Rút gọn biểu thức toán liên quan Bùi Nga THPT Hòn Gai I.Lý DO CHọN Đề TàI Bắt đầu từ năm lớp 7, học sinh đợc làm quen với loại toán rút gọn biểu thức, loại tán tiếp tục đựơc dạy kỹ lớp 8, lớp Nó có mặt hầu hết ®Ò thi häc kú, thi häc sinh giái, thi tèt nghiệp, lớp 10, tuyển sinh vào trờng THPT, chuyên Hạ Long Một số em cha biết cách làm loại toán này, mà ta gọi phơng pháp Đi theo kết toán rút gọn biểu thức có dạng toán: giải phơng trình, bất phơng trình, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức, tìm giá trị biến x để biểu thức nhận giá trị nguyên Vì vậy, phần mà không rút gọn đợcbiểu thức học sinh không thực tiếp đợc toán cần có kết rút gọn biểu thức Vậy cách trình bày toán rút gọn biểu thức nh nào, phơng pháp giải toán Trong viết xin đóng góp vài kinh nghiệm hớng dẫn học sinh thực tốt loại toán II.NộI DUNG Đề TàI A.Phơng pháp giải Để rút gän biĨu thøc A ta thùc hiƯn c¸c bíc sau - Tìm điều kiện biến để biểu thức có nghĩa ( mà ta gọi tắt tìm điều kiện xác định cho biểu thức chứa chữ) - Quy đồng mẫu số chung (nếu có) - Đa bớt thừa số chung thức (nếu có) - Thực phép tính cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa, khai - Cộng trừ số hạng đồng dạng - Với điều kiện xác định đà tìm đợc, tr¶ lêi kÕt qu¶ rót gän cđa biĨu thøc A B.C¸C VÝ Dơ MINH HäA VÝ dơ 1: Rót gän biÓu thøc A  150  1, 60  4,5  Gi¶i: A  25.6  96   4.2.3 5  16.6   32 5   6 11 VÝ dô 2: x 3 x 6 Cho A = (víi x > 0; x 4)   x x  x x a) Rót gän biĨu thøc b) T×m giá trị nguyên x cho 2A-1 (Đề thi tốt nghiệp lớp Quảng Ninh năm 2002- 2003) Giải: a) Với x > x 4 x x6 A   x x x ( x  2) (2 ®iĨm) Rót gän biểu thức toán liên quan 4( x  2)  ( x  3) x  x  x ( x  2)  x  8 x  x  x 6 x ( x  2) Bïi Nga – THPT Hßn Gai x x ( x  2)  x  b) 2A -   A (ĐK: x > x 4) A 1  x ( b×nh phơng vế không âm) 1 x  x   1; 2;3 tháa m·n ®iỊu kiƯn x > vµ x 4  KÕt ln: Víi x   1; 2;3 th× 2A -  VÝ dơ 3:( §Ị thi tèt nghiƯp THCS thành phố Hà Nội năm 2001- 2002) Cho biểu thøc: x2 x x P ( x  ):(  ) x 1 x 1  x a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị x thỏa mÃn P < c) Tìm giá trị nhá nhÊt cđa P Gi¶i:  x 0  x 0 a) §KX§:   1  x 0  x Điều kiện để biểu thức P có nghĩa lµ x 0 vµ x 1  Rót gän: Víi x 0 vµ x 1 x ( x  1)  ( x  2) x ( x  1)  x  P : x 1 ( x  1)( x  1)  x x  x x x  x  : x 1 ( x  1)( x  1)  x x (Thêm điều kiện x 4) : x ( x  1)( x  1) Rót gọn biểu thức toán liên quan  Bïi Nga – THPT Hßn Gai ( x  2)( x  1)( x  1) ( x  1).