Đang tải... (xem toàn văn)
Phép biến đổi đồng dạng và ứng dụng vào giải toán sơ cấp hay nhất. Tìm hiểu và nghiên cứu phép biến đổi đồng dạng, ứng dụng phép biến đổi đồng dạng vào giải toán sơ cấp. Giải toán sơ cấp bằng các phép biến đổi đồng dạng cực hay cho học sinh sinh viên. Một luận văn đáng xem về phép biến đổi đồng dạng
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG HOÀNG THỊ HẢI PHƯƠNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG DẠNG VÀ ỨNG DỤNG VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Trần Đạo Dõng Đà Nẵng - Năm 2013 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan công trình nghiên cứu riêng Các kết nêu luận văn trung thực chưa công bố công trình khác Tác giả luận văn Hoàng Thị Hải Phương MỤC LỤC MỤC LỤC 1 Lý chọn đề tài .1 Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn Cấu trúc luận văn CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 PHÉP BIẾN HÌNH 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Điểm kép phép biến hình .5 1.1.3 Phép biến hình đảo ngược 1.1.4 Tích phép biến hình 1.2 CÁC PHÉP DỜI HÌNH 1.2.1 Định nghĩa phép dời hình 1.2.2 Tính chất .7 1.2.3 Các phép dời hình 1.2.4 Phân loại phép dời hình 15 1.3 PHÉP VỊ TỰ 16 1.3.1 Định nghĩa 16 1.3.2 Tính chất .17 1.3.3 Tâm vị tự hai đường tròn 18 1.3.4 Tích hai phép vị tự 20 1.4 CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG DẠNG 24 1.4.1 Định nghĩa 24 1.4.2 Tính chất .24 1.4.3 Sự xác định phép đồng dạng .26 1.4.4 Hai hình đồng dạng .27 1.4.5 Điểm kép phép đồng dạng 27 1.4.6 Liên hệ phép đồng dạng, phép vị tự phép dời hình .27 1.4.7 Phân loại phép biến đổi đồng dạng 28 CHƯƠNG ỨNG DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG DẠNG VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP .30 2.1 ỨNG DỤNG PHÉP VỊ TỰ 30 2.1.1 Bài toán chứng minh tính chất hình học .30 2.1.2 Bài toán tính đại lượng hình học 49 2.1.3 Bài toán quỹ tích 53 2.1.4 Bài toán dựng hình 61 2.2 ỨNG DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG DẠNG 73 2.2.1 Bài toán chứng minh tính chất hình học .73 2.2.2 Bài toán tính đại lượng hình học 85 2.2.3 Bài toán quỹ tích 88 2.2.4 Bài toán dựng hình 93 KẾT LUẬN .100 TÀI LIỆU THAM KHẢO QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN THẠC SĨ (BẢN SAO) DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU ABC Tam giác ABC Vuông góc Đồng dạng Biến… thành… Cắt MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong chương trình Hình học bậc Trung học Phổ thông (THPT) biết đến phép biến hình Tuy nhiên, việc hiểu áp dụng phép biến hình này, đặc biệt phép vị tự, phép biến đổi đồng dạng không gian Euclid thông thường hai, ba chiều thường khiến cho học sinh gặp khó khăn Nội dung phép biến hình đưa vào chương trình Toán bậc THPT không nhằm cung cấp cho học sinh công cụ để giải toán mà giúp cho học sinh làm quen với phương pháp tư suy luận Chẳng hạn trước đây, cần chứng minh hai tam giác đồng dạng, học sinh thường phải chứng minh cạnh hay góc hai tam giác thỏa mãn điều kiện nêu định lí nói hai tam giác đồng dạng Tuy nhiên, dựa vào phép biến đổi đồng dạng mặt phẳng người ta định nghĩa đồng dạng hai tam giác tổng quát hai sau: “Hai hình H H’ gọi đồng dạng với có phép đồng dạng f biến hình thành