Đang tải... (xem toàn văn)
Toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh và phương pháp hiệu chỉnh cho bài toán đặt không chỉnh (LV thạc sĩ)Toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh và phương pháp hiệu chỉnh cho bài toán đặt không chỉnh (LV thạc sĩ)Toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh và phương pháp hiệu chỉnh cho bài toán đặt không chỉnh (LV thạc sĩ)Toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh và phương pháp hiệu chỉnh cho bài toán đặt không chỉnh (LV thạc sĩ)Toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh và phương pháp hiệu chỉnh cho bài toán đặt không chỉnh (LV thạc sĩ)Toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh và phương pháp hiệu chỉnh cho bài toán đặt không chỉnh (LV thạc sĩ)Toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh và phương pháp hiệu chỉnh cho bài toán đặt không chỉnh (LV thạc sĩ)Toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh và phương pháp hiệu chỉnh cho bài toán đặt không chỉnh (LV thạc sĩ)Toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh và phương pháp hiệu chỉnh cho bài toán đặt không chỉnh (LV thạc sĩ)Toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh và phương pháp hiệu chỉnh cho bài toán đặt không chỉnh (LV thạc sĩ)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THỊ MỴ TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH ĐƠN ĐIỆU MẠNH VÀ PHƢƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH CHO BÀI TOÁN ĐẶT KHÔNG CHỈNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THỊ MỴ TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH ĐƠN ĐIỆU MẠNH VÀ PHƢƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH CHO BÀI TOÁN ĐẶT KHÔNG CHỈNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành :Toán ứng dụng Mã số : 60 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Nguyễn Thị Thu Thủy TS Lâm Thùy Dƣơng THÁI NGUYÊN - 2016 i Mục lục Lời cảm ơn iii Bảng ký hiệu Lời nói đầu Chương Toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh 1.1 1.2 1.3 Không gian Banach Không gian Hilbert 1.1.1 Không gian Banach 1.1.2 Một số tính chất không gian Hilbert Toán tử tuyến tính liên tục 16 1.2.1 Định nghĩa 16 1.2.2 Ví dụ 17 Toán tử đơn điệu mạnh 18 1.3.1 Hàm lồi vi phân 18 1.3.2 Toán tử đơn điệu mạnh 22 Chương Hiệu chỉnh phương trình toán tử với toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh 25 2.1 Phương trình toán tử đặt không chỉnh 25 2.1.1 Định nghĩa 25 2.1.2 Ví dụ 26 2.2 Hiệu chỉnh phương trình toán tử đặt không chỉnh dựa toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh 27 ii 2.3 2.2.1 Phương trình hiệu chỉnh 27 2.2.2 Sự tồn toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh 28 2.2.3 Sự hội tụ phương pháp hiệu chỉnh 31 2.2.4 Phương pháp lặp 35 Ví dụ 36 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 iii Lời cảm ơn Luận văn thực Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn TS Nguyễn Thị Thu Thủy TS Lâm Thùy Dương Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, giảng viên tham gia giảng dạy cao học Toán trường Đại học Khoa học tạo điều kiện tốt để tác giả học tập nghiên cứu Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K8A (khóa 2014–2016) động viên giúp đỡ tác giả nhiều trình học tập, nghiên cứu Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn vị công tác đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho trình học tập, nghiên cứu làm luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2016 Tác giả Nguyễn Thị Mỵ Bảng ký hiệu R tập số thực H không gian Hilbert thực X không gian Banach X∗ không gian đối ngẫu X C tập đóng lồi H A toán tử đơn điệu không gian Hilbert dom(A) miền hữu hiệu toán tử A Fix(S) tập điểm bất động ánh xạ S PC (x) phép chiếu mêtric điểm x tập C x, y δC (.) x tích vô hướng hai vectơ x y hàm C chuẩn vectơ x xn → x xn hội tụ mạnh đến x xn ⇀ x xn hội tụ yếu đến x I ánh xạ đơn vị H Lời nói đầu Rất nhiều toán thực tiễn, khoa học, công nghệ dẫn tới toán đặt không chỉnh (ill-posed) theo nghĩa Hadamard, nghĩa toán (khi kiện thay đổi nhỏ) không tồn nghiệm, nghiệm không nhất, nghiệm không phụ thuộc liên tục vào kiện ban đầu Do tính không ổn định toán đặt không chỉnh nên việc giải số gặp khó khăn Lý sai số nhỏ kiện toán dẫn đến sai số lời giải Đề tài luận văn nghiên cứu toán đặt không chỉnh dạng phương trình toán tử (1) A(x) = f , A : X −→ X ∗ toán tử đơn điệu đơn trị từ không gian Banach phản xạ X vào không gian liên hợp X ∗ X Để giải loại toán này, ta phải sử dụng phương pháp ổn định, cho sai số kiện nhỏ nghiệm xấp xỉ tìm gần với nghiệm toán xuất phát Năm 1963, A.N Tikhonov [5] đưa phương pháp hiệu chỉnh tiếng kể từ lý thuyết toán đặt không chỉnh phát triển sôi động có mặt hầu hết toán thực tế Nội dung chủ yếu phương pháp xây dựng nghiệm hiệu chỉnh cho phương trình toán tử (1) không gian Hilbert thực H dựa việc tìm phần tử cực tiểu xαh,δ phiếm hàm Tikhonov Fαh,δ (x) = Ah (x) − fδ + α x∗ − x (2) α > tham số hiệu chỉnh phụ thuộc vào h δ , x∗ phần tử cho trước đóng vai trò tiêu chuẩn chọn (Ah , fδ ) xấp xỉ (A, f ) Hai vấn đề cần giải tìm phần tử cực tiểu phiếm hàm Tikhonov δ chọn tham số hiệu chỉnh α = α (h, δ ) thích hợp để phần tử cực tiểu xh, α (h,δ ) dần tới nghiệm xác toán (1) h δ dần tới không Việc tìm phần tử cực tiểu phiếm hàm Tikhonov gặp nhiều khó khăn trường hợp toán phi tuyến Đối với lớp toán phi tuyến với toán tử đơn điệu A : X → X ∗ , F Browder [3] đưa dạng khác phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Tư tưởng chủ yếu phương pháp F Browder đề xuất sử dụng toán tử B : X → X ∗ có tính chất đơn điệu mạnh làm thành phần hiệu chỉnh Mục đích đề tài luận văn nhằm trình bày lại phương pháp giải ổn định (phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov) phương trình toán đơn điệu với việc sử dụng toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh làm thành phần hiệu chỉnh báo "Regularization by linear operators" Giáo sư Nguyễn Bường công bố