( x  4) x1 x 2 x1 x 2 Với x ; x x biÓu thøc P = b) P < x1   (§iỊu kiƯn : x 0; x 1; x 4 ) x 2 (V× x   0x  R  )  x  1  x x Kết hợp với điều kiện phần a với x P < c) P  x    x   x 2 P cã GTNN    x 2 1  x 2 x 2 cã GTNN x 2 x  có GTNN ( phân thức có tử mÉu d¬ng) x cã GTNN x 0  x 0 (Thỏa mÃn điều kiện xác định) Kết luận: Với x = P có GTNN VÝ dô 4: x x 2 (1  x) Cho biÓu thøc P = (  ) x x  x 1 a) Rút gọn biểu thức b) Tính giá trị biểu thøc P x=  c) T×m giá trị x để biểu thức P có giá trị lớn Giải: a) Xét: x x  ( x  1) 1x   x 0  x 0   x  0  x 1 Víi x 0 vµ x 1 th× biĨu thøc P cã nghÜa  Víi x x ta có: * ĐKXĐ: Rút gọn biểu thức toán liên quan P= ( x  2)( x  1)  ( x  2)( x  1) (1  x) ( x  1)( x  1) Bïi Nga – THPT Hßn Gai  x  x  x   x  x  x  ( x  1) ( x  1)( x  1)   x ( x  1) ( x  1)( x  1).2   x ( x  1) x 1  x ( x  1)  x x Với x x biểu thức P có kết rút gọn là: x ( x  1) hc x  x b) x 7  4  2.2  (2   x 2 2  3) Víi x 7  thay vµo biĨu thức P = x x ta đợc P =    3 Với giá trị x= (thỏa mÃn điều kiện xác định ) Thì P = 3  c) P  x  x  ( x  x) 1 1    ( x )  x    4  1    ( x  )   4  1   ( x  )2 P cã GTLN  ( x  ) cã GTNN 1  ( x  ) 0 ( x  ) 0x  2  x  0  x  x 4 Rót gọn biểu thức toán liên quan Bùi Nga THPT Hòn Gai ( Thỏa mÃn điều kiện x 0; x 4 ) 1 Thay x vào P ta đợc P = 4 VÝ dơ 5( §Ị thi THCS thành phố Hà Nội năm 2002-2003) Cho biểu thức: x 8x x1 P =(  ):(  ) 2 x 4 x x x x a) Rút gọn P b) Tìm giá trị x để P =-1 c) Tìm m để với giá trị x > ta cã: m( x  3) P  x  Gi¶i: a) XÐt: x  x  x ( x  2)  x 0  x   x 0  §KX§:    x 4 4  x 0  x  0   Víi x > vµ x 4 cã: P= ( x 8x x1  ):(  ) 2 x x x ( x  2) x  x ( x  2)  x : ( x  2)( x  2)  x  8x  8x : ( x  2)( x  2)   4x  x : ( x  2)( x  2)  x   2( x  2) x ( x  2) x  1 x  x ( x  2)  x 3 ( Thêm ĐK x 9) x ( x 2)  x ( x  2) x ( x  2) ( x  2)( x  2) 3 x  x x ( x  2) (3  x )( x  2) 4x  x  Víi x > , x 4, x 9 th× P = 4x x b) P =-1 4x   ( §K: x > 0, x 4, x 9 ) x (2,5 ®) Rút gọn biểu thức toán liên quan  x 3  Bïi Nga – THPT Hßn Gai x  x   x 0 Đặt x y điều kiện y > Ta có phơng trình: y y 0 C¸c hƯ sè a + b + c = 4- 1-3 =0  y1  (kh«ng tháa m·n ®iỊu kiƯn y > 0) y2  ( tháa m·n ®iỊu kiƯn y > 0) Víi y   x th× x = ( tháa m·n §KX§) 16 VËy víi x = th× P = - 16 c) m( x  3) P  x  (§K: x > 0; x 4, x 9 ) 4x  m( x  3)  x 1 x  m.4 x  x  x 1  m 4x ( 4x > 0) x 1 x 1  XÐt     4x 4x 4x 4x Cã x > ( thỏa mÃn điều kiện xác định) 1 ( hai phân số dơng tử số, phân số có mẫu lớn phân x số nhỏ hơn) 1  x 36 1 1     4 x 36 1    4 x 18  x 18 4x Theo kết phần trªn ta cã:   m 18 m  x   4x  , x  th× m( x  3) P  x  18  KÕt luËn: víi m   VÝ dụ ( Đề thi tuyển sinh chuyên Hạ Long