SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH TRƯỜNG THPT C NGHĨA HƯNG  BÁO CÁO SÁNG KIẾN ỨNG DỤNG MÁY TÍNH CASIO HỖ TRỢ NHẨM NGHIỆM, DỰ ĐOÁN NHÂN TỬ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH Tác giả : Nguyễn Thị Quyết Trình độ chuyên môn : Cử nhân SP Toán Chức vụ : Giáo viên Đơn vị : Trường THPT C Nghĩa Hưng Nghĩa Hưng, ngày 25 tháng năm 2016 Tên sáng kiến ỨNG DỤNG MÁY TÍNH CASIO HỖ TRỢ NHẨM NGHIỆM, DỰ ĐOÁN NHÂN TỬ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Toán THPT Thời gian áp dụng sáng kiến Từ ngày 15 tháng năm 2014 đến 20 tháng năm 2016 Tác giả: Họ tên: Nguyễn Thị Quyết Năm sinh: 1986 Nơi thường trú: xóm 8, xã Xuân Châu, Xuân Trường, Nam Định Trình độ chuyên môn: Cử nhân Sư phạm Toán Chức vụ công tác: GV THPT Nơi làm việc: Trường THPT C Nghĩa Hưng, huyện Nghĩa Hưng, tỉnh Nam Định Điện thoại: 0974085998 Tỷ lệ đóng góp tạo sáng kiến: 100% Đồng tác giả: Không có Đơn vị áp dụng sáng kiến: Tên đơn vị: Trường THPT C Nghĩa Hưng, huyện Nghĩa Hưng, tỉnh Nam Định Địa chỉ: Thị trấn Rạng Đông, Nghĩa Hưng, Nam Định Điện thoại: 03503… BÁO CÁO SÁNG KIẾN I ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN Trong đề thi THPT QG năm gần thường gặp phương trình vô tỉ, bất phương trình, hệ phương trình mức độ vận dụng cao (câu 8, điểm) Để giải toán đòi hỏi học sinh vận dụng kết hợp sáng tạo nhiều phương pháp: phân tích nhân tử, phương pháp thế, phương pháp hàm số, phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp liên hợp, phương pháp đánh giá, … Song, vấn đề chỗ lựa chọn phương pháp để giải đúng, nhanh gọn xác điều học sinh làm Qua trình giảng dạy lớp 12 nhiều năm nhận thấy cung cấp tương đối đầy đủ phương pháp giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình thống, học sinh định hình phương pháp giải gặp khó khăn việc tìm lời giải dẫn đến đáp số cuối cùng: ví dụ nhẩm số nghiệm phương trình tìm nghiệm chưa hàm số có đơn điệu khoảng K hay không, học sinh biết phương trình có nghiệm vô tỉ thêm bớt nhân tử để xuất nghiệm… Vậy làm để học sinh có cảm nhận toán lựa chọn phương pháp giải hợp lý thời gian ngắn điều khiến băn khoăn trăn trở Qua trình học hỏi kinh nghiệm đồng nghiệm, qua chuyên đề tìm hiểu trình đúc rút kinh nghiệm từ thân thấy cần cung cấp cho học sinh số kỹ vận dụng hỗ trợ máy tính casio để tìm hướng giải phương trình , bất phương trình hệ, cho học sinh rèn luyện để kiểm chứng kỹ thuật học Từ nhu cầu thực tế viết sáng kiến kinh nghiệm: “ỨNG DỤNG MÁY TÍNH CASIO HỖ TRỢ NHẨM NGHIỆM, DỰ ĐOÁN NHÂN TỬ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH’’ II MÔ TẢ GIẢI PHÁP II.1 MÔ TẢ GIẢI PHÁP TRƯỚC KHI TẠO RA SÁNG KIẾN Hiện trạng trước áp dụng giải pháp mới: Cấu trúc đề thi THPT QG năm gần đây, phần phương trình, bất phương trình, hệ phương trình thường đòi hỏi mức độ vận dụng cao nên trường, Sở nước đề khảo sát kỳ thường đòi hỏi mức độ vận dụng kiến thức cao phần này.Nhằm đáp ứng yêu cầu kỳ thi THPT Quốc Gia, thường cho học sinh cọ sát với đề khảo sát thi THPT Quốc Gia trường, Sở nước nhận thấy học sinh có lực học tốt “dám” làm phần phương trình, bất phương trình, hệ phương trình tốn nhiều thời gian công sức có không tìm hướng giải giải 50% đến 70% toán mà không giải triệt để vấp phải số vướng mắc VD Đề thi kỳ I lớp 12 năm 2015 – 2016 trường THPT C Nghĩa Hưng Giải hệ phương trình:  y + y + x − x = − x (1)  2 ( x, y ∈ Z )  − x = x + y −  3 Điều kiện: x ≤ 1, y ∈  − ;   2 (1) có x, y độc lập ⇒ định hướng hàm số (1) ⇔ y + y = 2(1 − x ) − x + − x Trang ' Xét hàm số f (t ) = 2t + t ta có f (t ) = 6t + > 0∀t ∈ R ⇒ hàm f (t ) đồng biến R y ≥ Vậy (1) ⇔ f ( y ) = f ( x − 1) ⇔ y = x − ⇔  vào ta  y = 1− x x + = 2x2 − 6x −1 Đến học sinh gặp khó khăn việc tìm lời giải tiếp Giáo viên hướng dẫn: Phương trình ⇔ x + = x − 12 x − ⇔ 4x + + x + + = x2 − 8x + ⇔ ( x + + 1) = (2 x − 2)  x + = x − (vô nghiêm x ≤ ) ⇔  x + = − x ⇔ x = 1− ⇒ y = Học sinh phản hồi: Làm