SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS KHOÁ NGÀY 18 – – 2017 Đề thức Môn thi: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 18/3/2017 Bài (6,0 điểm) Cho biểu thức: P = 2m + 16m + + m+2 m −3 m −2 + m −1 −2 m +3 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị tự nhiên m để P số tự nhiên Cho biểu thức: P = (a + b)(b + c)(c + a) – abc với a, b, c số nguyên Chứng minh a + b + c chia hết cho P chia hết cho Bài (5,0 điểm) a) Chứng minh rằng: với số thực x, y dương, ta có: b) Cho phương trình: x + 3mx − 1 + ≥ x y x+ y = (m tham số) Có hai nghiệm x1 x2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M = ( x1 − x2 )  + x12 + x22  + − ÷ x2   x1 Bài (2,0 điểm) Cho x, y, z ba số dương Chứng minh rằng: 1 1 1 1 + + ≤  + + ÷ x + yz y + xz z + xy  xy yz zx  Bài (7,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R M điểm di động cung nhỏ BC đường tròn a) Chứng minh MB + MC = MA b) Gọi H, I, K chân đường vuông góc hạ từ M xuống AB, BC, CA Gọi S, S’ diện tích tam giác ABC, MBC Chứng minh rằng: Khi M di động ta có đẳng thức: ( S + 2S' ) 3R Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AD, BE, CF đường cao Lấy M đoạn FD, lấy N · · · tia DE cho MAN Chứng minh MA tia phân giác góc NMF = BAC MH + MI + MK = Bài (6,0 điểm) 1a) Rút gọn P = m +1 (với m ≥ 0, m ≠ 1) m −1 1b) P= m +1 = 1+ m −1 m −1 ∈ N ⇔ m − ước dương ⇒ m ∈ { 4; 9} (TMĐK) m −1 Vậy m = 4; m = giá trị cần tìm 2) a + b + c M (a, b, c ∈ Z) Đặt a + b + c = 4k (k ∈ Z) ⇒ a + b = 4k – c ; b + c = 4k – a ; a + c = 4k – b Ta có: P = (a + b)(b + c)(c + a) – abc = (4k – c)(4k – a)(4k – b) – abc = ( 16k − 4ak − ack + ac ) ( 4k − b ) − abc Ta có: P ∈ N ⇔ = 64 k − 16bk − 16ak + 4abc − 16ck + 4bck + 4ack − abc − abc 2 = ( 16k − 4bk − 4ak + abk − 4ck + bck + ack ) − 2abc (*) Giả sử a, b, c chia dư ⇒ a+ b + c chia dư (1) Mà: a + b + c M ⇒ a + b + c M (theo giả thiết) (2) Do (1) (2) mâu thuẫn ⇒ Điều giả sử sai ⇒ Trong ba số a, b, c có số chia hết cho ⇒ 2abc M (**) Từ (*) (**) ⇒ P M Bài (5,0 điểm) 1 a+b 2 ⇔ ≥ ⇔ ( a + b ) ≥ 4ab ⇔ ( a − b ) ≥ (đúng) a) + ≥ x y x+ y ab a+b b) PT có a, c trái dấu nên có hai nghiệm phân biệt x1 x2 Ta có: x1 + x2 = − 3m x1.x2 = − 2  + x12 + x22  − M = ( x1 − x2 ) +  ÷ = = x2   x1 2   − x1 x2 )  − x1 x2 )  ( ( 2    = ( x1 + x2 ) − x1 x2  1 +  ( x1 − x2 ) 1 + 2 ( x1 x2 )   ( x1 x2 )     2 =  + ÷ ÷m + + ≥ +   Dấu “=” xảy m = Vậy GTNN M + m = Bài (2,0 điểm) Áp dụng BĐT Cô si cho số dương x yz, ta có: 1 1 = x + yz ≥ x yz = x yz ⇒ x + yz ≤ x yz x yz 1 1 1 ≤ ≤ Tương tự, ta có: z + xy z xy y + xz y xz Suy ra: 1 1 1 + + ≤  + + x + yz y + xz z + xy  x yz y xz z xy  ÷ ÷ (1)  Ta có: Ta có: 1 + + = x yz y xz z xy yz + xz + yz + xz + xyz xy (2) xy ≤ x + y + z (3) Thật vậy: (*) ⇔ yz + xz + xy ≤ x + y + z ⇔ ( x − y ) +( z − x ) +( y − x ) ≥ (BĐT đúng) Dấu “=” xảy x = y = z 1 x+ y+z 1 + + ≤ = + + Từ (2) (3) suy ra: (4) x yz y xz z xy xyz yz xz xy Từ (1) (4) suy ra: 1 1 1 1 + + ≤  + + ÷ x + yz y + xz z + xy  xy yz zx  Bài (7,0 điểm) 1.a) Cách 1: Trên tia đối tia MC lấy điểm E cho ME = MB Ta có: ∆ BEM tam giác ⇒ BE = BM = EM ∆ BMA = ∆ BEC ⇒ MA = EC Do đó: MB + MC = MA Cách 2: Trên AM lấy điểm E cho ME = MB Ta có: ∆ BEM tam giác ⇒ BE = BM = EM ∆ MBC = ∆ EBA (c.g.c) ⇒ MC= AE Do đó: MB + MC = MA 1.b) Kẻ AN vuông góc với BC N Vì ∆ ABC tam giác nên O trọng tâm tam giác ⇒ A, O, N thẳng hàng ⇒ AN = R AN 3 = R: =R Ta có: AN = AB.sin ·ABN ⇒ AB = · sin ABN 2 S ABM S ABM Ta có: MH AB = S ABM ⇔ MH = = R AB S ACM S ACM MK AC = S ACM ⇔ MK = = R AC S 2S ' 2S BCM MI BC = S BCM ⇔ MI = BCM = = R R BC 2S ' 2S ' S ABMC ( S ABM + S ACM ) = Do đó: MH + MK + MI = + + R R R R 2S ' ( S + 2S ') = + ( S + S ') = R 3R R Qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt DE K · · Tứ giác AEDB nội tiếp ⇒ CDE = BAC · · Mà: MKD (vì MK // BC) = CDE · · ⇒ Tứ giác AMKN nội tiếp Do đó: MKD = MAN ⇒ ·AMN = ·AKN ¶ =D ¶ (= BAC ¶ =D ¶ · Ta có: D )⇒ D ∆ DMK có DA phân giác vừa đường cao nên cân D ⇒ DM = DK ∆ AMD = ∆ AKD (c.g.c) ⇒ ·AMD = ·AKD Nên: ·AMF = ·AKN Ta có: ·AMF = ·AMN = ·AKN ( Vậy: MA phân giác góc ·NMF ) ... gọn P = m +1 (với m ≥ 0, m ≠ 1) m −1 1b) P= m +1 = 1+ m −1 m −1 ∈ N ⇔ m − ước dương ⇒ m ∈ { 4; 9} (TMĐK) m −1 Vậy m = 4; m = giá trị cần tìm 2) a + b + c M (a, b, c ∈ Z) Đặt a + b + c = 4k (k... 2abc (*) Giả sử a, b, c chia dư ⇒ a+ b + c chia dư (1) Mà: a + b + c M ⇒ a + b + c M (theo giả thi t) (2) Do (1) (2) mâu thuẫn ⇒ Điều giả sử sai ⇒ Trong ba số a, b, c có số chia hết cho ⇒ 2abc