tạp chí Acta Mathematica Vietnamica Nội dung đề tài trình bày hai chương Chương giới thiệu số kiến thức toán đặt không chỉnh phương trình toán tử đơn điệu Chương trình bày phương pháp hiệu chỉnh phương trình toán tử với toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh Chương Toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh Chương trình bày khái niệm số tính chất không gian Banach, không gian Hilbert thực; khái niệm tính chất toán tử tuyến tính; toán tử đơn điệu mạnh số ví dụ minh họa Các kiến thức chương tham khảo từ tài liệu [1] [2] 1.1 Không gian Banach Không gian Hilbert Mục giới thiệu khái niệm số tính chất không gian Banach, không gian Hilbert ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc 1.1.1 Không gian Banach Định nghĩa 1.1.1 Không gian định chuẩn không gian tuyến tính X ứng với phần tử x ∈ X ta có số x gọi chuẩn x, thỏa mãn điều kiện sau: (1) x > với x = 0; x = ⇔ x = 0; (2) x + y ≤ x + y với x, y ∈ X (bất đẳng thức tam giác); (3) α x = |α | x với x ∈ X, α ∈ R Không gian định chuẩn đầy đủ gọi không gian Banach Định nghĩa 1.1.2 Không gian L(X, R)-tập tất phiếm hàm tuyến tính liên tục xác định X gọi không gian liên hợp hay không gian đối ngẫu X, ký hiệu X ∗ Định nghĩa 1.1.3 Giả sử X không gian định chuẩn R, X ∗ không gian liên hợp X gọi X ∗∗ = L(X ∗ , R) không gian liên hợp thứ hai X Ta cho tương ứng với x ∈ X phiếm hàm tuyến tính liên tục x∗∗ X ∗∗ nhờ hệ thức x∗∗ , f = f , x , với f ∈ X ∗∗ Ở f , x ký hiệu giá trị phiếm hàm tuyến tính liên tục f ∈ X ∗ x ∈ X Ta có x = x∗∗ Đặt h(x) = x∗∗ , h : X −→ X ∗∗ toàn ánh không gian X gọi không gian phản xạ Ví dụ 1.1.4 Các không gian vectơ định chuẩn hữu hạn chiều, không gian l p , L p [a, b], < p < ∞ không gian Banach phản xạ Định lý 1.1.5 Cho X không gian Banach Khi đó, khẳng định sau tương đương: (i) X không gian phản xạ; (ii) Mọi dãy bị chặn X có dãy hội tụ yếu Ký hiệu SX := {x ∈ X : x = 1} mặt cầu đơn vị không gian Banach X Định nghĩa 1.1.6 Không gian Banach X gọi lồi chặt với điểm x, y ∈ SX , x = y, suy (1 − λ )x + λ y < ∀λ ∈ (0, 1) Điều có nghĩa mặt cầu đơn vị SX không chứa đoạn thẳng Điều x+y có nghĩa trung điểm đoạn thẳng nối hai điểm x, y phân biệt mặt cầu đơn vị không nằm mặt cầu đơn vị Nói cách khác x, y ∈ SX : x = y = x+y , x = y 26 (3) nghiệm phụ thuộc liên tục vào kiện ban đầu Nếu điều kiện không thỏa mãn toán (2.1) gọi toán đặt không chỉnh (ill-posed) 2.1.2 Ví dụ Ví dụ 2.1.2 Xét phương trình toán tử (2.1) với A ma trận vuông cấp M = xác định 2 2 2 2, 001 2 A= 2 2, 001 2 2, 001 vế phải f = 8, 001 8, 001 8, 001 T ∈ R4 Ta thấy phương trình A(x) = f có nghiệm x= 1 1 Nếu vế phải T ∈ R4 2 2 2 2, 001 2 A = Ah1 2 2, 001 2 2 f = fδ1 = 8, 001 8, 001 T ∈ R4 27 Khi đó, ta thấy phương trình A(x) = f có vô số nghiệm Nếu 2 A = Ah1 = 2 vế phải 2 2, 001 2 2, 001 2 2 f = 8, 001 8, 001 8, 001 T ∈ R4 Khi phương trình A(x) = f vô nghiệm Như ta thấy cần thay đổi nhỏ kiện ban đầu dẫn đến thay đổi lớn nghiệm Vậy toán cho toán đặt không