để phát đưa phương trình dạng A2= B2 được? VD2 Đề trường THPT Thủ Đức – TP HCM  x + + x + x = y + y − (1) Giải hệ  (2) 3 x − x − = x y +  x ≥ 0, y ≥ Điều kiện:   x ≤ −2 (1) có x, y độc lập => định tính sử dụng phương pháp hàm số (1) ⇔ x + + ( x + 1) − = y + y − (*) Xét hàm số f (t ) = t + t − , t ≥ Chứng minh hàm số đồng biến (1; +∞) Khi phương trình (*) ⇔ f ( x + y ) = f ( y ) ⇔ x + = y Thay vào (2) ta x − x − = x x + Đến học sinh gặp khó khăn việc tìm lời giải Giáo viên hướng dẫn: Phương trình ⇔ x + 2.2 x + + [ 2(3x − 1) + 2(1 − x) ] x + + (3x − 1)( − x + 1) = ⇔ (2 x + − x + 1)(2 x + + x − 1) = 2 x + = x − ⇔  x + = − x Học sinh phản hồi: Làm để tách nhân tử đưa dạng phương trình tích A.B = 0? Trang VD (Đề sở GD ĐT Bắc Giang)  x − y + xy ( x + y ) − 24 y + x − 27 y = 14 (1) Giải hệ :  (2)  − x + y + = x + y − y ≥ Điều kiện  x ≤ Định hướng: Phương trình (1) tách nhân tử đưa dạng phương trình tích (1) ⇔ ( x − y − 2) ( x + y ) + ( x + y )(2 y + 2) + (2 y + 2) + 3 = ⇔ y = x−2 Học sinh phản hồi: làm biết phương trình (1) có nhân tử (y-x+2)? VD Giải phương trình : x + x − = ( x + 2) x − x + (1) Định hướng: thêm bớt, tách nhân tử đưa phương trình tích sử dụng phương pháp ẩn phụ không triệt để (1) ⇔ x − x − = ( x + 2) x − x + − x − ⇔ x − x − = ( x + 2)( x − x + − 3)  x = +  x2 − 2x − =  ⇔  ⇔   x = − x+2 1=   x2 − 2x + +  x − x + = x − ( ptr vô nghiem) x = 1+ ⇔  x = − Vấn đề chỗ: làm học sinh phát nhân tử ( x − x − )? Qua số ví dụ điển hình khó khăn học sinh gặp phải trình giải toán, nhằm giúp học sinh có công cụ mạnh để xử lý tình huống, xin đưa số giải pháp nhằm khắc phục nhược điểm giải pháp cũ II.2 MÔ TẢ GIẢI PHÁP SAU KHI CÓ SÁNG KIẾN 2.11VẤN ĐỀ CẦN GIẢI QUYẾT Trang bị cho học sinh kĩ chia đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử máy tính CASIO Trang bị cho học sinh kĩ chia đa thức có thức máy tính CASIO Trang bị cho học sinh kỹ thêm bớt, tìm tách nhân tử giải phương trình, bất phương trình vô tỉ máy tính CASIO Trang bị cho học sinh kỹ dự đoán mối quan hệ hai biến hệ phương trình máy tính CASIO Học sinh kết hợp tốt kỹ với việc vận dụng linh hoạt phương pháp giải phương trình, bất phương trình, hệ giải lớp toán mà học sinh thường gặp khó khăn trước Cách xử lí phương trình bất phương trình tương đối giống nhau, sáng kiến sâu vào toán giải phương trình Đối với hệ phương trình, theo xu hướng Trang thường tìm mối quan hệ biến theo biến từ phương trình hệ Sau vào phương trình lại, từ lại gặp toán giải phương trình Do việc nắm thật vững kỹ giải phương trình điều quan trọng, có việc giải phương trình trình giải hệ trước khó việc tìm mối quan hệ hai biến hệ 2.2 PHẠM VI ÁP DỤNG - Sáng kiến sử dụng để giảng dạy bồi dưỡng cho em học sinh khối 10,12 hệ THPT đặc biệt em ôn thi THPT Quốc gia xét đại học làm tài liệu tham khảo cho thầy cô giảng dạy môn Toán Các thầy cô học sinh sử dụng toán sáng kiến làm toán gốc để đặt giải tập cụ thể Trong sáng kiến đưa giải số dạng toán thường gặp tương ứng tập tự luyện Sau toán tác giả có nhận xét bình luận khắc phục hạn chế giúp bạn đọc chọn cho phương pháp giải tối ưu nhất, để có lời giải gọn gàng sáng sủa nhất.Hướng trình bày sáng kiến định tính phương pháp giải, hướng giải nhờ sử dụng máy tính casio, không sâu vào lời giải chi tiết 2.3 ĐIỀU KIỆN CẦN THIẾT ĐỂ ÁP DỤNG GIẢI PHÁP 1) Học sinh nắm phương pháp giải phương trình, bất phương trình : • Phương pháp biến đổi tương đương, hệ quả: Các dạng bản:  f ( x ) ≥ g ( x) ≥ * Dạng 1: f ( x) = g ( x) ⇔   f ( x) = g ( x) * Dạng 2:  g ( x ) ≥ f ( x) = g ( x) ⇔  (Không cần đặt điều kiện f ( x ) ≥ )  f ( x ) = g ( x ) * Dạng 3:  f ( x ) + g ( x ) + f ( x ) g ( x ) = h( x )  f ( x ) + g ( x ) = h( x ) ⇔  f ( x ) ≥ (chuyển  g ( x) ≥  dạng 2) * Dạng 4: f ( x ) + g ( x ) = h( x ) ⇔ f ( x) + g ( x ) + 33 f ( x) g ( x) (3 f ( x) + g ( x) ) = h( x) Thay h( x) = f ( x) + g ( x) nhận phương trình hệ • Phương pháp đặt