hình kia” Như khái niệm “đồng dạng” hai hình xây dựng dựa khái niệm phép biến đổi đồng dạng, phép biến hình đặc biệt Ngoài ra, việc lựa chọn công cụ thích hợp cho loại toán hình học khác việc làm cần thiết, giúp tiết kiệm thời gian công sức để giải toán cách có hiệu Tôi chọn đề tài “Một số phép biến hình mặt phẳng ứng dụng giải toán hình học THPT” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp vào tháng 6/2010 Trường Đại học Sư Phạm – Đại học Đà Nẵng Đề tài bước đầu nghiên cứu số phép biến hình mặt phẳng như: Phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép tịnh tiến, phép quay… Cùng với định hướng PGS.TS Trần Đạo Dõng để tiếp tục nghiên cứu, phát triển đề tài ấy, chọn đề tài “CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG DẠNG VÀ ỨNG DỤNG VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP” làm đề tài luận văn thạc sĩ Trong luận văn này, trước hết giới thiệu phép biến hình, hệ thống kiến thức phép dời hình phép vị tự, phép biến đổi đồng dạng không gian Euclid thông thường hai, ba chiều (cụ thể chương trình toán bậc THPT) Tiếp đó, tìm hiểu ứng dụng phép vị tự, phép biến đổi đồng dạng mặt phẳng không gian để giải số dạng toán hình học có liên quan, tìm phương pháp giải cho dạng cụ thể Mục đích nghiên cứu - Khai thác phép vị tự, phép biến đổi đồng dạng mặt phẳng không gian để khảo sát số chủ đề hình học, nhằm góp phần nâng cao hiệu chất lượng dạy học môn Toán chương trình THPT - Bổ sung số kiến thức phép vị tự, phép biến đổi đồng dạng cho học sinh nhằm giúp em phát triển tư hình học nói riêng tư Toán học nói chung, rèn luyện kĩ vận dụng linh hoạt phép biến hình vào việc giải toán hình học Nhiệm vụ nghiên cứu Khai thác phép vị tự, phép biến đổi đồng dạng mặt phẳng không gian để giải dạng toán hình học như: toán chứng minh, toán tính đại lượng hình học, toán quỹ tích, toán dựng hình Phương pháp nghiên cứu - Tham khảo tài liệu phép vị tự phép biến đổi đồng dạng mặt phẳng, không gian hệ thống kiến thức liên quan - Trao đổi, tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn Ý nghĩa khoa học thực tiễn - Góp phần làm tài liệu tham khảo cho sinh viên khoa Toán, giáo viên dạy Toán học sinh học bậc THPT - Góp phần nâng cao hiệu dạy học số chủ đề hình học thuộc chương trình Toán bậc THPT - Phát huy tính tự học sáng tạo học sinh - Giúp sinh viên có cách nhìn khái quát hình học phép biến hình học bậc THPT Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn phần mở đầu phần kết luận gồm có chương: Chương Các kiến thức sở Chương trình bày lý thuyết phép biến hình, phép dời hình nghiên cứu phép vị tự, phép biến đổi đồng dạng mặt phẳng, không gian kiến thức liên quan trực tiếp đến việc nghiên cứu chương Chương Ứng dụng phép biến đổi đồng dạng vào giải toán sơ cấp Chương trình bày ứng dụng phép vị tự, phép biến đổi đồng dạng vào giải toán sơ cấp toán chứng minh, toán tính đại lượng hình học, toán quỹ tích, toán dựng hình CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ Chương trình bày tổng quan phép biến hình, phép dời hình, phép vị tự phép biến đổi đồng dạng mặt phẳng, không gian kiến thức liên quan trực tiếp đến việc nghiên cứu chương Kiến thức phần tham khảo tài liệu [3], [4], [5], [7] 1.1 PHÉP BIẾN HÌNH 1.