Hớng dẫn ôn tập kiến thức lý thuyết cơ bản toán 9 Đại số và hình học. a- phần đại số I-Định nghĩa tính chất căn bậc hai: a) Với số dơng a, số a đợc gọi là căn bậc hai số học (CBHSH) của a. b) Với a 0; x= a ( ) == aax x 0 2 2 c) +Mỗi số dơng a có hai căn bậc hai là hai số đối nhau: a >0 và - a < 0 + Số 0 có căn bậc hai duy nhất là 0. Số âm không có căn bậc hai . d) Với hai số a và b không âm, ta có: a < b ba < e) Với mọi số a, ta có < == 0 a khi 0a khi 2 a a aa II-Các công thức biến đổi căn thức 1. AA 2 = 2. B.AAB = (Với A 0; B 0) 3. B A B A = (Với A 0; B 0) 4. BABA = 2 (Với B 0) 5. BABA 2 = (Với A 0; B 0); BABA 2 = (Với A < 0; B 0) 6. AB BB A 1 = (Với AB 0; B 0) 7. B BA B A = (Với B > 0) 8. ( ) 2 BA BAC BA C = (Với A 0; AB 2 ) 9. ( ) BA BAC BA C = ( Với A 0; B 0 và AB ) III-Hàm số bậc nhất 1) Định nghĩa hàm số bậc nhất: Hàm số bậc nhất là hàm số đợc cho bởi công thức: y= ax + b. ( a, b là các số thực cho tr ớc và a 0 ). 2) Các tính chất của hàm số bậc nhất y = ax + b là : + Hàm số bậc nhất xác định với mọi giá trị x R. + Hàm số đồng biến trên R khi a > 0 và nghịch biến trên R Khi a < 0. 3) Đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0): Là một đờng thẳng: - Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b - Song song với đg thẳng y = ax nếu b0; trùng với đg thẳng y = ax nếu b=0 4) Vị trí t ơng đối của hai đờng thẳng: - Cho hai đờng thẳng: (d) y= ax + b và (d') y= a'x + b'(a và a là hệ số góc) + (d) cắt (d' ) a a'; + (d) (d') = = ' ' bb aa 1 + (d)// (d') = ' ' bb aa ; + (d) (d') 1 '. = aa 5) Cách tìm giao điểm của đồ thị y = ax+ b với các trục toạ độ: + Giao với trục tung : cho x = 0 y = b A(0; b) + Giao với trục hoành: cho y = 0 x = -b/a B(-b/a; 0) IV-Dạng tổng quát của hệ hai ph ơng trình bậc nhất hai ẩnvà cách giải: 1. Dạng tổng quát: (1) ' ' '(2) ax by c a x b y c + = + = Trong đó (1) và (2) là những ph ơng trình bậc nhất 2ẩn. 2.Phơng pháp giải: a/ Phơng pháp đồ thi . b/ Phơng pháp thế. c/ Phơng pháp cộng đại số. + Ví dụ:Hệ PT = = = = = = = =+ -3y -1x 2--1y -1x 2 y-x 3- 3x (2) 2 (1) 5 2 yx yx V-Hàm số và đồ thị hàm số y = ax 2 (a 0) 1-Tính chất của hàm số y = ax 2 (a 0) - Nếu a>0 hàm số y = ax 2 đồng biến khi x>0, nghịch biến khi x< 0 và bằng 0 khi x=0 - Nếu a< 0 hàm số y = ax 2 đồng biến khi x<0, nghịch biến khi x< 0 và bằng 0 khi x= 0 2- Đồ thị hàm số y = ax 2 (a (a 0) là một parabol có đỉnh là điểm O(0;0), nhận 0y là trục đối xứng. - Nằm phía trên trục hoành và nhận điểm O(0;0) là điểm thấp nhất nếu a > 0 - Nằm phía d ới trục hoành và nhận điểm O(0;0) là điểm cao nhất nếu a < 0 y y X 0 0 x a > 0 a < 0 3-Một số ví dụ : *VD1: Cho hàm số y = -2x 2 với x> 2 - Do a =-2< 0 và x > 2 Hàm số y = -2x 2 nghịch biến *VD2: Cho hàm số y= (m + 1)x 2 với x < 0 - Vì x < 0 Hàm số đồng biến khi m + 1 < 0 hay m <-1 Hàm số nghịch biến khi m + 1 > 0 hay m > -1 2 - Vậy nếu x < 0 hàm số đồng biến khi m <-1 và nghịch biến khi m > -1 . VI-Ph ơng trình bậc hai một ẩn 1) Định nghĩa: PT bậc hai một ẩn là phơng có dạng ax 2 + bx + c = 0 . Trong đó x là ẩn ; a,b,c là các hệ số đã cho (a (a 0) 2) Công thức nghiệm của ph ơng trình bậc hai ax 2 +bx+c= 0 (a (a 0) + < 0 Ph ơng trình vô nghiệm = b 2 - 4ac + = 0 Phơng trình có nghiệm kép: x 1 = x 2 = a b 2 + > 0 PT có 2 nghiệm phân biệt: a b x 2 1 + = ; a b x 2 2 = *) Công thức nghiệm thu gọn của ph ơng trình bậc hai ax 2 +bx+c= 0 với b = 2b' + '< 0 Phơng trình vô nghiệm '= b' 2 - ac + '= 0 Ph ơng trình có nghiệm kép: x 1 = x 2 = a b' + ' > 0 PT có 2 nghiệm phân biệt: a b x '' 1 + = ; a b x '' 2 = VII-Hệ thức Viét và ứng dụng 1) Hệ thức Vi ét: Nếu ph ơng trình bậc hai ax 2 +bx+c=0 có hai nghiệm x 1 ; x 2 thì tổng và tích hai nghiệm đó là: a b xxS =+= 21 ; a c xxP == 21 . 2) áp dụng hệ thức Viét để nhẩm nghiệm PT bậc hai: ax 2 +bx+c = 0(a 0) + Nếu a+b+c = 0 thì ph ơng trình có 2 nghiệm là:x 1 = 1; x 2 = a c + Nếu a- b+c = 0 thì phơng trình có 2 nghiệm là: x 1 =-1; x 2 = - a c 3) Tìm hai số biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là nghiệm của ph ơng trình: x 2 - Sx +P= 0 (ĐK: S 2 - 4P 0) d) Nếu phơng trình bậc hai ax 2 +bx+c = 0 có a.c <0 thì luôn có hai nghiệm trái dấu. VIII-Cách giải các dạng ph ơng trình: 1) Phơng trình trùng ph ơng: ax 4 +bx 2 +c = 0 (a 0) Cách giải: Đặt x 2 = t 0, ta đợc phơng trình bậc hai : at 2 +bt+c = 0 2) Phơng trình tích: là ph ơng trình có dạng A.B.C = 0 Cách giải: A.B.C = 0 = = = 0 0 0 C B A Nghiệm của 3 PT trên là nghiệm của PT tích đã cho 3) Phơng trình chứa ẩn ở mẫu: Cách giải: + Bớc1: Tìm ĐKXĐ của phơng trình + Bớc2: Quy đồng mẫu thức 2 vế rồi khử mẫu + Bớc3: Giải phơng trình vừa nhận đợc + Bớc4: Trong các giá trị vừa tìm đ ợc, loại những giá trị không thoả mãn ĐKXĐ, những giá trị thoả mãn ĐKXĐ là nghiệm của ph ơng trìnhđã cho. 4) Phơng trình chứa căn bậc hai: (T hông thờng ta đặt ĐK để hai vế không âm rồi bình ph ơng hai vế để khử dấu căn sau đó đố chiếu ĐK để kết luận nghiệm của ph ơng trình) + Dạng hai vế có chứa căn thức bậc hai BA = - Cách giải: BA = A = B (A ; B 0 ) + Dạng chỉ có căn thức bậc hai ở một vế: BA = 3 - Cách giải: = = 2 0 BA B BA + Dạng: 0 =+ BA (Hay 0 =+ BA ) - Cách giải: = = =+ 0 0 0 B A BA ; ( = = =+ 0 0 0 B A BA ) IX-Cách giải bài toán bằng cách lập ph ơng trình (hệ ph ơng trình). + Bớc1: Lập phơng trình (Hệ ph ơng trình) - Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn - Biểu diễn các đại l ợng cha biết theo ẩn và các đại lợng đã biết - Lập phơng trình (hệ PT) biểu thị mối liên hệ giữa các đại l ợng + Bớc2: Giải phơng trình (Hệ phơng trình) + Bớc3: Đối chiếu với điều kiện của ẩn, trả lời bài toán. * Một số dạng toán thờng gặp: + Toán chuyển động : S = v.t + Toán năng suất : Khối lợng công việc = Năng suất . thời gian làm việc (Khối l ợng công việc thờng quy ớc là 1 đơn vị) + Toán tìm số : abc = 100a + 10b + c + Toán phần trăm % : Tăng a% của x ta đợc: x + x.a% = 100 )100.