN Đc: Chợ Ea tam--Phờng EA Tam TP BMT--ĐAKLAK 10 . 0989966850 Phơng pháp giải hình học giải tích trong không gian Hình học giải tích trong không gian luôn có trong các đề thi vào đại học, tốt nghiệp trung học phổ. cho các bạn có thể học tốt và làm bài hình học giảI tích đợc tốt hơn trong các kì thi. A,Lý thuyết: Quy tắc hình hộp: ABCDABCD là hình hộp thì : '