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Phép biến hình mặt phẳng (hay không gian) song ánh từ tập hợp điểm mặt phẳng (hay không gian) lên Nói cách khác, cho phép biến hình f tức cho quy tắc tương ứng với điểm M mặt phẳng (hay không gian) điểm M’ thuộc mặt phẳng (hay không gian) đó, cho: - Với điểm M’ thuộc mặt phẳng (hay không gian), tồn điểm M thuộc mặt phẳng (hay không gian) cho M' = f(M) - Với hai điểm phân biệt tùy ý M, N mặt phẳng (hay không gian), M' = f(M) N' = f(N) hai điểm phân biệt Khi M' = f(M) gọi ảnh điểm M điểm M gọi tạo ảnh điểm M’ qua phép biến hình f Nếu H hình mặt phẳng (hay không gian), tập hợp f (H) gồm tất phần tử ảnh điểm M thuộc hình H gọi ảnh hình H qua phép biến hình f Khi đó, H gọi tạo ảnh hình f (H) qua phép biến hình f 1.1.2 Điểm kép phép biến hình Định nghĩa 1.2 Ta kí hiệu tập hợp tất điểm mặt phẳng (hay không gian) T Một điểm M thuộc T gọi điểm kép (hoặc điểm bất động) phép biến hình f f (M) = M Nói cách khác, điểm M điểm kép phép biến hình f điểm M biến thành qua f Đặc biệt, phép biến hình biến điểm M thuộc mặt phẳng (hay không gian) thành điểm M gọi phép đồng mặt phẳng (hay không gian), ký hiệu Id 1.1.3 Phép biến hình đảo ngược Cho phép biến hình f T biến điểm M thành M’, ta có định nghĩa sau: - Phép biến hình biến điểm M’ thành điểm M gọi phép biến hình đảo ngược phép biến hình f cho Ta kí hiệu phép biến hình đảo ngược f f 1 Từ định nghĩa suy f 1(M')= M Hơn nữa, phép biến hình f có phép biến hình đảo ngược f 1 thỏa mãn tính chất f 1 f = f f 1 = Id - Một phép biến hình f T gọi phép biến hình đối hợp M T cho M ' f (M ) , ta có M = f (M’) Như vậy, f phép biến hình đối hợp f = f 1 1.1.4 Tích phép biến hình Trong hình học ta thường phải thực nhiều phép biến hình liên tiếp Nếu thực phép biến hình f1 : T T để biến điểm M 87 Giải: Ta có IA = 2IB nên AB = AI Lại có G trọng tâm ABD nên AO = AG Hình 2.33 Do qua phép vị tự V ( A, ) : AGI AOB Ta có O tâm hình bình hành ABCD nên qua phép đối xứng ÐO : AOB COD Do qua phép đồng dạng Z = ÐO V (A, ) biến AGI thành COD Gọi C chu vi COD C’ chu vi AGI ta có: C ' C Một số toán tham khảo Bài toán 2.92 Cho hai đường (O;R) (O';R') cắt hai điểm A B Trên đường tròn (O;R) ta lấy điểm P, đường tròn (O';R') lấy điểm Q Tính độ dài đoạn PQ theo R, cho PQ qua B Cho biết OO' = d OAP R', , d Bài toán 2.93 Hai đường tròn (O;R) (O';R') cắt hai điểm A B Tiếp tuyến A đường tròn (O;R) cắt đường tròn (O';R') D Tiếp 88 tuyến A đường tròn (O';R') cắt đường tròn (O;R) C Tính độ dài CD, biết ADB ACB Bài toán 2.94 Cho ABC có AB = cm, AC = cm, BC = cm Gọi D chân đường cao tam giác kẻ từ A Trên cạnh AC ta lấy điểm M cho CM = cm Phép đồng dạng V = H ( D, ) 16 o Q( D ,90 ) biến M N Tính độ dài AN o 2.2.3 Bài toán quỹ tích Định hướng giải Để giải toán giải tương tự toán ứng dụng phép vị tự để tìm quỹ tích (gồm bước) Trong đó, cần tìm mối liên hệ điểm M cần tìm quỹ tích với điểm N (đã biết quỹ tích) qua phép biến đổi đồng dạng đó, thông thường tích giao hoán phép vị tự phép quay phép tịnh tiến phép đối xứng tùy vào điều kiện giả thiết cho Từ quỹ tích điểm N biết (giả sử quỹ tích điểm N hình H) ta suy quỹ tích điểm M cần tìm dựa tính chất phép đồng dạng vừa tìm Sau kết luận, quỹ tích điểm M hình H’, với H’ ảnh