Chuyên đề Hình Học Không gian tổng hợp Tuyển tập các bài tập hình học không gian tổng hợp. ( Tiết theo 100 bài toán hình học T.H trong K.G) Bài 101. Cho S.ABC là một tứ diện có ABC là một tam giác vuông cân đỉnh B và AC = 2a; cạnh SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC) và SA = a. 1. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC) . 2. Gọi O là trung điểm của AC. Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng ( SBC). Bài 102. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng 2a và chiều cao a. 1. Dựng thiết diện của lăng trụ tạo bởi mặt phẳng đi qua B' và vuông góc với cạnh A'C. 2. Tính diện tích của thiết diện nói trên. Bài 103. Cho hình chóp đều S.ABCD đỉnh S có các cạnh đáy đều bằng a, đường cao hình chóp SH = h. a) Xác định thiết diện tạo bởi hình chóp với mặt phẳng (P) qua cạnh đáy BC và vuông góc với cạnh bên SA. b) Nếu tỉ số thì mặt phẳng (P) chia thể tích hình chóp theo tỉ số nào ? Bài 104. Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc nhọn . Biết . Tính thể tích lăng trụ trên theo a. Bài 105. Trong mặt phẳng (P) , cho một hình vuông ABCD có cạnh bằng a. S là một điểm bất kì nằm trên đường thẳng At vuông góc với mặt phẳng (P) tại A. Gọi M, N lần lượt là hai điểm di động trên các cạnh CB , CD và đặt CM = m, CN = n. Tìm một biểu thức liên hệ giữa m và n để các mặt phẳng (SMA) và (SAN) tạo với nhau một góc . Bài 106. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, AD = 2a, AA' = a : 1. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AD' và B'C'. 2. Gọi M là điểm chia đoạn AD theo tỉ số AM / MD = 3. Hãy tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( AB'C). 3. Tính thể tích tứ diện A.B'D'C'. Bài 107. Cho hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn C bán kính a, chiều cao ; và cho hình chóp đỉnh S, đáy là một đa giác lồi ngoại tiếp C. 1. Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp ( mặt cầu ở bên trong hình chóp, tiếp xúc với đáy và với các mặt bên của hình chóp ). 2. Biết thể tích khối chóp bằng 4 lần thể tích khối nón, hãy tính diện tích toàn phần của hình chóp. Bài 108. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật . Lấy M, N lần lượt trên các cạnh SB, SD sao cho . 1. Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh SC tại P. Tính tỷ số . 2. Tính thể tích hình chóp S.AMPN theo thể tích V của hình chóp S.ABCD. Bài 109. Cho góc tam diện vuông Oxyz. Trên Ox, Oy, Oz lấy lần lượt các điểm A, B, C có OA = a, OB = b, OC = c ( a, b, c > 0). 1. Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc nhọn. 2. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Hãy tính OH theo a, b, c. 3. Chứng minh rằng bình phương diện tích tam giác ABC bằng tổng bình phương diện tích các mặt còn lại của tứ diện O.ABC Bài 110. Cho góc tam diện Oxyz và mặt cầu đơn vị trong góc tam diện ấy. Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu ấy tại M, cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho OA = a > 0, OB = b > 0, OC = c > 0. Chứng minh rằng : 1. 2. Tìm vị trí điểm M để đạt dấu đẳng thức. Bài 111.Cho hình chóp tam giác S.ABC, SA = x, BC = y, các cạnh còn lại đều bằng 1. 1. Tính thể tích hình chóp theo x, y. Ngọc vinh 1 Chuyên đề Hình Học Không gian tổng hợp 2. Với x, y nào thì thể tích hình chóp lớn nhất? Bài 112. Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a với A (0 ; 0; 0) , B (a; 0 ; 0) , D (0 ; a; 0) và đỉnh S (0; 0; a). Gọi M là trung điểm của đoạn SA, hãy tính : 1. Khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (CDM). 2. Góc giữa đường thẳng SB và DM. Bài 113. Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC = a và a. Tính độ dài các cạnh còn lại của tứ diện và chứng minh rằng tam giác ABC vuông. b. Chứng minh OA vuông góc với CB. Bài 114. Cho hình chóp S.ABC. Đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh SA vuông góc với đáy, . Gọi M là trung điểm của SB. Chứng minh mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC). Tính thể tích khối tứ diện MABC. Bài 115 . Cho hình chóp tam giác S.ABCD có đáy là tam giác cân với AB = AC = a, và ba cạnh bên nghiêng đều trên đáy một góc nhọn . Hãy tính thể tích hình chóp đã cho theo a , a , . Bài116. Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình vuông ABCD cạnh bên AA' = h. Tính thể tích tứ diện BDD'C'. Bài 117. Cho hình chóp S.ABC có , tam giác ABC vuông tại B, SA = AB = a , BC = 2a. Gọi M , N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB và SC. Tính diện tích của tam giác AMN theo a. Bài 118. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a ; AC = BD = b và AD = BC =c ( a, b , c > 0). Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp theo a, b, c. Bài 119. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. SC vuông góc với mặt phẳng (ABCD) ; SC = 2a. Hai điểm M, N lần lượt thuộc SB và SD sao cho .Mặt phẳng (AMN) cắt SC tại P.Tính thể tích hình chóp S.MANP theo a Bài 120 .Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành . Biết rằng góc nhọn tạo bởi hai đường chéo AC và BD là , các tam giác SAC và SBD đều có cạnh bằng a. Tính thể tích hình chóp theo a. Bài 131. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng Bài 132. Cho hình lập phương có cạnh bằng a. a. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng và . b. Gọi M, N, P lần lượt là các trung điểm của các cạnh . Tính góc hai đường thẳng và . Bài 133.Hình hộp chữ nhật có ba kích thước là 3; 4; 12. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp của hình hộp chữ nhật là Chọn một đáp án dưới đây Bài 134. Một khối trụ tròn xoay chứa một khối cầu bán kính bằng 1. Khối cầu tiếp xúc với mặt xung quanh và hai mặt đáy của khối trụ. Thể tích khối trụ bằng Chọn một đáp án dưới đây A. (đvdt) B. C. D. (đvdt) Ngọc vinh A. 13 B. 5 C. 10 D. 2 Chuyên đề Hình Học Không gian tổng hợp Bài 135. Tính thể tích của khối nón xoay biết khoảng cách từ tâm của đáy đến đường sinh bằng và thiết diện qua trục là một tam giác đều. Bài 136. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành . Biết rằng góc nhọn tạo bởi hai đường chéo AC và BD là , các tam giác SAC và SBD đều có cạnh bằng a. Tính thể tích hình chóp theo a. Bài 137.Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có AB = a, AC = 2a, AA' = 2a và . Gọi M là trung điểm của cạnh CC'. Chứng minh MB MA' và tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A'BM). Bài 138. Cho hình chóp SABC có góc , ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a. Tính theo a khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC). Bài 139. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA (ABCD). Cho AB = a, SA = a . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD. Chứng minh SC (AHK) và tính thể tích hình chóp OAHK. 140. Trong mặt phẳng (P) cho nữa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C thuộc nữa đường tròn đó sao cho AC = R . Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) tại A lấy điểm S sao cho . Gọi K, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC. Chứng minh tam giác AHK vuông và tính thể tích khối chóp SABC. 141. Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông, AB=AC=a, AA'=a . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn AA' và BC'. Chứng minh MN là đường vuông góc chung của các đường thẳng AA' và BC'. Tính thể tích của khối chóp MA'BC'. 142.Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh đều bằng a. M là trung điểm của đoạn AA'. Chứng minh BM B'C và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM, B'C. 143. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và AB = a, BC = 3a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a. 1) Tìm điểm O cách đều các điểm S, A, B, C, D và tính khoảng từ O tới các điểm đó. 2) Gọi B 1 , C 1 , D 1 lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các đường thẳng SB, SC, SD. Chứng minh rằng các điểm A, B 1 , C 1 , D 1 cùng thuộc một mặt phẳng. 3) Tính góc giữa các mặt phẳng (SCD) và (ABCD) 144. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = 2a, AD = DC = a; Cạnh SA vuông góc với vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = 2a. Gọi E là trung điểm của SA. Xét mặt phẳng (P) đi qua E và song song với AB cắt SB, BC, AD lần lượt tại M, N, F. 1) Thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (P) là hình gì ? 2) Tính diện tích của thiết diện nói trên theo a và x, với x = AF. Ngọc vinh 3 Chuyên đề Hình Học Không gian tổng hợp 3) Gọi H là hình chiếu của D trên mặt phẳng (P). Chứng tỏ H thuộc một đường tròn cố định. 145. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm I. Các nửa đường thẳng Ax, Cy vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và ở cùng một phía đối với mặt phẳng đó. Cho điểm M không trùng với A trên Ax, cho điểm N không trùng với C trên oy. Đặt AM = m, CN = n. 1) Tính thể tích của hình chóp B.AMNC. 2) Tính MN theo a, m, n và tìm điều kiện đối với a, m, n để góc ∠ MIN = 90 0 . 146. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD với tất cả các cạnh đều bằng a. Mặt cầu tâm O đi qua A và tiếp xúc với SB, SD tại trung điểm của chúng. Tính thể tích của khối tứ diện OSCD. 147. Đáy của lăng trụ là một tam giác vuông cân có các cạnh bên AB = AC = a. Các cạnh bên AA’, BB’, CC’ nghiêng với đáy một góc α . Đường chéo BC’ của mặt bên CBB’C’ vuông góc với AC và BC’ = b. 1) Chứng minh rằng chân đường vuông góc D hạ từ C’ xuống mặt phẳng đáy nằm trên đường thẳng AB. 2) Tính thể tích của lăng trụ trong trường hợp 0 60 , 6b a α = = . 3) Trong trường hợp tổng quát, với α và a cho trước, cần có đòi hỏi gì về đọ dai b của BC’ ? Với α = 45 0 hãy tính b theo a để bài toán tìm thể tích lăng trụ có lời giải duy nhất. 148. Cạnh bên của khối tứ diện đều S.ABC bằng a. Qua A dựng mặt phẳng song song với cạnh BC sao cho góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng này băng 30 0 . Hày tính diện tích của thiết diện này. 149. Cho hình chóp tứ giác đều P.ABCD. Qua A, B và trung điểm của PC dựng một mặt phẳng. Hỏi mặt phẳng này chia khối chóp thành hai phần có tỉ số thể tích bằng bao nhiêu. 150. Trong không gian cho bốn tia Ox, Oy, Oz, ot sao cho các góc tạo bởi hai tia bất kì đều bẳng nhau. Trên các tia Ox, Oy, Oz, ot lần lượ lấy các điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng với mọi điểm M trong không gian, ta luôn có: MA + MB + MC + MD ≥ OA + OB + OC + OD. Ngọc vinh 4 . Chuyên đề H nh H c Không gian t ng h p Tuyển t p các bài t p h nh h c không gian t ng h p. ( Ti t theo 100 bài toán h nh h c T .H trong K. G) Bài 101. Cho. đề H nh H c Không gian t ng h p 3) G i H là h nh chiếu của D trên m t phẳng (P). Chứng t H thuộc m t đường tròn cố định. 145. Cho h nh vuông ABCD cạnh