Header Page of 258 TRUNG TÂM LUYỆN THI VÀ GIA SƯ CHẤT LƯỢNG CAO SĐT: 01234332133 ĐC: Phòng 5, dãy 22 Tập thể xã tắc.TP HUẾ Biên soạn: Ths Trần Đình Cư KĨ THUẬT GIẢI NHANH  Dành cho học sinh luyện thi THPT Quốc Gia  Bồi dưỡng học sinh giỏi 10, 11, 12  Giáo viên giảng dạy, dạy thêm luyện thi Quốc gia TÀI LIỆU DÀNH TẶNG HỌC SINH LỚP TỐN THẦY CƯ Footer Page of 258 Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths.Page Trần2 Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế Header of 258 MỤC LỤC CHỦ ĐỀ HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN VẤN ĐỀ Các tốn điển hình thường gặp VẤN ĐỀ Ứng dụng tọa độ giải tốn hình học khơng gian CHỦ ĐỀ MẶT PHẲNG VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN 10 VẤN ĐỀ Viết phương trình mặt phẳng 11 VẤN ĐỀ Vị trí tương đối hai mặt phẳng 14 VẤN ĐỀ Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, khoảng cách hai mặt phẳng song song Hính chiếu điểm đối xứng 16 VẤN ĐỀ Góc hai mặt phẳng 17 VẤN ĐỀ Ứng dụng giải tốn hình học khơng gian 18 CHỦ ĐỀ MẶT CẦU VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN 20 VẤN ĐỀ Viết phương trình mặt cầu 20 VẤN ĐỀ Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu 20 CHỦ ĐỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN 28 VẤN ĐỀ Viết phương trình đường thẳng 28 Dạng Viết phương trình đường thẳng  (   (P) / / (P) ) qua điểm A vng góc với đường thẳng d 30 Dạng Viết phương trình đường thẳng  qua A, vng góc với d1 cắt d2 30 Dạng Viết phương trình đường thẳng  qua A, song song với (P) cắt d 31 Dạng Viết phương trình đường thẳng d nằm mặt phẳng (P) cắt hai đường thẳng d1, d2 31 VẤN ĐỀ Vị trí tương đối đường thẳng khơng gian 32 Dạng Viết phương trình đường thẳng qua điểm M cắt hai đường thẳng d1 , d2 32 Dạng Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng  cắt hai đường thẳng d1 , d2 33 Dạng Viết phương trình đường vng góc chung d hai đường thẳng chéo 34 VẤN ĐỀ Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng khoảng cách hai đường thẳng chéo 34 Dạng Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng 34 Dạng Khoảng cách hai đường thẳng chéo 35 Dạng Ứng dụng tọa độ giải tốn khơng gian 35 VẤN ĐỀ Các tốn liên quan đường thẳng mặt phẳng 36 Dạng Đường thẳng song song với mặt phẳng 37 Dạng Hình chiếu vng góc điểm lên mặt phẳng 38 Dạng Hình chiếu vng góc đường thẳng lên mặt phẳng 40 Dạng Hình chiếu điểm lên đường thẳng 43 VẤN ĐỀ Các tốn liên quan đường thẳng mặt cầu 53 Page Footer Page of 258 Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths.Page Trần3 Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế Header of 258 CHỦ ĐỀ GĨC TRONG KHƠNG GIAN 57 VẤN ĐỀ Góc tốn liên quan 57 VẤN ĐỀ Sử dụng tọa độ giải tốn hình học khơng gian 58 CHỦ ĐỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 59 VẤN ĐỀ Giải tốn cực trị hình học cách sử dụng bất đẳng thức hình học 59 VẤN ĐỀ Giải tốn cực trị phương pháp hàm số cách sử dụng bất đẳng thức đại số 60 VẤN ĐỀ Giải tốn cực trị phương pháp ứng dụng tâm tỉ cự 62 Dạng Cực trị độ dài vectơ 62 Dạng Cực trị độ dài bình phương vơ hướng vectơ 63 Dạng Cực trị dựa vào tính chất hình học 63 PHỤ LỤC 65 PHỤ LỤC MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRƯỚC KHI THI 65 PHỤ LỤC GIẢI BÀI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BÀNG HAI CÁCH 76 Page Footer Page of 258 Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths.Page Trần4 Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế Header of 258 CHỦ ĐỀ HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN A CƠ SỞ LÝ THUYẾT AB  ( x B  x A , yB  y A , zB  zA ) AB  AB  x  x A    yB  y A    zB  zA  B 2 a  b   a1  b1 , a2  b2 , a3  b3  k.a   ka1 , ka2 , ka3  a  a12  a22  a32  a1  b1  a  b  a2  b2 a  b    a.b  a1 b1  a2 b2  a3 b3 | a | | b | cos a, b a a a a / / b  a  k b   a, b        