H qua phép đồng dạng vừa tìm Một số toán minh họa Bài toán 2.95 Cho tam giác vuông AMB nội tiếp đường tròn đường kính AB Ta dựng phía tam giác AMB hình vuông AMNP Hãy tìm tập hợp điểm N đỉnh M di động đường tròn đường kính AB Giải: Bước Ta có A, B điểm cố định; M, N, P điểm di động Bước Tìm mối liên hệ M N: Ta có: Tam giác AMN vuông cân M 89 ( AM, AN )= 45o AN = AM Hình 2.34 Do đó: N ảnh M qua phép quay tâm A với góc quay α = 45 sau thực tiếp phép vị tự tâm A với tỉ số k = Ta biết tích phép dời hình (ở phép quay) với phép vị tự phép đồng dạng Z: Z Q( A,45 ) V( A,k ) , với k = o Nên M di động đường tròn đường kính AB N di động đường tròn đường kính AB' ảnh AB qua phép đồng dạng Z nói Bước Kết luận: Vậy quỹ tích điểm N đường tròn đường kính AB' ảnh AB qua phép đồng dạng Z xác định Bài toán 2.96 Cho hai điểm A, B cố định điểm M di động đường tròn (O;R) cho trước Gọi N trung điểm AM, dựng hình bình hành ABCN Tìm quỹ tích điểm C Giải: Bước Ta có A, B điểm cố định; M, N, C điểm di động 90 Bước Tìm mối liên hệ M, N C: Theo đề: N trung điểm AM Nên N V ( A, ) (M ) Mặt khác: tứ giác ABCN hình bình hành ( N ) Nên C T AB ( N ) V Do đó: qua phép đồng dạng Z T AB ( A, ) ( M ) M C Hay C ảnh M qua phép đồng dạng nói Hình 2.35 Bước Kết luận: Vậy M di động đường tròn (O;R) C di động đường tròn ( N ) V ảnh đường tròn (O;R) qua phép đồng dạng Z T AB ( A, ) (M ) Khi M di động đường tròn (O;R) N di động đường tròn R ( N ), nên ta có quỹ tích điểm C (O1 , ) với O1 V (O) Lại có C T AB ( A, ) 2 (O ) bán kính đường tròn tâm O2 T AB R 91 Bài toán 2.97 Cho đường tròn tâm O, dây cung BC cố định Điểm A di động Tìm tập hợp hình chiếu M trung điểm I đoạn thẳng cung BXC AB lên đường thẳng AC Giải: Bước Ta có O, B, C điểm cố định; A, M, I điểm di động Bước Tìm mối liên hệ A, M I: Hình 2.36 Gọi P hình chiếu B đoạn AC Khi K trung điểm cạnh BC BAPBOK Do BA BO m không đổi AP OK Vì M trung điểm đoạn AP nên ta có Xét phép đồng dạng Z ( B, BA 2m AM BM , ABM ) ta có M = Z(A) MA Gọi S trung điểm đoạn OK, ta có: BM BS k BA BO Bước Kết luận: Theo đề ta có điểm A di động cung BXC 92 qua phép đồng dạng nói Vậy quỹ tích điểm M ảnh cung BXC Bài toán 2.98 Trong không gian cho mặt phẳng (P) Lấy đường thẳng d điểm O cố định không nằm (P) Với điểm M d, lấy điểm M’ đối xứng với M qua (P) Tìm quỹ tích trung điểm I OM’ M thay đổi d Giải: Bước Ta có O điểm cố định; M, N, I, M’ điểm di động Bước Tìm mối liên hệ M, N, I M’: Hình 2.37 Theo giả thiết ta có: I trung điểm OM’ Nghĩa I V (O , ) (M ') Như vậy: Đ( P ) : M M ',V (O , ) : M ' I Do đó: I ảnh M qua phép đồng dạng Z Đ( P ) V ( O, ) 93 Bước Kết luận: Vậy quỹ tích trung điểm I OM’ đường thẳng d’ ảnh đường thẳng d qua phép đồng dạng nói Một số toán tham khảo Bài toán 2.99 Cho hai điểm A, B cố định điểm M di động đường tròn (O;R) cho trước Gọi N trung điểm đoạn AM, dựng hình bình hành ABCN Tìm quỹ tích điểm C Hướng dẫn: Theo giả thiết cho ABCN hình bình hành, nghĩa cho ( N ) Do đó, ta nghĩ đến việc chứng minh C ảnh điểm C T AB qua phép đồng dạng tích phép vị tự phép tịnh tiến T AB Bài 2.100 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông ABCD cạnh bên SA ( ABCD) Với điểm M thuộc đường tròn nội tiếp tam giác SBC, ta xác định M hình chiếu M mặt