Chuyên đề: Số phức – GV Nông Thu Trang SỐ PHỨC I Mở đầu: Do nhu cầu phát triển Toán học, nhà Toán học đưa loại số Từ tập số tự nhiên, đến tập số nguyên, tập số hữu tỷ rộng tập số thực Tuy nhiên dừng lại tập số thực phương trình đơn giản x2   nghiệm, cần xây dựng tập số để phương trình có nghiệm, hay rộng phương trình bậc hai có biệt thức   có nghiệm Tập số cần xây dựng cho phải phong phú số thực coi số thực trường hợp riêng tập Người ta đưa khái niệm số phức II Số phức phép toán số phức: Khái niệm số phức: Một biểu thức dạng : z  a  bi , a, b  R (1) gọi số phức Trong đó: i số thỏa mãn i  1 , gọi đơn vị ảo a gọi phần thực z, ký hiệu : a  Re( z ) b gọi phần ảo z, ký hiệu : b  Im( z ) Dạng (1) gọi dạng tắc (hay dạng đại số) số phức Tập hợp tất số phức ký hiệu C Đặc biệt : * Khi b  ta có số phức z  a số thực * Khi a  ta có số phức dạng z  bi gọi số ảo * Hai số phức z  a  bi w  c  di gọi phần thực phần a  c ảo chúng tương ứng nhau, nghĩa là: z  w   b  d Khoa Công Nghệ Thông Tin Truyền thông Trường ĐH Phương Đông Chuyên đề: Số phức – GV Nông Thu Trang Các phép toán số phức : Cho hai số phức z  a  bi w  c  di Ta có phép toán sau :  Phép cộng : z  w  (a  bi)  (c  di)  (a  c)  (b  d )i  Phép trừ: z  w  (a  bi)  (c  di)  (a  c)  (b  d )i  Phép nhân: z.w  (a  bi)(c  di)  (ac  bd )  (ad  bc)i z a  bi ac  bd bc  ad    i (c  di  0)  Phép chia: w c  di c  d c  d Xét phép toán cộng phép nhân hai số phức, ta dễ dàng thấy chúng có đầy đủ tính chất phép cộng phép nhân hai số thực tính giao hoán, kết hợp, phân phối phép nhân với phép cộng Với phép toán cộng : * Tính chất giao hoán : z1  z  z  z1 , z1 , z C * Tính chất kết hợp : ( z1  z )  z3  z1  ( z  z3 ), * Cộng với : z    z, z1 , z , z3 C z C * Với số phức z  a  bi , a, b  R , kí hiệu số phức  z  a  bi , a, b  R , ta có z  ( z)  ( z )  z  Số –z gọi số đối số phức z Với phép toán nhân : * Tính chất giao hoán : z1 z  z z1 , z1 , z C * Tính chất kết hợp : ( z1 z ) z3  z1 ( z z3 ), z1 , z , z3 C * Tính chất phân phối phép nhân với phép cộng : z1 ( z  z3 )  z1 z  z1 z3 , * Nhân với đơn vị : z.1  1.z, ( z1  z ) z3  z1 z3  z z3 , z1 , z , z3 C z  C Khoa Công Nghệ Thông Tin Truyền thông Trường ĐH Phương Đông Chuyên đề: Số phức – GV Nông Thu Trang * z 1  Với số phức z  a  bi , a, b  R, a, b  , kí hiệu a b  i zz 1  z 1 z  2 ta có: a b a b 1 Số z gọi nghịch dảo số phức z Với tính chất trên, coi tập số thực trường hợp riêng tập số phức Biểu diễn hình học số phức: Mỗi số phức z  a  bi  a, b  R  biểu diễn điểm M(a;b) mặt phẳng tọa độ Oxy, ngược lại điểm M(a;b) mặt phẳng Oxy xem ảnh số phức a + bi Do mặt phẳng Oxy gọi mặt phẳng phức Các số phức dạng z  a  0i (ta đồng với số thực a) biểu diễn điểm M(a,0) trục