i MỤC LỤC MỤC LỤC .i Mở đầu ii Chương BÀI TOÁN QUY HOẠCH NGUYÊN TUYẾN TÍNH VÀ BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH DẠNG CHUẨN 1.1 Một số mô hình thực tế thuộc dạng toán quy hoạch nguyên tuyến tính dạng chuẩn 1.1.1 Bài toán pha cắt vật liệu 1.1.2 Bài toán lập kế hoạch sản xuất 1.1.3 Bài toán túi 1.1.4 Mô hình phân bố máy bay cực tiểu tổng chi phí toàn mạng đường bay hàng không 1.1.5 Bài toán mua (thuê) máy bay tối ưu: 1.2 Bài toán quy hoạch nguyên tuyến tính dạng chuẩn phương pháp giải 1.2.1 Bài toán quy hoạch nguyên tuyến tính 1.2.2 Thuật toán Land-Doig giải toán quy hoạch nguyên tuyến tính 1.3 Bài toán quy hoạch tuyến tính với miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính 14 1.3.1 Phương pháp nón xoay xấp xỉ tuyến tính 15 Thuật toán xấp xỉ LP 15 1.3.2 Bảng lặp giải toán quy hoạch tuyến tính thuật toán nón xoay xấp xỉ tuyến tính 17 1.3.3 Bài toán quy hoạch tuyến tính tái tối ưu hóa thuật toán TTH 21 Chương THUẬT TOÁN NHÁNH CẬN XẤP XỈ NGOÀI GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH NGUYÊN TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG 27 2.1 Thuật toán nhánh cận xấp xỉ giải toán quy hoạch nguyên tuyến tính 27 2.2 Minh họa ứng dụng thuật toán nhánh cận xấp xỉ ILP giải toán quy hoạch nguyên tuyến tính có số chiều nhỏ với miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính 30 KẾT LUẬN 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 ii Mở đầu Như biết, nhiều toán thực tế dẫn đến phải giải toán quy hoạch nguyên tuyến tính, phương pháp hiệu để giải phương pháp nhánh cận LandDoig Mỗi bước trung gian để giải toán quy hoạch nguyên tuyến tính thông thường phải tiến hành giải toán quy hoạch tuyến tính tương ứng chưa có điều kiện nguyên biến với ràng buộc bổ sung dạng bất phương trình cho thành phần biến Do việc sử dụng thuật toán giải trực tiếp toán quy hoạch tuyến tính với miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính ưu việt hiệu quả, thuật toán thuật toán nón xoay tuyến tính xấp xỉ trình bày [4] Nội dung luận văn trình bày hai chương: Chương 1, trình bày số mô hình toán thực tế có dạng toán quy hoạch nguyên tuyến tính, phương pháp nhánh cận Land-Doig thuật toán nón xoay xấp xỉ tái tối ưu hóa TTH giải toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn Chương 2, trình bày việc xây dựng thuật toán xấp xỉ ILP giải toán quy hoạch nguyên tuyến tính từ thuật toán nhánh cận Land-Doig thuật toán nón xoay xấp xỉ TTH Thuật toán dựa định lý làm cho bước để tìm cận toán nguyên, phải giải toán quy hoạch tuyến tính tương ứng chưa có điều kiện nguyên có số chiều n - (n số chiều toán) Tiếp minh họa ứng dụng thuật toán trình bày giải cho số ví dụ có số tài liệu [2], [3] [5] để so sánh tính thuận lợi thuật toán trường hợp toán có sô chiều hay số ràng buộc nhỏ Và trường hợp toán quy hoạch nguyên tuyến tính dạng chuẩn chiều việc giải toán quy hoạch tuyến tính tương ứng chưa có điều kiện nguyên, bước để iii tìm cận toán việc kiểm tra tìm giá trị nhỏ hàm biến hai đầu mút (nếu có) Các thuật toán trình bày luận văn xây dựng chi tiết, bước thuật toán trình bày cho dễ dàng lập trình chuyển sang chương trình máy tính ngôn ngữ Pascal, C, Basis, Java, Chương BÀI TOÁN QUY HOẠCH NGUYÊN TUYẾN TÍNH VÀ BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH DẠNG CHUẨN Trong chương trình bày số toán thực tế điển hình thuộc dạng toán quy hoạch nguyên tuyến tính, giới thiệu số phương pháp quan trọng thường dùng để giải toán quy hoạch nguyên tuyến tính Và trình bước giải toán cần phải giải toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn trung gian thêm vào siêu phẳng cắt thêm vào ràng buộc dạng bất phương trình tuyến tính để chia nhỏ miền chấp nhận sau bước Chính thế, phần cuối chương trình bày thuật toán xấp xỉ giải trực tiếp toán quy hoạch tuyến tính với miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính thuật toán hiệu trường hợp tái tối ưu hóa 1.1 Một số mô hình thực tế thuộc dạng toán quy hoạch nguyên tuyến tính dạng chuẩn 1.1.1 Bài toán pha cắt vật liệu Một phân xưởng có vật liệu (thanh thép, ống nhựa, ….) có độ dài cho trước, cần cắt chúng thành đoạn ngắn theo mẫu cho trước Vấn đề đặt ta nên cắt cho tổng phần dư thừa lại tốn nhất? Giả sử aij độ dài đoạn loại i theo mẫu j, bi số đoạn loại i cần có, cj rẻo thừa cắt theo mẫu j, gọi xj số cắt theo mẫu j (j= 1,2, …, n) Ta có toán quy hoạch nguyên tuyến tính sau: n c j 1 j x j  với điều kiện n a x j j  bi , i  1, , m j 1 x j  nguyên, j  1, , n Đây toán quy hoạch tuyến tính tắc nguyên 1.1.2 Bài toán lập kế hoạch sản xuất Giả sử xí nghiệp sản xuất n loại sản phẩm sử dụng m loại nguyên liệu khác nhau, cj lãi suất (hay giá bán) đơn vị sản phẩm j (j =1,…, n), aij suất chi phí tài nguyên loại i để sản xuất đơn vị sản phẩm loại j, bi lượng dự trữ tài nguyên loại i (i = 1,…,m) Gọi xj lượng sản phẩm loại j (j = 1,…, n) mà xí nghiệp sản xuất Trong điều kiện cho, xác định giá trị x j (j = 1,…, n) cho tổng tiền lãi (hay tổng giá trị sản lượng hàng hóa) lớn với số tài nguyên có Mô hình toán học có dạng toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn sau: n c x j j  max j 1 với điều kiện n a x j j  bi , i  1, , m j 1 xj  , j  1, , n Đây toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn nguyên 1.1.3 Bài toán túi Một người du lịch muốn đem theo túi đựng đồ vật nặng không b kilogam Có n loại đồ vật mà dự định đem theo Mỗi đồ vật loại j có khối lượng a j kilogam giá trị c j Người du lịch muốn chất vào túi đồ vật cho tổng giá trị đồ vật đem theo lớn Ký hiệu x j số đồ vật loại j chất vào túi Ta có toán sau: n  c j x j  max j 1 n  a jx j  b j 1 x j  0, j  1, , n x j - nguyên, j  1, , n Đây toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn nguyên 1.1.4 Mô hình phân bố máy bay cực tiểu tổng chi phí toàn mạng đường bay hàng không Các tham số biến định toán: Giả sử khai thác sử dụng K loại máy bay (777, 767, A321, A330, A320, AT7, ), M k số máy bay loại k khai thác sử dụng (k=1,2, ,K), giả sử số sân bay (thành phố) tham gia vào mạng N Ta sử dụng ký hiệu sau đây: (i, j) chặng bay từ sân bay i đến sân bay j (i, j=1,2 ,N) Ta giả thiết chiều dài trung bình thực tế Dij chiều dài thương mại chặng bay Pij số lượng khách trung bình dự báo có thu nhập thực tế chuyên chở chặng bay (i, j) (trong tuần) Sk số ghế tương ứng (số ghế tối đa phép xếp khách cho chặng bay loại máy bay k) gij ghế suất (hệ số sử dụng ghế suất) trung bình chặng bay (i, j) h max - số khai thác bay trung bình lớn cho phép k máy bay loại k tuần