I ®Þnh lý talet – tam gi tam gi¸c ®ång d¹ng Trong ch¬ng nµy, chóng ta sÏ «n l¹i c¸c kiÕn thøc chung vÒ tam gi¸c, c¸c trAêng hîp b»ngB nhau cña tam gi¸c, c¸c d¹ng tam gi¸c ®Æc biÖt, c¸c ®êng ®Æc biÖt trong tam gi¸c, c¸c d¹ng tø gi¸c vµ tÝnh chÊt cña chóng V× lý do ®ã, chóng t«i chØ nh¾c l¹i c¸c kiÕn thøc nµy díi d¹ng lý thuyÕt, c¸c bµi tËp vËn dông chóng sÏ ®îc g¾n vµo trong c¸c bµiDtËp vÒ §Þnh lý H C Talet vµ tam gi¸c ®ång d¹ng I Nh¾c l¹i mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n 1 Tam gi¸c Ad Trong mét tam gi¸c: B N C - Ba ®êng cao ®ång quy, ®iÓm ®ång qui gäi lµ trùc t©m cña tam gi¸c AD - Ba ®êng trung tuyÕn ®ång quy, ®iÓm ®ång qui gäi lµ M träng t©m cña tam gi¸c B C - Ba ®êng ph©n gi¸c ®ång quy, ®iÓm ®ång qui lµ t¹i t©m ®êng trßn néi tiÕp tam Hgi¸Dc M - Ba ®êng trung trôc ®ång quy, ®iÓm ®ång qui lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp cña tam gi¸c XÐt tam gi¸c ABC: A - NÕu  ABC cã AB = AC hoÆc B C th× tam gi¸c c©n t¹i A B C - NÕu  ABC cã AB = AC = BC hoÆc A B C th× tam gi¸c ®Òu - NÕu  ABC c©n vµ cã mét gãc b»ng 600 th× tam gi¸c ®Òu O §êng trung b×nh cña tam gi¸c: D - NÕu MA = MB; NA = NC th× MN ®îc gäi lµ ®êng trung b×nh cña  ABCA C - NÕu MN lµ ®êng trung b×nh th× MN// BC vµ MN = 1 B BC A H 2 - NÕu MN // BC  NA  NC     1 MA MB MN  BC  2  MN // BC M N Chó ý: Tõ MA  MB Kh«ng suy ra ®îc    MN 1   2 BC  MA  NC I.2 Tø gi¸c- c¸c d¹ng tø gi¸c ®Æc biÖt B B EC C 1 Tø gi¸c BH O F - Tæng 4 gãc trong 1 tø gi¸c: A  B  C  D 3600 A C - Tæng c¸c gãc ngoµi cña tø gi¸c b»ng 1800 A l GD D 2 C¸c d¹ng tø gi¸c ®Æc biÖt 1 H×nh thang Tø gi¸c ABCD lµ h×nh thang nÕu cã hai c¹nh ®èi song song (AB//CD) B O - AB vµ CD ®îc gäi lµ 2 ®¸y AH lµ ®êng cao D - Hai gãc kÒ 1 c¹nh bªn cña h×nh thang bï nhau CB - NÕu h×nh thang cã 1 gãc vu«ng th× cã Ýt nhÊt 2 gãc vu«ng A Khi ®ã nã ®îc gäi lµ h×nh thang vu«ng - H×nh thang ABCD (AB//CD) lµ h×nh thang c©n nÕu cã: + Hai gãc kÒ mét ®¸y b»ng nhau (A = B hoÆc C = D) + Hai ®êng chÐo b»ng nhau (AC = BD) A + NhËn ®êng th¼ng ®i qua trung ®iÓm cña 2 ®¸y (MN) lµm trôc ®èi xøng 2 H×nh b×nh hµnh D C Tø gi¸c ABCD lµ h×nh b×nh hµnh nÕu: + C¸c c¹nh ®èi song song (AB//CD, BC//AD) + C¸c gãc ®èi b»ng nhau : A C ; B D + Cã mét cÆp c¹nh ®èi song song vµ b»ng nhau (AB//CD vµ AB = CD hoÆc BC//AD vµ BC = AD) + Hai ®êng chÐo c¾t nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®êng (OA = OC; OB=OD) + C¸c c¹nh ®«Ý b»ng nhau: AB = CD; BC = AD Chó ý: Giao ®iÓm cña hai ®êng chÐo lµ lµ t©m ®èi xøng