Ox, trục Ox gọi trục thực Trục Oy gọi trục ảo, điểm nằm trục ảo tương ứng với số phức dạng z  bi, b  R y b O M(a;b) x a Số phức liên hợp: Cho số phức z  a  bi Số phức z  a  bi gọi số phức liên hợp z Về mặt hình học hai số phức z z biểu diễn hai điểm đối xứng qua trục thực Ox Khoa Công Nghệ Thông Tin Truyền thông Trường ĐH Phương Đông Chuyên đề: Số phức – GV Nông Thu Trang y M(a;b) x O M’(a;-b) Một số tính chất số phức liên hợp : z  z  z số thực z   z  z số ảo z  w  z  w, z.w  z.w, z z  w   ,   w z, w  C z, w  C z, w  C Dạng lượng giác số phức : Cho số phức z  a  bi có ảnh điểm M mặt phẳng Oxy Giả sử z  , điểm M  gốc O y b M r x  O a   Đặt: r  OM ,  (Ox, OM ) Khi r số thực dương, gọi modun z, kí hiệu z Khoa Công Nghệ Thông Tin Truyền thông Trường ĐH Phương Đông Chuyên đề: Số phức – GV Nông Thu Trang  gọi argument z, kí hiệu Arg ( z ) Arg ( z ) không mà sai khác 2k , k Z  OM Chiếu vuông góc véc tơ lên hai trục Ox Oy ta được: a  r cos   b  r sin  Khi đó: z  a  bi  r cos  ir sin   r (cos  i sin  ) Vậy có: z  r (cos  i sin  ) (2) a b 2 Trong r  a  b , cos   , sin   r r Số phức z viết dạng (2) gọi dạng lượng giác Một số phép toán thực dạng lượng giác số phức : Cho hai số phức : z1  r1 (cos  i sin  ), z2  r2 (cos  i sin  ) Ta dễ dàng chứng minh công thức sau:  Phép nhân: z1 z2  r1r2 cos(   )  i sin(   )  Phép chia: z1 r1  cos(   )  i sin(   ) z2 r2 ( z2  0)  Phép nâng lên lũy thừa : n n Với z  r (cos  i sin  ) z  r (cos n  i sin n ), n N (3) Công thức (3) gọi công thức Moivre Chú ý công thức (3) trường hợp n nguyên không âm, nghĩa với n  Z  Căn bậc n số phức : Khoa Công Nghệ Thông Tin Truyền thông Trường ĐH Phương Đông Chuyên đề: Số phức – GV Nông Thu Trang Xét phương trình a n  z Giả sử z  r (cos  i sin  ) a   (cos  i sin  ) n n Vì a  z nên  (cos n  i sin n )  r (cos  i sin  ) n Suy   r n    2k , n Hay   r ,    n  k Z k 2 , k  0,1, 2, , n  n Vậy có n bậc n khác số phức z  là:    k 2 zk  n r cos   n  n    k 2   i sin   n  n    , k  0,1, 2, , n   Các ảnh zk đỉnh đa giác n cạnh nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính n r Modun số phức: Xét số phức z  a  bi Theo định nghĩa trên, mô đun số phức z kí 2 hiệu xác định: z  a  b Ta dễ dàng chứng minh tính chất sau: | z || z |, 2 z.z | z | , z  C z  C | z1 z || z1 || z |, z1 , z  C Khoa Công Nghệ Thông Tin Truyền thông Trường ĐH Phương Đông Chuyên đề: Số phức – GV Nông Thu Trang z |z | 1 | z | | z | , 2 z1 , z  C , z  | z1  z || z1 |  | z |, z1 , z  C III Một số dạng tập số phức kỳ thi TN THPT TSĐH: Dạng - Tìm thành phần số phức (phần thực , phần ảo, mođun): Ví dụ1 Tìm phần thực, phần ảo môđun số phức sau: a z  2  3i b z  (2  4i)  (3  5i) 2 c z  (2  4i)  (3  5i) d z  (2  