ẩn phụ Đối với số phương trình đặt ẩn phụ để quy dạng đơn giản Tùy theo dạng phương trình đặt ẩn, nhiều ẩn, quy phương trình hệ phương trình Phương pháp đặt ẩn phụ hoàn toàn a Một số dạng thường gặp Nếu có f (x) f(x) đặt t = f (x) Nếu có f ( x) , g ( x) mà f ( x) g ( x) = a (hằng số) đặt t = f ( x) ⇒ g ( x) = a / t Trang Nếu có f ( x) ± g ( x ) , f ( x ) g ( x) , f ( x ) ± g ( x) = a đặt t = Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn Đặt ẩn phụ đưa dạng tích Sử dụng đẳng thức f ( x) ± g ( x) u + v = + uv ⇔ ( u − 1) ( v − 1) = au + bv = ab + vu ⇔ ( u − b ) ( v − a ) = Đặt ẩn phụ quy hệ phương trình u = n a − f ( x) u n + v n = a + b ⇒ Dạng 1: đặt ẩn phụ a − f ( x) + b + f ( x) = c →  v = n b + f ( x) u + v = c Dạng 2: ẩn phụ chuyển phương trình thành hệ : ax + b = c(dx + e) + nx + m Dạng 3: Đưa hệ tạm Nếu phương trình vô tỉ có dạng A + B = C , mà : A − B = α C dây C hàng số ,có thể biểu thức x Ta giải sau : n n  A + B = C A− B = C ⇒ A − B = α , đĩ ta có hệ:  ⇒ A = C +α A− B A − B = α  Đặt ẩn phụ đưa phương trình bậc biến : Chúng ta biết cách giải phương trình: u + α uv + β v = (1) cách u u Xét v ≠ phương trình trở thành:  ÷ + α  ÷+ β = v = thử trực tiếp v v Các trường hợp sau đưa (1) a A ( x ) + bB ( x ) = c A ( x ) B ( x ) α u + β v = mu + nv Chúng ta thay biểu thức A(x) , B(x) biểu thức vô tỉ nhận phương trình vô tỉ theo dạng a Phương trình dạng : a A ( x ) + bB ( x ) = c A ( x ) B ( x ) Như phương trình Q ( x ) = α P ( x ) giải phương pháp  P ( x ) = A ( x ) B ( x )  Q ( x ) = aA ( x ) + bB ( x ) b.Phương trình dạng : α u + β v = mu + nv Phương trình cho dạng thường khó “phát “ dạng , nhưg ta bình phương hai vế đưa dạng • Phương pháp trục để xuất nhân tử chung Trục thức để xuất nhân tử chung Một số phương trình vô tỉ ta nhẩm nghiệm x0 phương trình đưa dạng tích ( x − x0 ) A ( x ) = ta giải phương trình A ( x ) = chứng minh Trang A ( x ) = vô nghiệm , ý điều kiện nghiệm phương trình để ta đánh gía A ( x ) = vô nghiệm Nhân liên hợp • Phương pháp đánh giá Khi giải phương trình vô tỉ (chẳng hạn f ( x) = g ( x) ) phương pháp đánh giá, thường để ta phương trình có nghiệm (nghiệm nhất).Ta thường sử dụng bất đẳng thức cổ điển Cô si, Bunhiacopxki, đưa vế trái tổng bình phương biểu thức, đồng thời vế phải Ta sử dụng tính đơn điệu hàm số (có thể thấy sử dụng đạo hàm xét biến thiên hàm số) để đánh giá cách hợp lý  f ( x) = g ( x)  Thường ta đánh sau:  f ( x) ≥ C (≤ C ) ⇔ f ( x ) = g ( x) = C , đánh giá f ( x ) ≥ g ( x )  g ( x ) ≤ C (≥ C )  f ( x ) ≤ g ( x ) … Ngoài cụ thể ta có cách đánh giá khác Cũng có số phương trình vô tỉ có nhiều ẩn mà ta giải phương pháp đánh giá • Phương pháp hàm số Một số dạng a Phương trình f ( x ) = k Nếu f ( x) đơn điệu phương trình f ( x) = k có nghiệm x = x0 (Để tìm x0 ta nhẩm nghiệm) b Phương trình f ( x) = g ( x) Nếu f ( x) đồng biến g ( x) nghịch biến phương trình f ( x) = g ( x) có nghiệm x = x0 (Để tìm x0 ta nhẩm nghiệm) c Phương trình f (u ) = f (v ) Nếu f ( x) đơn điệu phương trình f (u ) = f (v ) ⇔ u = v 2) Học sinh có máy tính Casio 570ES Plus, vnplus 3) Học sinh nắm công dụng số phím chức máy tính Phím Calc: tính giá trị biểu thức Ví dụ: cho f ( x) = x + + x + tính f(2); f(4); Ta nhập vào máy biểu thức: x + + x + ấn CALC cho x=2 + ấn CALC cho x=4 33 + 2 Phím Shif+ calc (slove): tìm nghiệm phương trình Phím gán: Shift+STO Ví dụ: muốn gán giá trị 1000 cho A ta ấn: 1000 SHIFT STO A Phím Mode7: - Tìm nghiệm hữu tỉ - Dự đoán khoảng chứa nghiệm vô tỉ - Dự đoán số nghiệm phương trình Trang - Dự đoán tính đồng biến, nghịch biến hàm số 2.4 CÁCH THỨC THỰC HIỆN GIẢI PHÁP CHIA ĐA THỨC CÓ HỆ SỐ NGHUYÊN, PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VD1 Giải phương trình x − x3 + x − 11x + = Hướng dẫn: nhập biểu thức vế trái ALPHA X − ALPHA X + ALPHA X − 11ALPHA X + ấn SOLVE (SHIFT CALC) máy hỏi solve for x ta ấn 10 = nghiệm x = ấn ¬ replay để trở lại