năm học 2005-2006) Cho biểu thức: Rút gọn biểu thức toán liên quan P(x) = x8  x  x 6  x Bïi Nga – THPT Hßn Gai x a) Tìm x để P(x) có nghĩa rút gọn P(x) b) Giải phơng trình P(x) = x (2,5 đ) Giải: a) Xét: x x  x  x  x   x ( x  2)  3( x  2) ( x  2)( x  3)  x 0  x 0  x 0     P cã nghÜa   x  0   x 2   x 4    x 9   x  0  x 3 VËy víi x 0, x 4, x 9 th× biĨu thøc P (x) cã nghÜa  Víi x 0, x 4, x 9 th×: P(x) = x8  ( x  2)( x  3)  x x  x   ( x  3)  ( x  2) ( x  2)( x  3)  x  8 x 3 x 2 ( x  2)( x  3) x ( x  2)( x  3)  x  KÕt luËn : VËy víi x 0, x 4, x 9 th× P  x x   ( §K: x 0, x 4, x 9, x 5 ) x  x  x  4 x  b) P(x) =  x x Đặt x y ĐK: y Ta có phơng trình : y  y  0 C¸c hƯ sè: a + b +c = 1- + =0  y1 1 ; y2 3 (tháa m·n ®iỊu kiƯn y > Rút gọn biểu thức toán liên quan Bùi Nga THPT Hòn Gai Với y1 1  x  x 1 ( tháa m·n §KX§) y2 3  x  x 9 ( kh«ng thỏa mÃn ĐKXĐ) Kết luận: Nghiệm phơng trình P(x)= lµ x = x VÝ dụ 7:( Đề thi tuyển sinh chuyên Hạ Long năm häc 1999-2000) Cho biÓu thøc:  x ( x  2) x  32    : (1  )  ( x  1)   x  x x  x   P=  a) Rót gän P b) Tính giá trị P với x = c) Tìm giá trị phơng x để P có giá trị nguyên Giải: a) XÐt: ( x  1) 1x 0 nªn : ( x  1)  4  x 2x 0  x x 23  ( x )3 (2  x )(4  x  x)  x 0  x 0  §KX§:   2  x 0  x 4 Víi x 0, x 4 th× P cã nghÜa 2 x  x   2 x 2 x 2 x Điều kiện để phép chia thực đợc x Vậy ĐKXĐ P : x > vµ x 4  Víi x > vµ x ta đặt P =A : B Có:  A= x ( x  x  4)   x  x    x (2  x  32 x )(4  x  x) (3 ®) Rút gọn biểu thức toán liên quan ( Bïi Nga – THPT Hßn Gai x x  x  x )(2  x )  4( x  x  4)  x  32 ) (2  x )( x  x  4) 2( x )3  x  x  x  4( x )3  x  x  x  16  x  32  (2  x )( x  x  4)  2( x )3  x  x  16  (2  x )( x  x  4)   ( x )3 (2  x )  8( x  2) (2  x )( x  x  4) (2  x )   ( x )3   (2  x )(4  x  x) 2  x (2  x ) VËy P =  x :  2 x x x Víi x > vµ x 4 th× P = (2  x ) x b) x 9  9  2.2 (  2)  x  5  5 Thay x 9  vµo P ta đợc : (2 2)2 5(  2)   5  10  5 5 * Víi x =  th× P = 5 10 c) Theo kết phần a ta có: P= (2  x ) P= x 44 x  x  x 4 x x   x x x  4 x x V× x số phơng nên x N , x N P có giá trị nguyên có giá trị nguyên x x Rút gọn biểu thức toán liên quan x ¦ (4) x   1, 2, 4  1 x x Bïi Nga – THPT Hßn Gai -1 Không xđ -2 Không xđ 16 Với x =1 x = 16 thỏa mÃn điều kiện xác định phần a x = không thỏa mÃn điều kiện xác định phần a * Với số phơng x = x = 16 P có giá trị nguyên Ví dụ 8:( Đề «n thi tèt nghiƯp THCS cđa SGD) Chøng minh: ( x xy y x y y xy ) : ( x  y )   x y 1 Giải: Điều kiện để đẳng thức có nghĩa:  x, y 0  x, y 0     x y x  y   Víi x 0, y 0, x  y biÕn ®ỉi vÕ tr¸i: ( x xy y ( ( x y xy ) : ( x  y )   ( x )3  ( y )3 x y ( x  y )( x  ( x   x y xy ) : ( x  y )  xy  y ) x y xy  y  y x  y  xy y  x y x y  x  y  xy  y ( x  x y x y xy ) : ( x  y )   xy ) : ( x  y )   y y x y y x y y) x  y  xy  xy  y x y x y  x y Sau biến đổi, vế trái có kết vế phải, đẳng thức đợc chứng minh 10 -4 Không xđ Rút gọn biểu thức toán liên quan Bùi Nga THPT Hòn Gai C MộT Số BàI TOáN Về RúT GọN BIểU THứC Bài 1:( Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Hạ Long năm học 2000 - 2001) y2 3y x  2x Cho biÓu thøc: A = y x x a) Rót gän biĨu thøc A b) TÝnh gi¸ trÞ cđa A x =   vµ y = 20   11 (2 đ) Bài 2:(Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Hạ Long năm học 2003 2004) x x 3x  x  Cho biÓu thøc: P = (   ):(  1) x 3 x  x x a) Rút gọn P b) Tìm x để P < c) Tìm giá trị nhỏ P (2đ) Bài 3:( Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Hạ Long năm học 2002 2003) Cho biểu thøc: 3( a  a  1) a 1 a P= víi a 1, a 0   a a  a 2 a1 a Rót gon biĨu thức b Tìm giá trị a để biểu thức nhận giá trị nhỏ P (2,5đ) Bài 4:( Đề thi tốt nghiệp lớp năm học 2001 2002) 1   a Cho biÓu thøc: A =   : x x  x 1  x  x Rót gän biĨu thøc b Víi giá trị k, phơng trình sau có nghiƯm ph©n biƯt: kx  x  (2,5đ) Bài 5:( Đề thi dự bị tốt nghiệp lớp năm học 2001 2002) 1 x Cho biĨu thøc: A = víi x >0, x 0  1 x x x a Rót gän biĨu thức b Với giá trị x A = (2đ) Bài 6:( Đề thi tốt nghiệp lớp năm học 2000 2001) Cho biểu thức: A= x  x1 2x  x  víi x > x ( x  1) a Rót gän biểu thức A b Tính giá trị biểu thøc A x =  c T×m giá trị x để biểu thức A nhận giá trị nguyên Bài 7:( Đề thi tốt nghiệp lớp năm học 2003 2004) a.Thực phép tÝnh 2( 50   10)  11 (2,5đ) Rút gọn biểu thức toán liên quan b Gọi Bùi Nga THPT Hòn Gai x1 , x2 nghiệm phơng trình : x  x  m 0 T×m giá trị m để: x1 x2 11 (2đ) Bài 8:( Đề thi tốt nghiệp lớp năm học 2004 2005) 1.Tính giá trị biểu thức 1  5 2 Cho ph¬ng tr×nh bËc 2: x  mx  0(*) a Chứng minh với giá trị tham số m, phơng trình (*) có nghiệm phân biệt b Gọi x1 ; x2 nghiệm phơng trình (*), hÃy tính: x12 x2 theo m x2 x1 (2,5đ) Bài 9:( Đề thi tốt nghiệp Hà Nội năm học 2000 2001) Cho biÓu thøc:  x 4   x 2    :   x ( x  2) x  x    x   x   P = a Rót gän P b Tính giá trị P biết x = c Tìm giá trị n ®Ĩ cã x tháa m·n:   x 1 P x n (2,5đ) Bài 10:( Đề thi tốt nghiệp Hà Nội năm học 2003 2004)   x  1 x  x    : x   x x  x    Cho biÓu thøc: P =  a Rút gọn P 2 c Tìm giá trÞ cđa x tháa m·n: P x 6 x  b Tính giá trị P biết x = x (2,5đ) III PHƯƠNG PHáP TIếN HàNH: Trong học khóa, giảng dạy tập