v - vận tốc bình quân thực tế máy bay loại k k min(ij ) max(ij ) tương ứng tần xuất bay nhiều (số F , F k k chuyến bay tuần) loại máy bay k chặng bay (i, j) Cijk chi phí theo chuyến bay (trong tuần) chặng bay (i, j) loại máy bay k fijk tần suất bay (số chuyến bay tuần) loại máy bay k chặng bay (i, j) (biến định) Hàm mục tiêu: Ta ký hiệu Cost tổng chi phí theo chuyến bay cho tất máy bay khai thác sử dụng thời kỳ phân tích (một tuần) tuyến bay toàn mạng Thời kỳ phân tích khoảng thời gian cần nghiên cứu cần phân tích mà ta quy định tuần, tháng, quý, sáu tháng, năm, Hàm mục tiêu Cost tổng chi phí cho chuyến bay toàn mạng xác định sau: k fk Cost  C    C ij ij ij k (I.1) Trong C0 (chi phí cố định) tổng chi phí không phát sinh thêm chuyến bay thực như: giá thuê máy bay, bảo hiểm máy bay, bảo dưỡng sửa chữa máy bay, khấu hao thiết bị máy bay, quản lí chung C ijk chi phí biến đổi theo chuyến bay loại máy bay k xuất thực chuyến bay như: phục vụ hàng khách, bay, hàng hóa, nhiên liệu Các ràng buộc toán: Ràng buộc thương mại: min(ij ) max(ij ) 0 F  fijk  F k k (I.2) Ràng buộc có nghĩa tần suất bay fijk loại máy bay k chặng bay (i, j) không Fkmin(ij ) không nhiều Fkmax(ij ) (ràng buộc hạn chế thương mại) Ràng buộc khai thác: Với vòng bay j (Pairing) ta có: k  f ji =  fijk i i (I.3) (j = 1,2, N, k = 1,2, ,K) Ràng buộc (I.3) có nghĩa khoảng thời gian phân tích (của chu kỳ bay) đội bay loại máy bay k rời sân bay j (Crew Base) bay đến sân bay i bay sân bay j vòng bay  Tijk fijk  M k hkmax (I.4) ( i, j ) Trong Tijk  D ij v k thời gian bay chặng bay (i, j) loại máy bay k Ràng buộc (I.4) có nghĩa số khai thác bay trung bình máy bay loại k không vượt số bay cho phép gij  Pij K k  S k fij k 1 1 (i, j = 1,2, ,N) (I.5) Ràng buộc (I.5) có nghĩa hệ số sử dụng ghế (ghế suất) thực tế chặng bay (i, j) loại máy bay k phải đạt g ij không vượt 100% Bài toán đặt cựu tiểu hàm mục tiêu (I.1) với ràng buộc thỏa mãn (I.2), (I.3), (I.4) (I.5) Vậy mô hình toán “Phân bố máy bay” cực tiểu tổng chi phí cho chuyến bay sau: Cost  C0   Cijk f ijk  ij (I.6) k Với ràng buộc: min(ij ) max(ij ) 0 F  fijk  F k k  f jik = i  fijk (j = 1,2, N, k = 1,2, ,K) i k k max  Tij fij  M k hk (i , j ) gij  Pij K k  S k fij k 1 1 (i, j=1,2, ,N) Đây toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn nguyên 1.1.5 Bài toán mua (thuê) máy bay tối ưu: Để mở rộng hoạt động, hãng hàng không dự định mua (thuê) K loại máy bay (B777, B767, A321, A330, A320, AT7, ) ta gọi tương ứng loại máy bay k (k=1, 2, …, K) máy bay loại k có giá mua (thuê) ck có thời gian sử dụng Tk năm Hãng dự định mua (thuê) tối đa N máy bay loại máy bay với số vốn đầu tư có V, Bài toán cần giải hãng hàng không nên mua (thuê) máy bay loại để tổng thời gian sử dụng nhiều nhất? Ta gọi xk số lượng máy bay loại k cần mua (thuê), mô hình toán đặt là: K M   Tk xk  max (I.7) k 1 Với ràng buộc: K x k N k 1 K  c x k k V k 1 xk  0, k  1, 2, , K , nguyên Đây toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn nguyên 1.2 Bài toán quy hoạch nguyên tuyến tính dạng chuẩn phương pháp giải Trong mục này, giới thiệu toán quy hoạch nguyên tuyến tính dạng chuẩn phương pháp nhánh cận Land-Doig để giải Nội dung mục dựa chủ yếu vào tài liệu [2], [3], [4] [5] 1.2.1 Bài