phương trình ấn SOLVE cho x=0 nghiệm x = ấn SOLVE cho x=-10 nghiệm x = dự đoán nhân tử : (x-1)(x-2)=x2-3x+2 Ta thực chia để tìm nhân tử lại sau: x − x3 + x − 11x + Nhập x − 3x + Calc cho x=1000 999003 ≈ x ấn ¬ replay Ta trừ biểu thức cho x2 Calc cho x = 1000 -997 dự đoán –x+3 ¬ replay Ta cộng biểu thức cho x-3 Calc cho x tuỳ ý 0, chứng tỏ phép chia hết ⇒ x − x + x − 11x + = (x − 3x + 2)(x − x + 3) Học sinh kiểm chứng kết việc biến đổi ngược lại để tìm lời giải Nhận xét: Học sinh tính nghiệm hữu tỉ sử dụng lược đồ Hoocne để tách nhân tử trường hợp không tìm nghiệm hữu tỉ mà dự đoán nhân tử bậc cao việc chia tỏ hiệu rõ ràng Ta xét VD2 VD2 Giải phương trình: x + 3x3 + x − = Nhập biểu thức vế trái Ấn SOLVE nhập x = 10 nghiệm x ≈ 0, 73205 Ấn , = để lưu phương trình ấn AlphaX Shift STO A ( gán nghiệm vừa tìm cho A) Trở lại phương trình ấn SOLVE nhập x = Được x ≈ −2, 73205 ấn AlphaX Shift STO B gán vào B Ta thử : AlphaA+ AlphaB=-2 AlphaA.AlphaB=-2 Suy A, B nghiệm phương trình x + x − ⇒ Nhân tử x + x − Trang x + 3x + x − x2 + 2x − Thực phép chia tương tự ví dụ ta x + x + x − = ( x + x − 2)( x + x + 1) Nhập Nhận xét: Đối với phương trình bậc cao, tìm nghiệm vô tỉ có tổng, tích hữu tỉ dự đoán nhân tử nhờ định lý Viet thực phép chia đa thức trên, sau nhân ngược trở lại tìm hướng giải Có thể áp dụng kỹ để giải phương trình chứa phương pháp luỹ thừa đưa phương trình bậc cao Ví dụ 3: Giải phương trình : (1 − x ) x + − x + = (1) t −1 Thế vào phương trình (1) ta được: t + t − 6t − 5t + = Nhập vế trái ấn SOLVE cho x=10 x ≈ 2.30277 Ấn , = để lưu phương trình ấn AlphaX Shift STO A ( gán nghiệm vừa tìm cho A) Trở lại phương trình ấn Solve nhập x = x ≈ 0, 4142 gán vào B Trở lại phương trình ấn Solve nhập x = -10 x ≈ -2.4142 gán vào C Thử AlphaC+ AlphaB=-2 AlphaC.AlphaB=-1 Suy B, C nghiệm phương trình t + 2t − ⇒ Nhân tử t + 2t − t + t − 6t − 5t + Ta nhập t + 2t − Calc cho x=1000 998997 ≈ x ấn ¬ replay Ta trừ biểu thức cho x2 Calc cho x = 1000 -1003 dự đoán –x-3 ¬ replay Ta cộng biểu thức cho x+3 Calc cho x tuỳ ý 0, chứng tỏ phép chia hết Suy t + t − 6t − 5t + = (t + 2t − 1)(t − t − 3) Từ toán giải dễ dàng Đặt 2x + = t, t ≥ ⇒ x = Ví dụ 4: Giải phương trình: x − x + (5 x − 6) x − = Đk: x ≥ Trang ấn ¬ replay trừ biểu thức cho x – Bước 4: Calc cho x tuỳ ý 0, phép chia hết ⇒ A = x +1 + x −1 Nhận xét: Phép chia đa thức có thức dùng để định hướng thêm bớt hạng tử làm xuất biểu thức chứa chứa nghiệm vô tỉ phương trình vô tỉ Việc tìm biểu thức chưa chứa nghiệm vô tỉ phương trình vô tỉ nghiên cứu phần sau GIẢI PHÁP THÊM BỚT TÌM NHÂN TỬ GIẢI PT, BPT VÔ TỈ BẰNG MÁY CASIO 3.1 Trường hợp tìm hai nghiệm hữu tỉ đơn VD1: Giải phương trình: 3x + + x + − (3 x − x + 3) = Bước 1: Nhập biểu thức vế trái Bước 2: ấn Shift calc (solve) cho x=10 ta nghiệm Bước 3: ấn Shift calc (solve) cho x=0 ta nghiệm Nhân tử x(x-1) Phân tích: Để làm xuất nhân tử x − x biểu thức chứa thường phải thêm bớt nhị thức bậc Giả sử phương trình 3x + + ax + b =  x = b + = b = −1 ⇒ ⇒  Có hai nghiệm:  x =  a + a = −2 a = −1 ⇒ 3x + − x − Tương tự : x + − x − Khi ta có lời giải sau: −1   x ≥ −1 ⇔ x≥ Điều kiện pt:   x ≥ −4  (1) ⇔ 3x + − x − + x + − x − = x − x ⇔ − x2 + x + = 3( x − x ) 3x + − x − 5x + − x −   x = (tm)  ⇔  x = (tm)  1  + = −3 (*)  x + − x − 5x + − x − −1  x + > ⇒ ⇒ VT ptr (*) > Do điều kiện x ≥ x + > ⇒ pt (*) vô nghiệm Trang 10 Vậy tập nghiệm phương trình là: S = { 0,1} Nhận xét: Đối với phương trình vô tỉ tìm hai nghiệm hữu tỉ cách làm tương tự ví dụ tìm hạng tử cần thêm bớt sử dụng phương pháp liên hợp làm xuất nhân tử Việc sử dụng máy tính để tìm nghiệm tiết kiệm nhiều thời gian công sức giải toán Bài tập tự luyện : Giải phương trình, bất phương trình sau: 1) x − x + + x − x = 21x − 17 2) x − x − + x + + x + 11 = 3) x + + 2( x − 1) x + ≥ x + 13 x − 13 4) x − 22 x + 22 x − + x − = 5) x − x + ≤ x 3x − 6) 3x + x − = x x − 3.2 Trường hợp tìm hai