chỉnh Vì tính không nghiệm toán đặt không chỉnh nên người ta thường có tiêu chuẩn cho lựa chọn nghiệm Ta sử dụng nghiệm x0 cho x0 − x∗ có chuẩn nhỏ nhất, nghĩa ta tìm nghiệm x0 ∈ S thỏa mãn A(x0 ) = f , x0 − x∗ = min{ x − x∗ : Ax = f }, S tập nghiệm toán (2.1), giả thiết khác rỗng Bằng cách chọn x∗ ta có nghiệm mà ta muốn xấp xỉ 2.2 Hiệu chỉnh phương trình toán tử đặt không chỉnh dựa toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh 2.2.1 Phương trình hiệu chỉnh Cho X không gian Banach phản xạ thực X ∗ không gian liên hợp X, hai có chuẩn ký hiệu Ta viết x∗ , x thay cho x∗ (x) với x∗ ∈ X ∗ x ∈ X Cho A toán tử đơn điệu, liên tục bị chặn với miền xác 28 định D(A) = X miền giá trị R(A) ⊆ X ∗ f0 phần tử cố định R(A) Nếu thêm điều kiện đặt lên toán tử A, chẳng hạn tính đồng bức, đơn điệu mạnh toán A(x) = f0 (2.2) nói chung toán đặt không chỉnh Điều có nghĩa nghiệm (2.2) không phụ thuộc liên tục vào kiện ban đầu A f0 Ta xét phương trình hiệu chỉnh A(x) + α J(x) = fδ , (2.3) đó, J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc X, α > tham số hiệu chỉnh fδ xấp xỉ f thỏa mãn điều kiện fδ − f ≤ δ δ → (2.4) Định lý 2.2.1 Phương trình (2.3), với α > có nghiệm xαδ xαδ hội tụ tới nghiệm (2.2) δ /α → 2.2.2 Sự tồn toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh Định nghĩa 2.2.2 Toán tử B : X → X ∗ gọi toán tử đơn điệu mạnh Bx, x ≥ mB x , với mB > 0, x ∈ D(B) Ví dụ 2.2.3 Cho Ω tập bị chặn, mở đo Rn với biên trơn ΓΩ Đặt τ u toán tử vi phân phần τu = ∑ ¯ (Ω ¯ = Ω ∪ ΓΩ) aβ Dβ u, aβ (x) ∈ C(Ω); 1≤ B ≤2m B chuẩn B Rn Cho V tập đóng chuẩn không 29 gian Wq2m tất hàm từ C2m (Ω) thỏa mãn điều kiện: Dr u(x) = 0, q > n − 2m ≤ q > x ∈ ΓΩ, ≤ |r| ≤ m − 2n n − 2m > Khi đó, n + 2m Bu, u ≥ mB u , ∀u ∈ V, mB > 0, p−1 + q−1 = đó, Bu = ru, D(B) = V Ví dụ 2.2.4 Không gian véctơ định chuẩn Y gọi đơn ánh tồn không gian Hilbert H cho Y ֒→ H đơn ánh tự nhiên ֒→ trù mật liên tục Nếu X không gian Banach phản xạ với X ∗ đơn ánh tồn không gian Hilbert H cho X ∗ ֒→ H ֒→ X đó, đơn ánh trù mật liên tục Trong H ta tìm toán tử tuyến tính Bˆ cho: mBˆ ϕ ∗ ≥ Bˆ ϕ , ϕ ≥ MBˆ ϕ ∗ , ∀ϕ ∈ H, mBˆ > ˆ X ∗ ) B = Bˆ −1 D(B) ֒→ H Ta có: Đặt D(B) = R(B| Bϕ , ϕ ≤ mB ϕ , ∀ϕ ∈ D(B) H nhúng liên tục X Nó biết đến R(B) = X ∗ Vì B−1 trù mật X ∗ liên tục Vì B−1 đơn điệu cực đại Vì vậy, B đơn điệu cực đại 30 Ví dụ 2.2.5 Đặt W˜ pm (Ω) không gian Sobolev với chuẩn: ϕ W˜ pm (Ω) = ∑ α D ϕ |a|≥m 2 , L p (Ω) < p < Từ Lq (Ω) ֒→ L2 (Ω) ֒→ L p (Ω), ϕ định dương, với ϕ ∈ W˜ 2m (Ω) ta có: ϕ W˜ 2m (Ω) ≤ c0 ϕ L2 (Ω) , c0 số xác W˜ pm (Ω) W˜ pm (Ω)∗ ֒→ W˜ 2m (Ω) ֒→ W˜ pm (Ω) Do đó, chọn toán tử B cách Tiếp theo ta chứng minh kết sau Định lý 2.2.6 Nếu X không gian Banach phản xạ tách được, tồn toán tử B với tính chất Chứng minh Đầu tiên, ta chứng minh tồn không gian Hilbert H cho H ֒→ X Thật vậy, cho ϕ˜ j đếm trù mật tập X phần tử độc lập tuyến tính Đặt ϕ j = ϕ˜ j / ϕ˜ j Đặt H0 tập tất tổ hợp tuyến tính ϕ j Thì H0 ⊂ X H0 không gian tuyến tính Trong H0 ta