( ax + b- phần hình học I- Các hệ thức về cạnh và đ ờng cao trong tam giác vuông. Cho ABC vuông tại A, đ ờng cao AH Khi đó ta có: 1) b 2 = a. b; c 2 = a. c 4) 222 111 cbh += 2) h 2 = b. c 5) a 2 = b 2 + c 2 (Pytago) 3) ah = bc II- Tỉ số l ợng gi ác của góc nhọn a) Định nghĩa các tỉ số l ợng giác của góc nhọn (0 0 < <90 0 ) Sin = Huyền ốiĐ ; Cos = Huyền Kề ; Tg = Kề ốiĐ ; Cotg = ốiĐ Kề b) Một số tính chất của các tỉ số l ợng giác: + Cho hai góc và phụ nhau. Khi đó có: Sin = Cos ;Cos = Sin ;tg = cotg ; cotg = tg + Cho góc nhọn . Ta có: 0< Sin<1; 0< Cos<1; Sin 2 + Cos 2 =1 tg = Cos Sin ; cotg = Sin Cos ; tg.cotg = 1 c) Các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông: Cho ABC vuông tại A. Khi đó cạnh góc vuông đ ợc tính nh sau: b = a. sinB; c = a.sinC (Cạnh huyền nhân với sin góc đối) b = a. cosC; c = a.cosB (Cạnh huyền nhân với cos góc kề) b = c. tgB; c = b.tgC (Cạnh g óc vuông kia nhân tg góc đối) b = c. cotgC; c = b.cotgB (Cạnh góc vuông kia nhân cotg g óc kề) d)Bảng lợng giác của một số góc đặc biệt: Góc Tỉ số lợng giác 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 sin 0 2 1 2 2 2 3 1 4 A c h b c B H a C c b h cos 1 2 3 2 2 2 1 0 tg 0 3 1 1 3 cotg 3 1 3 1 0 III- Đị nh nghĩa đ ờng tròn : Tập hợp (quỹ tích) các điểm cách điểm 0 cho tr ớc một khoảng không đổi R> 0 là đờng tròn tâm O bán kính R . Kí hiệu (O;R). IV- Quan hệ đ ờng kính dây cung . 1- Định lí1: "Đờng kính là dây cung lớn nhất của đ ờng tròn": 2- Định lí2: Trong một đ ờng tròn đờng kính vuông góc với một dây cung thì chia dây cung ấy ra hai phần bằng nhau. 3- Định lí3:Đờng kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó. V-Tiếp tuyến và tính chất của tiếp tuyến: 1- Định nghĩa tiếp tuyến của đờng tròn: Một đờng thẳng gọi là 1 tiếp tuyến của đ ờng tròn nếu nó chỉ có một điểm chung với đ ờng tròn đó. 2- Các tính chất của tiếp tuyến : + Nếu một đờng thẳng là một tiếp tuyến của một đờng tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm. + Nếu một đờng thẳng vuông góc với bán kính tại mút nằm trên đ ờng tròn thì đờng thẳng đó là một tiếp tuyến của đờng tròn. + Nếu 2 tiếp tuyến của một đ ờng tròn cắt nhau tại một điểm thì: - Điểm đó cách đều hai tiếp điểm - Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm đ ờng tròn là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến. - Tia kẻ từ tâm đ ờng tròn đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua hai tiếp điểm. VI- Định lý liên hệ giữa cung và dây cung, giữa dây và khoảng cách đến tâm * Đối với hai cung nhỏ trong một đ ờng tròn ( hay hai đ ờng tròn bằng nhau) + Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau + Hai dây cung