nghiệm vô tỉ đơn có tổng, tích hữu tỉ Ví dụ 1: ta xét ví dụ phần II.1 Giải phương trình: x + x − = ( x + 2) x − x + (1) Hướng dẫn: Sử dụng chức SOLVE ta tìm hai nghiệm vô tỉ là: 3,8284 -1,8284 ta gán cho A , B Thử được: A + B = Suy A, B nghiệm phương trình x − x −   AB = −7 Vậy phương trình tách nhân tử là: x − x − Từ ta có lời giải VD phần II.1 Chú ý: Phương trình bình phương hai vế đưa phương trình bậc thực phép chia đa thức giới thiệu Ví dụ 2: Giải phương trình: x + x − x x + = + x + (1) Hướng dẫn: Sử dụng chức SOLVE ta tìm hai nghiệm vô tỉ , ta gán cho A,B A + B = Thử   AB = −7 Suy A, B nghiệm phương trình : x − Vậy phương trình tách nhân tử x − Từ ta có lời giải: Trang 11 ⇔ x − − ( x + 2)( x + − 3) =  x − = (a ) (1)  ⇔ x+2 1 = x + + (b)  (a) ⇔ x = ± x ≥  x ≥  −1 ( hệ vô nghiệm) (b ) ⇔ x + = x − ⇔   x = x + = x − 4x +1 { Vậy tập nghiệm phương trình S = − 7, } Bài tập tương tự: 1) + x = x − x − 2) ( x + 2) x + = ( x + 1) 3) x + x + − (9 x + 7) x + = 4) x + = 2x + −7 2x x 3.3 Trường hợp phương trình vô tỉ tìm nghiệm vô tỉ hai nghiệm vô tỉ tổng, tích không hữu tỉ Ví dụ 1: Giải phương trình: x + x + = ( x + 1) x + + x + (1) Hướng dẫn: Nhập biểu thức vế trái ấn solve cho x=10, x=0, x=-10 ta tìm nghiệm x ≈ 4, 2306 ta lưu vào A Ấn MODE Nhập f(x)= A2 − Ax Máy hỏi start? Ta nhập -14 = Máy hỏi End? Ta nhập 14 = Máy hỏi Step? Ta nhập = Máy lên bảng giá trị, ta thấy x=4 f(x)=1, suy A2 − A = ⇒ A nghiệm phương trình x − x − = ⇒ phương trình (1) tách nhân tử x − x − Từ ta có hướng thêm bớt hạng tử: Ta nhận thấy: x + + x − x − = x + x + = ( x + 2) ⇒ x + − x − x + + x − x − = x + x + = ( x + 1) ⇒ x + − x − Từ ta có lời giải 8 x + ≥ −1 ⇔x≥ Đk:  6 x + ≥ Trang 12 ⇔ ( x + 1)( x + − x − 2) + x + − x − = ⇔ (1) ( x + 1)(− x + x + 1) − x2 + x + + =0 8x + + x + 6x + + x +1  − x + x + = (a) ⇔ x +1  + = (b ) 6x + + x +1  x + + x + x = + (a) ⇔   x = − Giải (b) Do x ≥ −1  x + > ⇒ suy VT (b)>0 ⇒ ( b) vô nghiệm x + > { Kết hợp điều kiện ta tập nghiệm phương trình là: S = + } Ví dụ 2: Giải Phương trình x − + x + = x + (1) Hướng dẫn: Nhập biểu thức vế trái ấn solve cho x=10, x=0, x=-10 ta tìm nghiệm x ≈ −0, 4641 ta lưu vào A Ấn MODE Nhập f(x)= A2 − Ax Máy hỏi start? Ta nhập -14 = Máy hỏi End? Ta nhập 14 = Máy hỏi Step? Ta nhập = Máy lên bảng giá trị, ta thấy x=6 f(x)=3, suy A2 − A = ⇒ A nghiệm phương trình x − x − = ⇒ phương trình (1) tách nhân tử x − x − Đến ta thêm bớt hạng tử, dùng phương pháp liên hợp tương tự ví dụ để tách nhân tử x − x − luỹ thừa đưa phương trình bậc 4, dùng giải pháp chia đa thức cho x − x − , ta thương lại VD3 Giải phương trình x − x − − 2(2 x − 1) x − = Hướng dẫn: Nhập biểu thức vế trái ấn solve cho x=10, x=0, x=-10 ta tìm nghiệm x ≈ −1, 236 ta lưu vào A Ấn MODE Nhập f(x)= A2 − Ax Máy hỏi start? Ta nhập -14 = Máy hỏi End? Ta nhập 14 = Máy hỏi Step? Ta nhập = Trang 13 Máy lên bảng giá trị, ta thấy x=-2 f(x)=4, suy A2 + A = ⇒ A nghiệm phương trình x + x − = ⇒ phương trình (1) tách nhân tử x + x − Đến ta thêm bớt hạng tử, dùng phương pháp liên hợp luỹ thừa đưa phương trình bậc 4, dùng giải pháp chia đa thức cho x + x − , ta thương lại Nhận xét: Với giải pháp trên, phương trình vô tỉ chứa mà dò tam thức bậc hai chứa nghiệm vô tỉ phương trình ta luỹ thừa lên thực phép chia đa thức tìm nhân tử lại VD4 Giải phương trình x − 8x + = x x − 3x + Hướng dẫn: Nhập biểu thức vế trái (1) Sử dụng phím SOLVE ta tìm hai nghiệm vô tỉ, lưu vào A, B: A ≈ 1,183; B = 0,3169 A+B vô tỉ A.B vô tỉ nên không thực 3.2 Ta tìm tam thưc bậc hai chứa nghiệm vô tỉ A B ví dụ 1,2, tìm sau Ấn Mode Nhập f ( x) = A2 − A + − Ax = Máy hỏi start? Ta nhập -14 = Máy hỏi End? Ta nhập 14 = Máy hỏi Step? Ta nhập = Từ bảng giá trị ta thấy: x = f ( x) = ⇒ A2 − A + = ⇒ A nghiệm phương trình 2 x − x + − Sử dụng giải pháp chia đa thức có thức ta x − x + − x x − 3x + = 2 x − 3x + − x + 2 x − 3x + − Từ ta có lời giải sau (1) ⇔ x − 12 x + + x − + (2 − x − 2) x − x + = Trang 14 ⇔ 4(2 x − x + 1) + 2(1 − x) x − x + − 2 x − x + + x − = ⇔ 2 x − x + 1(2 x − 3x + − 1) + (1 − x)(2 x − x + − 1) = ⇔ (2 x − x + + − x)(2 x − x + − 1) = 2 x − 3x + + − x = ⇔  2 x − x + − =  3+ x = 8 x − 12 x + =    3− ⇔   x ≥ ⇔ x =  4    −1 +  8 x + x − = x =  Kết luận… VD5 Giải phương trình x + = x − x −  x ≈ 3, 732 Sử dụng phím Shift Calc ta tìm hai nghiệm  vô tỉ, lưu vào A, B  x ≈ −0, 4142 Ấn Mode nhập f ( x) = + A − Ax Máy hỏi start? Ta nhập -14 = Máy hỏi End? Ta nhập 14 = Máy hỏi Step? Ta nhập = Máy lên bảng giá trị, ta thấy x=2 f(x)=-3, ⇒ + A − 2A=-3 ⇒ A nghiệm phương trình + x − 2x+3 =0 Sử dụng giải pháp chia đa thức chứa thức ta có x2 − x −1 − + x 1 =− + 4x − x + 2 + x − 2x+3 Từ ta có lời giải Điều kiện: x + ≥ ⇔ x ≥ − (1) ⇔ x − 12 x − − + x = ⇔ (2 x − 1)(2 x − 3) − (5 x + 4) + (1 − x + x − 3) + x = ⇔ (2 x − 1)(2 x − 3) + (2 x − 3) + x − (2 x − 1) + x − (5 x + 4) =  + 4x = − 2x ⇔  + x = x − Đến phương trình giải dễ dàng Nhận xét chung: phương trình vô tỉ mà tìm nghiệm vô tỉ đơn tìm hai nghiệm vô tỉ tổng tích không hữu tỉ ta tìm tam thức bậc hai chứa Trang 15 nghiệm vô tỉ nhờ sử dụng chức Mode từ tìm cách tách nhân tử, sử dụng chức Mode7 dò biểu thức vô tỉ có chứa nghiệm vô tỉ sử dụng giải pháp chia đa thức có thức để tìm thương từ tìm cách tách làm xuất nhân tử Bài tập tự luyện : Giải phương trình, bất phương trình sau: 1) 5x2 + x + ≤ 5x x2 + x + 3) x2 + x + = (5 x + x +1 x − x − x − = ( x + 4) x + 4) (1 − x ) x + − x + = 5) x + x = ( x + 1) x + + 6) x3 − 3x + = − x 2) Ứng dụng chức SOLVE dự đoán mối quan hệ hai biến hệ phương trình Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau:  x + xy (2 y − 1) = y − y − x (1) ( THPT số Bảo Yên)  6 x − + y + = x ( y − 1) (2) Hướng dẫn: Điều kiện: x ≥ Nhập phương trình số (1) vào máy ALPHA X + ALPHA X ALPHA Y (2 ALPHA Y − 1) − ALPHA Y + ALPHA Y + ALPHA X ấn SOLVE Máy hỏi y ? ta nhập 100 = Máy hỏi solve for x ? ta nhập = Máy x=99 ta dự đoán x=y-1 ⇒ nhân tử x-y+1 Thực tách nhân tử ta được: (1) ⇔ (2 y + x)(1 + x − y ) = Do x ≥ ⇒ y + x > suy y=x+1 Thế vào phương trình (2) ta được: x − + x + = x (3) Sử dụng chức solve ta tìm nghiệm phương trình x=2, không tìm nghiệm khác ⇒ nhân tử x-2 Khi (3) ⇔ 6( x − − 1) − x + x + 14 = 6( x − 2) ⇔ = ( x − 2)(4 x + 7) x −1 + x = ⇔  = x + (4)  x − + Trang 16 Với x=2 ⇒ y=3 Giải (4)  x + ≥ 11  ⇒ (4) vô nghiệm Với x ≥ ⇒   x −1 + ≤  Vậy hệ có nghiệm x=2; y=3 Nhận xét: Nhờ trợ giúp đắc lực từ máy tính, ta tìm mối quan hệ x y hệ, từ xác định hướng giải toán Ví dụ 2: giải hệ pt:  x + y + − x + y + = x + y + (1)   (3 x + 2) y + + x = 14 x y (2)  Hướng dẫn: điều kiện: x ≥ 0, y ≥ Nhập phương trình số (1) vào máy ấn SOLVE Máy hỏi y ? ta nhập 100 = Máy hỏi solve for x ? ta nhập = Máy x=300 ta dự đoán nhân tử x-3y Nhận thấy hệ số tự bị khử , nên tách x + y + = x + y + + x + y + { Sau nhóm với hai lại liên hợp,xuất nhân tử chung x = 3y  1 (1) ⇔  = (3)  x + y + + x + y + x + y + + 3x + y + Nhân chéo hai vế (3) khử ta x=3y Với x=3y vào phương trình (2) ta được: (3x + 2) x + + x = 14 x x x=0 nghiệm phương trình Với x>0, chia hai vế cho x x ta (3 + ) + + = 14 (3) x x x Đặt = t (t > 0) , ta (3 + 2t ) + t + 4t = 14 x Dùng phím SOLVE ta tìm nghiệm t=1 nên (3) ⇔ (3 + 2t )( + t − 2) + 8t − = + 2t ⇔( + 8)(t − 1) = ⇔ t = 3+t + 1 ⇒ =1⇔ x =1 ⇒ y = x Trang 17 Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: ( 2016 + x + x)( 504 + y + y ) = 1008 (1)   ( THPT Hồng Quang lần 2)  x x − xy + = xy + x + (2) Hướng dẫn: Nhập phương trình số (1) vào máy ấn SOLVE Máy hỏi solve for y ? ta nhập 100 = Máy hỏi solve for x ? ta nhập = Máy x=-200 suy x=-2y (1) ⇔ ( 2016 + x + x)504 = 1008( 504 + y − y ) ⇔ 2016 + x + x = 2016 + (−2 y ) + (−2 y ) Dễ dàng chứng minh hàm số y = 2016 + t + t đồng biến ¡ ⇒ x = −2 y ⇒ y = −x vào phương trình số ta x x + x + + x − x − = (3) Dùng chức SOLVE ta tìm hai nghiệm nghiệm vô tỉ -0,1583… ta gán nghiệm cho A Sử dụng chức MODE ta dự đoán nhân tử x + x + + x có nghiệm A Sử dụng giải pháp chia đa thức ta tìm nhân tử lại x + x + − 3x ⇒ (3) ⇔ ( x + x + + x)( x + x + − x) =  x2 + 2x + + x = ⇔  x + x + − x = Đến toán giải Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:  y + y + y + = xy + x − xy + 3x   x − x + x + − y = −1 Điều kiện: x ≥ Nhập phương trình số (1) vào máy ấn SOLVE Máy hỏi solve for y ? ta nhập 100 = Máy hỏi solve for x ? ta nhập = Máy x=13.125 ta dự đoán 13.125 = 105 y + = 8 Dự đoán nhân tử y-8x+5 Từ ta tách (1) Trang 18 ⇔ ( y + x + 1)( y − x + 5) =  y + x + = 0(vn) ⇔  y − 8x + = −1 Do x ≥ nên x+1>0 ⇒ y + x + > suy y=8x+5 Thế vào phương trình (2) ta x − 13x + + x + = Phương trình lại có dạng 3.3( tìm hai nghiệm vô tỉ tổng tích không hữu tỉ) Nhập vế trái Sử dụng phím SOLVE ta dò hai nghiệm vô tỉ ta gán cho A, B Sử dụng chức MODE ta dò nhân tử 3x + − x + ( dò với nghiệm A không ta dò sang nghiệm B) Sử dụng giải pháp chia đa thức ta tìm thương 3x + + x − Từ ta dễ dàng tìm lời giải toán Nhận xét chung: Với trợ giúp đắc lực từ máy tính casio, vận dụng thành thạo kỹ chia đa thức tách nhân tử, kỹ tìm nghiệm vô tỉ chức MODE dò tam thức bậc hai chứa nghiệm vô tỉ,ta dễ dàng tìm lời giải toán cách nhanh gọn, hiệu Đối với toán giải hệ phương trình mà mối quan hệ hai biến dạng y=ax+b ( a,b hữu tỉ) ta hoàn toàn tìm mối quan hệ nhờ công dụng máy tính hướng dẫn trên, từ mối quan hệ ta tìm cách tách làm xuất nhân tử Trở lại ví dụ phần II.1 Đối với khúc mắc ví dụ 1(II.1) x2 − 6x − = x + Phương trình rơi vào trường hợp có hai nghiệm vô tỉ tổng tích không hữu tỉ Nhập phương trình Ấn SOLVE nhập x=10 x=3.73025… ta gán cho A Ấn SOLVE nhập x=0 x=-0.4142 ta gán cho B Ấn MODE 7, nhập f ( x) = A + − Ax Máy hỏi START ? ta nhập x=-14 Máy hỏi END ? ta nhập x=14 Máy hỏi STEP? Ta nhập x=1 Nhìn vào bảng giá trị, ta tra x=2 f(x)=-3 ⇒ A nghiệm phương trình x + − x = −3 Dự đoán nhân tử x + − x + Sử dụng giải pháp chia đa thức, ta tìm nhân tử lại là: x + + x − Từ dễ dàng tìm lời giải toán Đối với khúc mắc ví dụ 2( II.1) Phương trình x − x − = x x + Nhập phương trình Ấn Solve nhập x = 10 x = Ấn solve nhập x = x = - 0,4867… ta lưu vào A Trang 19 Ấn Solve nhập x = -10 x = - 0,4867 nghiệm A Sử dụng phím Mode7 ta dò nhân tử chứa nghiệm A x + + 3x − Sử dụng giải pháp chia đa thức ta thương x + − x + Đối với khúc mắc ví dụ (II.1) Ta cần nhập vào máy x − y + 3xy ( x + y ) − 24 y + 3x − 27 y − 14 Sử dụng chức Solve ta dự đoán mối quan hệ x y y=x–2 Từ ta dự đoán nhân từ x – y – Bài tập tương tự  x + y ( x + 1) = y + y − x 1)  (THPT Yên Thế - 2016)  x + x + 20 = 171 y + 40( y + 1) y −  x + + x + xy + y − = y + y − 2)  (THPT Hùng Vương – Phú Thọ 2016) 2 x x + xy + = x + y − xy − x −  ( x + y + 1) y + xy = y (3 x + y + 3) 3)  (THPT Phạm Văn Đồng- 2016) ( x + − y − 2)( x − + x + x + y − 4) =  x − y = ( x − y )(2 xy + 3) 4)  (Lần THPT Thạch Thành 1- 2016)  x + y = + xy  y + y + 4( x − y − 1) = xy 5)  (Lần THPT Bình Long - 2016) 2 ( x + 1) y + x (2 y + 1) = x − 3x −  x + x = ( x + y ) y + x + y 6)  (Lần THPT Lộc Ninh - 2016) x − + xy = y + 21  6 x + x + y = y + xy (3 x − 2) 7)  (Lần THPT Hồng Quang - 2106)  x − y − + x − = y −  x − y − + y + = x + x + y 8)  (Lần THPT Thuận Thành - 2016)  x + x + y + 17 − x + − x y + =  y + 12 y + 25 y + 18 = (2 x + y ) x + y 9)  (THPT Nghi Sơn, Thanh Hoá - 2015) 2  x + + x − 14 x − = − y − y 3 x + y + = ( y − x)( y + xy + x + 6) 10)  (THPT Chuyên Vĩnh Phúc – 2015) ( x + y − 13)( x − 14 − x + 1) = Trang 20 III HIỆU QUẢ DO SÁNG KIẾN ĐEM LẠI Hiệu kinh tế Với giải pháp đưa sáng kiến qua trình giảng dạy học sinh lớp 10 lớp 12, thấy có hiệu rõ rệt Đề tài kiểm nghiệm năm học giảng dạy lớp 10,12 học sinh đồng tình đạt kết quả, nâng cao khả giải phương trình, bất phương trình vô tỉ, hệ phương trình Các em hứng thú học tập hơn, lớp có hướng dẫn kỹ em học sinh với mức học trung