Đang tải... (xem toàn văn)
HÀM SỐ HỌC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN DÃY SỐ NGUYÊN Luận văn toán học Tuyệt diệuLuận văn Tìm hiểu Hàm số học và các bài toán liên quan tới dãy số nguyên.hàm số học, bài toán dãy số nguyên,HÀM SỐ HỌC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN DÃY SỐ NGUYÊN Luận văn toán học Tuyệt diệu
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRẦN THỊ THU VÂN HÀM SỐ HỌC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN DÃY SỐ NGUYÊN Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS TRỊNH ĐÀO CHIẾN Đà Nẵng - Năm 2013 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan công trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố công trình khác Tác giả Trần Thị Thu Vân DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU e(n) Hàm đơn vị (n) Hàm Mobius φ(n) Hàm Euler τ(n) Hàm số ước dương n σ(n) Hàm tổng ước dương n f*g Tính chập Dirichlet hàm f g d|n d chia hết n (d ước n) (m,n) Ước chung lớn m n Df(n) Hàm tổng ước f dn Lấy tổng theo ước dương n MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn khoa học Cấu trúc luận văn CHƯƠNG : HÀM SỐ HỌC 1.1 HÀM MOBIUS 1.2 HÀM EULER 10 1.3 HÀM τ(n) HÀM σ(n) 13 CHƯƠNG : DÃY SỐ NGUYÊN 16 2.1 DÃY SỐ NGUYÊN DẠNG TRUY HỒI TUYẾN TÍNH CẤP 16 2.2 NGUYÊN LÝ DIRICHLET LIÊN QUAN ĐẾN DÃY SỐ NGUYÊN 27 2.3 HỆ ĐẾM CƠ SỐ LIÊN QUAN ĐẾN DÃY SỐ NGUYÊN 28 2.4 SỐ PHỨC LIÊN QUAN ĐẾN DÃY SỐ NGUYÊN 31 2.5 DÃY SỐ NGUYÊN DẠNG n 33 CHƯƠNG : CỰC TRỊ TRÊN TẬP SỐ NGUYÊN 36 3.1 DẠNG TOÁN TÌM CỰC TRỊ, VỚI GIẢ THIẾT TỔNG HOẶC TÍCH KHÔNG ĐỔI 36 3.2 MỘT SỐ DẠNG TOÁN KHÁC 45 KẾT LUẬN 60 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 61 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (Bản sao) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Dãy số nguyên phần quan trọng lý thuyết dãy số Ngoài vấn đề chung tìm số hạng tổng quát dãy số, tìm công thức tính tổng n số hạng đầu tiên, … , toán dãy số nguyên liên quan đến tính chất số học dãy số chia hết, đồng dư, phương, nguyên tố, nguyên tố nhau, … Các toán dãy số nguyên đa dạng Trong nhiều trường hợp, dãy số vỏ bề ngoài, chất toán toán số học hàm số (nếu có) toán thường hàm số học Trong chương trình toán học phổ thông nói chung kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp, Olympic Toán quốc tế nói riêng, toán liên quan đến dãy số nguyên thường toán khó Hiện nay, tài liệu nước nước đề cập số vấn đề liên quan đến dãy số nguyên có nhiều Tuy nhiên, để lĩnh hội lý thuyết vấn đề vận dụng vào giải toán liên quan dễ dàng Luận văn đóng