b1 b2 b3 a  b  a.b   a1 b1  a2 b2  a3 b3  a 10 [a, b]   b  a3 a3 , b3 b3 a1 a1 a2  ,  b1 b1 b2        Trong khơng gian (Oxyz) cho A x A ; y A ; zA ; B xB ; yB ; zB ; C xC ; yC ; zC Ta có: AB   xB  x A ; yB  y A ; zB  zA  AB  AB  x  x A    yB  y A    zB  zA  B 2  x A  xB x   I  y  yB  I trung điểm AB  yI  A  zA  zB  z   I   x A  x B  xC  xG   y  yB  yC  G trọng tâm tam giác ABC  yG  A  zA  zB  zC   zG   Page Footer Page of 258 Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths.Page Trần5 Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế Header of 258 Tính chất tích có hướng a, b     b, a      a, b   a b sin a, b   a, b   a ; a, b   b       Ứng dụng tích có hướng a, b, c đồng phẳng   a, b  c    Diện tích tam giác ABC: S  1 AB, AC    Diện tích hình bình hành ABCD: S   AB, AD   Thể tích tứ diện ABCD: V   1 AB, AC  AD  6 Thể tích hình hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' : V   AB, AC  AA '   Page Footer Page of 258 Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths.Page Trần6 Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế Header of 258 VẤN ĐỀ Các tốn điển hình thường gặp      Ví dụ 1: a  1; m;2 ; b  m  2;2;1 ; c  0; m  2;2  a) Tìm m để a  b b) Tìm m để a, b, c đồng phẳng c) Tìm m để a  b  c ĐS: a) m   ; b)m   ; c)m  6  3       Ví dụ 2: Tìm x, y để ba điểm A 2;0;2 ; B 1;2;3 ; C x; y  3;7 thẳng hàng ĐS: x  13, y  13 Ví dụ Cho tam giác ABC có A(1;2;1), B(5;3;4); C(8;-3;2) a) Chứng minh ABC vng b) Tìm điểm M cho MA  MB  MC nhỏ 2 Hướng dẫn a) AB.BC  b) M ( x; y, z) ; x  4, y  4, z  1 Ví dụ Cho điểm A(1;-1;2), B(2;1;0); C(0;1;-1) Tìm điểm M thuộc trục Oz cho MA2  MB2  MC nhỏ Hướng dẫn: M (0;0; t ); , t  BTTT: Cho điểm A(1;-1;2), B(-1;2;0); C(3;-1;0) Tìm điểm M thuộc trục Oz cho MA2  MB2  MC nhỏ Hướng dẫn: M (0;0; t ); , t  Ví dụ Cho điểm A(1;-1;1), B(2;1;-2); C(0;0;1) Tìm tọa độ trực tâm ABC Hướng dẫn:  AH BC   AH  BC   5 8    BH AC  ĐS : H  ;  ;   BH  AC 9 9     BC , AC , CH đồ n g phẳ n g CH BC; AC      BTTT: Cho điểm A(4;-2;-1), B(1;4;-1); C(1;-2;-7) Tìm tọa độ trực tâm ABC Đáp số: H(3;-1;-2) Ví dụ Cho điểm A(1;2;-1), B(-2;1;3) Tìm M thuộc trục Ox cho AMB có diện tích nhỏ Hướng dẫn M (t;0;0) SAMB  1 1 AM; AB   17t  2t  75, t    2 17 Page Footer Page of 258 Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths.Page Trần7 Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế Header of 258 Ví dụ Cho tam giác ABC có A(-1;0;2), B(0;4;3); C(-2;1;2) Tính độ dài đường phân giác AD tam giác ABC, D  BC Hướng dẫn: DB AB   k suy DB  kDC Suy tọa độ D, sau tính DA DC AC  9 ĐS : D   ; ;   AD   4 BTTT: Cho tam giác ABC có A(1;2;-1), B(2;-1;3); C(-4;7;5) Tính độ dài đường phân giác góc B  17 26  ; ;7  3   Đáp số:   Ví dụ Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết A(0;0;-2), B(1;-4;1); C(2;2;-1) Hướng dẫn:  IA  IB   IA  IB  IC    IA2  IC    AB; AC; MA đồng phẳng    AB; AC  MA   59 14 13  ĐS : I  ;  ;   30 15 30  1   x;3  x;  x  tam giác ABC với A(1;1;3), B(0;5;2);C(-1;3;4) 2  BTTT: Cho điểm M  a) Tìm tọa độ tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC b) Chứng minh với x  , đường thẳng MI vng góc với (ABC) Hướng dẫn: a)Tam giác ABC vuông C  tâm trung điểm AB   MI AB  b)    MI AC    Ví dụ Cho điểm A(-2;2;-1); B(-3;-2;-4); C(5;1;2); D  Oxz Tìm D biết DA=DB VABCD  37 Hướng dẫn: D  (Oxz) nên D(x;0;z) 37 VABCD   15 x  29 z  35  37; DA  DB  DA2  DB  x  3z  10 ĐS : D(1;0; 3) D(4;0; 2) Ví dụ 10 a) Cho hai điểm A(1;2;-1); B(4;3;5) Xác định M thuộc Ox cho M cách A B b) Cho hai điểm A(-4;-1;2); B(3;5;-1) Tìm C biết trung điểm AC thuộc Oy trung điểm BC thuộc (Oxz) Page Footer Page of 258 Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths.Page Trần8 Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế Header of 258 Hướng dẫn: a) M (0;0;4) b) C(a; b; c) ĐS : a  