ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - ĐINH VĂN TUYÊN CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG TAM GIÁC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - ĐINH VĂN TUYÊN CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG TAM GIÁC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chủ tịnh hội đồng bảo vệ Người hướng dẫn khoa học PGS.TS VŨ ĐỖ LONG TS.Lê Đình Định Hà Nội - 2016 STT MỤC LỤC 01 Lời cảm ơn…………………………………………………………………….02 Lời nói đầu…………………………………………………………………….03 Bố cục luận văn………………………………………………… 04 Một số ký hiệu dùng luận văn……………………………………… 07 Chƣơng Kiến thức chuẩn bị………………………………………………08 1.1 Các đẳng thức tam giác……………………………….08 1.2 Một số bất đẳng thức đại số bản……………………………… 12 1.3 Các bất đẳng thức tam giác………………………… 15 Chƣơng Các toán cực trị tam giác…………………………….17 2.1 Một số phƣơng pháp giải toán cực trị tam giác…… 17 2.1.1 Dùng phương pháp Vectơ ……………………………………… 18 2.1.2 Dùng phương pháp tam thức bậc hai…………………………… 21 2.1.3 Dùng phương pháp đạo hàm ……………………………………….29 2.1.4 Dùng bất đẳng thức đại số bản…………………………… 33 2.2 Một số toán cực trị tam giác……………………………….44 Chƣơng Cách xây dựng toán cực trị tam giác………… 55 Kết luận…………………………………………………………………… 77 Tài liệu tham khảo………………………………………………………… 78 LỜI CẢM ƠN Tôi xin trân trọng cảm ơn TS Lê Đình Định người thầy trực tiếp giảng dạy, hướng dẫn tạo điều kiện giúp hoàn thành luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo sau Đại học Trường Đại học Khoa học tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội thầy giáo, cô giáo trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ suốt trình học tập trường Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến người thân, bạn bè tất người giúp đỡ, động viên suốt trình học tập hoàn thành luận văn LỜI NÓI ĐẦU Các toán cực trị tam giác phần quan trọng toán sơ cấp, có nhiều điểm chung với Bất đẳng thức tam giác phương pháp giải Có nhiều dạng toán thuộc loại khó liên quan tới chuyên đề Điểm khác biệt quan trọng toán cực trị tam giác toán bất đẳng thức tam giác là: toán bất đẳng thức tam giác biết trước đích ta phải đến (tức biết hai vế), toán cực trị tam giác không Ví dụ: a (về toán bất đẳng thức tam giác): Cho tam giác ABC , chứng minh cos A  2cos B  cos C  b.(về toán cực trị tam giác): Cho tam giác ABC , tìm giá trị lớn biểu thức M  cos A  2cos B  cos C toán cực trị tam giác có độ phức tạp toán bất đẳng thức tam giác Tuy nhiên, nắm vững phương pháp giải toán bất đẳng thức tam giác dễ dàng làm toán cực trị tam giác, ngược lại Trong kì thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic toán quốc tế, toán liên quan đến Các toán cực trị tam giác hay đề cập thuộc loại khó Các toán chứng minh bất đẳng thức, cực trị tam giác hay nhận dạng tam giác đề cập nhiều tài liệu bồi dưỡng giáo