4i)(3  5i) e z   4i  5i  i  7i f z   4i  5i Giải Theo định nghĩa số phức, ta có: 2 a z  2  3i  phần thực: a  2, phần ảo: b  , môđun z  (2)   13 b z  (2  4i)  (3  5i)  1  i  a  1, b  1, z  2 2 c Do i  1 , ta có: z  (2  4i)  (3  5i)  (4  16i  16i )  (9  30i  25i )  (4  16i  16)  (9  30i  25)   14i  a  4, b  14, z  53 d z  (2  4i)(3  5i)   10i  12i  20i   2i  20  26  2i  a  26, b  2, z  170 e z   4i  5i  i3  7i   4i   i    5i  a  1, b  5, z  26 Khoa Công Nghệ Thông Tin Truyền thông Trường ĐH Phương Đông Chuyên đề: Số phức – GV Nông Thu Trang f z   4i (2  4i)(1  3i) 7   + i  a  ,b  , z   3i 10 5 5 Ví dụ (CĐ Khối A, B, D – 2009 CB) Cho số phức z thỏa mãn: (1  i)2 (2  i) z   i  (1  2i) z Tìm phần thực phần ảo z Giải Ta có: (1  i)2 (2  i) z   i  (1  2i) z  (1  2i  i )(2  i) z   i  (1  2i) z   2i (2  i)  (1  2i)  z   i  (1  2i) z   i z  i   i  (1  2i) 10  15i     3i  2i 5 Vậy phần thực z: a  2, phần ảo: b  3 Ví dụ (ĐH Khối A – 2010 CB) Tìm phần ảo số phức z: z  (  i)2 (1  2i) Giải Ta có: z  (  i)2 (1  2i)  (2  2i  i )(1  2i)  (1  2i)(1  2i)   2i  z   2i Vậy phần ảo z - Ví dụ (ĐH Khối A, A1 2014) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện : Khoa Công Nghệ Thông Tin Truyền thông Trường ĐH Phương Đông Chuyên đề: Số phức – GV Nông Thu Trang z    i  z   5i Tìm phần thực phần ảo z Giải Giả sử z  x  yi  z  x  yi Ta có: z    i  z   5i  x  yi  (2  i )( x  yi )   5i  3x  y  ( x  y )i   5i 3x  y   x    x  y   y  3 Vậy phần thực z 2, phần ảo z -3 Ví dụ 5(ĐH Khối B 2014) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện : z  31  i  z   9i Tính modun z Giải Giả sử z  x  yi  z  x  yi Ta có: z  1  i  z   9i  2( x  yi )  1  i  ( x  yi )   9i   x  y    3x  y  i   9i 5 x  y  x     z   3i  x  y   y    Vậy z   3i  13 Ví dụ (ĐH Khối A – 2010 NC) Cho số phức z thỏa mãn z  (1  3i)3 Tìm môđun 1 i số phức z  iz Khoa Công Nghệ Thông Tin Truyền thông Trường ĐH Phương Đông Chuyên đề: Số phức – GV Nông Thu Trang Giải Ta có : z  (1  3i)3  3i  9i  3i 8    4  4i 1 i 1 i 1 i Suy z  4  4i Do z  iz  (4  4i)  i(4  4i)  8  8i Vậy z  iz  Ví dụ (TSĐH Khối A, A1 – 2012) Cho số phức z thỏa mãn 5( z  i)   i Tính z 1 modun số phức w   z  z Giải Đặt z  x  yi  z  x  yi Ta có: 5( z  i )  2i z 1 5( x  yi  i )   2i x  yi   x  5(1  y )i  (2  i )( x  yi  1)  x  5(1  y )i  (2 x   y )  (2 y  x  1)i 5 x  x   y x    5(1  y )  y  x   y  Do z   i  w   z  z   (1  i)  (1  i)2   3i Vậy w =  3i  13 Bài tập Tìm phần thực, phần ảo modun số phức trường hợp sau: Khoa Công Nghệ Thông Tin Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 10 Chuyên đề: Số phức – GV Nông Thu Trang (TSĐH Khối D – 2009) Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện : z  (3  4i)  Đáp số : Đường