Chương III : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Bài : Biên soạn Phạm Quốc Khánh Chương trình thay sách giáo khoa 2008 Click I Véc tơ pháp tuyến mặt phẳng Định nghĩa : r r Cho mặt phẳng (α) Nếu vectơ a ≠ có giá vng góc với mặt phẳng (α) r n gọi vectơ pháp tuyến (α) r r Chú ý : Nếu n vectơ pháp tuyến mặt phẳng k n ( k ≠ ) vectơ pháp tuyến mặt phẳng Bài tốn : Trong khơng gian Oxyz cho mặt phẳng (α ) vectơ không phương r r a = ( a1 ; a2 ; a3 ) ; b = ( b1 ; b2 ; b3 ) có giá song song nằm mặt phẳng (α ) Chứng minh mặt phẳng (α ) nhận vectơ : r n = ( a2b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a2b1 ) làm vectơ pháp tuyến rr Giải : Ta có : a n = a ( a b − a b ) + a ( a b − a b ) + a ( a b − a b ) 3 2 1 3 2 = a1a2b3 − a1a3b2 + a2 a3b1 − a2 a1b3 + a3 a1b2 − a3a2b1 =0 rr Tương tự : b n = Click r Vậy vectơ n r r vng góc với hai vectơ a & b Có nghĩa giá vng góc với đường r thẳng cắt mp (α ) Suy giá n vng góc với mp (α ) r r a & b không phương nên r tọa độ r n khôngrđồng thời r Suy n ≠ Nên n vectơ pháp tuyến mặt phẳng (α ) Vectơ r n xáx định r n r b r a u r b' u u r a' α gọi tích có hướng ( Tích vectơ ) r r r r r a & b ký hiệu : vectơ n = a∧b r r r hay : n = a,b    Áp dụng : Trong kg Oxyz cho điểm A(2;-1;3) B(4;0;1) C(-10;5;3) Hãy tìm tọa độ vectơ pháp tuyến mp (ABC) r n = ( a2b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a2b1 ) Giải : uu ur r uu uu ur ur AB = ( 2;1; −2 ) ⇒ n = AB ∧ AC = ( 1.0 − ( −2 ) ; ( −1) ( −12 ) − 2.0; 2.6 − ( −12 ) ) uu ur Click AC = ( −12;6;0 ) = ( 12;12; 24 ) = 12 ( 1;1; ) II Phương trình tổng qt mặt phẳng : Bài tốn : Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (α ) qua điểm M0(x0 ; y0 ; z0) nhận r n ( A; B; C ) làm vectơ pháp tuyến Chứng minh điều kiện cần đủ để điểm M (x ; y ; z) thuộc mặt phẳng (α ) : A(x – x0) + B(y – y0) + C (z – z0) = Giải : Ta có : uuu u uu r M M = ( x − x0 ; y − y0 ; z − z0 ) r n M ∈ ( α ) ⇔ M 0M ∈ ( α ) r uuu u uu r ⇔ n ⊥ M 0M r uuu u uu r ⇔ n.M M = ⇔ A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = M α M0 Click Bài toán : Trong không gian Oxyz , chứng minh tập hợp điểm M(x ; y ; z) thõa mãn phương trình : Ax + By + Cz + D = (trong A , B , C khơng đồng thời r 0)một mặt phẳng nhận vectơ n ( A; B; C ) làm vectơ pháp tuyến Giải : Ta lấy điểm M = ( x0 ; y0 ; z0 ) D ; y0 = z = A Gọi (α) mặt phẳng qua M0 nhận Thì ta lấy Ta có : Ax0 + By0 + Cz0 + D = A ≠ cho x0 = − r n = ( A; B; C ) làm vectơ pháp tuyến M ∈ ( α ) ⇔ A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) ⇔ Ax + By + Cz + ( Ax0 + By0 + Cz0 ) = ⇔ Ax + By + Cz + D { =0 Ax0 + By0 + Cz0 Từ tốn có định nghĩa sau : Click Định nghĩa : Phương trình có dạng : Ax + By + Cz + D = , A , B , C không đồng thời , gọi phương trình tổng quát mặt phẳng Nhận xét : a) Nếu mặt phẳng (α) có phương trình tổng quát Ax + By + Cz + D = có r vectơ pháp tuyến : n ( A; B; C ) r r b) Phương trình mặt phẳng qua M0(x0 ; y0 ; z0) nhận vectơ n ( A; B; C ) ≠ làm vectơ pháp tuyến : A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = Áp dụng : Hãy tìm vectơ pháp tuyến mp : 4x – 2y – 6z + = r n ( 4; −2; −6 ) Giải : Lập phương trình tổng quát mp(MNP) với M(1;1;1) N(4;3;2) P(5;2;1) Giải : Phương trình mp qua M ; N ; P thõa A + B + C + D =  4 A + 3B + 3C + D = 5 A + B + C + D =  4 A + B =  ⇔ 3 A + B + C = A − B − C =  Vậy có x - 4y + z - =  B = −4 A ⇔ C = A Click Các trường hợp riêng : Trong không gian Oxyz cho mp (α) : Ax + By + Cz + D = (1) z a) Nếu D = Thì gốc tọa độ O có tọa độ thõa mãn phương trình mặt phẳng (α) Vậy (α) qua gốc tọa độ O α) b) Nếu hệ số A , B , C O ví A = Thì mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến Ax + By + Cz = r rr r x n ( 0; B; C ) Ta có n.i = i vectơ phương Ox , nên suy (α) song song chứa trục Ox z α) O z z y O y α) α) x By + Cz + D = x Ax + Cz + D = y x O y Ax + By + DClick =0 * Áp dụng : Nếu B = ; C = mp (α ) có đặc điểm ? B = (α) song song chứa trục Oy ⇒ (α ) song song chứa Oy Oz C = (α) song song chứa trục Oz c) Nếu hệ số A , B , C Ví dụ A = B = C ≠ suy (α) song song chứa trục Ox ; Oy Vậy (α) song song trùng mp(Oxy) z z − z D C O y O − y D y B O − x Cz + D = x By + D = x D A Ax + D = * Nếu A = C = B ≠ B = C = A ≠ mp (α) có đặc điểm ? Xem hình thứ thứ để nêu đặc điểm Click Nhận xét : * Nếu hệ số A , B , C , D khác cách đặt a = − Thì dưa phương trình (1) dạng : x y z + + =1 a b c (2) Khi mặt phẳng (α ) cắt trục Ox , Oy , Oz điểm có tọa độ ( a ; ;(0) b ; 0) (0 ; ; c) 0; D D D ;b = − ; c = − A B C z c Người ta cịn gọi phương trình (2) phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn b Ví dụ : Trong không gian Oxyz cho điểm M(1;0;0) N(0;2;0) P(0;0;3) Hãy viết phương trình mặt phẳng (MNP) O y a x * Giải : Áp dụng phương trình mp đoạn chắn có : Hay x y z + + =1 6x + 3y + 2z - = Click III Điều kiện để hai mặt phẳng song song , vng góc : Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (α ) (β ) có phương trình : (α ) : x – y + 3z + = (β ) : 2x – 4y + 6z + = Có nhận xét vectơ pháp tuyến chúng ? Vectơ pháp tuyến (α) ; (β) : Vậy : uu ur n( α ) = ( −2; ) ; uu ur n( β ) = ( 2; −4; ) = ( −2; ) ; uu ur uu ur n( β ) = 2.n( α ) Và tích có hướng chúng : r uu ur uu ur  −2 n = n( α ) ∧ n( β ) =   −4 Tổng quát : ; ; −2  ÷= −4  ( 0; 0; ) Trong không gian Oxyz cho hai mp (α1) ; (α2) có phương trình : (α1) : A1x + B1 y + C1z + D1 = ; (α2) : A2x + B2 y + C2z + D2 = Có vectơ pháp tuyến : u r n1 = ( u u r A ; B1 ; C1 ) ; n2 = ( A2 ; B2 ; C2 ) Ta xét điều kiện để hai mp (α 1) (α2) song song vng góc Click Điều kiện để hai mặt phẳng song song : u r n1 Ta nhận thấy hai mp (α 1) (α2) song song trùng chúng vuông góc với đường u thẳng u Nghĩa hai vectơ r u r n1 ; n2 pháp tuyến chúng phương Có : α1) u u r n2 u r u u r n1 = k n2 • Nếu D1 = k D2 (α 1) (α2) trùng • Nếu D1 ≠ k D2 (α 1) (α2) song song α2) Vậy có kết luận sau : ( α1 ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = ( α2 ) ( α1 ) // ( α ) ( α1 ) ≡ ( α ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = u r u u r  n1 = k n2   ( A ; B1 ; C1 ) = k ⇔  ⇔   D1 ≠ kD2  D1 ≠ kD2   u r u u r  n1 = k n2   ( A ; B1 ; C1 ) = k ⇔  ⇔   D1 = kD2  D1 = kD2   ( A2 ; B2 ; C2 ) ( A2 ; B2 ; C2 ) Click Chú ý : Hai mp (α 1) (α2) cắt u r u u r ⇔ n1 ≠ k n2 u r n1 Ví dụ : Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua M(1;-2;3) song song với mặt phẳng (β ) : 2x – 3y + z + = α1) u u r n2 Giải : α2) Vì mp (α) // (β) nên có vectơ pháp tuyến : uu ur n( α ) = ( 2; −3;1) Vì mp (α) qua điểm M(1;-2;3) nên có phưoơng trình : (α) : 2(x – 1) – 3(y + 2) + (z – 3) = hay (α) : 2x – 3y + z – = Click Điều kiện để hai mặt phẳng vng góc : Hai mp (α 1) (α2) vng góc với r u u u r n1 & n2 Khi hai vectơ pháp tuyến tương ứng vng góc với u r α1) u r n1 u u r Vậy : ( α1 ) ⊥ ( α ) ⇔ n1 n2 = u u r n2 ⇔ A A2 + B1 B2 + C1C2 = Ví dụ : Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua điểm M(3;1;-1) ; N(2;-1;4) vng góc với mặt phẳng (β ) : 2x – y + 3z - = α2) Giải : Vì mp (α) ⊥ (β) nên song song chứa vectơ pháp tuyến uu ur n( β ) = ( 2; −1; 3) uu uu r MN = ( −1; −2; ) mp (α) qua M , N nên chứa uu uu ur uu u u r ur Vậy mp (α) có vectơ pháp tuyến : n( α ) = MN ∧ n( β ) = ( −1; 3; ) Do mp (α) có phương trình : (α) : -1(x – 3) +3(y – 1) + 5(z + 1) = ⇔ x – 13 y – z + = Click IV Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng : Định lí : Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (α ) : Ax + By + Cz + D = điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0) Khoảng cách từ M0 đến mp(α) : d ( M ; (α ) ) = Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + B + C Chứng minh : M0 Gọi