BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG LÊ THỊ KIM ÁNH PHƢƠNG TRÌNH VÔ ĐỊNH NGHIỆM NGUYÊN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phƣơng pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà nẵng - Năm 2015 Công trình hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS Nguyễn Ngọc Châu Phản biện 1: TS Cao Văn Nuôi Phản biện 2: GS.TS Lê Văn Thuyết Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 12 tháng 12 năm 2015 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phương trình vô định (còn gọi phương trình Diophantus) nói chung phương trình vô định nghiệm nguyên nói riêng có vai trò quan trọng đại số mà toán học thực tế, nhà toán học giới nghiên cứu từ lâu Phương trình vô định phương trình đại số với hệ số nguyên số ẩn thường nhiều số phương trình, nghiệm tìm tập hợp số như: số nguyên, số nguyên dương, số hữu tỉ,… Nhiều phương trình vô định phát biểu đơn giản đến chưa có cách giải hữu hiệu Ngay từ thời thượng cổ, nhà toán học quan tâm giải phương trình vô định Chẳng hạn, từ kỷ thứ XVII trước công nguyên, nhà toán học Ba-bi-lon biết giải phương trình x2 + y2 = z2 (phương trình Pythagore) phạm vi số nguyên Người nghiên cứu có hệ thống phương trình vô định nhà toán học Hy Lạp Diophantus, sống kỷ thứ III trước công nguyên Diophantus biết cách giải số dạng phương trình vô định phạm vi số hữu tỷ dương Nhằm tìm hiểu phương trình vô định ứng dụng chương trình toán bậc phổ thông, chọn đề tài: “Phương trình vô định nghiệm nguyên ứng dụng” cho luận văn thạc sĩ Mục đích nhiệm vụ nghên cứu - Khảo sát, nghiên cứu tồn nghiệm phương trình vô định - Tìm hiểu cách giải phương trình vô định - Ứng dụng phương trình vô định để giải số lớp toán Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu - Phương trình vô định nghiệm nguyên bậc - Phương trình vô định nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn - Một số toán dân gian Phƣơng pháp nghiên cứu - Thu thập, tổng hợp, hệ thống tài liệu có nội dung liên quan đến đề tài luận văn, đặt biệt toán dân gian giải phương tình vô định - Phân tích, nghiên cứu tài liệu để thực đề tài luận văn - Trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến người hướng dẫn, chuyên gia đồng nghiệp Bố cục luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận, nội dung luận văn chia thành bốn chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Phương trình vô định bậc Chương Phương trình vô định bậc hai hai ẩn Chương Phương trình Pell CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 QUAN HỆ CHIA HẾT TRÊN TẬP CÁC SỐ NGUYÊN Định nghĩa 1.1 Ta nói số a  b  , ký hiệu a chia hết cho số b  , b hay b a , tồn số nguyên q cho a  bq Khi số b gọi ước số a hay a bội b, số q gọi thương phép chia a cho b Nếu a không chia hết cho b ta ký hiệu b | a Định lý 1.3 Nếu  a, b   d tồn hai số nguyên p q cho ap  bq  d Bổ đề Giả sử a, b, q, r số thỏa mãn đẳng thức a  