4; b  5; c    Ví dụ 11 Cho điểm A(1;2;4); B(2;-1;0); C(-2;3;-1); M ( x; y; z)  ABC Tìm hệ thức liên hệ x, y, z Tìm tọa độ D biết ABCD hình bình hành diện tích hình bình hành ABCD Hướng dẫn: M   ABC    AB; AC  AM   19 x  17y  8z  29    D(1;0; 5); SABCD  714 Ví dụ 12 Cho tứ diện ABCD, có A(2;3;1); B(1;1;-2); C(2;1;0); D(0;-1;2) Đường cao AH Tìm tọa độ chân đường cao Hướng dẫn:  AH  BC   1  .H  3; ;   AH  BD  2   BH  BC ; BD    Ví dụ 13 Cho điểm A(3;2;-5); B(-2;1;-3); C(5;1;-1) a) Chứng minh ABC nhọn b) Tìm điểm D thuộc (xOy) cho tứ diện ABCD tứ diện trực tâm ( có cặp cạnh đối vng góc với nhau) Hướng dẫn: a)* Chứng minh A, B, C ba đỉnh tam giác * Chứng minh AB2  BC  CA2 , AB  CA  BC , BC  CA  AB b) D( x; y;0)  AB  AC; AD       31 19   Điều kiện ABCD tứ diện trực tâm   AB.CD  .D  ; ;0   7   AB BD    Ví dụ 14 Tam giác ABC có đỉnh A, B, C thuộc trục Ox, Oy, Oz có trọng tâm G(1;2;-1) Tính diện tích tam giác Hướng dẫn: x   A( x;0;0); B(0; y;0); C (0;0; z).G trọng tâm tam giác ABC nên  y   z  3  SABC  3VOABC 27 (h khoảng cách từ O đến (ABC))  h Ví dụ 15 Cho ba điểm A(2;0;0), B(1;1;2), C(3;-1;1) Page Footer Page of 258 Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths.Page Trần9 Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế Header of 258 a) Chứng minh tam giác ABC tam giác vng b) Biết ABC.A’B’C’ hình lăng trụ đứng có cạnh bên AA’, BB’, CC’ A’ mặt   phẳng Oyz Tìm tọa độ A’,B’,C’ Hướng dẫn đáp số a) ABC tam giác vuông A b)A'   Oyz   A '(0; m; p) ABC.A'B'C' hình lăng trụ đứng nên   AB m  2  AA '.AB  AA '     B '(1; 1;2) C '(1; 3;1) p  AA ' AC   AC    Ví dụ 16 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A(1;2;-1); C(3;-4;1), B’(2;-1;3)., D’(0;3;5) a) Tính tọa độ đỉnh hình hộp b) Tính thể tích hình hộp Hướng dẫn đáp số: a)AC có trung điểm I(2;-1;0) B'D' có trung điểm I'(1;1;4); A'(x;y;z) AA '  II '  A '(0;4;3); BB '  II '  B(3; 3; 1) C '(2; 2;5); D(1;1;1;) b) VABCD A ' B 'C ' D '  AA '  AB, AD     BTTT: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A(1;0;1); B’(2;1;1), C(4;5;-5), D’(1;-1;1) Tính tọa độ đỉnh hình hộp Đáp số:  3  5  9  3 B  3; ;   ; D  2; ;   ; A '  0;  ;  ; C '  3; ;   ; 2  2  2  2  Ví dụ 17 Cho điểm A(2;-1;-4); B(-2;3;-4), C(2;m+1;-8) a) Tìm m để tam giác ABC tam giác b) Với giá trị m tìm được, xác định tọa độ điểm S thuộc (Oyz) cho S.ABC hình chóp Đáp số: a) m=2; b) S(0;1;-6) Page Footer Page of 258 Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths.Page Trần10Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế Header of 258 VẤN ĐỀ Ứng dụng tọa độ giải tốn hình học khơng gian Bài Cho S.ABCD có ABCD hình chữ nhật với AB  a, AD  2a, SA  ( ABCD), góc SB với mặt phẳng (ABCD) 600 Lấy M  SA, AM  a , (BCM) cắt SD N Tính VS BCNM     Bài Cho S.ABCD có ABCD hình vng cạnh a, SAD đều, SAD  ABCD Gọi M, N, P trung điểm SB, BC, CD Chứng minh AM  BP VCMNP   Bài Cho S.ABC có SA  ABC , tam giác ABC vng B, AB  a, BD  SA  2a Gọi M trung điểm SC Chứng minh AMB cân M Tính SAMB Bài Cho lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' có đáy tam giác vng, AB  AC  a, AA '  a Gọi M, N trung điểm AA’, BC’ Chứng minh MN đường vng góc chung AA’ BC’ Tính VM A ' BC ' Bài Cho lăng trụ đứng ABCD.A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD hình bình thoi cạnh a, BAD  60 Gọi M, N theo thứ tự trung điểm AA’, CC’ Chứng minh bốn điểm B’, M, D, N thuộc mặt phẳng Tính AA’ theo a để B’MDN hình vng Bài D2010 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA=a; AC Gọi CM đường cao tam giác SAC Chứng minh M trung điểm SA tính thể tích khối tứ diện SMBC hình chiếu vng góc đỉnh S (ABCD) điểm H thuộc AC, AH  theo a Page Footer Page 10 of 258 Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths.Page Trần69Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế Header of 258 x  2x  2y  z  10    Tọa độ tiếp điểm nghiệm hệ:  x  y  z   y  z      Vậy, tọa độ tiếp điểm M(3; 1; 2) Bài Trong khơng gian oxyz cho hai đường thẳng: x  t  (d1) : y  t ; z   x  y   4x  4y  3z 12  (d2) :  Chứng minh (d1) (d2) chéo Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính đoạn vng góc chung (d1) (d2) Hướng dẫn: (d1) qua điểm A(0; 0; 4) có vectơ phương u1  (2; 1; 0) (d2) qua điểm B(3; 0; 0) có vectơ phương u2  (3;  3; 0) AB  (3; 0;  4) ; AB.