có cấu trúc tích vô hướng: π2 ∞ ak bk k2 , ϕ,ψ = ∑ k=1 ϕ= ∞ ∞ k=1 k=1 ∑ akϕk , ψ = ∑ bk ϕk Ta biết ak bk có hữu hạn phần tử khác phần tử không Ta có: ϕ ≤ ∞ ∑ |ak | = k=1 ∞ ∑k k=1 −1 ∞ |ak |k ≤ ∑k k=1 −2 −1/2 ∞ ∑ k2|ak |2 1/2 := ϕ k=1 Nói cách khác, H0 liên tục nhúng X Vì vậy, phần bù H chuẩn liên tục nhúng X X ∗ ⊂ H ∗ 31 Phần lại chứng minh định lý lặp lại Ví dụ 2.2.4 2.2.3 Sự hội tụ phương pháp hiệu chỉnh Ta ký hiệu S0 tập tất nghiệm phương trình (2.2), giả thiết S0 ⊂ D(B), D(B) = X Ta biết S0 tập lồi đóng X Định lý 2.2.7 Với α > fδ ∈ X ∗ phương trình hiệu chỉnh A(x) + α Bx = fδ (2.5) có nghiệm xαδ Ngoài δ /α → α , δ → 0, dãy {xαδ } hội tụ tới x0 ∈ S0 (2.6) Bx, x − x0 ≥ ∀x ∈ S0 Trước hết, ta xét phương trình sau: Aµ (x) + α Bx = fδ (2.7) đó, Aµ = A + µ B với µ tham số dương nhỏ tùy ý tiến tới Ta có Aµ + α B toán tử đơn điệu cực đại Điều kiện tồn nghiệm phương trình (2.7) hội tụ nghiệm phương trình (2.7) trình bày định lý sau Định lý 2.2.8 Với α > 0, µ > fδ ∈ X ∗ phương trình (2.7) có nghiệm γ γ xα , γ = (µ , δ ) Hơn nữa, δ /α µ /α tiến tới 0, dãy xα hội tụ tới x0 Chứng minh Từ (2.2) (2.7) ta có γ γ γ Aµ (xα ) − A(x) + α B(xα − x) ≤ δ xα − x γ + (µ + α ) Bx, x − xα , ∀x ∈ S0 32 Vì Aµ toán tử đơn điệu, nên γ mB x α − x ≤ δ γ µ xα − x + + α α γ (2.8) Bx, x − xα γ γ Vì vậy, dãy {xα } bị chặn Do đó, tồn dãy dãy {xα } hội tụ yếu đến phần tử x1 δ /α , µ /α α → Không làm tính tổng quát, giả sử γ δ /α , µ /α xα ⇀ x1 α → Vì A toán tử đơn điệu, nên γ γ A(x) − A(xα ), x − xα ≥ ∀x ∈ X Hay, γ γ A(x) + (α + µ )Bxα − fδ , x − xα ≥ ∀x ∈ X Do đó, γ A(x) + (α + µ )Bx − fδ , x − xα ≥ ∀x ∈ D(B) Cho α , µ , δ → bất đẳng thức ta nhận A(x) − f0 , x − x1 ≥ ∀x ∈ D(B) γ Suy ra, x1 ∈ S0 Ta thay x x1 (2.8) ta thấy dãy {xα } hội tụ mạnh tới x1 Mặt khác, từ (2.8) ta có Bx, x − x1 ≥ ∀x ∈ S0 Thay x tx1 + (1 −t)x bất đẳng thức sử dụng tính chất tuyến tính toán tử B tính lồi tính đóng S0 ta có tBx1 + (1 − t)Bx, x − x1 ≥ ∀x ∈ S0 , t ∈ (0, 1) 33 Cho t → bất đẳng thức ta nhận Bx1 , x − x1 ≥ ∀x ∈ S0 γ Từ phần tử x1 xác định (2.6) nhất, dãy xα hội tụ tới x1 x1 = x0 γ Ta thấy xα nghiệm (2.3) α chọn theo quy tắc γ α¯ xα¯ = K˜ δ p˜ , < p˜ < 1, K˜ ≥ phương trình (2.3) quy tắc chọn α (2.9) thỏa mãn tất nguyên lý phương pháp hiệu chỉnh Trên cở sở ý tưởng này, ta xét hàm thực sau: γ ρ (α ) = α ( xα + a0 ), a0 > Khi Aµ (x) − A(x) ≤ µ Bx ∀x ∈ D(B), µ → ta xem (2.7) phương trình hiệu chỉnh hóa cho (2.2) với kiện cho xấp xỉ (Aµ , fδ ), µ δ tiến dần tới Ta chứng minh bổ đề sau Bổ đề 2.2.9 Với γ > xác định (nghĩa δ , µ > 0) hàm ρ (a) liên tục khoảng (0, +∞) lim ρ (α ) = +∞, α →+∞ lim ρ (α ) = α →+0 Chứng minh Đặt αi số thực thỏa mãn điều kiện α1 > α2 ≥ α0 > Từ (2.7) ta có γ γ α1 Bxα1 − α2 Bxα1 , xα1 − xα1 ≤ B(xα1 − xα2 ), xα1 − xα2 ≤ |α2 − α1 | Bxα2 , xα1 − xα2 , α0 đó, xαi nghiệm (2.7) với α = αi 34 Trong trường hợp tổng quát α ta có mB xα1 − xα2 ≤ γ |α2 − α1 | Bxα2 α0 γ Dễ thấy xα1 hội tụ tới xα2 α1 hội tụ tới α2 với γ > cố định, suy ρ (α ) hàm liên tục khoảng (0, +∞) Rõ ràng, lim ρ (α ) = +∞ α →+∞ Giả sử xγ nghiệm (2.7) với α = Từ (2.7) ta suy γ mB xα − xγ ≤ Bxγ , γ nghĩa với γ > cố định, dãy {xα } bị chặn Vì vậy, lim ρ (α ) = α →+0 Định lý 2.2.10 Với γ > cố định, tồn giá trị α¯ thỏa mãn phương trình: ρ (α¯ ) = (µ + δ ) p˜ , (2.9) < p˜ < {µ /α¯ } {δ /α¯ } hội tụ tới γ → Chứng minh Theo Bổ đề 2.2.9 giá trị α¯ tồn Từ (2.9) ta nhận µ +δ γ = (µ + δ )1− p¯ ( xα¯ + a0 ) α¯ (2.10) γ xα¯ nghiệm (2.7) với α = α¯ số γ > xác định Từ (2.2), (2.7) (2.9) ta có: γ mB xα¯ − x1 ≤ µ Bx1 + δ + Bx1 , α¯ x1 ∈ S0 35 Kết hợp bất đẳng thức (2.10) ta µ +δ max(1, Bx1 )) ≤ (µ + δ )1− p¯ ( x1 +m−1 (1−(µ + δ )1− p˜ m−1 B B Bx1 +a0 ) α¯ Vì dãy {µ /α¯ } {δ /α¯ } hội tụ tới γ → 2.2.4 Phương pháp lặp Bây giờ, ta xét phương pháp lặp để tìm nghiệm hiệu chỉnh xαδ phương trình (2.5) Thêm nữa, giả sử toán tử B đối xứng, nghĩa B∗ = B Cho x1 phần tử D(B) Dãy lặp xk xây dựng sau: xk+1 = xk − βk B−1 (A(xk ) + α Bxk − fδ )/τk , (2.11) đó, τk = B−1 (A(xk )) + α Bxk − fδ ), A(xk ) + α Bxk − fδ 1/2 Sự hội tụ dãy lặp (2.11)-(2.12) trình bày định lý sau Định lý 2.2.11 Nếu số thực βk thỏa mãn điều kiện βn > 0, βn ց 0, ∞ ∑ βn = +∞, n=1 ∞ ∑ βn2 < +∞, n=1 dãy {xk } hội tụ tới xαδ với α > k → ∞ Chứng minh Đặt λk := B(xk − xαδ ), xk − xαδ với α > xác định δ Dễ thấy λk+1 ≤ λk + B(xk+1 − xk ), xk − xαδ + B(xk+1 − xk ), xk+1 − xk (2.12) 36 Từ bất đẳng thức (2.11)-(2.12) ta nhận được: λk+1 ≤ λk − 2αβk λk /τk + βk2 Vì vậy, dãy {λk } bị chặn Do đó, dãy {xk } {A(xk )} bị chặn Từ τk2 = B−1 (A(xk )−A(xδα )), A(xk )−A(xδα ) +2α A(xk −A(xδα )), xk −xδα + α λk2 , A B−1 toán tử bị chặn, dãy τk bị chặn, nghĩa tồn số C > cho λk+1 ≤ λk − 2αβk λk /C + βk2 Suy λk → k → +∞ Vì dãy {xk } hội tụ tới xαδ 2.3 Ví dụ Ví dụ 2.3.1 Xét phương trình tích phân tuyến tính (K ϕ )(x) = k(x, y)ϕ (y)dy = f0 (x), x ∈ [0, 1] (2.13) đó, k(x, y) hàm thực, không âm đo [0, 1] × [0, 1] thỏa mãn điều kiện: 1 |k(x, y)|q dxdy < +∞ 0 f0 (x) ∈ L([0, 1]), < q < +∞ Giả sử nghiệm ϕ (x) phương trình (2.13) khả vi suy rộng k-lần ϕ (0) = ϕ (1)(0) = · · · = ϕ k−1 (0) = 0ϕ (1) = ϕ (1)(1) = · · · = ϕ k−1 (1) = (2.14) 37 Ta thấy, K toán tử tuyến tính, bị chặn đơn điệu từ D(K) = X = L p [0, 1] vào X ∗ = Lq [0, 1], p−1 + q−1 = Vì vậy, K toán tử compact Đây toán đặt không chỉnh Trong trường hợp này, ta sử dụng phương pháp hiệu chỉnh A(x) + α J(x) = fδ ta có phương trình toán tử phi tuyến tính chất không tuyến tính ánh xạ đối ngẫu J không gian L p [0, 1] Mặt khác, thông tin (2.14) nghiệm dùng để giải toán (2.13) Đặc biệt, việc nghiên cứu tốc độ hội tụ xấp xỉ hữu hạn chiều gặp nhiều khó khăn Trong trường hợp, toán tử B xác định công thức Bϕ = k rd ∑ (−1) r=0 2r ϕ dx2r + c0 ϕ , c0 > Khi đó, Bϕ , ϕ ≥ mBϕ , mB > Ví dụ sau ta dùng toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh hiệu chỉnh Ví dụ 2.3.2 Xét phương trình tích phân phi tuyến loại Hammerstein K f (ϕ ) ≡ k(x, y) f (ϕ (y))dy = f0 (x), 0≤x≤1 (2.15) k(x, y) f0 (x) hàm liên tục [0, 