tròn tâm I(3 ; - 4), bán kính 2 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn : a (2  z )(i  z ) số ảo tùy ý b z  3i  z  z  2i c  z  Đáp số: a Đường tròn tâm I(1; ), bán kính 2 b Các đường thẳng y = y = c Hình vành khăn giới hạn hai đường tròn tâm O(0 ;0), bán kính đường tròn tâm O(0 ;0), bán kính Dạng – Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước: Ví dụ (TSĐH Khối D – 2011CB) Tìm số phức z biết z  (2  3i) z   9i Giải Giả sử z  x  yi  z  x  yi Ta có: z  (2  3i ) z   9i  ( x  yi )  (2  3i )( x  yi )   9i   x  y  (3 y  3x)i   9i  x  y  x    3x  y  9  y  1 Vậy z   i Ví dụ (TSĐH Khối B – 2011CB) Tìm số phức z biết z  5i 1 z Giải Khoa Công Nghệ Thông Tin Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 15 Chuyên đề: Số phức – GV Nông Thu Trang Giả sử z  x  yi  z  x  yi Ta có: 5i    zz  z   i   x  y  ( x  yi )   i  z   x  y  x    ( y  3)i  z   x  1  2   y    x  y  x    x  x       y    y     x    y    Vậy z  1  3i z   3i Ví dụ (TSĐH Khối B – 2009 (CB) Tìm số phức z thỏa mãn | z  (2  i) |  10 z.z  25 Giải Giả sử z  x  yi Ta có: 2  x  yi   i  10 | z  (2  i) |  10 ( x  2)  ( y  1)  10    ( x  yi )( x  yi )  25  x  y  25  z.z  25   x  3, y    x  5, y  Vậy có hai số phức thỏa mãn điều kiện toán z   4i z  Ví dụ (TSĐH Khối D -2010) Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện | z |  z số ảo Giải Giả sử z  x  yi Ta có: * | z |   x  yi   x  y  1 * z  ( x  yi)2  x  xyi  y Khoa Công Nghệ Thông Tin Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 16 Chuyên đề: Số phức – GV Nông Thu Trang  2 z số ảo  x  y   x2  y   x  1, y   (1), (2)     x  1, y  1   x  y  Vậy có hai số phức thỏa mãn điều kiện toán z   i z   i    Ví dụ Tìm số phức z thỏa mãn    z 1  (1) z i z  3i  (2) z i Giải Giả sử z  x  yi Từ (1) ta có: z 1   z   z  i  x  yi   x  yi  i z i  ( x  1)  y  x  ( y  1)2 x y Từ (2): z  3i   z  3i  z  i  x  yi  3i  x  yi  i z i  x  ( y  3)  x  ( y  1)  y 1  x  y 1 Vậy số phức z cần tìm z   i Bài tập Tìm số phức z thỏa mãn hệ thức sau: a z  z   2i b 2iz    3i   1  i  z  1  3i  Khoa Công Nghệ Thông Tin Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 17 Chuyên đề: Số phức – GV Nông Thu Trang c z  z i( z  z )    6i 1 i  2i Đáp số: a z   2i b z  3  i 2 c z  1  10i Tìm số phức z thỏa mãn hệ thức sau: z   a   z  2iz  b z  3i   iz z  số ảo z c (1  3i) z số thực z   5i  b 2i;  2i;   2i Đáp số : a z  1  i z   i c z  21  i z   6i 5 Dạng – Dạng lượng giác số phức: Ví dụ Viết số phức sau dạng lượng giác: d z  c z  1  i  b z   3i a z   i  i  1  3i 3i Giải a Môđun z: r  12  12  Argument z : cos  ,sin   Dạng lượng giác z : z  2(cos       i sin ) 4 Khoa Công Nghệ Thông Tin Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 