vai trò tài liệu tham khảo mang tính tổng hợp tương đối đầy đủ, dành cho giáo viên đối tượng học sinh giỏi phổ thông, đặc biệt hệ phổ thông Chuyên Toán Do đó, nội dung luận văn có ý nghĩa khoa học mang tính thực tiễn Mục đích nghiên cứu Với lý chọn đề tài nêu trên, luận văn tập trung nghiên cứu hàm số học toán liên quan đến dãy số nguyên Nhiệm vụ nghiên cứu Với lý chọn đề tài nêu trên, luận văn tập trung nghiên cứu hàm số học toán liên quan đến dãy số nguyên Đối tượng phạm vi nghiên cứu Luận văn đề cập với dung lượng nhỏ hàm số học, khái niệm khó, nhiều giáo trình đề cập Luận văn dành nhiều thời gian cho việc nghiên cứu toán liên quan đến dãy số nguyên, phần gần gũi với học sinh hệ phổ thông Chuyên Toán Phương pháp nghiên cứu Như nêu, luận văn thuộc chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp, vấn đề nghiên cứu Do đó, nội dung luận văn kết trình nỗ lực sưu tầm tài liệu, chọn lọc, phân loại dạng toán tổng hợp lại dạng tài liệu tham khảo tốt Toán sơ cấp Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Luận văn tài liệu tham khảo tốt phương pháp giải dạng toán liên quan đến dãy số nguyên, dành cho học viên cao học chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp, thầy cô giáo, em học sinh giỏi bạn đọc yêu toán quan tâm đến vấn đề Cấu trúc luận văn Với mục đích nghiên cứu nêu, phần Mục lục, Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia thành chương sau: Chương Hàm số học Hàm số học f hàm xác định tập số nguyên dương lấy giá trị tập số thực, chẳng hạn hàm f n sin n Hàm số học khái niệm khó lĩnh hội, có nhiều ứng dụng việc giải toán số học nói chung dãy số nguyên nói riêng Luận văn đề cập số vấn đề hàm số học, giới thiệu số hàm số học quan trọng Hàm Mobius, Hàm Euler, Hàm n , Hàm n Chương Dãy số nguyên Đây hai nội dung trọng tâm luận văn, gồm mục sau: 2.1 Dãy số nguyên dạng truy hồi tuyến tính cấp hai Xác định dãy số truy hồi sai phân toán lý thuyết phương trình sai phân Các dạng toán vấn đề phong phú Luận văn đề cập vấn đề nhỏ lý thuyết này: dãy số nguyên dạng truy hồi tuyến tính cấp hai Đây dạng toán thường gặp chương trình phổ thông, hệ Chuyên Toán, dãy nghiệm Phương trình Pell ví dụ cụ thể Một dãy xn n0 gọi dãy truy hồi tuyến tính cấp hai thỏa mãn hệ thức truy hồi xn1 axn bxn1 , n 1, a b số cho trước, không phụ thuộc vào n Luận văn đề cập đến dạng toán số học liên quan đến dãy số truy hồi sai phân nêu trên, chẳng hạn toán sau “Cho a , b , c số thực dương dãy an n0 xác định sau a1 a, a2 b, an c , n an 1 a n 1 Chứng minh tất số hạng dãy số nguyên