[u1 ; u2 ]  36   AB, u1 , u2 khơng đồng phẳng Vậy, (d1) (d2) chéo x   t /  / (d2) có phương trình tham số:  y   t z   Gọi MN đường vng góc chung (d1) (d2) M  (d1 )  M(2t; t; 4) , N  (d2 )  N(3  t / ;  t / ; 0)  MN  (3  t /  2t;  t /  t;  4) / /   t /  1 M(2; 1; 4) MN  u1 2(3  t  2)  (t  t)     Ta có:    / / N(2; 1; 0)  MN  u2 t  3  t  2t  (t  t)   Tọa độ trung điểm I MN: I(2; 1; 2), bán kính R  MN  2 2 Vậy, phương trình mặt cầu (S): (x  2)  (y  1)  (z  2)  x  t  Bài Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng: (d1) : y   t ; (d2) : z   t  x  t '  y  3t '  z  t '   Gọi K hình chiếu vng góc điểm I(1; -1; 1) (d2) Tìm phương trình tham số đường thẳng qua K vng góc với (d1) cắt (d1) Hướng dẫn: (d1) có vectơ phương u1  (1; 1; 2) ; (d2) có vectơ phương u2  (1; 3; 1) K(d2 )  K(t / ; 3t /  6; t /  1)  IK  (t /  1; 3t /  5; t /  2) IK  u2  t /   9t /  15  t /    t /  18  18 12   K ;  ;  11  11 11 11  Page 68 Footer Page 69 of 258 Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths.Page Trần70Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế Header of 258 ) H(t;  t;  2t), (H  (d1 )) 56 59  18  HK    t;   t;   2t  11 11  11  18 56 118 26 HK  u1  t t  4t   t   11 11 11 11 30 7   HK   4;  ;    (44;  30;  7) 11 11  11  18   x  11  44  12   y    30 11   z   11  7  Bài Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng  P  : x  2y  2z + = 0;  Q : x  2y  2z -13 = Viết phương trình mặt cầu (S) qua gốc tọa độ O, qua điểm A(5;2;1) tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) (Q) Hướng dẫn: Bài Gọi I(a;b;c) tâm R bán kính mặt cầu (S) Từ giả thiết ta có:    OI  AI  d I ,  P   d I , Q    OI  AI   OI  d I ,  P   d I ,  P   d I , Q        Ta có: OI  AI  OI  AI  a2  b2  c2   a  5   b     c  1 2  10a  4b  2c  30 (1)   OI  d I ,  P   a2  b2  c2  | a  2b  2c  |  a2  b2  c2   a  2b  2c  5 (2)   | a  2b  2c  | | a  2b  2c  13 |  3  a  2b  2c   a  2b  2c  13 (lo¹i)   a  2b  2c  (3) a  b  c    a  b  c  13      d I ,  P   d I , Q   Từ (1) (3) suy ra: b  17 11a 11  4a  ;c (4) Từ (2) (3) suy ra: a  b  c  (5) 2 Page 69 Footer Page 70 of 258 Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths.Page Trần71Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế Header of 258    Thế (4) vào (5) thu gọn ta được: a  221a  658  Như a  a  658 Suy ra: I(2;2;1) R = 221  658 46 67  I ; ;  R=  221 221 221  Vậy có hai mặt cầu thỏa mãn u cầu với phương trình là: 2    46   67   x  2   y  2   z  1   x  658  y  z  9 221   221   221   2 Bài 10 Trong khơng gian với hệ trục Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình x  y  z2  x  4y  6z  11  mặt phẳng ():2x + 2y - z + 17 = Viết phương trình mặt phẳng () song song với () cắt (S) theo giao tuyến đường tròn có chu vi 6 Hướng dẫn: Do () // () nên () có phương trình 2x + 2y – z + D = (D  17) Mặt cầu (S) có tâm I(1; -2; 3), bán kính R = Đường tròn có chu vi 6 nên có bán kính r = R2  r  52  32  Khoảng cách từ I tới () h = Do 2.1  2(2)   D 22  22  (1)2  D  7   5  D  12    D  17 (lo¹i) Vậy () có phương trình 2x + 2y – z - = Bài 11 Trong khơng gian Oxyz, tìm Ox điểm A cách đường thẳng x 1 y z    mặt phẳng (  ) : 2x – y – 2z = 2 Hướng dẫn: Gọi A(a; 0; 0)  Ox (d) : Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (  ) : d ( A;  )  2a 22  12  22  2a (  ) qua M0 (1; 0;  2) có vectơ phương u  (1; 2; 2) Đặt M0 M1  u Do đó: d(A;  ) đường