viên học sinh chuyên toán bậc trung học phổ thông Các kết nghiên cứu nội dung đến tương đối đầy đủ hoàn thiện Chính để có kết có ý nghĩa nội dung việc làm khó thân Tuy nhiên, với nỗ lực nhận thức thân, luận văn cung cấp số kiến thức đẳng thức bất đẳng thức tam giác, hệ thống số phương pháp việc giải toán cực trị tam giác, nêu số toán cực trị tam giác Đồng thời đưa số cách xây dựng toán cực trị tam giác Trong trình hoàn thành luận văn tác giả không ngừng nỗ lực để học hỏi, tìm tòi sưu tầm toán cực trị tam giác Tuy nhiên, hiểu biết thân, điều kiện thời gian khuân khổ luận văn thạc sĩ, nên chắn trình nghiên cứu không tránh khỏi khiếm khuyết Tác giả mong dạy thầy (cô) giáo quí bạn đọc để luận văn thêm hoàn thiện Bố cục luận văn bao gồm: Chƣơng Kiến thức chuẩn bị Chương gồm định lí, công thức số đẳng thức, bất đẳng thức tam giác như: định lí hàm số sin, định lí hàm số cos, công thức tính diện tích tam giác, công thức tính bán kính, công thức đường trung tuyến, công thức đường phân giác, công thức hình chiếu, số đẳng thức tam giác, số bất đẳng thức đại số thường gặp, số bất đẳng thức tam giác Chƣơng Các toán cực trị tam giác Gồm phần: Phần 1: Sử dụng tính chất tích vô hướng    a) a b  a.b  n  b)      i 1  để giải toán tìm cực trị tam giác Phần 2: Sử dụng tính chất dấu tam thức bậc hai Cho f  x   ax  bx  c a)    af  x   0; x   b) Nếu  cho: af        x1 ; x2  để giải toán tìm cực trị tam giác Phần 3: Sử dụng đạo hàm để giải toán tìm cực trị tam giác Phần 4: Dùng bất đẳng thức để giải toán cực trị tam giác Phần 5: Nêu số toán cực trị tam giác Chƣơng Cách xây dựng toán cực trị tam giác Trong chương tác giả dùng kiến thức phổ thông, đẳng thức bất đẳng thức tam giác, bất đẳng thức biết, bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacopsky, bất đẳng thức Trêbưsep, bất đẳng thức Jensen … để xây dựng lên toán cực trị tam giác Ngày … tháng 12 năm 2016 Học viên Một số ký hiệu dùng luận văn 1) ABC : tam giác ABC A;B;C: đỉnh, đồng thời số đo ba góc tam giác ABC a; b;c: số đo độ dài ba cạnh BC; AC; AB 2) ; hb ; hc : độ dài đường cao tương ứng cạnh a; b; c 3) la ; lb ; lc : độ dài đường phân giác tương ứng cạnh a; b; c 4) ma ; mb ; mc : độ dài đường trung tuyến tương ứng cạnh a; b; c 5) ; rb ; rc : bán kính đường tròn bàng tiếp tương ứng góc:A;B;C 6) R; r: bán kính đường tròn ngoại tiếp nội tiếp tam giác ABC 7) p; S: thứ tự nửa chu vi diện tích tam giác ABC 8) Min; max: giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn 9)  : với 10) CMR: chứng minh 11) Đpcm: Điều phải chứng minh 12)  ;  ;  : tập số thực, tập số nguyên, tập số tự nhiên Chƣơng Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các đẳng thức tam giác 1.1.1 Các định lí công thức tam giác 1.1.1.1 Định lý hàm số sin : a b c    2R sin A sin B sin C 1.1.1.2 Định lý hàm số cos : a2  