M1(x1 ; y1 ; z1) hình chiếu vng góc M0 mp(α) u u ur uuu Xét r véctơ M M = ( x0 − x1 ; y0 − y1 ; z0 − z1 ) n = ( A; B ; C ) phương Suy : u u ur r uuu u u ur r uuu M M n = M 1M n = A ( x0 − x1 ) + B ( y0 − y1 ) + C ( z − z1 ) α) = Ax0 + By0 + Cz0 + ( − Ax1 − By1 − Cz1 ) mà M1 ∈ (α) nên : Ax1 + By1 + Cz1 + D = Thế (2) vào (1) có r n M1 ( 1) Vậy D = - Ax1 – By1 – Cz1 (2) u u ur r uuu M M n = Ax0 + By0 + Cz0 + D Gọi d(M0 ; (α)) = M0 M1 = Ax0 + By0 + Cz0 + D r n Click Ví dụ : Tính khoảng cách từ gốc tọa độ từ điểm M(1;-2;13) đến mặt phẳng (α ) : 2x – 2y – z + = Giải : Áp dụng cơng thức có : d ( 0; ( α ) d ( ) M ;( α ) = ) = 2.0 − 2.0 − 1.0 + 2 + ( −2 ) + ( −1) = =1 2.1 − ( −2 ) − 1.13 + 2 + ( −2 ) + ( −1) = Tính khoảng cách hai mặt phẳng song song (α ) : x + 2y + 2z + 11 = (β ) : x + 2y + 2z + = Ví dụ : Lấy điểm mp (α) ví dụ M(0 -11 ; ; 0) Tính Giải : d ( M ;( β )) = ( −11) + 2.0 + 2.0 + 12 + ( ) + ( 2) = =3 Áp dụng : Tính khoảng cách hai mặt phẳng song song (α ) : x - = d ( M ;( β )) = (β ) : x – = ( ) − 12 + ( ) + ( 0) = =6 Click Bài tập trắc nghiệm : (1) : Cho mặt phẳng (α ) qua điểm M(0;0;-1) song song với giá vectơ r r Phương trình mặt phẳng (α ) : a = ( 1; −2; ) & b = ( 3; 0; ) A : 5x – 2y – 3z – 21 = B : – 5x + 2y + 3z + = C : 10x – 4y – 6z + 21 = D : 5x – 2y – 3z + 21 = (2) : Cho điểm A(0;2;1) B(3;0;1) C(1;0;0) Phương trình mp (ABC) : A : 2x – 3y – 4z + = B : 2x + 3y – 4z – = C : 4x + 6y – 8z + = D : 2x – 3y – 4z + = Click (3) : Gọi (α ) mp cắt ba trục tọa độ điểm A(8;0;0) B(0;-2;0) C(0;0;4) Phương trình mặt phẳng (α ) : A C x y z + + =0 −2 B x − y + 2z = (4) : Cho mặt phẳng (α ) : x + y + 2z + = D x y z + + =1 −1 x − y + 2z − = (β ) : x + y – z + = (ϕ ) : x – y + = Trong mệnh đề sau , mệnh đề sai ? A (α) ⊥ ( β ) B (ϕ) ⊥ ( β ) C ( α ) // ( ϕ ) D (α) ⊥ (ϕ) Click V Bài tập : Bài tập nhà 1;2;3;4;5;6 ;7;8;9;10 trang 80 ; 81 sgk hh12 - 2008 ... vectơ r r Phương trình mặt phẳng (α ) : a = ( 1; ? ?2; ) & b = ( 3; 0; ) A : 5x – 2y – 3z – 21 = B : – 5x + 2y + 3z + = C : 10x – 4y – 6z + 21 = D : 5x – 2y – 3z + 21 = (2) : Cho điểm A(0 ;2; 1) B(3;0;1)... điểm M(1; -2; 13) đến mặt phẳng (α ) : 2x – 2y – z + = Giải : Áp dụng cơng thức có : d ( 0; ( α ) d ( ) M ;( α ) = ) = 2. 0 − 2. 0 − 1.0 + 2 + ( ? ?2 ) + ( −1) = =1 2. 1 − ( ? ?2 ) − 1.13 + 2 + ( ? ?2 ) + (... a2b1 ) Giải : uu ur r uu uu ur ur AB = ( 2; 1; ? ?2 ) ⇒ n = AB ∧ AC = ( 1.0 − ( ? ?2 ) ; ( −1) ( − 12 ) − 2. 0; 2. 6 − ( − 12 ) ) uu ur Click AC = ( − 12; 6;0 ) = ( 12; 12; 24 ) = 12 ( 1;1; ) II Phương trình