bằng nhau căng hai cung bằng nhau + Cung lớn hơn căng dây lớn hơn và dây lớn hơn căng cung lớn hơn. * Trong một đờng tròn. + Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm và hai dây cách đều tâm thì bằng nhau + Dây lớn hơn thì gần tâm hơn và dây gần tâm hơn thì lớn hơn. VII- Vị trí t ơng đối của đ ờng thẳng và đ ờng tròn (O;R) với d là khoảng cách từ tâm O đến đ - ờng thẳng. STT Vị trí tơng đối Số điểm chung Hệ thức liên hệ 1 Đờng thẳng và đờng tròn cắt nhau 2 d<R 2 Đờng thẳng tiếp xúc với đờng tròn 1 d=R 3 Đờng thẳng và đờng tròn không giao nhau 0 d>R VIII- Vị trí t ơng đối của hai đ ờng tròn (O;R) và (O' ;r) STT Vị trí tơng đối Số điểm chung Hệ thức liên hệ 1 Hai đờng tròn cắt nhau 2 R - r< OO <R+ r 2 Hai đờng tròn tiếp xúc nhau a) Tiếp xúc ngoài b) Tiếp xúc trong 1 OO = R + r OO = R - r 3 Hai đờng tròn không giao nhau a) Hai đờng tròn ở ngoài nhau b) Đờng tròn lớn đựng đờng tròn nhỏ c) Hai đờng tròn đồng tâm 0 OO > R+ r OO < R - r OO = 0 IX- Các góc với đ ờng tròn a) Góc ở tâm: + ĐN: Là góc có đỉnh trùng với tâm của đ ờng tròn + TC: Số đo cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó Số đo cung lớn bằng 360 0 trừ đi số đo cung nhỏ (có chung hai điểm mút) b) Góc nội tiếp: 5 a b c + ĐN: Là góc có đỉnh nằm trên đ ờng tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đ ờng tròn đó. + TC: Trong một đờng tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn + Hệ quả: Trong một đ ờng tròn - Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau - Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc hai cung bằng nhau thì bằng nhau - Các góc nội tiếp không quá 90 0 có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung. - Góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn là góc vuông. c) Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung: + TC: Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn. + Hệ quả: Trong một đ ờng tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau. d) Góc có đỉnh ở trong và ngoài đ ờng tròn: + Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đ ờng tròn bằng nửa tổng số đo của hai cung bị chắn. + Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đ ờng tròn bằng nửa hiệu số đo của hai cung bị chắn. X-Tứ giác nội tiếp + Định nghĩa: Một tứ giác có bố n đỉnh nằm trên một đ ờng tròn thì đợc gọi là tứ giác nội tiếp đ - ờng tròn (đờng tròn đó gọi là đờng tròn ngoại tiếp của tứ giác). + Định lý: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180 0 . + Định lý đảo: Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180 0 thì tứ giác đó nội tiếp đợc một đ ờng tròn. + Các cách chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp: - Cách1: Chứng minh 4 điểm A, B, C, D cách đều một điểm O nào đó. OA = OB = OC = OD - Cách2: *Chứng minh tổng hai góc đối diện của tứ giác bằng 180 0 0 180 =+ CA hoặc 0 180 =+ DB * Chứng minh góc trong bằng góc ngoài của đỉnh đối diện. - Cách3: Chứng minh 2 đỉnh liên tiếp của tứ giác cùng nhìn một cạnh d ới hai góc bằng nhau. - (Trờng hợp đặc biệt hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn một cạnh d ới 1 góc vuông thì cạnh đó chính là đờng kính của đ ờng tròn). XI- Độ dài đ ờng tròn, cung tròn. Diện tích hình tròn, hình quạt a) Công thức tính độ dài đ ờng tròn: C = 2R (R: bán kí nh đờng tròn) Công thức tính diện tích hình tròn : S = R 2 b) Công thức t ính độ dài cung tròn n 0 : 180 nR l = (R: bán kính đờng tròn) Công thức tính di ện tích quạt tròn n 0 : 2 . 360 RlnR S q == c) Công thức tính diện tích hình viên phân: S V P = S q u a t - S XII- Hình không gian a) Hình trụ: + Diện tích xung quanh: S x q = 2rh + Diện tích toàn phần : S t p = S x q + 2 S d = 2rh + 2r 2 + Thể tích hình trụ : V = S đ .h = r 2 h (Trong đó:r là bán kính đáy; h là chiều cao hình trụ; S đ là diện tích đáy) b) Hình nón: + Diện tích xung quanh: S x q = rl + Diện tích toàn phần : S t p = S x q + S d = rl + r 2 + Thể tích hình nón : V = 3 1 S đ .h = 3 1 r 2 h (Trong đó:r là bán kính đáy; h là chi ều cao hình nón; l là độ dài đ ờng sinh) c) Hình cầu: + Diện tích mặt cầu: S = d 2 = 4R 2 + Thể tích hình cầu : V= 3 3 4 R (Trong đó:R là bán kính; d là đ ờng kí nh hình cầu) d) Hình hộp chữ nhật: + Diện tích toàn phần : S t p = S x q + 2 S d + Thể tích : V = S đ .h = abc e) Hình lăng trụ đứng:+ Diện tích xung quanh: S x q = 2p.h + Diện tích toàn phần : S t p = S x q +2 S đ + Thể tích hình nón : V = S. h 6 (Trong p lànửa chu vi đáy; S là diện tích đáy; h là chiều cao). f) Hình chóp đều: + Diện tích xung quanh: S x q = p.d + Diện tích toàn phần : S t p = S x q + S đ + Thể tích : V = hS . 3 1 (Trong p lànửa chu vi đáy; d là độ dài trung đoạn kẻ từ đỉ nh đến trung điểm một cạnh đáy; S là diện tích đáy; h là chiều cao). XIII-Một số công thức liên quan đến tam giác và đ ờng tròn. a) Bán kính đờng tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác đều cạnh a + Bán kính đờng tròn ngoại tiếp: R = 3 a + Bán kính đờng tròn nội tiếp: r = 32 a b) Độ dài cạnh của các đa giác đều nội tiếp đ ờng tròn: + Cạnh tam giác đều: a = R 3 + Cạnh hình vuông: a = R 2 + Cạnh lục giác đều: a = R c) Công thức tính diện tích tam giác: + Diện tích tam giác th ờng : S =(a.h):2 (a là độ dài cạnh, h là chiều cao tơng ứng). + Diện tích tam giác vuông: S = a.b (a, b là độ dài 2 cạnh góc vuông ) + Diện tích tam giác đều : S = 4 3 2 a (a là độ dài cạnh tam giác đều) 7 . = = =+ -3 y -1 x 2-- 1y -1 x 2 y-x 3- 3x (2) 2 (1) 5 2 yx yx V-Hàm số và đồ thị hàm số y = ax 2 (a 0) 1-Tính chất của hàm số y = ax 2 (a 0) - Nếu a>0. 0< Sin<1; 0< Cos<1; Sin 2 + Cos 2 =1 tg = Cos Sin ; cotg = Sin Cos ; tg.cotg = 1 c) Các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông: Cho