b2  c2  2bc.cos A b2  a  c2  2ac.cos A c2  a  b2  2ab.cos A 1.1.1.3 Định lý hàm số tan : A B tan a b  a  b tan A  B B C bc  b  c tan B  C tan CA ca  C  A c  a tan tan 1.1.1.4 Công thức tính diện tích tam giác SABC  1 ah a  bhb  chc 2   1 ab.sin C  bc.sin A  ca.sin B 2 abc  pr  ( p  a)ra  ( p  b)rb  ( p  c)rc 4R  2R2 sin A sin B sin C  p( p  a)( p  b)( p  c) 10 (công thức He - ron) 1.1.1.5 Công thức bán kính: - Bán kính đường tròn ngoại tiếp: R a b c abc    2sin A 2sin B 2sin C 4S - Bán kính đường tròn nội tiếp: r  ( p  a) tan A B C S  ( p  b) tan  ( p  c) tan  2 p - Bán kính đường tròn bàng tiếp:  p tan A S  pa rb  p tan B S  p b rc  p tan C S  pc 1.1.1.6 Công thức đƣờng trung tuyến ma  b2  c a  mb  c  a b2  mc  a  b2 c2  1.1.1.7 Công thức phân giác lb  2ca B cos ca lc  2ab C cos ab la  2bc A cos bc 1.1.1.8 Công thức hình chiếu a  b.cos C  c.cos B  r (cot B C  cot ) 2 11 b  a.cos C  c.cos A  r (cot A C  cot ) 2 c  a.cos B  b.cos A  r (cot B A  cot ) 2 Chứng minh ( Xem [1] ) 1.1.2 Một số đẳng thức tam giác Trong ABC ta có: A B 1.1.2.1 sin A  sin B  sin C  4cos cos cos C 1.1.2.2 sinh A  sin 2B  sin 2C  4sin A sin B sin C 1.1.2.3 sin A  sin B  sin C  2cos A cos B cos C  1.1.2.4 cos A  cos B  cos C  4sin A B C sin sin  2 1.1.2.5 cos A  cos 2B  cos 2C  4cos A cos B cos C 1 1.1.2.6 cos2 A  cos2 B  cos2 C  2cos A cos B cos C  Chứng minh: Các từ 1.1.2.1 đến 1.1.2.6 chứng minh tương tự sử dụng công thức lượng giác để biến đổi vế trái thành vế phải Lƣu ý: A  B  C   Ta chứng minh 1.1.2.3 ý lại tương tự Ta có sin A  sin B  sin C  cos A  cos B     cos C 2   cos( A  B) cos( A  B)  cos C   cos C  cos( A  B)  cos C  AC  B A B C sin 2  2(1  cos A cos B cos C )   cos C.(2).sin 1.1.2.7 cot A B C A B C  cot  cot  cot cot cot 2 2 2 1.1.2.8 tan A B B C C A tan  tan tan  tan tan  2 2 2 12 : 1.1.2.9 cot A cot B  cot B cot C  cot C cot A  1.1.2.10 tan A  tan B  tan C  tan A tan B tan C ( ABC không vuông) Chứng minh Cách chứng minh bốn từ 1.1.2.7 đến 1.1.2.10 tương tự nhau, ta chứng minh 1.1.2.9 Ta có: cot( A  B)   cot C  cot A cot B    cot C cot A  cot B  cot A cot B  cot B cot C  cot C cot A  A B 1.1.2.11 cos cos cos 1.1.2.12 tan C p ;  4R sin A B C r  4R ;  tan  tan  2 p A B C r sin sin  2 4R cot A B C p  cot  cot  2 r Chứng minh ( Xem [1] ) 1.1.3 Một số toán đẳng thức dạng tổng quát Chứng minh ABC k  ta có: 1.1.3.1 sin(2k  1) A  sin(2k  1) B  sin(2k  1)C  (1)k 4cos(2k  1) A B C cos(2k  1) cos(2k  1) 2 1.1.3.2 sin 2kA  sin 2kB  sin 2kC  (1)k 1 4sin kA sin kB sin kC 1.1.3.3 cos(2k  1) A  cos(2k  1) B  cos(2k  1)C   (1)k 4sin(2k  1) A B C sin(2k  1) sin(2k  1) 2 1.1.3.4 cos 2kA  cos 2kB  cos 2kC  1  (1)k 4cos kA cos kB cos kC 1.1.3.5 tan kA  tan kB  tan kC  tan kA tan kB tan kC 1.1.3.6 cot(2k  1) A B C A B C  cot(2k  1)  cot(2k  1)  cot(2k  1) cot(2k  1) cot(2k  