toán quy hoạch nguyên tuyến tính Quy hoạch nguyên tuyến tính (Interger linener Programming, viết tắt ILP), toán tìm cực tiểu (hay cực đại) hàm tuyến tính tập hợp điểm rời rạc, thường tập điểm nguyên: T ( ILP) m in  f ( x )  c x : A x  b , x j  n g u y ê n , j  1, , n  m n m n A  R , b  R c R cho trước Khi có số, tất biến nguyên ta gọi toán qui hoạch nguyên phận Khi có điều kiện tất biến nguyên ta gọi toán quy hoạch nguyên hoàn toàn 36 Để tính cận toán Pi (i  6, 7) này, giải toán quy hoạch tuyến tính tướng ứng với Pi (i  6, 7) bỏ qua điều kiện nguyên, theo thuật toán xấp xỉ ILP giải toán quy hoạch tuyến tính tương ứng Pi (i  6, 7) (bỏ qua điều kiện nguyên) p 60   x1  x  m i n   4x  2x  1   x1  x  1    x2     x1  x    x1    x1 , x  p 70   x1  x  m i n    x1  x    x1  x  1    x2     x1  x    x1    x1 , x  Giải toán tương đương với việc giải toán biến tương ứng sau:    x  m in    x      x  1 p 16    x2   x    x     x  m in    x      x  1  p 17    x2   x    x  Hay    x2  m in   x2     p 16  x    x2    x2  x         p7          x  m in 11 x2   x2  x2  x2  x2  37 1 Dễ dàng thấy lời giải P6 x2 = toán P7 phương án Suy toán quy hoạch tuyến tính tương ứng P6 có phương án tối ưu x1  2; x 1 với giá trị hàm mục tiêu z   toán P7 phương án (bài toán P7 bị loại không xét tiếp nữa) Phương án có x1 , x2 nguyên nên ta nhận giá trị kỉ lục hàm mục tiêu  P6 xét xong (bị loại) Bài toán P2 có giá trị hàm mục tiêu lớn giá trị kỉ lục nên chắn không chứa phương án nguyên tốt (giá trị mục tiêu nhỏ hơn) P2 bị loại Đến không toán phải xem xét nên phương án nguyên nhận phương án tối ưu cần tìm toán quy hoạch nguyên cho Quá trình giải toán nêu thể sơ đồ vẽ hình đây: 38 Sơ đồ P1 : z   4; x1  ; x2  2 x1 1 x1  P2 : z   ; x1  1; x2  P3 : z   ; x1  2; x2  x1  x1  P4 : z   x1  x1  P6 : z   3; x1  2; x2  13 ; P5 Không có phương án ( Loại ) ; x2  x1  P7 Không có phương án ( Loại ) 39 Ví dụ [4]: Một hãng hàng không dự định mua số máy bay Airbus A320 Boing 777 để mở rộng hoạt động Mỗi máy bay Airbus giá triệu đô có thời gian sử dụng năm, máy bay Boing giá triệu đô có thời gian sử dụng năm (các số giả định) Hãng ước tính cần mua máy bay số tiền để mua máy bay không 46 triệu đô Hỏi hãng nên mua máy bay loại để tổng thời gian phục vụ chúng lâu nhất? Ta gọi x1 số máy bay Airbus cần mua gọi x2 số máy bay Boing cần mua, ta có mô hình toán là:  x  x  max  x  x 6    x  x  46  x , x  , nguyên Kí hiệu P1 toán quy hoạch tuyến tính (bỏ qua điều kiện nguyên) tương ứng với toán quy hoạch nguyên cho Giải P1 thuật toán xấp xỉ LP, ta có bảng nón xoay thu gọn giải toán sau: 40 bj -6 -8 Aj( x ) Aj( x1 ) -1 0 -2 0 -1 -6 -4 -6 1 0 -46 (1) -1 [-4] (1/2) -6 -1 -9 8/9 Chỉ số sở Bước x0 -46 1/4 -1/4 -6 -9/4 5/4 Bước x1 Ta phương án tối ưu: x1  2; x  ứng với giá trị hàm mục tiêu z = - 44 Bài toán có lời giải nguyên bước chuẩn bị, lời giải toán quy hoạch nguyên tương ứng Vậy lời giải toán ban đầu Hãng Hàng không mua Airbus Boing tổng thời gian sử dụng lớn 44 năm Ví dụ [3]: Giải toán túi P0 sau thuật toán xấp xỉ ILP:  x  x  x  max   x1  x  x   x  , j  1, , , nguyên  j    x  x  x    x1  x  x   x  , j  , , , nguyên  j 41 Kí hiệu P1 toán quy hoạch tuyến tính (bỏ qua điều kiện nguyên) tương ứng với toán Giải P1 thuật toán xấp xỉ LP, bước chuẩn bị có lời giải tối ưu x0 = (13/3, 0, 0) ứng với giá trị hàm mục tiêu z = - 104/3 Đó cận cho phương án nguyên toán quy hoạch nguyên xét Vì biến x1 có giá trị không nguyên nên ta chọn x1 để phân nhánh Ta thu toán quy hoạch tuyến tính Thêm vào P1 ràng buộc x1  ta thu toán P2 Thêm vào P1 ràng buộc x1  ta thu toán P3   x  x  x   3x  x  x 13  P2   x1   x j  , j  , , , nguyên    x  x  x   3x  2x  x 13  P3   x1   x j  , j  , , , nguyên  Để tính cận toán Pi (i  2, 3) này, giải toán quy hoạch tuyến tính tướng ứng với Pi (i  2, 3) bỏ qua điều kiện nguyên, theo thuật toán xấp xỉ ILP giải toán quy hoạch tuyến tính tương ứng Pi (i  2, 3) (bỏ qua điều kiện nguyên):   x  x  x   x1  x  x   P2   x1   x j  , j  1, ,  42   x  x  x   3x  x  x 13  P3   x1   x j  , j  1, ,3  Giải toán tương đương với việc giải toán hai biến tương ứng sau:    x  x   P 21   x  x   x  , j  ,3  j    x  x   P31   x  x   x  , j  ,3  j Hay   32  x  x   P 21  x  x   x  , j  ,3  j    x  x3  m in  P31  x  x    x  0, j  2,  j Giải toán P2 thuận toán xấp xỉ LP bước chuẩn bị ta thu đươc lời giải tối ưu x  ; x3  với giá trị mục tiêu z   69 , toán P31 dễ thấy phương án Suy toán quy hoạch tuyến tính tương ứng toán P2 có lời giải tối ưu là: 43 x1  4; x2  ; x3  với giá trị mục tiêu z   69 , toán P3 2 phương án (loại) Bài toán P2 có biến x có giá trị không nguyên nên ta chọn x2 để phân nhánh, ta thu hai toán quy hoạch tuyến tính Thêm vào P2 ràng buộc x  ta thu toán P4 Thêm vào P2 ràng buộc x2  ta thu toán P5   x  x  x    x1  x  x   P4  x  x    x j  , j  , , , nguyên   x  x  x    x1  x  x   P5  x  x    x j  , j  , , , nguyên Để tính cận toán Pi (i  4, 5) này, giải toán quy hoạch tuyến tính tướng ứng với Pi (i  4, 5) bỏ qua điều kiện nguyên, theo thuật toán xấp xỉ ILP giải toán quy hoạch tuyến tính tương ứng Pi (i  4, 5) (bỏ qua điều kiện nguyên)   x  x  x    x1  x  x   P4  x  x    x j  , j  , , 44   x  x  x    x1  x  x   P5  x  x    x j  , j  , , Giải toán tương đương với việc giải toán hai biến tương ứng sau:   x   x   x   x  3 1 P4   x1   x j  , j  1,3    x   x   x1   x   P5   x1   x j  , j  1,  Hay   x  x   x  x  13 1 P4   x1   x j  , j  1,    x   x   x  x  11 1 P5   x1   x j  , j  1,3  Giải toán P4 thuật toán xấp xỉ TTH, sau bước lặp từ bảng nón xoay thu gọn ta lời giải tối ưu x1  4; x  0; x  ta nhận kỷ lục Giải toán P5 thuật toán xấp xỉ TTH, bước chuẩn bị ta nhận lời giải tối ưu x1  11 ; x3  Vậy ta suy lời giải 45 toán quy hoạch tuyến tính tương ứng P5 x1  11 ; x  1; x3  , với giá trị mục tiêu Ta xét tiếp toán P5, có biến x có giá trị không nguyên nên ta chọn x1 để phân nhánh, ta thu hai toán quy hoạch nguyên tuyến tính Thêm vào P5 ràng buộc x1  ta thu toán P6 Thêm vào P5 ràng buộc x1  ta thu toán P7   x  x  x   3x  x  x 13   x  P6  x2   x1    x j  , j  , , , nguyên   x  x  x   3x  x  x 13   x  P7  x2   x1    x j  , j  , , , nguyên Để tính cận toán Pi (i  6, 7) này, giải toán quy hoạch tuyến tính tướng ứng với Pi (i  6, 7) bỏ qua điều kiện nguyên, theo thuật toán xấp xỉ ILP giải toán quy hoạch tuyến tính tương ứng Pi (i  6, 7) (bỏ qua điều kiện nguyên) 46   x  x  x   3x  x  x 13   x  P 60  x2   x1    x j  , j  , ,   x  x  x   3x  x  x 13   x  P 70  x2   x1    x j  , j  , , Giải toán tương đương với