dương a , b a b2 c số nguyên dương” ab 2.2 Nguyên lý Dirichlet liên quan đến dãy số nguyên Nguyên lý Dirichlet nguyên lý đơn giản lại vô hữu hiệu toán chứng minh, đặc biệt chứng minh tồn đối tượng thỏa mãn điều kiện Luận văn đề cập đến việc sử dụng Nguyên lý Dirichlet số toán dãy số nguyên Chẳng hạn toán sau Xét n số nguyên dương a1 a2 an 2n cho , a j 2n , i j (kí hiệu , a j bội số chung nhỏ a j ) Chứng minh a1 2n Bài toán liên quan đến dãy số nguyên trông phức tạp, lại giải cách dễ dàng ngắn gọn nhờ việc áp dụng Nguyên lý Dirichlet 2.3 Hệ đếm số liên quan đến dãy số nguyên Hệ đếm số dùng để xây dựng nhiều dãy số có tính chất thú vị Ở số toán số học, nhìn hệ đếm thập phân thông thường khó phát quy luật, chọn hệ đếm số phù hợp, toán trở nên đơn giản quy luật tìm thấy Với b số nguyên dương, b , số nguyên dương N biểu diễn cách dạng N a1.bk 1 a2 bk 2 ak 1.b ak , a1 b 1, a2 , , ak b 1 Kết sở để xây dựng định nghĩa hệ đếm số ( b ), dạng 2.4 Số phức liên quan đến dãy số nguyên Số phức có ứng dụng toán học nói chung lý thuyết dãy số nói riêng Nhờ số phức, thấy mối quan hệ hàm lượng giác hàm mũ Nhờ số phức, đa thức bậc n có đủ n nghiệm Định lí Viét phát huy tác dụng Với dãy số nguyên, số phức có ứng dụng đặc biệt hữu hiệu toán tính tổng dãy truy hồi Đây nội dung mà luận văn đề cập 2.5 Dãy số nguyên dạng n Dãy số dạng xn n có nhiều tính chất số học thú vị (kí hiệu n phần nguyên số n ) Nếu , dãy số n n1 dãy số nguyên dương phân biệt có biến thiên gần giống cấp số cộng cấp số cộng Dãy số đặc biệt thú vị số vô tỉ bậc hai Luận văn đề cập đến số tính chất dãy số nêu số dạng toán liên quan Chương Cực trị tập số nguyên Đây nội dung trọng tâm thứ hai luận văn Cực trị tập số nguyên nói chung cực trị dãy số nguyên nói riêng vấn đề rộng Luận văn đề cập số dạng cực trị gần gũi với chương trình phổ thông hệ Chuyên Toán Ta biết rằng, x1, x2 , , xn n số thực dương có tổng S không đổi tích x1 x2 xn chúng đạt giá trị lớn x1 x2 xn S n Điều không x1, x2 , , xn số nguyên dương Bài toán tìm cực trị trở nên khó khăn nhiều, phải xét tập số nguyên dương Luận văn đề cập vấn đề với dạng toán tập số nguyên dương chia thành mục sau 3.1 Dạng toán tìm cực trị, với giả thiết tổng tích không đổi Đó dạng toán sau - Tìm cực trị tích x1 x2 xn , với giả thiết tổng x1 x2 xn S không đổi - Tìm cực trị tổng x1 x2 xn , với giả thiết tích x1x2 xn P không đổi 3.2 Một số dạng toán khác Luận văn đề cập đến vài dạng toán cực trị số biểu thức nguyên dạng đa thức dạng mũ 47 Từ giả thiết a1 a2 a3 a4 ta có (a4 a1 )(a3 a2 ) Suy a1a2 a3a4 