18 Chuyên đề: Số phức – GV Nông Thu Trang  b Môđun z: r  22  Argument z : cos   2 3   ,sin      4 Dạng lượng giác z : z  4(cos c z  1  i  Ta có :  i     i sin ) 3   i  2(cos    i sin ) , 4      i  (cos( )  i sin( )  6   Vậy        z  2 cos  i sin  cos( )  i sin( )  4 6                2  cos cos(  )  sin sin(  )   i  sin(  ).cos  cos(  ).sin   6   6    2(cos d Ta có :  12  isin  12 ) 1  3i  2(cos  i  2(cos  2 2  i sin ) , 3   i sin ) 6 Vậy Khoa Công Nghệ Thông Tin Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 19 Chuyên đề: Số phức – GV Nông Thu Trang 2 2     2 2  i sin  i sin )  cos  cos  i sin  3  6 3  z     2(cos  i sin ) cos  sin 6 6 2  2    2  2     cos cos  sin sin    sin cos  cos sin  i 6  6  2(cos  cos    i sin 2 Ví dụ (TSĐH Khối B - 2012 NC) Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z  3iz   Viết dạng lượng giác z1 z2 Giải Ta có:  '  3i   3    Phương trình có hai nghiệm phức : z1  1  3i, z2   3i  Môđun z1 z2 : r1  r2  2   Argument z1 : cos   ,sin   2 Vậy dạng lượng giác z1 : z1  2(cos 2 2  i sin ) 3    Argument z2 : cos  ,sin   2 Vậy dạng lượng giác z2 : z2  2(cos    i sin ) 3 Ví dụ (TSĐH Khối A, A1 – 2013 NC) Cho số phức z   3i Viết dạng lượng giác z Tìm phần thực phần ảo số phức w  (1  i) z Giải Ta có : Khoa Công Nghệ Thông Tin Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 20 Chuyên đề: Số phức – GV Nông Thu Trang Môđun z: r  12  ( 3)2   Argument z : cos   ,sin     2  Dạng lượng giác z: z  2(cos  z  32(cos    i sin ) 3 5 5  i sin )  32(  i)  16  16 3i 3 2 Vậy w  (1  i) z  (1  i)(16  16 3i)  16(1  3)  16(1  3)i Ví dụ Sử dụng công thức Moivre tính : a 1  i  100 1 i  b    i  25 Giải a Ta có:  i  2(cos    i sin ) 4 Áp dụng công thức Moivre ta có: 1  i  25   2 25 (cos 25 25    i sin )  212 2(cos  i sin )  212 1  i  4 4 b Ta có :           cos  i sin   cos  i sin  cos  i sin  1 i 3 3  3  6       i  cos   i sin   cos  i sin   6 6            cos cos  sin sin   sin cos  cos sin  i 6  6        cos(  )  i sin(  )  cos  i sin 6 6 Khoa Công Nghệ Thông Tin Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 21 Chuyên đề: Số phức – GV Nông Thu Trang Áp dụng công thức Moivre ta có: 100 1 i     i       cos  i sin  6  100  cos 100 100  i sin   i 6 2 Ví dụ Hãy tính bậc ba số phức: z   3i Giải Ta có: z   3i  2(cos    i sin ) 3 Gọi số phức w  r (cos  i sin  ) bậc ba z Khi w  z Theo công thức tính bậc n số phức, ta có :     k   k 2  3 w   cos  i sin 3       Với k = ta có: w1   cos  i sin 3      , k  0,1,           cos  i sin  9        2  2  3  i sin Với k = ta có : w   cos 3      7 7   i sin    cos  9           4  3 Với k = ta có : w   cos  i sin 3      13 13   i sin    cos  9     Vậy số phức z có ba bậc ba w1 , w , w Khoa Công Nghệ Thông Tin Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 22 Chuyên đề: Số phức – GV Nông Thu Trang Ví dụ Hãy tính bậc bốn số phức: z  1 i 3i Giải Theo kết ví dụ ta có: z  1 i 3i  cos   i sin  Gọi số phức w  r (cos  i sin  ) bậc bốn z Khi w  z Theo công thức tính bậc n số phức, ta có :  w  cos  k 2    i sin  k 2 , k  0,1, 2,3    Với k = ta có: w1  cos  i sin  cos  i sin 4 24 24  Với k = ta có : w  cos  Với k = ta có : w  cos  Với k = ta có: w  cos  2  4  6   i sin   i sin   i sin  2  4  6  cos 13 13  i sin 24 24  cos 25 25  i sin 24 24  cos 37 37  i sin 24 24 Vậy số phức z có bốn bậc bốn w1 , w , w , w Bài tập Viết số phức sau dạng lượng giác : Khoa Công Nghệ Thông Tin Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 23 Chuyên đề: Số phức – GV Nông Thu Trang a   2i b 2  3i c 7 7   Đáp số : a 2  cos  i sin  6   c 1     i sin  cos  2 2  1  3i   d 1 i  2i i 1  i   2 2   b  cos  i sin  3   214  11 11  i sin  cos 12 12 2 d    Sử dụng công thức Moivre tính:  1  3i    1  3i  c 15  a 1  i  100 1 i  b   1 i  Đáp số: a 64 b 1 i 3i b  19  24k 19  24k cos  i sin  12 72 72 2  5  24k 5  24k cos  i sin  12 72 72 2 Tìm bậc Đáp số: 20 1  i  20 c – 64 b Tìm bậc của: a Đáp số: a 1  i  15 1 i i i 1  3i   , k  0,1, 2,3, 4,5    , k  0,1, 2,3, 4,5   5  24k 5  24k  cos  i sin   , k  0,1, 2,3, 4,5,6,7 16 96 96 2  Tính z 2012  z 2012 , biết z  z Đáp số: -1 Dạng - Giải phương trình phức bậc hai: Khoa Công Nghệ Thông Tin Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 24 Chuyên đề: Số phức – GV Nông Thu Trang Ví dụ (ĐH Khối A – 2009 CB) Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z  z  10  Tính giá trị biểu thức A  z1  z2 2 Giải Ta có:  '   10  9  9i  Phương trình có hai nghiệm phức z1  1  3i, z2  1  3i  z1  z1  10 2  A  z1  z2  10  10  20 Ví dụ (CĐ Khối A, B, D – 2010 NC) Giải phương trình z  (1  i) z   3i  tập hợp số phức Giải Ta có:   (1  i)2  4(6  3i)   2i  i  24  12i  24  10i Giả sử w  x  yi bậc hai  Ta có : w2  z   x  yi   24  10i  x  y  xyi  24  10i  x    x  y  24  y  5     5i      x  1    1  5i xy   10      y  Vậy phương trình có nghiệm phức z1  3i, z2   2i Ví dụ (TSĐH Khối D – 2012 NC) Giải phương trình z  3(1  i) z  5i  tập hợp số phức Giải Khoa Công Nghệ Thông Tin Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 25 Chuyên đề: Số phức – GV Nông Thu Trang Ta có:   9(1  i)2  20i  9(1  2i  i )  20i  2i Giả sử w  x  yi bậc hai  Ta có : w2  z   x  yi   2i  x  y  xyi  2i  x   x  y   y  1     i      x  1    1  i xy        y  2 Vậy phương trình có nghiệm phức z1  2  i, z2  1  2i Ví dụ Giải phương trình z  z  z2  z  1 Giải Nhận xét z =0 nghiệm phương trình Chia vế phương trình cho z ta có: 1 1  1  z  