việc giải toán hai biến tương ứng sau:    x  x   3  x  x  3  P6  x2   x j  , j  ,3     x  x    x  x   P7   x2   x j  , j  ,3  Hay   24  x  x   2x  x   P6   x2   x j  , j  ,3  47   32  x  x   2x  x 1  P7   x2   x j  , j  ,3  Giải toán P6 thuật toán xấp xỉ TTH, bước chuẩn bị ta nhận lời giải tối ưu x  2; x3  Vậy ta suy lời giải toán quy hoạch tuyến tính tương ứng P6 x1  3; x  2; x  với giá trị mục tiêu , ta nhận kỷ lục Dễ dàng thấy toán P7 phương án suy toán P7 phương án (loại toán P7) Đến không toán phải xem xét nữa, nên phương án nguyên nhận phương án tối ưu cần tìm toán quy hoạch nguyên cho Vậy lời giải toán túi P0 ban đầu Quá trình giải toán nêu thể sơ đồ vẽ hình đây: 48 Sơ đồ P1 : z   x1  104 ; 13 ; x2  0; x3  x1  x1  P3 Không có phương án ( Loại ) 69 ; x1  4; x2  ; x3  P2 : z   x2  x2  103 P5 : z   ; 11 x1  ; x2  1; x3  x1  P6 : z   34; x1  3; x2  2; x3  P4 : z = -33 x1  4; x  0; x3  Không phải xét x1  P7 Không có phương án ( Loại ) 49 KẾT LUẬN Luận văn trình bày việc xây dựng thuật toán nhánh cận giải toán quy hoạch nguyên tuyến tính, lớp toán quy hoạch có nhiều ứng dụng thực tế Các phương pháp giải toán quy hoạch tuyến tính có nhiều, song thuật toán hầu hết cho lời giải chưa nguyên Vì xuất phương pháp cắt, phương pháp nhánh cận để giải toán quy hoạch nguyên, phương pháp thực để giải toán quy hoạch nguyên bước phải giải toán phụ (chưa có điều kiện nguyên) bổ sung thêm bất phương trình vào miền ràng buộc Do để làm tăng thêm tính hiệu phương pháp nhánh cận biết việc giải trực tiếp toán quy hoạch tuyến tính với miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính cần thiết Chính thế, luận văn trình bày thuật toán nhánh cận xấp xỉ ILP giải toán quy hoạch nguyên tuyến tính thực chất thuật toán nhánh cận Land-Doig, nhiên bước giải toán quy hoạch tuyến tính tương ứng (chưa có điều kiện nguyên) thuật toán khai thác đặc thù riêng (dựa định lý tái tối ưu hóa 1.3.3.1 chương 1) cho nhận biết toán quy hoạch tuyến k tính có lời giải tối ưu thỏa mãn chặt ràng buộc xt  [ xt ] xt  [ xtk ]  Và sử dụng thuật toán xấp xỉ LP TTH cuối chương để giải toán quy hoạch tuyến tính tương ứng phụ để tìm cận hiệu so với số phương pháp khác phương pháp đơn hình (vì phải thêm vào nhiều biến phụ để đưa toán dạng tắc không khai thác tính tái tối ưu hóa toán phụ) 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Lê Dũng Mưu(1998), Nhập môn phương pháp tối ưu, NXB Khoa học kỹ thuật [2] Nguyễn Đức Nghĩa(1997), Tối ưu hoá (quy hoạch tuyến tính rời rạc), NXB Giáo dục [3] Bùi Minh Trí(2008), Bài tập tối ưu hoá, NXB khoa học kỹ thuật [4]Nguyễn Anh Tuấn, Nguyễn Văn Quý(2012), Quy hoạch tuyến tính với phương pháp nón xoay, NXB Giáo dục Việt Nam [5] Trần Vũ Thiệu, Bùi Thế Tâm(1998), Các phương pháp tối ưu hóa, NXB Giao thông vận tải Tiếng Anh [6] A.C.Belenski(1982), Minimization monotone function in a polyhedron set, Automatic and Tele-Mechanics 9, 112-121 [7] G.B.Dantzig, M.N.Thapa(1997), Linear Programming, 1:Introduction, Springer-Verlag New York, LLC 1997 [8] Nguyen Anh Tuan and Pham Canh Duong(1996), Minimization of An Almost-convex and Almost-concave Function, Vietnam Journal of Mathematics Volume 24 Number 1.1996 (57-74) [9] H Tuy, Convex Analysis and Global Optimization, Kluwer