a1a3 a2a4 từ (a4 a3 )(a2 a1 ) Suy a1a3 a2a4 a1a4 a2a3 Do a1a2 a3a4 a1a3 a2a4 a1a4 a2a3 a Tổng Sb nhỏ tổng Tb lớn Từ giả thiết a1 a2 a3 a4 bất đẳng thức rút để tổng Tb lớn Tb phải chứa số hạng a1a2 a3a4 Tiếp theo xét hai dãy số a1 , a2 , a3 , a4 a1 , a2 , a4 , a3 bất đẳng thức trên, chọn dãy a1 , a2 , a4 , a3 tổng Tb lớn Vậy tổng Sb (a1 a2 )2 (a2 a4 )2 (a4 a3 )2 (a3 a1 )2 nhỏ b Tổng Sb lớn tổng Tb nhỏ Từ giả thiết bất đẳng thức rút để tổng Tb nhỏ Tb phải chứa số hạng a1a4 a2 a3 Tiếp theo xét hai dãy số a1 , a4 , a3 , a2 a1 , a4 , a2 , a3 bất đẳng thức trên, chọn dãy a1 , a4 , a2 , a3 tổng Tb nhỏ Vậy tổng Sb (a1 a4 )2 (a4 a2 )2 (a2 a3 )2 (a3 a1 )2 lớn Bài toán 3.7 Cho số nguyên k lớn Phân tích số k thành tổng k a1 a2 an với n2 ( i 1, 2, , n ) Xét tổng Pn a1a2 a2a3 a3a4 ai 1 an1an Xác định dãy số a1 , a2 ,…, an cho tổng Pn có giá trị lớn Giải Giả sử a1 a2 an , ta có Pn a1a2 a2a3 ai1 an2an1 an1an a1an a2 an an an2 an an1an an (a1 a2 an1 ) an (k an ) Giả sử có a b với a b k Ta có 4ab (a b)2 (b a)2 (*) 48 Vì số k cho trước không đổi nên hiệu b a nhỏ tích ab lớn - Xét hai trường hợp k n * Nếu k chẵn, k 2m m m, (m 2) Chọn a1 a2 m Pn m2 số lớn * Nếu k lẻ, k 2m 1 m m 1, (m 1) Chọn a1 m a2 m Pn m(m 1) số lớn Nhận xét : Trong hai toán 3.6; 3.7 vai trò số dãy không bình đẳng nên cần xếp thứ tự dãy số cho xét số hạng tổng, gặp số hạng làm cho tổng chưa đạt GTLN (hoặc GTNN) thay số hạng số hạng khác khiến tổng đạt GTLN (hoặc GTNN) tiếp tục xét hết số hạng Bài toán 3.8 Cho số nguyên k lớn Phân tích số k thành tổng k a1 a2 an với n ( i 1, 2, , n ) Xét tích Tn a1a2 an Xác định dãy số a1 , a2 ,…, an Xác định dãy số a1 , a2 ,…, an cho a Tích Tn có giá trị nhỏ b Tích Tn có giá trị lớn Giải a Xét tích Tn a1a2 an nhỏ * Nếu tích Tn có nhiều hai thừa số ta thay tích hai thừa số ab thừa số a b (a 1)(b 1) nên ab a b , lúc tích không lớn * Vậy xét tích Tn có hai thừa số Giả sử có a b với a b k Sử dụng đẳng thức (*) toán 3.7 ta thấy tích ab nhỏ hiệu b a lớn Do , ( i 1, ) nên k (k 2) tích Tn nhỏ n 2(k 2) 49 b Xét tích Tn a1a2 an lớn * Trong số không chọn số 4, thay = + 2.2 = tích không đổi * Trong số số a lớn thay a (a 2) 2.(a 2) 2a a tích lớn * Trong số nhiều hai số có ba số thay chúng hai số có 3.3 = > = 2.2.2 lúc tích lớn Vậy số , ( i = 1, 2,…, n) có nhiều hai số 2, lại gồm toàn số - Nếu k 3m , ( m ) k = + +…+ (gồm m số 3) tích lớn Tn = 3m - Nếu k 3m , ( m ) k = + + + +….+ (gồm m số 3) tích lớn Tn =22 3m-1 - Nếu k 3m , ( m ) k = + + +….