phẳng (ABCD) M hình chiếu M mặt phẳng (SCD) Tìm tập hợp M M chạy đường tròn nói 2.2.4 Bài toán dựng hình Định hướng giải Để giải toán giải tương tự toán ứng dụng phép vị tự để dựng hình (gồm bước) Nếu ta tìm phép biến đổi đồng dạng biến hình H thành H' cho hình H' hình dựng tạo ảnh qua phép biến đổi đồng dạng điểm dựng H dựng Hoặc, ta tìm phép biến đổi đồng dạng mà H' tạo ảnh H cho hình H' hình dựng ảnh qua phép biến đổi đồng dạng điểm dựng H dựng 94 Đối với dạng toán thường sử dụng định nghĩa phép biến đổi đồng dạng, định nghĩa hai hình đồng dạng tính chất biến góc thành góc phép biến đổi đồng dạng để giải Một số toán minh họa Bài toán 2.101 Dựng ABC theo hai góc A, B chu vi P Giải: Bước 1.Phân tích: , ABC có chu vi Giả sử dựng ABC có góc BAC P Dựng A’B’C’ có góc B ' A 'C ' , A ' B 'C ' Khi ta có: ABC A’B’C’ Như có phép đồng dạng tỉ số k biến ABC thành A’B’C’ Vì ABC có chu vi P, nên gọi P’ chu vi A’B’C’ ta có: P = kP’ Bước 2.Cách dựng: - Dựng A’B’C’ có góc B ' A 'C ' , A ' B 'C ' - Gọi P’ chu vi A’B’C’ dựng ABC đồng dạng với A’B’C’ theo tỉ số k P Khi ABC tam giác cần dựng P' Bước Chứng minh: Theo cách dựng ABC A’B’C’ , ABC , chu vi P Do ABC có BAC Bước Biện luận: 95 Vì có vô số cách dựng A’B’C’ nên có vô số cách dựng ABC thỏa mãn yêu cầu đề Vậy toán có vô số nghiệm hình Bài toán 2.102 Cho hai đường thẳng a, b song song với nhau, C điểm cố định Dựng BAC vuông A, có hai đỉnh A, B thuộc a, b Giải: Bước 1.Phân tích: Giả sử dựng BAC thỏa mãn đề bài, ta có: CB = CA, (CA, CB) = Vậy B ảnh A qua phép đồng dạng phân tích thành tích phép quay Q ( C , ) phép vị tự V( C , ) Hình 2.38 Bước 2.Cách dựng: - Ta có A a nên gọi a’ ảnh a qua phép quay nói Ta có B giao điểm a’ b - Thực phép đồng dạng nói ta tìm đỉnh A 96 Vậy dựng CAB thỏa mãn yêu cầu toán Bước Chứng minh: Theo cách dựng ta có: CAB có góc (CA, CB) = ( BC , BA) = Bước Biện luận: Vì lý đối xứng qua đường thẳng CI vuông góc với a b nên ta có CA’B’ đối xứng với CAB qua CI thỏa mãn điều kiện toán Bài toán có hai nghiệm hình Bài toán 2.103 Cho điểm A không thuộc đường tròn (O) không thuộc đường thẳng d Hãy dựng ABC có đỉnh B thuộc (O) đỉnh C thuộc d cho trước AC = 2AB cho BAC Giải: Bước Phân tích: AC = 2AB, Giả sử dựng ABC, B (O), C d, BAC C d, BAC Nên C’ d’ AC’ = AC, d’ C’ ảnh d C qua phép quay Q( A,) Ta có AC = 2AB nên AC’ = 2AB Suy B = V ( A, ) , (C’) d”, với d” ảnh d’ qua phép vị tự V Do B giao điểm đường tròn (O) với d” ( A, ) 97 Hình 2.39 Bước 2.Cách dựng: Thực phép đồng dạng quay Z = V o ( A, ) Q( A,) : d d” Gọi B giao điểm đường tròn (O) với d”; C’ giao điểm d’ với đường thẳng AB điểm C tạo ảnh C’ qua phép quay Q( A,) Ta có ABC tam giác cần dựng Bước Chứng minh: Theo cách dựng ta có ABC thỏa yêu cầu đề Bước Biện luận: Số nghiệm hình 0, phụ thuộc vào số giao điểm B đường tròn (O) với d” Bài toán 2.104 Dựng hình chữ nhật có hai đỉnh nằm cạnh tam giác, hai đỉnh lại nằm hai cạnh đồng dạng với hình chữ nhật cho Giải: Bước Phân tích: 98 Giả sử ABC tam giác cho DEFG hình chữ nhật có hai đỉnh nằm cạnh BC tam giác, hai đỉnh lại nằm hai cạnh đồng dạng với hình chữ nhật cho có cạnh a b Ta có: DE a DG b Gọi D’E’F’G’ hình chữ nhật cho Khi ta có: D’E’//BC, D’ AB, E’ AC D ' E ' DE a D ' G ' DG b Hình 2.40 Hai