bq  r Khi  a, b    b, r  Dựa vào bổ đề trên, để tìm ước số chung lớn hai số nguyên a b khác 0, ta chia a cho b ( a  b ) Khi a  bq  r , với  r  b Nếu r  dừng lại Nếu r  ta chia b cho r nhận đẳng thức tương tự b  rq1  r1 , với  r1  r Tiếp tục trình ta nhận được: a  bq  r , b  rq1  r1 , r  r1q2  r2 , …, rk 2  rk 1qk  rk , rk 1  rk qk 1  rk 1 Vì số r , r1 , …, rk , rk 1 tạo thành dãy giảm ngặt số không âm, nên tồn k để rk 1  Khi đẳng thức sau viết rk 1  rk qk 1 Theo Bổ đề, ta có rk   rk , rk 1    rk 1 , rk 2     r , b    a, b  Quá trình nêu gọi thuật toán Euclicde 1.2 QUAN HỆ ĐỒNG DƢ TRÊN TẬP CÁC SỐ NGUYÊN Định nghĩa 1.3 Cho m số nguyên dương a, b số nguyên Ta nói a đồng dư với b theo modul m,  a  b  m, ký hiệu a  b  mod m Trường hợp ngược lại, ta nói a không đồng dư với b theo modul m viết a  b (mod m) Định nghĩa 1.4 Cho n số nguyên dương Ký hiệu   n  số lượng tất số tự nhiên không lớn n nguyên tố với n Hàm   n  gọi hàm Euler Định lý 1.7 Nếu  a, n   a  n   mod n  1.3 LIÊN PHÂN SỐ Định nghĩa 1.5 Liên phân số hữu hạn biểu thức có dạng q1  , q1  , qi  * , i  2, n q2   qn Và ký hiệu  q1 , q1 , , qn  Bằng thuật toán Euclicde, ta biểu diễn số hữu tỷ a b dạng liên phân số hữu hạn sau: a  bq1  r1 , b  r1q2  r2 , r1  r2 q3  r3 , …, rn3  rn2 qn1  rn1 , rn2  rn1qn Từ đẳng thức ta nhận Từ đẳng thức thứ hai ta có Suy r a  q1   q1  b b b r1 r b  q2   q2  r1 r1 r1 r2 a  q1  b q2  r1 r2 a  q1  b q2   qn Định nghĩa 1.6 Cho dãy vô hạn số nguyên q1 , q2 , …, Tiếp tục trình trên, ta q n , …, với qi  0, i  Khi ta gọi biểu thức q1  q2  1  qn  liên phân số vô hạn ký hiệu  q1 , q2 , , qn ,  ; số q1 , q2 , gọi phần tử liên phân số vô hạn Ta biểu diễn số vô tỷ  thành liên phân số sau q1   ; 1    q1 q2  1 ;   1  q2 … qn   n   ;  n   n   qn … Khi    q1 , q2 , , qn ,  Cho liên phân số    q1 , q2 , , qn ,  Ta xác định hai dãy số Pn Qn n  1, 2,  theo công thức sau: Pn  qn Pn1  Pn2 , Qn  qnQn1  Qn2 , P0  1, Q0  0, P1  q1 , Q1  Định lý 1.10 Thương số phân số  , nghĩa pn biểu diễn giản phân thứ n liên Qn Pn   q1 , q2 , , qn  Qn Định lý 1.11 Với số tự nhiên n, đẳng thức sau PnQn1  Qn Pn1   1 n 1.4 DẠNG TOÀN PHƢƠNG 1.4.1 Các khái niệm liên quan Định nghĩa 1.10 Dạng toàn phương hai biến x, y biểu thức có dạng ax2  2bxy  cy , với a, b, c số nguyên không đồng thời Số D  b2  ac gọi định thức dạng toàn phương Cho dạng toàn phương f  x, y   ax  2bxy  cy Ta đổi biến số x y biến   theo công thức  x       y      ,  ,  ,  số nguyên (1.1) Khi f  x, y   a1  2b1  c1    ,   , a1  a  2b  c , b1  a  b  b  c , c1  a  2b  c Đẳng thức (1.1) gọi phép biến đổi dạng toàn phương Số    gọi môđun phép biến đổi (1.1) Hai dạng toàn phương gọi tương đương từ dạng thứ chuyển đổi sang dạng thứ hai, ngược lại thông qua phép biến đổi với hệ số nguyên 1.4.2 Biểu diễn số nguyên theo dạng toàn phƣơng Cho dạng toàn phương ax2  2bxy  cy m số nguyên Nếu tồn x0 , y0  cho m  ax02  2bx0 y0  cy02 , ta nói số nguyên m biểu diễn qua dạng toàn phương ax2  2bxy  cy Nếu m  , giả sử m biểu diễn theo dạng toàn phương, tức m  ax02  2bx0 y0  cy02 , với x0 , y0 số nguyên tố Ta biết x0 , y0 số nguyên tố tồn hai số nguyên p, q cho px0  qy0  Dễ tính toán đẳng thức sau: mU  V   b2  ac  , với U   aq  2bqp  cp  , V  p x 0b  y 0c   q x 0a  y b0  Suy số m  biểu diễn qua dạng toàn phương ax  2bxy  cy với x  x0 , y  y0  x0 , y0   , phải tồn số nguyên V cho hiệu bình phương số với định thức dạng toàn phương chia hết cho m Mệnh đề 1.2 Nếu số nguyên biểu diễn thông qua dạng toàn phương cho biểu diễn thông qua dạng toàn phương khác, mà bao hàm dạng toàn phương cho Định lý 1.12 Nếu m số nguyên khác 0, mà biểu diễn thông qua dạng toàn phương ax2  2bxy  cy với x  x0 , y  y0 ,  x0 , y0   định thức D số dư bình phương số V m dạng toàn phương sau tương đương riêng ax2  2bxy  cy m  2V   V2  D  m CHƢƠNG PHƢƠNG TRÌNH VÔ ĐỊNH BẬC NHẤT 2.1 PHƢƠNG TRÌNH VÔ ĐỊNH Định nghĩa 2.1 Phương trình vô định (hay gọi phương trình Diophante) phương trình có dạng: F  x1 , x2 , , xn   0, n  , F  x1 , x2 , , xn  đa thức biến x1 , x2 , , xn ; với hệ số nguyên Để thuận tiện, từ sau không nói khác, phương trình vô định nghiệm nguyên gọi phương trình vô định 2.2 PHƢƠNG TRÌNH VÔ ĐỊNH BẬC NHẤT HAI ẨN 2.2.1 Các định nghĩa định lý tồn nghiệm Định nghĩa 2.3 Phương trình vô định bậc hai ẩn x, y phương trình có dạng (2.1) ax  by  c a, b, c số nguyên; a, b khác Định lý 2.1 Điều kiện cần đủ để phương trình (2.1) có nghiệm số nguyên ước số chung lớn hai số a b ước số c Định lý 2.2 Nếu  x0 , y0  nghiệm nguyên phương trình (2.1) phương trình có vô số nghiệm nguyên nghiệm b   x  x0  d t nguyên ( x, y) cho công thức  , y  y  a t  d t  d   a, b  (2.2) 2.2.2 Ý nghĩa hình học phƣơng trình vô định bậc hai ẩn 2.3 PHƢƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH VÔ ĐỊNH BẬC NHẤT HAI ẨN Xét phương trình vô định ax  by  c , với d   a, b  | c (2.3) Không tính tổng quát, ta xem hệ số a, b phương trình số nguyên dương 2.3.1 Phƣơng pháp dùng thuật toán Euclide 2.3.2 Phƣơng pháp dùng liên phân số Xét phương trình (2.3) đặt c  dc1 , với c1  Chia hai vế phương trình (2.3) cho d ta được: a1 x  b1 y  c1 , (2.4) a b  a1 , b1   , b1  d d a Giả sử số hữu tỷ có biểu diễn liên phân số sau: b1 với a1  a1   q1 , q2 , , qn  , b1 P0 P1 P , , , n Q0 Q1 Qn giản phân liên phân số Theo Định lý 1.11, ta có: PnQn1  Qn Pn 1   1 , n P a1  n b1 Qn 10 2.3.5 Phƣơng pháp đƣa phƣơng trình đồng dƣ 2.4 PHƢƠNG TRÌNH VÔ ĐỊNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN 2.4.1 Định nghĩa định lý tồn nghiệm Định nghĩa 2.4 Phương trình vô định bậc n ẩn phương trình có dạng a1 x1  a2 x2   an xn  b , (2.5) n  ;  * , i  1, n ; b  Định lý 2.6 Điều kiện cần đủ để phương trình (2.5) có nghiệm nguyên  a1 , a2 , , an  b 2.4.