1) 2 2 2 1.1.3.7 13 A B B C C A tan(2k  1)  tan(2k  1) tan(2k  1)  tan(2k  1) tan(2k  1)  2 2 2 cot kA cot kB  cot kB cot kC  cot kC cot kA  1.1.3.8 tan(2k  1) 1.1.3.9 cos2 kA  cos2 kB  cos2 kC   (1)k 2cos kA cos kB cos kC 1.1.3.10 sin kA  sin kB  sin kC   (1)k 1 2cos kA cos kB cos kC Chứng minh Bài 1.1.3.1 tổng quát Bài 1.1.2.1 Ta có: sin(2k  1) A  sin(2k  1) B  sin(2k  1)C  2sin(2k  1) A B A B C C cos(2k  1)  2sin(2k  1) cos(2k  1) 2 2  2(1)k cos(2k  1) C A B A B cos(2k  1)  cos(2k  1)  2 2   (1)k 4cos(2k  1) A B C cos(2k  1) cos(2k  1) 2 Bài 1.1.3.2.; 1.1.3.3.; 1.1.3.4 tổng quát 1.1.2.2.; 1.1.2.3.; 1.1.2.4 cách chứng minh tương tự 1.1.3.1 Bài 1.1.3.5 tổng quát 1.1.2.10 Ta có: tan kA  tan  k  k ( B  C )   tan(kB  kC )  tan kB  tan kC  tan kB tan kC Từ có được: tan kA  tan kB  tan kC  tan kA tan kB tan kC Bài 1.1.3.6 tổng quát 1.1.2.7 chứng minh tương tự 1.1.3.5 Bài 1.1.3.7 tổng quát 1.1.2.8 Ta có tan(2k  1) A  BC  tan(2k  1)(  ) 2 B C   cot (2k  1)  (2k  1)  2   B C  tan (2k  1)  (2k  1)  2  14 B C tan(2k  1) 2  B C tan(2k  1)  tan(2k  1) 2  tan(2k  1) Từ ta có đựơc: tan(2k  1) A B C C A tan(2k  1)  tan(2k  1) tan(2k  1)  tan(2k  1) tan(2k  1)  2 2 Bài 1.1.3.8 tổng quát 1.1.2.9 cách chứng minh tương tự 1.1.3.7 Bài 1.1.3.9 tổng quát 1.1.2.6 Ta có: cos2 kA  cos2 kB  cos2 kC  2 = (1  cos 2kA)  (1  cos 2kB)  (1) k cos kC cos k ( A  B)   (1)k cos kC cos k ( A  B)  cos k ( A  B)   (1)k 2cos kA cos kB cos kC Bài 1.2.3.10 tổng quát Bài 1.2.1.3 chứng minh tương tự 1.2.3.9 tập 1.2.1.; tập 1.2.2.; tập 1.2.3 1.2 Một số bất đẳng thức đại số 1.2.1 Bất đẳng thức Cauchy Cho n số không âm: a1 , a2 , , an Ta có bất đẳng thức: a1  a2   an n  a1a2 an n Dấu đẳng thức xẩy a1  a2   an 1.2.2 Bất đẳng thức Bunhiacopski Cho n cặp số bất kì: a1 , a2 , , an ; b1, b2 , , bn Ta có bất đẳng thức: (a1b1  a2b2   anbn )2   a12  a22   an2  b12  b22   bn2  Hay gọn hơn: 15  n   n  n    bi     a i   bi  Dấu đẳng thức xẩy khi:  i 1   i 1  i 1  k :  kbi (*) Với i  1, 2, , n (nếu bi  0; i(*) viết: a a1 a2    n ) b1 b2 bn 1.2.3 Bất đẳng thức Trêbƣsep Cho hai dãy số thứ tự giống nhau: a1  a2   an ; b1  b2   bn Ta có bất đẳng thức sau:  a1  a2   an  b1  b2   bn   a1b1  a2b2   anbn      n n n      (*) Dấu đẳng thức xảy a1  a2   an b1  b2   bn ; CHÚ Ý: Nếu hai dãy số xếp ngược chiều bất đẳng thức (*) đổi chiều 1.2.4 Bất đẳng thức Jensen Bất đẳng thức Jensen bất đẳng thức áp dụng cho hàm lồi Trước hết xin nhắc lai định nghĩa hàm lồi 1.2.4.1 Cho hàm số y  f  x  xác định  a; b Hàm f gọi lồi thoả mãn điều kiện sau đây: Nếu x1 x2   a, b  , m, n  : m  n  f  mx1  nx2   mf  x1   nf  x2  1.2.4.2 Hàm số y  f  x  xác định đoạn  a, b gọi lõm đó, -f(x) lồi Điều kiện đủ dùng để xét xem hàm số lồi (hoặc lõm) Cho f(x) hàm liên tục đến đạo hàm cấp hai  a, b  - Nếu f ''( x)  0; x  (a, b) f ( x) hàm