cao vẽ từ A tam giác AM0 M1  d ( A; )  2.SAM M M0 M1 Theo giả thiết: d(A;  ) = d(A; 2a  [ AM0 ; u ] u 8a2  24a  36  ) 8a2  24a  36  4a2  8a2  24a  36  4a2  24a  36  3  4(a  3)   a    Vậy, có điểm A(3; 0; 0) Bài 12 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz Viết phương trình (P) qua O , vng góc với mặt phẳng (Q) : x  y  z  cách điểm M(1;2; 1) khoảng Page 70 Footer Page 71 of 258 Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths.Page Trần72Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế Header of 258 Hướng dẫn: Phương trình mặt phẳng (P) qua O nên có dạng : Ax + By + Cz = với A  B C  Vì (P)  (Q) nên 1.A+1.B+1.C =  A+B+C =  C   A  B (1) 2 Theo đề : d(M;(P)) = A  2B  C 2 2 A  B C   ( A  B  C )2  2( A2  B  C ) (2) Thay (1) vào (2) , ta : 8AB+5 B   B  hay B =  8A  B  C   A Cho A  1,C  1 (P) : x  z  (1) 8A (1) Chọn A = , B = 1 C  (P) : 5x  8y  3z  x 1 y z 1 Bài 13 Cho điểm A(10; 2; -1) đường thẳng d có phương trình Lập phương    B = trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d khoảng cách từ d tới (P) lớn Hướng dẫn: Gọi H hình chiếu A d, mặt phẳng (P) qua A (P)//d, khoảng cách d (P) khoảng cách từ H đến (P) G.sử điểm I hình chiếu H lên (P), ta có AH  HI => HI lớn A  I Vậy (P) cần tìm mặt phẳng qua A nhận AH làm véc tơ pháp tuyến H  d  H (1  2t; t;1  3t) H hình chiếu A d nên AH  d  AH u  (u  (2;1;3) véc tơ phương d)  H (3;1;4)  AH (7; 1;5) Vậy (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) =  7x + y -5z -77 = Bài 14 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A ( ; - ; ) , đường thẳng  mp ( P) có phương trình  : x y2 z   ,(P):x–y+z -5=0 2 Viết phương trình tham số đường thẳng d thỏa điều kiện :đi qua A , nằm ( P) hợp với đường thẳng  góc 450 Hướng dẫn: Gọi ud , u , nP lần lươt vtcp đt d , đt  vtpt mp ( P) Đặt ud  (a; b; c), (a2  b2  c2  0) Vì d nằm ( P) nên ta có : nP  ud => a – b + c =  b = a + c ( ) Theo gt : góc đt 450  Góc vtcp 450  a  2b  2c a2  b2  c2   2(a  2b  c)2  9(a2  b2  c2 ) (2) Page 71 Footer Page 72 of 258 Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths.Page Trần73Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế Header of 258 c  Thay (1) vào ( 2) ta có : 14c  30ac    c   15a  * Với c = : chọn a = b = Ta có ptts d : x = + t ; y = - – t ; z =  x   7t  * Với c = - 15a / chọn a = , c = - 15 , b = -8 ta có ptts d : d :  y  1  8t  z   15t  x y z Bài 15 Trong khơng gian oxyz cho hai đường thẳng d1 :   ; d2 1  x  1  2t  y  t z   t  điểm M(1;2;3) 1.Viết phương trình mặt phẳng chứa M d1 ; Tìm M’ đối xứng với M qua d2 2.Tìm A  d1; B  d2 cho AB ngắn Hướng dẫn: x y z Trong khơng gian oxyz cho hai đường thẳng d :   ; d2 1  x  1  2t  y  t z   t  điểm M(1;2;3) 1.Viết phương trình mặt phẳng chứa M d1 ; Tìm M’ đối xứng với M qua d2 + Phương trình mặt phẳng chứa M d1 … Là (P) x + y – z = + Mp(Q) qua M vng góc với d2 có pt 2x – y - z + = + Tìm giao d2 với mp(Q) H(-1 ;0 ;1) …  Điểm đối xứng M’ M qua d2 M’(-3 ;-2 ;-1) 2.Tìm A  d1; B  d2 cho AB ngắn Gọi A(t;t;2t) B(-1-2t1 ;-t1 ;1+t1) AB ngắn đoạn vng góc chung hai đường thẳng d1 d2  AB.v   3   1 17 18  ; ;  B  ; ;  ……  tọa độ A   35 35 35 35 35 35     AB v   Bài 16 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho điểm I(1;5;0) hai đường thẳng x  t  1 :  y   t  z  1  2t  ; 2 : x y2 z   3 3 Viết phương trình tham số đường thẳng d qua điểm I cắt hai đường thẳng 1  2 Viết phương trình mặt phẳng(  ) qua điểm I , song song với 1  Hướng dẫn: Page 72 Footer Page 73 of 258 Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths.Page Trần74Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế Header of 258 x  t  I(1;5;0) , 1 :  y   t  z  1  2t  2 : x y2 z   3 3 1 có vtcp u1 (1; 1;2) ;và 1 qua điểm M (0;4; 1)  có vtcp u2 (1; 3; 3) ;  qua điểm M2 (0;2;0)  mp(P)chứa 1 điểm I có vtpt n   M1I , u1   (3; 