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình vô định bậc nhiều ẩn Xét phương trình vô định: a1 x1  a2 x2   an xn  b , n  ;  * , i  1, n ; b  ,  a1 , a2 , , an  b Đặt d   an 1 , an  Ta có an 1  da 'n 1 , an  da 'n , a 'n 1 , a 'n hai số nguyên tố Phương trình (2.6) viết lại a1 x1  a2 x2   an  xn   d  a 'n 1 xn 1  a 'n xn   b Đặt u  a 'n 1 xn 1  a 'n xn (2.7) (2.8) Khi (2.7) viết lại: a1 x1  a2 x2   an  xn   du  b (2.9) Giả sử x10 , x20 , , xn0 , u nghiệm nguyên phương trình (2.9) Với số xác định u , phương trình (2.8) có nghiệm x n 1 , xn0  a ' n 1 , a 'n   Khi  x , x , , x n2 , xn01 , xn0  nghiệm nguyên phương trình (2.7) nghiệm phương trình (2.6) Ví dụ 2.3 Tìm nghiệm nguyên phương trình vô định: x1  3x2  x3  x4  Giải Ta có  2, 3,  4, 6  1, , suy phương trình có 11 nghiệm nguyên Ta đưa vào ẩn u   x3  3x4 , phương trình cho viết lại: x1  3x2  2u  Phương trình sau đưa ẩn v  3x2  2u nhận phương trình x1  v  Giải phương trình u   x3  3x4 , u số nguyên,  x3  u  3t1 , t1  x3 x4 hai ẩn Tất nghiệm   x4  u  2t1 Giải phương trình v  3x2  2u , v số nguyên, u  x  v  2t2 x2 hai ẩn Tất nghiệm  , t2  u   v  3t2 Tất nghiệm nguyên x1  v  với nghiệm  x1   t3 riêng x10  1, v0   , t3  v   2t3 Bằng cách thay u v vào biểu thức x2 , x3 , x4 ta nhận công thức nghiệm: x1   t3 , x2  v  2t   2t  2t , x3  u  3t1   v  3t2  3t1    2t3  3t2  3t1 , x4  u  2t1   v  3t2  2t1    2t3  3t2  2t1 , t1 , t2 , t3 số nguyên, tùy ý 2.5 MỘT SỐ BÀI TOÁN DÂN GIAN VÀ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG Bài toán Đem trăm đồng chẵn Con mái ba đồng tròn Mua gà trăm Mỗi đồng ba gà chiếp Năm đồng trống Hỏi loại con? Giải Ta ký hiệu x số gà trống mua được, y số gà mái mua được, z số gà chiếp mua Khi tổng số gà là: x  y  z  100 , số tiền là: 5x  y  z  100 12 Từ hai phương trình ta suy x  y  100 , (2.10) phương trình vô định có nghiệm xác định tập số tự nhiên (2.10)  y  25  x Từ điều kiện x, y  , ta có x phải chia hết cho nhỏ 15 Như x 4, 8, 12, ứng với có y = 18, 11, số gà mua z = 78, 81, 84 Vậy toán có đáp án: gà trống, 18 gà mái, 78 gà con, gà trống, 11 gà mái, 81 gà con, 12 gà trống, gà mái, 84 gà CHƢƠNG PHƢƠNG TRÌNH VÔ ĐỊNH BẬC HAI HAI ẨN 3.1 PHƢƠNG TRÌNH VÔ ĐỊNH DẠNG TOÀN PHƢƠNG 3.1.1 Các định nghĩa định lý Định nghĩa 3.1 Cho dạng toàn phương f  x, y   ax  2bxy  cy , f  x, y   m , với a, b, c  , a2  b2  c2  Phương trình m  , gọi phương trình vô định dạng toàn phương Một nghiệm nguyên tố f  x, y   m , mà qua  x0 , y0  xác định phương trình V, nghĩa V  p  x0b  y0c   q  x0 a  y0b  với x0 p  y0 q  , gọi nghiệm thuộc V Định lý 3.1 Cho f  x, y   ax  2bxy  cy biến đổi thành   ,    a1  2b1  c1 theo phép biến đổi riêng  x       y     13 Khi tất phép biến đổi riêng mà biến đổi f  x, y  thành   ,   xác định theo công thức  t   b   c  u      t    b   c  u    1 y   t   a   b  u     t    a   b  u    x     a, 2b, c  ; t u nghiệm nguyên phương trình vô định t  Du   Hệ Giả sử tồn nghiệm nguyên  x0 , y0   x0 , y0  , với  thuộc V, phương trình