lồi  a, b  - Nếu f ''( x)  0; x  (a, b) f  x  hàm lõm  a, b  16 1.2.4 Bất đẳng thức Jensen Cho f  x  hàm lồi  a, b Giả sử x1 , x2 , , xn   a, b Khi ta có bất đẳng thức sau:  x  x   xn f n     n  f  x1   f  x2    f  xn   Đẳng thức xảy x1  x2   xn 1.3 Các bất đẳng thức tam giác a) cos A  cos B  cos C  b) sin A  sin B  sin C  ( ABC nhọn) 3 c) sin A B C  sin  sin  2 2 d) cos A B C 3  cos  cos  2 2 e) cos A cos B cos C  f) sin A sin B sin C  A B A B g) cos cos cos h) sin sin sin 3 C 3  C  i) cot A  cot B  cot C  ( ABC nhọn ) j) tan A  tan B  tan C  3 ( ABC nhọn) k) tan A B C  tan  tan  2 l) cot A B C  cot  cot  3 2 m) tan A.tan B.tan C  3 17 A B n) tan tan tan C  3 Chứng minh (Xem [1]) 18 Chƣơng Các toán cực trị tam giác 2.1 Một số phƣơng pháp giải toán cực trị tam giác Nhận xét: Tuy số lượng toán bất đẳng thức toán cực trị tam giác tương đối nhiều khó, nắm cách giải vận dụng linh hoạt trở thành đơn giản Các cách giải gì? dựa vào phép biến đổi tương đương sử dụng phương pháp giải phù hợp phương pháp vectơ, phương pháp tam thức bậc hai, phương pháp đạo hàm…đó sử dụng số bất đẳng thức biết Đặc biệt, ý đến đánh giá quan trọng sau hàm số lượng giác cos , tức cos x  với x Dấu đẳng thức xảy x  Ví dụ Cho tam giác ABC , tìm giá trị lớn biểu thức sau M  sin A + sin B - cos C Lời giải Ta có M  s in A  sin B  cos C  2sin A B A B C cos  cos C  2cos  cos C 2 Lại có: C C  C  C 1 3  2cos  cos C  2cos   2cos  1  2  cos     2   2 2  Vì vậy: M  sin A  sin B  cos C  3 Vậy max M  A  B 2   C  tam giác ABC cân C với C  cos   2  Ví dụ Cho tam giác ABC , tìm giá trị lớn biểu thức sau: P  sin A  sin B  19 cos C Lời giải Ta có: P  sin A  sin B  A B A B C cos C  2sin cos  cos C  2cos  cos C 2 3 Lại có: cos C C C  cos C  cos  (2 cos  1) 2 3 2  C 3     cos    2  3 3 Vì vậy: sin A  sin B  cos C  Vậy max P   tam giác ABC cân C với C  2.1.1 Phƣơng pháp vectơ Sử dụng tính chất    a a b  a.b  n  b      i 1  Ví dụ Cho tam giác ABC , tìm giá trị lớn biểu thức sau T= cos A  2cos B  cos C Lời giải    Gọi e1; e2 ; e3 thứ tự vectơ sau     BC  CA  AB e1  ; e2  ; e3  BC CA AB Ta có      2e1  3e2  e3       cos A  2cos B  cos C cos A  2cos B  cos C  (đpcm)     Vậy max T   2e1  3e2  3e3  Suy 20  ... cực trị tam giác Phần 3: Sử dụng đạo hàm để giải toán tìm cực trị tam giác Phần 4: Dùng bất đẳng thức để giải toán cực trị tam giác Phần 5: Nêu số toán cực trị tam giác Chƣơng Cách xây dựng toán. .. đẳng thức bất đẳng thức tam giác, hệ thống số phương pháp việc giải toán cực trị tam giác, nêu số toán cực trị tam giác Đồng thời đưa số cách xây dựng toán cực trị tam giác Trong trình hoàn thành... trọng toán cực trị tam giác toán bất đẳng thức tam giác là: toán bất đẳng thức tam giác biết trước đích ta phải đến (tức biết hai vế), toán cực trị tam giác không Ví dụ: a (về toán bất đẳng thức tam