bình cứng trở lên có kỹ giải tập Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt Cụ thể lớp khối 10,12 sau áp dụng sáng kiến vào giảng dạy số HS hiểu có kỹ giải dạng toán nói , kết qua kiểm tra thử sau : Năm học 20141015 20152016 Lớp Tổng số 12A3 46 Điểm trở lên Số Tỉ lệ lượng 17,4 % Điểm từ đến Điểm Số Số Tỉ lệ Tỉ lệ lượng lượng 29 59,2 % 19,4% 10A5 47 19,1 % 33 70,2 % 10,6% 12A3 41 12 29,3 % 23 55 % 14,6 % 12A5 44 18,2% 27 61,4% 20.4% Như thấy phương pháp có hiệu tương đối Theo dạy chuyên đề phương trình vô tỉ,bất phương trình, hệ phương trình giáo viên cách rõ dạng toán cách giải tương ứng để học sinh nắm bài, cần hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính để hỗ trợ giúp học sinh tiết kiệm nhiều thời gian để tìm lời giải đắn Hiệu mặt xã hội Sáng kiến giúp em sử dụng thành thạo máy tính cầm tay,còn nhiều dạng toán khác mà giải phương pháp bình thường gặp nhiều khó khăn, biết khai thác mạnh mà máy tính đem lại giúp cho học sinh dễ dàng định hướng làm cho công việc giải toán bớt nặng nề hơn, góp phần hình thành lòng đam mê, yêu thích môn từ hướng em vào việc nghiên cứu, để tìm ứng dụng mới, không hài lòng với kiến thức biết mà có tinh thần tìm tòi, sáng tạo để tự tìm kiến thức Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắn có nhiều thiếu sót hạn chế Tôi mong quan tâm tất đồng nghiệp bổ sung góp ý cho Tôi xin chân thành cảm ơn Trang 21 IV CAM KẾT KHÔNG SAO CHÉP HOẶC VI PHẠM BẢN QUYỀN Sáng kiến viết qua trình dài nghiên cứu tài liệu, học hỏi kinh nghiệm đồng nghiệp đúc rút từ kinh nghiệm thân tham gia giảng dạy chuẩn bị cho em lớp 12 thi THPT Quốc gia qua hai năm học 2014-2015, 2015-2016 Tôi cam đoan không chép vi phạm quyền cá nhân, tổ chức CƠ QUAN ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN (xác nhận) ………………………………………………………… ………………………………………………………… TÁC GIẢ SÁNG KIẾN Nguyễn Thị Quyết ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………… …………………………………… …………………………………… Trang 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO + Sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao - Nhà xuất giáo dục + Bài giảng chuyên sâu toán THPT ( Lê Hồng Đức-Nhóm cự môn) –Nhà xuất Hà Nội + Phân loại phương pháp giải dạng tập toán 10( Ths Nguyễn Kiếm-Ths Lê Thị Hương- Ths Hồ Xuân Thắng)- Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội + Phương Pháp giải toán Đại Số (Lê Hồng Đức- Lê Bích Ngọc –Lê Hữu Trí)- Nhà xuất đại học Quốc gia Hà Nội + Hướng dẫn ôn tập kì thi THPT Quốc gia năm 2015-2016 môn Toán ( Đoàn Quỳnh)- Nhà xuất giáo dục Việt Nam + Thư viện đề thi kiểm tra : dethi.violet.vn + máy tính VINACAL Vn-570MS hướng dẫn sử dụng giải toán Trang 23 MỤC LỤC Nội dung I ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN II MÔ TẢ GIẢI PHÁP Mô tả giải pháp trước tạo sáng kiến Mô tả giải pháp sau có sáng kiến 2.1 Vấn đề cần giải 2.2 Phạm vi áp dụng 2.3 Điều kiện cần thiết để áp dụng giải pháp 2.4 Cách thức thực 2.4.1 Giải pháp chia đa thức có hệ số nguyên, phân tích đa thức thành nhân tử 2.4.2 Giải pháp chia đa thức có thức 2.4.3 Giải pháp thêm bớt, tìm nhân tử giải phương trình vô tỉ 2.4.4 Ứng dụng chức Solve dự đoán mối quan hệ hai biến hệ trang 1 3 4 7 10 16 phương trình III HIỆU QUẢ DO SÁNG KIẾN ĐEM LẠI IV CAM KẾT KHÔNG SAO CHÉP, HOẶC VI PHẠM BẢN QUYỀN 21 22 Trang 24 ... Tên sáng kiến ỨNG DỤNG MÁY TÍNH CASIO HỖ TRỢ NHẨM NGHIỆM, DỰ ĐOÁN NHÂN TỬ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Toán THPT Thời gian áp dụng sáng kiến Từ... DỤNG MÁY TÍNH CASIO HỖ TRỢ NHẨM NGHIỆM, DỰ ĐOÁN NHÂN TỬ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH’’ II MÔ TẢ GIẢI PHÁP II.1 MÔ TẢ GIẢI PHÁP TRƯỚC KHI TẠO RA SÁNG KIẾN Hiện trạng trước áp dụng giải pháp... thức máy tính CASIO Trang bị cho học sinh kỹ thêm bớt, tìm tách nhân tử giải phương trình, bất phương trình vô tỉ máy tính CASIO Trang bị cho học sinh kỹ dự đoán mối quan hệ hai biến hệ phương trình