+ (gồm m số 3) tích lớn Tn =2 3m Bài toán 3.9 Cho hợp số k Phân tích số k thành tổng k a1a2 an với n ( i 1, 2, , n ) Xét tổng Sn a1 a2 an Xác định dãy số a1 , a2 , , an cho a) Tổng Sn có giá trị lớn b) Tổng Sn có giá trị nhỏ Giải Xét tổng Sn a1 a2 an lớn - Nếu tổng Sn có nhiều hai số hạng, ta thay tổng hai số hạng a b số hạng ab ab a b (a 1)(b 1) tổng không nhỏ Cứ làm Vậy xét tổng Sn có hai số hạng Giả sử k ab cd với a c d b 50 Ta có: d (c a) cd ad ab ad a(b d ) d (b d ) c a b d c d a b Khi k ab với a ước số nhỏ hợp số k tổng lớn Sn a b Cách lập luận khác tổng có hai số hạng sử dụng đẳng thức (*) Bài toán 3.7 b Ta tổng Sn a1 a2 an nhỏ số hạng số nguyên tố * Nếu có số hạng ta thay = 2.2 tổng + tổng Sn không đổi * Nếu tồn số hạng a1 ab hợp số với a b Ta có (a 1)(b 1) nên ab a b suy ab a b lúc tổng Sn a1 a2 an ab a2 an a b a2 an S Ta thấy S Sn Tiếp tục tổng xét không số hạng hợp số * Như hợp số k có phân tích tiêu chuẩn thành số nguyên tố k p1u p2v pnt tổng Sn nhỏ Sn up1 vp2 tpn Nhận xét: Trong hai toán 3.8, 3.9 vai trò số dãy bình đẳng nên không cần thứ tự dãy số cho, sau xét số hạng tổng (hoặc thừa số tích) gặp số hạng (hoặc thừa số nào) làm cho tổng (hoặc tích) chưa đạt GTLN (Hoặc GTNN) thay số số khác khiến tổng (hoặc tích) cần xét đạt GTLN (hoặc GTNN) tiếp tục xét hết số hạng (hoặc thừa số) Bài toán 3.10 Cho x, y nguyên không âm không Tìm giá trị nhỏ hàm số: f ( x, y ) x 11xy y 51 Giải Rõ ràng x, y nguyên không 0, 5x2 11xy y số lẻ Xét phương trình: x 11xy y (3.14) Giả sử tồn nghiệm nguyên x0 , y0 , ta có 5x02 11x0 y0 y02 20(5x02 11x0 y0 y02 ) 20 (10x0 11y0 )2 221y02 20 (3.15) Do 221 = 13.17 nên ta có (10x0 11y0 )2 20 (3.16) Từ (3.16) suy điều vô lí, ta có: x 11xy y x, y Tương tự, ta có : x 11xy y x, y Do đó, với x, y nguyên không âm không 0, ta có: x 11xy y Dấu "=" xảy ví dụ lấy x 1, y x 0, y Từ suy f ( x, y) 5, D tập số nguyên x, y không âm không x , yD Bài toán 3.11 Cho f ( x, y) x y , tập hợp D xác định sau D ( x, y) : x, y x y 7} f ( x, y) Tìm x , yD Giải Nếu ( x, y) D , chắn x 0, y (Thật vậy, trái lại giả sử chẳng hạn x , y , điều vô lí y Z ) Mặt khác, ( x, y) D , x y trái dấu (Thật vậy, x y dấu, chẳng 52 hạn dương, x, y Z x 1, y x y 9, điều vô lí với kiện 4x y 7) Vì lẽ D D1 D2 , D1 {( x, y) : x 0, y 0; x, y x y 7} D2 {( x, y) : x 0, y 0; x, y x y 7} Như f ( x, y ) min f ( x, y ), f ( x, y ) ( x , y )D ( x , y )D1 ( x , y )D2 (3.17) f ( x, y ) Trước hết ta tìm ( xmin , y )D Khi ( x, y) D1 : f ( x, y) x y Từ x y x Từ x, y Z (3.18) 5y 1 y n! 2 y 4 r ! n r ! 