1; 2)    p/t mp(P) : 3x –y - 2z + = ' Tương tự mp(Q) chứa  điểm I có vtpt n (3;-1;2)  p/t mp(Q) : 3x - y + 2z + = *Vì đường thẳng d qua I , cắt 1  , nên d = (P)  (Q)  đường thẳng d có vtcp ud   n, n'  = (1;3;0); d qua điểm I(1;5;0)   x   t  Nên p/t tham số d  y   3t z   *mp(  ) qua điểm I song song với 1  nên (  ) có vtpt n = u1 , u2  =(9;5;-2)    p/t (  ) : 9x + 5y -2z – 34 = Bài 17 Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A( 1; -1; 2), B( 1; 3; 2), C( 4; 3; 2), D( 4; -1; 2) mặt phẳng (P) có phương trình: x  y  z   Gọi A’là hình chiêú A lên mặt phẳng Oxy Gọi ( S) mặt cầu qua điểm A’, B, C, D Xác định toạ độ tâm bán kính đường tròn (C) giao (P) (S) Hướng dẫn: Dễ thấy A’ ( 1; -1; 0) * Giả sử phương trình mặt cầu ( S) qua A’, B, C, D là: x2  y2  z2  2ax  2by  2cz  d  0, a  b  c2  d    2a  2b  d   a   2a  6b  4c  d  14     b  1 Vì A' , B, C, D  S  nên ta có hệ:  8a  6b  4c  d  29  c  1 8a  2b  4c  d  21   d  1 Vậy mặt cầu ( S) có phương trình: x  y  z  5x  y  z   5 2  (S) có tâm I ;1;1 , bán kính R   29 +) Gọi H hình chiếu I lên (P) H tâm đường tròn ( C) +) Gọi ( d) đường thẳng qua I vng góc với (P) Page 73 Footer Page 74 of 258 Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths.Page Trần75Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế Header of 258 (d) có vectơ phương là: n1;1;1 x  /  t  5   H  t;1  t;1  t  Suy phương trình d: y   t 2  z   t  Do H  d   (P) nên: 5 5 1  t   t   t    3t    t    H ; ;  2 3 6 Bà 18 Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho (d ) :  P  : x  2y  z   đường thẳng x 3  y   z  , điểm A( -2; 3; 4) Gọi  đường thẳng nằm (P) qua giao điểm ( d) (P) đồng thời vng góc với d Tìm  điểm M cho khoảng cách AM ngắn Hướng dẫn:  x  2t   Chuyển phương trình d dạng tham số ta được:  y  t  z  t   Gọi I giao điểm (d) (P)  I 2t  3; t  1; t  3 Do I  P  2t   2(t  1)  (t  3)    t   I  1;0;4 * (d) có vectơ phương a(2;1;1) , mp( P) có vectơ pháp tuyến n1;2;1    a, n   3;3;3 Gọi u vectơ phương   u 1;1;1 x   u  Vì M    M  u; u;4  u ,  AM1  u; u  3; u   : y  u z   u  AM ngắn  AM    AM  u  AM.u   1(1  u)  1(u  3)  1.u  u   16  ; ;  Vậy M  3 3 Bài 19 Cho mặt phẳng ( ) : x  y  2z  điểm A(1;2;-1), B(3;1;-2), C(1;-2;1) Tìm điểm M thuộc mặt phẳng ( ) cho: a) MA+MB nhỏ b) |MA-MB| lớn c) MA2  MB2  MC lớn d) MA  MB  MC nhỏ Đáp số:  13 4 a) M  ;1;   ; 5   11  b)M  ; ;1 ; 2  5 2 c)M (2; 2; 2); d )M  ; ;   3 3 Page 74 Footer Page 75 of 258 Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths.Page Trần76Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế Header of 258 Bài 20 Cho đường thẳng d : x 1 y 1 z   điểm A(1;4;2), B(-1;2;4) Tìm điểm M thuộc 1 d cho: a) MA  MB nhỏ b) MA+MB nhỏ MA2  MB2 nhỏ d) AMB nhỏ c) Đáp số:     2    12 38  10    a) M  1;0;4  ; b)M  1;0;4  ; c)M ; ; ; d )M   ; ;   3    7 7  1      Page 75 Footer Page 76 of 258 Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths.Page Trần77Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế Header of 258 PHỤ LỤC GIẢI BÀI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BÀNG HAI CÁCH Bài Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác có cạnh 2a , SA vng góc với (ABC) SA = a Gọi E, F trung điểm cạnh AB, BC Tính góc khoảng cách hai đường thẳng SE AF Hướng dẫn: S Cách 1: Gọi M trung điểm BF  EM // AF  (SA; AF)  (EM; AF)  SEM SE2  SA2  AE  a2  2a2  3a2  SE  a H 2a AF  a A K C F E a ; BF  a 2 SB2  SA2  AB2  a2  8a2  9a2  SB  3a M  EM  BM  MF  B SF2  SA2  AF2  a2  6a2  7a2  SF  a 1 15a2 SB2  SF  2.SM2  BF  9a2  7a2  2SM2  2a2  SM2  2 Áp dụng định lý hàm Cơsin vào 3a2 15a2 3a   ES2  EM2  SM2 2       45o cos   cosSEM   2.ES.EM 2 a .a 2 a AH  (SME) Vì AF // ME  d(SE; AF)  d(AF; (SME))  AH Dựng AK  ME; AH  SK Ta có: AK  MF  1 1 a       AH  2 AH SA AK a a a Vậy, d(SE; AF)  a z a S Cách 