z    0z   z   0 z z z  z  Đặt w  z  ta có phương trình: z 1- 3i  w  w2  w      w   3i   z  1 i - 3i 1- 3i Với w  ta có: z    z  (1- 3i) z     1 z    i z 2  2 Khoa Công Nghệ Thông Tin Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 26 Chuyên đề: Số phức – GV Nông Thu Trang  z  1 i  3i 1  3i Với w  ta có: z    z  (1  3i) z     1 z    i z 2  2 1 1 Vậy phương trình cho có nghiệm : 1 i ,   i , 1 i ,   i 2 2 Ví dụ Giải phương trình z  iz  2iz   biết phương trình có nghiệm ảo Giải Giả sử phương trình có nghiệm ảo z  bi,  bi  b  R Ta có :  i  bi   2i  bi     b3i  b 2i  2b    (b  b3 )i   2b    b  b3    b 1 b     phương trình có nghiệm ảo z = i Ta có :  z i  z  iz  2iz    ( z  i )( z  2i )    z   2i  z  2i  Vậy phương trình cho có nghiệm i ,  2i , 2i Ví dụ Giải phương trình z  2(1  i) z  3iz   i  biết phương trình có nghiệm thực Giải Giả sử z  a, a  R nghiệm thực phương trình Khi đó: Khoa Công Nghệ Thông Tin Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 27 Chuyên đề: Số phức – GV Nông Thu Trang     a3  2(1  i )a  3ia   i   a  2a   2a  3a  i   a  2a     a 1 2a  3a    phương trình có nghiệm z =  z 1 Ta có: z  2(1  i ) z  3iz   i    z  1  z  (1  2i ) z   i     z   i   z  i Vậy phương trình cho có nghiệm: ,1 i , i Bài tập (CĐ Khối A, B, D – 2009 NC) Giải phương trình z   7i  z  2i z i Đáp số:  2i,3  i (CĐ Khối , B, D – 2010 NC) Giải phương trình z  (1  i) z   3i  tập số phức Đáp số:  2i,3i (TSĐH Khối D – 2012 NC) Giải phương trình z  3(1  i) z  5i  tập hợp số phức Đáp số: 1  2i ,  i Giải phương trình sau:  a z  z   Đáp số: a 1, 2, b 1,   z  z  12  b z  z  z  z  z   1  23i 1  23i , 2 1  3i 1  3i  3i  3i , , , 2 2 Khoa Công Nghệ Thông Tin Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 28 Chuyên đề: Số phức – GV Nông Thu Trang Giải phương trình sau: a z  z  z  8z   , biết phương trình có nghiệm z   i b z  (1  2i) z  (1  i) z  2i  , biết phương trình có nghiệm ảo c z  (3  i) z  (2  i) z  16  2i  , biết phương trình có nghiệm thực Đáp số: a  i,1  i, 2i,2i b i, 1  i 1  i  8  2i ,  8  2i 2 2 c 2,2  i,3  2i Khoa Công Nghệ Thông Tin Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 29 ... trục ảo tương ứng với số phức dạng z  bi, b  R y b O M(a;b) x a Số phức liên hợp: Cho số phức z  a  bi Số phức z  a  bi gọi số phức liên hợp z Về mặt hình học hai số phức z z biểu diễn... ĐH Phương Đông Chuyên đề: Số phức – GV Nông Thu Trang * z 1  Với số phức z  a  bi , a, b  R, a, b  , kí hiệu a b  i zz 1  z 1 z  2 ta có: a b a b 1 Số z gọi nghịch dảo số phức. .. Tin Truyền thông Trường ĐH Phương Đông Chuyên đề: Số phức – GV Nông Thu Trang y M(a;b) x O M’(a;-b) Một số tính chất số phức liên hợp : z  z  z số thực z   z  z số ảo z  w  z  w, z.w 