1 y t , với t Z Như ta có: y 4t x 5t Từ x 0, y suy ra: 3 5t t t 0, 1, 2 (do t Z ) 4t Từ x 5t , y 4t 5x y 12 13t Vì f ( x, y ) 12 13t ( x , y )D1 tT1 T1 {0, 1, 2, } Từ ta có: f ( x, y ) 12 ( x , y )D1 Từ x 0, y lại có (3.19) 53 3 5t t t 1, 2,3 ( t Z ) 4t Khi x 0, y ta có f ( x, y) 5x y Do 5x y 13t 12 Vì f ( x, y) 13t 12 , ( x , y )D2 tT2 T2 {1, 2,3 } Từ ta có f ( x, y ) (3.20) ( x , y )D2 Thay (3.19), (3.20) vào (3.17) ta có f ( x, y ) ( x , y )D Giá trị nhỏ đạt x 2, y (ứng với t ) Bài toán 3.12 Cho m,n số tự nhiên Tìm giá trị nhỏ biểu thức f (m, n) 36 m 5n Giải Vì chữ số cuối số 36m với số tự nhiên m chữ số cuối số 5n với số tự nhiên n, nên chữ số cuối hiệu 36m 5n 36m 5n chữ số cuối hiệu 5n 36m 36m 5n Vì chữ số cuối cách biểu diễn thập phân số N 36 m 5n giá trị nhỏ số 1, 11 Với m = n = rõ ràng ta có N = 11 Ta chứng minh đẳng thức N = N = xảy ra, điều có nghĩa giá trị N = 11 giá trị nhỏ Thật vậy, ta có đẳng thức 5n 36m 5n 36m bội số điều Nếu ta có đẳng thức 36m 5n 5n 36m 1 62m 1 (6m 1)(6m 1); 6m 5k 6m 5nk điều vô lí số 6m tận chữ số lũy thừa 54 Như vậy, ta chứng minh giá trị nhỏ giá trị tuyệt f (m, n) 11 , D tập đối 36m 5n 11 Điều nghĩa ( mmin , n )D hợp tất giá trị tự nhiên m n Bài toán 3.13 Cho m,n số tự nhiên Tìm giá trị nhỏ biểu thức f (m, n) 12 m 5n Giải Ta chứng minh 12m 5n m, n N Giả sử tồn m n m0 N , n0 N cho 12 (3.21) m n Rõ ràng (12 ) (vì 12m số chẵn m0 N , 5n số tận 0 n0 N 12m 5n số lẻ m0 , n0 N ) 0 m n Lại thấy (12 ) ( 12m Do 5n mà 12m 0 m0 (12 m0 N , 5n0 n0 N ) 5n0 ) m n m n Kết hợp (3.21) suy 12 12 chia cho 13 dư 12m0 (1)m0 (mod13) dư 12 Ta có: Như m0 chẵn, 12m (mod13), m0 lẻ 12m0 12 (mod13) Giả sử n0 4k0 r0 với k Z r0 {0,1,2,3} suy 5n0 625k0 5r0 1ko 5r0 (mod13) n Do chia cho 13 số dư 1, 5, 15 ( tương ứng với r0 =0, 1, 3), suy 12m0 5n0 chia cho 13 dư 12 Ta đến điều vô lí Vậy (3.21) có, suy 12m 5n m, n N (3.22) Chú ý dấu “=” (3.22) đạt ( thí dụ m =1, n =1) 55 Như giá trị nhỏ phải tìm biểu thức cho Bài toán 3.14 Tổng m số dương chẵn khác n số dương lẻ khác 2001 Tìm giá trị lớn biểu thức A 5m 2n Giải Vì 2m tổng m số dương chẵn khác m(m 1) m2 m , tổng n số dương lẻ khác (2n 1) n2 Vì từ giả thiết suy 2 1 1 2003 m m n m n2 m n2 2001 2 2 2 (3.23) Ta có A 5m 2n m 2n 2 Vì theo bất đằng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, A 1 m n2 2 2 (3.24) Từ (3.23) (3.24) suy A 29.2001 A 238, 407 (3.25) Vì m, n nguyên dương nên A 5m 2n nguyên dương Vì từ (3.25) có A 238 (3.26) Xét hệ phương trình 5m 2n 238 2 m m n 2001 Giải (3.27): n (3.27) (3.28) 238 5m m 119 2m Vì n nguyên nên suy 2 m t m 2t , t nguyên Do n 119 4t t 119 5t Vì m, n nên ta có 56 