ax2  2bxy  cy  m , m  Khi đó, cặp số  x, y  xác định công thức   x    x0t   x0b  y0 c  u  , (3.1)   y   y t   x a  y bu 0       a, 2b, c  ; t u nghiệm nguyên phương trình vô định t  Du   , nghiệm nguyên tố thuộc V phương trình 3.1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình vô định dạng toàn phƣơng i Trường hợp D  Xét phương trình vô định dạng toàn phương ax2  2bxy  cy  m , (3.3) D  b  ac  - Nếu a  , b  Khi phương trình trở thành cy  m , ta dễ dàng tìm nghiệm  x, y  phương trình - Nếu a  , ax  2bxy  cy  2  ax  by  a Và 14 phương trình (3.3) đưa dạng  ax  by  ma Phương trình tương đương với hai phương trình ax  by   ma (3.4) ii Trường hợp D  Xét phương trình vô định ax2  2bxy  cy  m , (3.5) D  b2  ac  b  b  ac y , a  Trong a trường hợp phương trình (3.5) có nghiệm - Nếu m = 0, ta có x  D  b2  ac số phương Đồng thời trở thành phương trình vô định bậc hai ẩn mà ta biết cách giải Nếu a  (3.5) trở thành y  2bx  cy   Ta dễ dàng tìm nghiệm phương trình - Nếu m  , trước tiên ta giải phương trình (3.5) số nguyên tố theo bước Tìm tất số V,  V  m , với định thức D số dư bình phương V m a Nếu số không có, phương trình (3.5) nghiệm nguyên nguyên tố b Nếu V1 , V2 , số, với chúng D số dư bình phương m, ta tìm nghiệm cho trường hợp phương trình (3.5) tương ứng với V1 , V2 , Để tìm nghiệm (3.5), mà tương ứng với V1 , ta xét hai dạng toàn phương V2  D ax2  2bxy  cy m  2V    m a Nếu dạng toàn phương không tương đương riêng phương trình (3.5) nghiệm nguyên, mà tương ứng với số V1 15 b Nếu dạng tương đương riêng, tìm nghiệm riêng phương trình (3.5), mà tương ứng với số V1 Bằng cách thử trực tiếp để tìm nghiệm riêng phương trình (3.5), mà thuộc tương ứng số V1 Nghiệm riêng  x '0 , y '0  thuộc V1 , tìm số nguyên p q mà chúng nghiệm phương trình vô định x '0 p  y '0 q  với chúng V  p  x '0 b  y '0 c   q  x '0 a  y '0 b  Nếu  x '0 , y '0  thuộc V1 ,  x ''0 , y ''0  thuộc V2 , … tất nghiệm phương trình (3.5) số nguyên tố xác định công thức 1 x '   x '0 t   x '0 b  y '0 c  u  , y '   y '0 t   x '0 a  y '0 b  u    x ''  1  x ''0 t   x ''0 b  y ''0 c  u  , y ''   y ''0 t   x ''0 a  y ''0 b  u       a, 2b, c  ; t u nghiệm nguyên phương trình vô định t  Du   Để tìm tất nghiệm nguyên (3.5) số không nguyên tố nhau, cần phải giải số nguyên tố tất phương trình, mà nhận từ (3.5), cho ta thay số m thương m với tất bình phương ước số m Ví dụ 3.2 Giải phương trình vô định sau x2  xy  13 y  Giải Ở D  b2  ac   Ta tìm số nguyên không âm V, nhỏ cho D   số dư bình phương V Bằng cách kiểm tra trực tiếp, có V1  V2  thỏa mãn điều kiện 16 1) Xét trường hợp V1  Dễ thấy x0  3, y0  nghiệm phương trình vô định cho Ta chứng minh nghiệm thuộc số V1  Những nghiệm phương trình vô định p  q  1, p   t , t  q    3t thức V  p  x0b  y0c   q  x0 a  y0b  với x0  3, y0  t   ta nhận V  V1  Suy nghiệm x0  3, y0  thuộc V1 Từ công thức nghiệm phương  x  3t  4u trình vô