lời giải mẫu để học sinh hình thành kỹ năng, phơng pháp giải toán này, cho học sinh thực hành tập tơng tự lớp Đặc biệt, luyện tập, ôn tập chơng, giáo viên tiếp tục cho học sinh giải tập Khi giải cần ý cách trình bày linh hoạt, sáng tạo cho dạng rút gọn Cho học sinh làm quen với dạng rút gọn biểu thức đề thi học kú, tèt nghiƯp líp 9, tun sinh líp 10 chuyªn Hạ Long để học sinh thấy tầm quan trọng loại toán Thời gian lớp có hạn, ch học sinh chép đề thi giải nhà, giáo viên chữa ôn tập, luyện chuyên sâu để học sinh thấy đợc phần sai, rút kinh nghiệm cách trình bày IV.PHạM VI, ĐốI TUợNG NGHIÊN CứU 12 Rút gọn biểu thức toán liên quan Bùi Nga THPT Hßn Gai Häc sinh khèi líp 8, trng THPT Hòn Gai V TổNG KếT Và RúT KINH NGHIệM Qua áp dụng vấn đề vào giảng dạy khối lớp 8, kết thu đợc học sinh đà hình thành, định hớng cách giải loại toán Bằng phơng pháp gợi mở, nêu vấn đề, câu hỏi dẫn dắt em tự phát hớng giải cho loại tập, giáo viên tạo hứng thú, phát triển trí thông minh sáng tạo cho học sinh Từ năm lớp 8, em đà định hớng đợc cách thực loại toán rút gọn biểu thức toán rút gọn biểu thức thực tốt Đến năm học lớp 9, vận dụng thêm phép toán bậc 2, học sinh thực đợc phép rút gọn biểu thức chứa bậc hai cách nhanh chóng Các kỳ thi tốt nghiệp lớp lớp phụ trách, học sinh đạt điểm trung bình trở lên 100%, có năm đạt điểm giỏi 100% ( Chỉ có học sinh đạt loại khá, lại đạt loại giỏi môn toán) VI CáC TàI LIệU THAM KHảO KHI GIảNG DạY LOạI TOáN RúT GäN BIĨU THøC S¸ch gi¸o khoa líp 8, cải cách Các đề thi tốt nghiệp lớp Quảng Ninh Các đề thi tốt nghiệp lớp Hà Nội Các đề thi tuyển sinh chuyên Hạ Long 36 đề Toán Võ Đại Mau Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi môn toán Võ Đại Mau Bài tập nâng cao đại Vũ Hữu Bình Toán nâng cao chuyên đề toán Nguyễn Ngọc Đạm Luyện tập đại số Nguyễn Bá Hòa 10 Bài tập nâng cao chuyên đề toán Bùi Văn Tuyên NGƯờI VIếT Đề TàI Bùi Thị Thúy Nga 13 ... hớng đợc cách thực loại toán rút gọn biểu thức toán rút gọn biểu thức thực tốt Đến năm học lớp 9, vận dụng thêm phép toán bậc 2, học sinh thực đợc phép rút gọn biểu thức chứa bậc hai cách nhanh... biểu thức toán liên quan Bùi Nga THPT Hòn Gai C MộT Số BàI TOáN Về RúT GọN BIểU THứC Bài 1:( Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Hạ Long năm học 2000 - 2001) y2  3y x  2x Cho biÓu thøc: A = y x... phần sai, rút kinh nghiệm cách trình bày IV.PHạM VI, ĐốI TUợNG NGHIÊN CứU 12 Rút gọn biểu thức toán liên quan Bùi Nga – THPT Hßn Gai Häc sinh khèi líp 8, truờng THPT Hòn Gai V TổNG KếT Và RúT KINH