2t 119 0t t 23, t 119 t Thay vào (3.28) ta có: 4t 2t (119 5t )2 2001 29t 1188t 12160 t 20 Khi m 40, n 19 Vậy Amax 238 m 40, n 19 Bài toán 3.15 Xét hàm số f (m, n) m2 n2 m, n 1,2,3, ,1980,1981 2 (n m n m ) Tìm giá trị lớn hàm số f (m, n) với (m, n) xác định Giải Xét khả sau: i) Nếu n m Khi từ (n2 mn m2 )2 n4 m n (Chú ý m, n nguyên dương) Vậy có (m, n) (1,1) thuộc miền xác định hàm số Lúc ta có: f(1,1) = (3.29) ii) Nếu n m Khi n2 m2 n2 m2 1 Lại có mn 1 nên từ ta có (n2 mn m2 ) (Điều mâu thuẫn với (n2 mn m2 )2 ) Vậy miền xác định hàm số khả nm iii) Nếu n m Xét phương trình (n2 mn m2 )2 (*) Thay n m n thay m n ta có: m n (m n)n n (m n)(m n n) n m(m n) n n2 mn m2 Từ đó: [ m n (m n)n n ]2 (n2 mn m2 )2 (theo (*)) Điều có nghĩa (m, n) nghiệm (*), (n, m n) nghiệm (*) Để ý (1, 2) nghiệm (*) Do theo 57 nhận xét (2,3), (3, 5), (5, 8), (8, 13), (13, 21), (21, 34), (34, 55), (55, 89), (89, 144), (144, 233), (233, 377), (377, 610), (610, 987), (987, 1597) nghiệm (*) (Chú ý (1597, 2584) thỏa mãn (*), không thuộc miền xác định f (m, n) m, n 1987 nên ta không xét cặp (1597, 2584) dĩ nhiên không xét tiếp cặp khác thỏa mãn (*) lớn nữa) Các nghiệm nói nằm nghiệm (*) Bây ta chứng minh miền xác định hàm f (m, n) , phương trình (3.29) có nghiệm liệt kê mà Thật vậy, giả sử (m, n) với n m nghiệm tùy ý (*) Chỉ có hai khả xảy ra: i) Nếu m Từ (n2 mn m2 )2 (n2 n 1)2 n Vậy (m, n) (1, 2) (m, n) thuộc vào tập nghiệm liệt kê ii) Nếu m Chú ý (m, n) nghiệm (*) nên m n m Thật vậy, trái lại ta có: m n m n 2m n(n m) 2m2 n2 mn m2 m2 Do m suy (n2 mn m2 ) Đó điều vô lí Vậy nhận xét m n m Xét cặp (n m, m) Ta có: m2 m(n m)(n m)2 m2 n2 mn (n2 mn m2 ) Từ suy [m2 m(n m) (n m)2 ]2 (n2 mn m2 )2 1, tức cặp (n m, m) thỏa mãn (*) Như vậy, xuất phát từ nghiệm ( m, n) (*) (với n m 1) ta đến nghiệm (n m, m) (*), m n; n m m tức ta thu nghiệm khác (*), nhỏ nghiệm trước (nhỏ theo nghĩa: thành phần nghiệm bé hơn) 58 Xuất phát từ nghiệm (n m, m) , trình lặp lặp lại nhiều lần, lúc ta thu nghiệm (1, ) dừng Tuy nhiên, ứng với nghiệm (1, ) , Để ý rằng, ngược lại từ nghiệm (1, ) , nghiệm thu trình thuộc dãy nghiệm liệt kê Nói riêng nghiệm ( m, n) ban đầu thuộc dãy nghiệm Tóm lại, ta chứng minh miền xác định hàm số f (m, n) cho tập hợp sau đây: (1, 2),(2,3),(3,5),(5,8),(8,13),(13, 21),(21,34),(34,55),(55,89), (89,144),(144, 233),(233,377),(377,610),(610,987),(987,1597) D Vì lẽ ta thu kết sau: max f (m, n) 9872 15972 352478 ( m , n )D Bài toán 3.16 Tìm giá trị nhỏ hàm số: f ( x, y, z, t ) x2 y 2z t , miền D ( x, y, z, t ) : x, y, z , t , x