định, suy  , với t  4u  y  t  Từ công Dễ thấy nghiệm nguyên phương trình t  4u  t   1, u  Vậy phương trình cho có hai nghiệm tương ứng với trường hợp V1  ,  3, 1 ;  3,  1 2) Xét trường hợp V2  Xét hai dạng toàn phương V2  D   4  4  2 m Theo Mệnh đề 1.2, số nguyên biểu diễn qua dạng toàn phương biểu diễn qua dạng toàn phương khác x2  xy  13 y m  2V   mà tương đương với dạng ban đầu Nhưng  x2  xy  13 y với x  1, y  2, dạng 4  4  2 biểu diễn số chẵn Do hai dạng toàn phương nói không tương đương Theo Định lý 1.12, phương trình vô định x2  xy  13 y  nghiệm nguyên trường hợp V2  m  Xét phương trình x2  xy  13 y  2 Phương trình có hai nghiệm 1,  ;  1,  Suy  2,  ; Ta thấy 17  2, 0 nghiệm phương trình cho ban đầu Vậy phương trình cho ban đầu có nghiệm  2,  ;  2, 0 ;  3, 1;  3,  1 3.2 PHƢƠNG TRÌNH VÔ ĐỊNH BẬC HAI HAI ẨN 3.2.1 Một số khái niệm liên quan Định nghĩa 3.2 Phương trình vô định bậc hai hai ẩn x y phương trình có dạng (3.6) ax2  2bxy  cy  2dx  2ey  f  a, b, c, d, e, f số nguyên, a2  b2  c2  3.2.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình vô định bậc hai hai ẩn i Trường hợp D  b2  ac  Để giải phương trình (3.6) trường hợp này, ta đặt z  ax  by  d , phương trình (3.6) trở thành z  n  2my Bây tìm giá trị nguyên z cho z  n chia hết cho 2m Tương ứng với giá trị z ta tiến hành tìm x y thông qua hai phương trình z  n  2my z  ax  by  d Ví dụ 3.3 Giải phương trình vô định x2  12 xy  y  x  y   Giải Ta có D  a  bc  Phương trình cho tương đương 9x  y  2  30 y  41  Đặt z  x  y  , (3.7) ta có phương trình z  41   30 y Tìm z  30t  r ,  r  30 cho  z  41 30 Ta có 18 z  41 30  r  41 30 Thay r  0,29 vào biểu thức r  41, ta thấy r  7, r  13 , r  17, r  23 thỏa mãn yêu cầu Nên  z  30t   z  30t  13  z  41 30   z  30t  17 , t    z  30t  23 1) Với z  30t   x  y  30t  Suy | (vô lý) Nên z  30t  bị loại 2) Với z  30t  13  x  y  30t  11 Suy |11 (vô lý) Nên z  30t  13 bị loại 3) Với z  30t  17  y   30t  34t  11 Thay y z vào (3.7) ta x  20t  26t  4) Với z  30t  23  y   30t  46t  19 Thay y z vào (3.7) ta x  20t  34t  15 Vậy phương trình cho có nghiệm nguyên  x  20t  26t   x  20t  34t  15   , t    2    y   30t  34t  11  y   30t  46t  19 ii Trường hợp D  b2  ac  Cho phương trình vô định bậc hai hai ẩn X Y có dạng aX  2bXY  cY  2dX  2eY  f  a, b, c, d, e, f số nguyên; với D  b2  ac  Để tìm nghiệm phương trình vô định trên, trước hết ta đổi ẩn số X Y x y theo công thức x  cd  be y  ae  bd X  , Y  D D Khi ta nhận phương trình vô định ax2  2bxy  cy  m 19 Phương trình phương trình vô định dạng toàn phương có định thức khác không mà ta biết cách giải Từ suy nghiệm phương trình ban đầu Ví dụ 3.4 Giải phương trình vô định X  XY  5Y  X  2Y   Giải Ta có D  b2  ac   Đặt X  x  1, Y  y, ta suy  x  1   x  1 y  y   x  1  y   sau rút gọn ta có x2  xy  y  (3.8) Giải phương trình (3.8), ta có nghiệm  2,  1 ;  0, 1 ;  0,  2, 1 ;  1 Suy phương trình cho có nghiệm  1, 1 ;  1, 1,  1 ;  3, 1 ;  1 3.2.3 Một cách giải khác phƣơng trình dạng elip, phƣơng trình dạng hyperbolic CHƢƠNG PHƢƠNG TRÌNH PELL 4.1 PHƢƠNG TRÌNH PELL 4.1.1 Định nghĩa nhận xét Định nghĩa 4.1 Phương trình Pell phương trình vô định có dạng x2  dy  , với d số nguyên dương không phương (4.2) 4.1.2 Sự tồn nghiệm công thức nghiệm phƣơng trình Pell Định lý 4.1 Phương trình (4.2) có nghiệm nguyên dương  x, y  20 Nhận xét 4.1 Nếu phương trình (4.2) có nghiệm nguyên dương tồn nghiệm nguyên dương nhỏ  x, y    a, b  , b số nguyên dương nhỏ thỏa  db2 số phương Định lý 4.2 (công thức nghiệm) Giả sử  a, b  nghiệm nguyên dương nhỏ phương trình (4.2) Xét hai dãy số nguyên  xn  ,  yn  cho hệ thức truy hồi   x0  1, x1  a, xn   2axn   xn , với n     y0  0, y1  b, yn   2ayn   yn Khi  xn , yn  với n = 1, 2, … tất nghiệm dương phương trình Pell 4.1.3 Cách giải phƣơng trình Pell liên phân số Định lí 4.3 Nếu (a, b) nghiệm nguyên dương a phương trình Pell giản phân liên phân số biểu b diễn số vô tỉ d Từ Định lí 4.3, để giải phương trình Pell ta thực theo bước sau: Khai triển d thành liên phân số Tính giản phân Pn , n  0, 1, liên phân số Qn Tính Pn2  dQn2 , n  0, 1, Nghiệm nhỏ phương trình Pell  Pn , Qn  với n số tự nhiên nhỏ mà Pn2  dQn2  Viết nghiệm phương trình theo hệ thức truy hồi với x1  Pn , y1  Qn Ví dụ 4.2 Giải phương trình Pell x2  13 y  21 Giải Khai triển 13 thành liên phân số: 13  3, 1, 1, 1, 1,  Lập bảng tính giản phân biểu thức Pn2  13Qn2 qk 1 1 1 1 Pk 11 18 119 137 256 393 649 Qk 1 33 38 71 109 180 Pk2  7Qk2 -4 -3 -1 -3 Vậy x1  649, y1  180 Phương trình có nghiệm   xn ,  yn  với   x0  1, x1  649, xn  1298 xn 1  xn  , n     y0  0, y1  180, yn  1298 yn 1  yn 2 4.2 MỘT SỐ DẠNG KHÁC CỦA PHƢƠNG TRÌNH PELL 4.2.1 Phƣơng trình Pell loại Định nghĩa 4.2 Phương trình Pell loại phương trình có dạng x2  dy   , (4.4) d số nguyên dương không phương Phương trình Pell: x2  dy  gọi phương trình Pell liên kết với phương trình Pell loại (4.4) Cũng phương trình Pell, ta xét nghiệm dương phương trình Pell loại Định lý 4.3 (Về tồn nghiệm) Gọi  a, b  nghiệm nguyên dương nhỏ phương trình Pell liên kết với phương trình (4.4) Khi phương trình (4.4) có nghiệm hệ sau a  x  dy có nghiệm nguyên dương  (4.5) b  xy Định lý 4.4 (Công thức nghiệm) Giả sử hệ (4.5) có nghiệm nguyên dương  u, v  Xét dãy số nguyên dương 22 xn  ,  yn  xác định bởi:   x0  u, x1  u  3duv , xn   2axn   xn , với n   y  v , y  dv  u v , y  ay  y  n2 n 1 n  Khi  xn , yn  tất nghiệm nguyên dương (4.4) 4.2.2 Phƣơng trình Pell với tham số Định nghĩa 4.3 Phương trình Pell với tham số n phương trình có dạng: x2  dy  n (4.6) d số nguyên dương không phương, n số nguyên Phương trình Pell: x2  dy  gọi phương trình Pell liên kết với phương trình Pell với tham số (4.6) Định nghĩa 4.4 Giả sử (4.6) có nghiệm, nghiệm nguyên dương  x, y  gọi nghiệm phương trình  na  y  max nb2 ,   ,  a, b  