2: Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az với A(0; 0; 0), B(a 2; a 6; 0), C(a 2; a 6; 0), S(0; 0; a), a a  a  E ; ;  ; F(0; a 6; 0);M  ; a 6;          C A x F E M y B Page 76 Footer Page 77 of 258 Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths.Page Trần78Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế Header of 258 a a  a  SE   ; ;  a  ; AF  (a; a 6; 0), SM   ; a 6;  a      cos   cos(SE; AF)  a a  a 0(a) 3a2 2    45o   a 6.a a2 3a2  6a2    a2 2  a2 a2  a2 a2 [SE; SM]   ; 0; ( 2; 0; 1)  n, với n  ( 2; 0; 1)   2  2 Phương trình mặt phẳng (SEM) qua S với pháp vectơ n : Khoảng cách từ A đến (SEM): d(A;SEM)  00a 1  2x  z  a  a Vì AF // EM  AF //(SEM)  d(SE; AF)  d(A; SEM) Vậy, d(SE; AF)  a Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, AB = a, BC = 2a, cạnh SA vng theo a Hướng dẫn: Cách 1: Ta có: SA  (ABC)  SA  AC vng A có AM trung tuyến nên MA  S SC M SA  (ABC) Ta lại có:  AB  BC (ABC vuông B)  SB  BC (định lý đường vng góc) tuyến nên MB  SC Suy ra: MA = MB  Dựng MH // SA HK // BC (H  AC; K  AB) A C H K M B  MH  SA  a  SA  (ABC) MH  (ABC)     vì:  BC  AB HK  AB HK  BC  a  z 2a S MK2  MH2  HK2  a2  a2  2a2  MK  a M H A Footer Page 78 of 258 a K x C Page 77 a B y Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths.Page Trần79Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế Header of 258 1 a2 SMAB  MK.AB  a 2.a  2 AC2  AB2  BC2  a2  4a2  5a2  AC  a Cách 2: AB2 a2 a ;   AC a 5 2a  BH  Dựng BH  AC (H  AC), ta có: AH  1    2 2 BH AB BC 4a Dựng hệ trục tọa vng góc Axyz, với Ax, Ay, Az đơi vng góc  2a a  A(0; 0; 0), C(0; a 5; 0), S(0; 0; 2a), B  ; ; 0  5   Tọa độ trung điểm M SC M  0;   a  ; a  a  3a 3a  2a 3a  ; a   MA  ; MB    ; ; a   MB   2 5   Ta có: MA   0;  suy ra: MA = MB   a2 2a2  Ta có: [MA; MB]   ; ; a   [MA; MB]  a2   SMAB  1 a2 [MA; MB]  a2  2 Bài Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC có cạnh a, mặt bên tạo với đáy góc  (0o    90o ) Tính thể tích khối hình chóp S.ABC khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC) Cách 1: Gọi H trung điểm BC trùng với giao điểm ba đường cao trực tâm O nên chân đường cao đỉnh S Suy ra: BC  SH, BC  AH, nên SHA   Ta có: OH  a AH  SHO vng góc: SO  HO.tg  a HO a tg SH   cos  6.cos  1 a a2 a3tg tg  Thể tích hình chóp S.ABC: V  SO.SABC  3 24 a2 SSBC  SH.BC  12.cos  Gọi h khoảng cách từ A đến (SBC), ta có: 3.V a3tg a2 a V  h.SSBC  h   :  sin  SSBC 24 12 cos  Page 78 Footer Page 79 of 258 Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths.Page Trần80Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế Header of 258 Cách 2: Vì S.ABC hình chóp nên chân đường cao đỉnh S trùng với tâm O đường tròn (ABC) Gọi M trung điểm BC Ta có: z S a a OM  AO  AM  3 C AM  BC, SM  BC  SMA   : SO  OM.tg   M y A O a tg B x Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az đơi vng góc, A(0; 0; 0), a a   a a   a   a   a a  B ; ;  ,C   ; ;  ,M  0; ;  , O  0; ;  , S  0; ; tg  2   2        3           a3tg SO.SABC  24  a a a  Ta có: BS    ;  ; tg  , BC  (a; 0; 0) 6   Thể tích hình chóp: V   a2 a2  [BS; BC]   0;  tg;  n 6   Phương trình mặt phẳng (SBC) qua B với vectơ pháp tuyến n :   a  a2 a  a2 a 0 x    tg  y  (z  0)   (SBC) : tgy  z  tg     2 6    tg.O  O  Khoảng cách d từ A đến (SBC): d  a tg tg2  a tg a   sin  cos  Bài Cho hình lập phương ABCD A'B'C'D' cạnh a M, N trung điểm AB C'D' Tính khoảng cách từ B' đến (A'MCN) / / / / Cách 1: Bốn tam giác vng AA M, BCM, CC N, A D N (c.g.c)  A/ M  MC  CN  NA/  A/ MCN hình thoi Hai hình chóp B/A/MCN B/.A/NC có chung đường cao vẽ từ D/ đỉnh B/ SA/ MCN  2.SA/ NC nên: VB/ A/ MCN  2.VB/ A/ NC Mà: 1 a3 VB/ ANC  VC.A / B/ N  CC/ SA /B/N  a .a.a  3 a  VB/ A/ MCN  A/ C/ N B/ D A M C B Page 79 Footer Page 80 of 258 Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths.Page Trần81Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế Header of 258 Ta có: SA/ MCN  / A C.MN, với / / A C  a 3; MN  BC  a  SA/ MCN a2  Gọi H hình chiếu B/ (A/MCN), ta có: VB/ A/ MCN   B/ H  3.VB/ A/ MCN SA/ MCN  / B H.SA/ MCN a3 a2 a :  3 Cách 2: Chọn hệ trục Dxyz, với Dx, Dy, Dz đơi vng góc, A(a; 0; 0), B(a; a; / / / / D(0; 0; 0), A (a; 0; a), B (a; a; a), C (0; a; a), D (0; 0; a), 0), C(0; a; 0), z  a   a  M  a; ;  , N  0; ; a      / a D C/ N A/ Ta có: A/ C  (a; a;  a), MN  (a; 0; a) [A / C; MN]  (a2 ; 2a2 ; a2 )  a2 (1; 2; 1) C a y D  a2 n với n  (1; 2; 1) A a Phương trình mp (A MCN) qua C(0; a; 0) với pháp vectơ n : M B x / 1(x  0)  2(y  a)  1(z  0)   (A/ MCN) : x  2y  z  2a  Khoảng cách d từ B/(a; a; a) đến mp(A/MCN): d  a  2a  a  2a 1 1  2a a  Bài Tính thể tích hình chóp S.ABC, biết đáy ABC tam giác cạnh a, mặt bên (SAB) v Cách 1:Dựng SH  AB S Ta có: (SAB)  (ABC), (SAB)  (ABC)  AB, SH  (SAB)  SH  (ABC) SH đường cao hình chóp Dựng HN  BC, HP  AC B  SN  BC, SP  AC  SPH  SNH   N H  HN = HP HP  HA.sin 60o  SH  HP.tg  a   C P A a tg 1 a a2 a3 tg  tg Thể tích hình chóp S.ABC : V  SH.SABC  3 4 16 Page 80 Footer Page 81 of 258 Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths.Page Trần82Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế Header of 258 Cách 2: Dựng SH  AB Ta có: (SAB)  (ABC), (SAB)  (ABC)  B, SH  (SAB)  SH  (ABC) Vì (SAC) (SBC) Dựng hệ trục tọa độ Hxyz, với Hx, Hy, Hz đơi vng góc, H(0; 0; 0), a   a  A  ; 0;  ; B   ; 0;  , 2     a  C  0; ;  , S(0; 0; h), (h  0)   z h S Phương trình mp (ABC): z = 0, với pháp vectơ n1  (0; 0;1) Phương trình mp (SAC): B x y z   1 a a h  (SAC) : 2h 3x  2hy  a 3z  ah  A với n2  (2h 3; 2h; a 3) cos   C H x 00a   12h2  4h2  3a2  y a a a 16h2  3a2 16h2  3a2   tg   cos2  3a2 3a2 tg2 a h   h tg 16  Thể tích hình chóp S.ABC: V  1 a a2 a3 h.SABC  tg  tg 3 4 16 Bài Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác cân với AB = AC = a, góc BAC  120o cosin góc hai mặt phẳng (ABC) (AB'I) Hướng dẫn: Cách 1: Gọi H trung điểm BC  AH  BC  AH  a a  BC  a IB/ C/ vng có: a2 13a2 IB/  IC/  B/ C/   3a2  4 B/ C/ A/ BH  a2 5a2 AI  IC  AC   a  4 2 I H B 30 C o A Page 81 Footer Page 82 of 258 Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths.Page Trần83Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế Header of 258 /2 Ta có: AI  AB a) /  5a2 13a2  2a2   IB/ (AB/ đường chéo hình vng AA/B/B cạnh 4 I vng A Ta có: SAB/ I  1 a a2 10 1 a a2 ; SABC  AH.BC  a  AI.AB/  a  2 2 I), theo cơng thức chiếu, ta có: / cos   SABC a2 a2 10 30  :  SAB/ I 4 10 Cách 2: Gọi H trung điểm BC  AH  BC a  AH  C/ z A/ B/ a a  BC  a BH  2 I C A Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az đơi vng góc, A(0; 0; 0), z 60o H y B a a   a a  / a a  / a a  B ; ; , C  ; ;  , A (0; 0; a), B/  ; ; a , C   ; ; a ,  2   2   2   2           a a a I  ; ;   2 2   a a   a a a / AB   ; ; a  , AI    ; ;  2 2 2    / Ta có: AB AI  a  a 3 a a a 3a2 a2 2a2     a     0    2 4 /  AB  AI / I vng A Phương trình mp(ABC): z = có pháp vectơ n1  (0; 0; 1) / mp (AB/I) có cặp vectơ phương AB , AI , nên có pháp vectơ:  a2 3a2 2a2  a2 a2 [AB ; AI]    ;  ;    (1; 3;  3)   n 4  4  / với n2  (1; 3;  3) cos   002   1  27  12 /  I), ta có: 30  10 40 Page 82 Footer Page 83 of 258 ... 57 VẤN ĐỀ Sử dụng tọa độ giải tốn hình học khơng gian 58 CHỦ ĐỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 59 VẤN ĐỀ Giải tốn cực trị hình học cách sử... giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths.Page Trần1 0Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế Header of 258 VẤN ĐỀ Ứng dụng tọa độ giải tốn hình học khơng gian Bài...  BTTT: Cho điểm A(4 ;-2 ;-1 ), B(1;4 ;-1 ); C(1 ;-2 ;-7 ) Tìm tọa độ trực tâm ABC Đáp số: H(3 ;-1 ;-2 ) Ví dụ Cho điểm A(1;2 ;-1 ), B (-2 ;1;3) Tìm M thuộc trục Ox cho AMB có diện tích nhỏ Hướng dẫn M (t;0;0)