y t 21, x y z 101 Giải Lấy ( x, y, z, t ) tùy ý thuộc D Khi ta có: 2 x y t 21 2 x y z 101 Cộng vế (3.30) (3.31) ta có 2 2 2 2 x y z t 122 2( x y z t ) 122 t f ( x, y, z, t ) = 122 t (3.32) Từ (3.32) suy ra: f ( x, y, z, t ) 61 Xét hệ phương trình: (3.33) 59 t 2 x y t 21 2 x y z 101 x, y, z Hệ tương đương với hệ: t 2 x y 21 2 x y z 101 x, y, z 2 Ta có: x y 21 ( x y)( x y) 21 x y 21 x 11 x y y x y x x y y 2 2 Từ x y 4z 101 suy ra: 2 101 ( x y ) z Để ý x 5, y z Vì ta có (5, 2, 4, 0) D f (5, f ( x, y, z, t ) 61 2, 4, 0) = 61 Kết hợp với (3.33), đến ( x,min y , z ,t )D 60 KẾT LUẬN Luận văn đề cập đến vấn đề sau đây: - Khái niệm, tính chất hàm số học số hàm số học quan trọng Hàm Mobius, Hàm Euler, Hàm n , Hàm n - Một số dạng toán liên quan đến dãy số nguyên, gồm + Dãy số nguyên dạng truy hồi tuyến tính cấp hai; + Nguyên lý Dirichlet liên quan đến dãy số nguyên; + Hệ đếm số liên quan đến dãy số nguyên; + Số phức liên quan đến dãy số nguyên; + Dãy số nguyên dạng n - Một số dạng toán cực trị tập số nguyên, gồm + Dạng toán tìm cực trị, với giả thiết tổng tích không đổi + Một số dạng toán khác, tìm cực trị số biểu thức nguyên dạng đa thức dạng mũ 61 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Nam Dũng (2005), “Dãy số toán dãy số”, Kỷ yếu Hội nghị khoa học chuyên đề toán học hệ THPT Chuyên, Hà Nội [2] Phan Huy Khải (2006), Các toán số học, NXB Giáo dục, Hà Nội [3] Nguyễn Vũ Lương (chủ biên) (2006), Nguyễn Lưu Sơn, Nguyễn Ngọc Thắng, Phạm Văn Hùng, Các giảng số học (Tập 1), NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên) (2008), Trần Nam Dũng, Đặng Hùng Thắng, Đặng Huy Ruận, Một số vấn đề số học chọn lọc, NXB Giáo dục [5] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên) (2008), Trịnh Đào Chiến, Trần Nam Dũng, Nguyễn Đăng Phất, Chuyên đề chọn lọc đa thức áp dụng, NXB Giáo dục [6] Vũ Dương Thụy (chủ biên) (2004), Nguyễn Văn Nho, Trần Hữu Nam, Lý thuyết số, định lí tập chọn lọc, NXB Giáo dục Hà Nội ... 2.1 DÃY SỐ NGUYÊN DẠNG TRUY HỒI TUYẾN TÍNH CẤP 16 2.2 NGUYÊN LÝ DIRICHLET LIÊN QUAN ĐẾN DÃY SỐ NGUYÊN 27 2.3 HỆ ĐẾM CƠ SỐ LIÊN QUAN ĐẾN DÃY SỐ NGUYÊN 28 2.4 SỐ PHỨC LIÊN QUAN ĐẾN DÃY SỐ NGUYÊN... nói riêng Luận văn đề cập số vấn đề hàm số học, giới thiệu số hàm số học quan trọng Hàm Mobius, Hàm Euler, Hàm n , Hàm n Chương Dãy số nguyên Đây hai nội dung trọng tâm luận văn, gồm... hai Luận văn đề cập đến số tính chất dãy số nêu số dạng toán liên quan Chương Cực trị tập số nguyên Đây nội dung trọng tâm thứ hai luận văn Cực trị tập số nguyên nói chung cực trị dãy số nguyên