1] × [0, 1] [0, 1] tương ứng, f (s) hàm liên tục R thỏa mãn điều kiện sau s1 ≤ s2 ⇔ f (s1 ) ≤ f (s2 ), | f (s)| ≤ a + b|s| p−1 ; a, b ≤ 0, < p < Do đó, f : L p [0, 1] → Lq [0, 1] f toán tử đơn điệu liên tục 38 Ta giả sử (2.15) có nghiệm L2 [0, 1] Ta tìm điều kiện đủ để giải phương trình sau K f K ∗ ϕ = f0 , Kϕ = k(x, y)ϕ (y)dy, K toán tử tuyến tính liên tục Lθ [0, 1] với θ > Vì K f K ∗ toán tử liên tục đơn điệu từ X = L p [0, 1] vào X ∗ = Lq [0, 1] Ta có H = L2 [0, 1], X ∗ ֒→ H ֒→ X Vì vậy, với α > phương trình K f K ∗ ϕ + αϕ = f0 , ϕ ∈H toán đặt chỉnh, có nghiệm ϕα ∈ L2 [0, 1] dãy {ϕα } hội tụ tới nghiệm (2.15) α → 39 Kết luận Luận văn trình bày lại có hệ thống phương pháp hiệu chỉnh phương trình toán tử đặt không chỉnh với toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh không gian Hilbert Cụ thể: (1) Trình bày khái niệm không gian Banach, không gian Hilbert số tính chất; (2) Giới thiệu khái niệm toán tử tuyến tính liên tục, toán tử đơn điệu, đơn điệu mạnh không gian Hilbert ví dụ minh họa; (3) Trình bày khái niệm ví dụ phương trình toán tử đặt không chỉnh; (4) Giới thiệu phương pháp hiệu chỉnh hội tụ phương pháp sở sử dụng ánh xạ tuyến tính đơn điệu mạnh làm thành phần hiệu chỉnh Trong kết luận văn việc sử dụng phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov hiệu chỉnh phương trình toán tử đơn điệu với thành phần hiệu chỉnh toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh Phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov giải toán đặt không chỉnh phương pháp sử dụng rộng rãi hiệu nghiên cứu toán đặt không chỉnh Việc phát triển phương pháp hiệu chỉnh cho bất đẳng thức biến phân, hệ phương trình toán tử đơn điệu từ không gian Hilbert sang không gian Banach, từ toán đơn trị sang toán đa trị vv hướng phát triển đề tài 40 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường (2005), Bài toán đặt không chỉnh, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [3] F Browder (1966), "Existence and approximation of solutions of nonlinear variational inequalities", Proc Nat Acad Sci USA, 56(4), 1080-1086 [4] Ng Buong (1996), "Regularization by linear operators", Acta Mathematica Vietnamica, 21(1), 135–145 [5] A.N Tikhonov (1963), "On the solution of ill-posed problems and the method of regularization", Doklady Akademii Nauk SSSR, 151, 501–504 (Russian) ... thức toán đặt không chỉnh phương trình toán tử đơn điệu Chương trình bày phương pháp hiệu chỉnh phương trình toán tử với toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh 4 Chương Toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh. .. 18 1.3.2 Toán tử đơn điệu mạnh 22 Chương Hiệu chỉnh phương trình toán tử với toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh 25 2.1 Phương trình toán tử đặt không chỉnh ... 2.2 Hiệu chỉnh phương trình toán tử đặt không chỉnh dựa toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh 27 ii 2.3 2.2.1 Phương trình hiệu chỉnh 27 2.2.2 Sự tồn toán tử tuyến tính