nghiệm nguyên d   dương nhỏ phương trình Pell liên kết với phương trình (4.6) nếu: Giả sử  x1 , y1  nghiệm (4.6),  a, b  nghiệm nguyên dương nhỏ phương trình Pell liên kết với Khi đó, tập hợp cặp số nguyên dương  xk 1 , yk 1  xác định  xk 1  axk  dbyk theo công thức  , với k  , gọi hệ  yk 1  bxk  ayk nghiệm sinh nghiệm  xk 1 ,  x1 , y1  Ta nói nghiệm yk 1  sinh từ nghiệm  x1 , y1  Ta có định lý sau: Định lý 4.6 Mọi nghiệm nguyên dương (nếu có) phương trình (4.6) sinh từ nghiệm phương trình 23 4.3 CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG Bài toán Xét tam giác có số đo độ dài ba cạnh ba số nguyên liên tiếp lớn số đo diện tích số nguyên Chứng minh tồn đường cao tam giác cho mà chia tam giác thành hai tam giác nhỏ cho số đo độ dài cạnh hai tam giác nhỏ số nguyên Giải Xét  ABC với BC = a, AB = a  , AC = a  Từ suy góc ABC góc lớn Ta có a   a  1   a  1 2 (4.7) (4.8)  a  4a  a  Bất đẳng thức (4.8) theo giả thiết nên bất đẳng thức (4.7) Suy tam giác ABC tam giác nhọn chân đường cao AH nằm đoạn BC Từ AC2  HC  AB2  HB2 suy HC  HB2  AC  AB2   a  1   a  1  4a 2 nên HC  HB  (vì HB  HC  a) Do HC = HB  a  Suy nên S ABC  AC  HC  3 a2  4 , a 3 a2  4 HA.BC  Nếu a lẻ tử số S ABC HA  a  , a 3 a2  4 không nguyên Do a phải chẵn không chia hết Đặt a  2b lúc S ABC  b  b2  1 Suy b2   3c2 , với b, c  * phải số nguyên 24 Ta có phương trình Pell: b2  3c2  Do phương trình có vô số nghiệm nguyên dương Chẳng hạn b  7, c  , suy a  14 , S  3bc  84, HA  3c  12 , HC  b   9, HB  b   số nguyên Vậy tồn đường cao AH tam giác ABC chia tam giác thành hai tam giác nhỏ ABH ACH mà số đo độ dài cạnh hai tam giác nhỏ số nguyên KẾT LUẬN Luận văn: “Phương trình vô định nghiệm nguyên ứng dụng” đạt mục tiêu nhiệm vụ đề ra, cụ thể luận văn thực vấn đề sau: 1) Chứng minh tồn nghiệm số phương pháp tìm nghiệm nguyên phương trình vô định bậc 2) Trình bày phương pháp tìm nghiệm nguyên phương trình vô định bậc hai hai ẩn 3) Giới thiệu phương pháp giải phương trình Pell, phương trình Pell mở rộng 4) Ứng dụng phương trình vô định để giải số toán dân gian, toán thuộc chương trình phổ thông trung học Hy vọng nội dung luận văn tiếp tục bổ sung hoàn thiện nữa, nhằm làm tài liệu tham khảo cho học sinh, sinh viên, người quan tâm đến phương trình vô định ... số phương pháp tìm nghiệm nguyên phương trình vô định bậc 2) Trình bày phương pháp tìm nghiệm nguyên phương trình vô định bậc hai hai ẩn 3) Giới thiệu phương pháp giải phương trình Pell, phương. .. nghiệm phương trình vô định - Tìm hiểu cách giải phương trình vô định - Ứng dụng phương trình vô định để giải số lớp toán Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu - Phương trình vô định nghiệm nguyên bậc - Phương. .. từ lâu Phương trình vô định phương trình đại số với hệ số nguyên số ẩn thường nhiều số phương trình, nghiệm tìm tập hợp số như: số nguyên, số nguyên dương, số hữu tỉ,… Nhiều phương trình vô định