hình chữ nhật DEFG D’E’F’G’ đồng dạng với theo tỉ số a k , B ' F ' G ' AB, F AF ' BC , G AG ' BC b Bước Cách dựng: - Kẻ D’E’//BC với D’ AB, E’ AC - Dựng hình chữ nhật D’E’F’G’ cho D ' E ' DE a D ' G ' DG b - Gọi F AF ' BC , G AG ' BC Dựng hình chữ nhật DEFG Bước Chứng minh: 99 Theo cách dựng ta có hình chữ nhật DEFG có hai đỉnh nằm cạnh BC tam giác, hai đỉnh lại nằm hai cạnh đồng dạng với hình chữ nhật D’E’F’G’ cho Bước Biện luận: Bài toán có nghiệm hình Một số toán tham khảo Bài toán 2.105 Cho hai đường tròn (O1 , R1 ),(O2 , R2 ) điểm A không thuộc hai đường tròn Hãy tìm điểm B đường tròn (O1 , R1 ) , điểm C đường tròn (O2 , R2 ) cho AO1O2 ABC , AO2O1 ACB D , AB = a, BC = b, CD = c, Bài toán 2.106 Dựng tứ giác ABCD, biết B DA = d Bài toán 2.107 Dựng tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn cho trước Biết độ dài cạnh tứ giác 100 KẾT LUẬN Sau tiến hành nghiên cứu, so với mục đích đề tài, thực nội dung sau: - Trình bày có hệ thống số kiến thức phép biến hình, phép dời hình, phép vị tự phép biến đổi đồng dạng mặt phẳng không gian chương trình Hình học bậc THPT (chủ yếu chương trình Toán lớp 11 12) - Phân loại hệ thống chủ đề toán hình học giải phép vị tự phép biến đổi đồng dạng, đề xuất định hướng giải cho dạng toán thể qua số toán minh họa, toán tham khảo cụ thể Do điều kiện khách quan, phân loại chủ đề toán hình học dạng toán chứng minh, tính đại lượng hình học, tìm quỹ tích, dựng hình nêu định hướng giải chung cho dạng, nên việc vận dụng cho toán có phần áp đặt Trong thời gian tới hy vọng có hội tiếp tục tiến hành khảo sát thêm số phép biến hình khác phép co-dãn, phép biến đổi tuyến tính, phép nghịch đảo, tìm hiểu số ứng dụng chúng để giải toán sơ cấp TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Trọng Chiến – Nguyễn Thị Kim Thoa (2012), Giáo trình toán sơ cấp, Nhà Xuất Đại học Huế [2] Văn Như Cương (2009), Bài tập Hình học 11 Nâng cao, Nhà Xuất Giáo dục [3] Trương Đức Hinh – Đào Tam (2008), Giáo trình toán sơ cấp, Nhà Xuất Đại học Sư phạm [4] Nguyễn Mộng Hy (2003), Hình học cao cấp, Nhà Xuất Giáo dục [5] Nguyễn Mộng Hy (2004), Các phép biến hình mặt phẳng, Nhà Xuất Giáo dục [6] Lê Bích Ngọc – Lê Hồng Đức (2008), Học ôn tập Toán Hình học 12, Nhà Xuất Đại học quốc gia Hà Nội [7] Nguyễn Đăng Phất (2005), Các phép biến hình mặt phẳng ứng dụng giải toán Hình học, Nhà Xuất Giáo dục [8] Đoàn Quỳnh (2009), Hình học 11 Nâng cao, Nhà Xuất Giáo dục [9] Đoàn Quỳnh (2011), Hình học 12 Nâng cao, Nhà Xuất Giáo dục [10] Đỗ Thanh Sơn (2005), Phép biến hình mặt phẳng, Nhà Xuất Giáo dục [11] Đỗ Thanh Sơn (2005), Phép biến hình không gian, Nhà Xuất Giáo dục ... luận Chẳng hạn trước đây, cần chứng minh hai tam giác đồng dạng, học sinh thường phải chứng minh cạnh hay góc hai tam giác thỏa mãn điều kiện nêu định lí nói hai tam giác đồng dạng Tuy nhiên, dựa... toàn góc hai tia, góc hai đường thẳng, góc nhị diện, góc hai mặt phẳng Hệ 1.5 Phép dời hình bảo toàn tích vô hướng hai vectơ Hệ 1.6 Phép dời hình bảo toàn song song hai đường thẳng, hai mặt phẳng;... đoạn thẳng ban đầu Định lý 1.10 Phép đồng dạng biến góc thành góc Chứng minh Do góc hai đường thẳng bù với góc hai tia có cạnh vuông góc với hai đường thẳng đó; góc nhị diện, góc hai mặt phẳng