cña h×nh b×nh hµnh 3 H×nh ch÷ nhËt: Tø gi¸c ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt khi vµ chØ khi: + Cã ba gãc vu«ng (A = B = C = 900) + Lµ h×nh b×nh hµnh cã 1 gãc vu«ng + Lµ h×nh b×nh hµnh cã 2 ®êng chÐo b»ng nhau + Lµ h×nh thang c©n cã 1 gãc vu«ng + Lµ h×nh thang c©n cã 2 ®êng chÐo b»ng nhau vµ c¾t nhau t¹i trung ®iÓm cña nöa ®êng + NhËn c¸c ®êng th¼ng ®i qua trung ®iÓm cña c¸c cÆp c¹nh ®èi lµm trôc ®èi xøng .4 H×nh thoi Tø gi¸c ABCD lµ h×nh thoi khi vµ chØ khi: + C¸c c¹nh b»ng nhau: AB = BC = CD = DA + Hai ®êng chÐo vu«ng gãc víi nhau vµ c¾t nhau t¹i trung ®iÓm cña nöa ®êng + H×nh b×nh hµnh cã 2 c¹nh kÒ b»ng nhau + C¸c ®êng chÐo lµ tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc + H×nh b×nh hµnh cã mét ®êng chÐo lµ tia ph©n gi¸c cña 1 gãc + C¸c ®êng chÐo lµ c¸c trôc ®èi xøng x 5 H×nh vu«ng: H z Tø gi¸c ABCD lµ h×nh vu«ng nÕu vµ chØ nÕu: + Cã 4 gãc b»ng nhau, 4 c¹nh b»ng nhau + H×nh ch÷ nhËt cã 2 ®êng chÐo vu«ng gãc + H×nh thoi cã 2 ®êng chÐo b»ng nhau 0 K y + H×nh ch÷ nhËt cã 2 c¹nh kÒ b»ng nhau + H×nh thoi cã 1 gãc vu«ng + H×nh ch÷ nhËt cã 1 ®êng chÐo lµ tia ph©n gi¸c cña 1 gãc 1 §êng trung trùc: §êng trung trùc d lµ ®êng trung trùc cña AB nÕu: d  AB vµ MA =MB M  d MA = MB Oz lµ tia ph©n gi¸c cña x Oy khi vµ chØ khi: A + x Oz = yOz vµ Oz n»m gi÷a Ox vµ Oy + x Oz yOz 1 x Oy d M N 2 + Víi ®iÓm M bÊt kú, M  Oz th× MH = MK B C II §Þnh lý Talet – Tam gi Tam gi¸c ®ång d¹ng 1 KiÕn thøc cÇn nhí: - §Þnh lý TalÐt: Cho  ABC, ®êng th¼ng d c¾t AB, AC t¹i M, N Ta cã: MN // BC AM  AN A M AB AC AM AN AM AN MN NÕu M  N  N AB AC AB AC BC - Tam gi¸c ®ång d¹ng: A A'; B B ';C CB' C B C  ABC ®ång d¹ng  A’B’C’ AB C AC BC C A' B'  A'C'  B'C' -  ABC vµ  A’B’C’ ®ång d¹ng nÕu: M + Cã 2 gãc b»ng nhau (g.gA.) N + Hai cÆp c¹Bnh t¬ng øng tû lÖ vµ gãc xen gi÷a b»ng nhau: (c.g.c) + Ba c¹nh t¬ng øng tû lÖ (c.c.c) A - C¸c trêng hîp ®ång d¹ng cña tamMgi¸c vu«ng: B N + Hai c¹nh gãc vu«ng t¬ng øng tû lÖ (c.g.c) + Hai gãc nhän b»ng nhau (g.g) + C¹nh gãc vu«ng vµ c¹nh huyÒn t¬ng øng tû lÖ 2 Lu ý - Trong khi gi¶i c¸c bµi tËp vÒ ®ång d¹ng nªn quen nh×n  ABC vµ  AA MN ®ång d¹ng ë c¸c h×nh vÏ sau: A' B C B' C' H H' NÕu hai tam gi¸c ®ång d¹ng: A - Tû sè chu vi b»ng tû sè ®ång d¹ng - Tû sè diÖn tÝch b»ng b×nh ph¬ng tû sè ®ång d¹ng M N - Tû sè c¸c ®êng cao, trung tuyÕn, ph©n gi¸c t¬ng øng b»ng tû sè ®ång d¹ng E F VD:  ABC ®ång d¹ng víi  A’B’C’ theo tû sè k th× B KQ G P C AB  AC  BC k; SABC k 2 , AH k A' B ' A'C ' B 'C ' SA'B'C ' A'H ' 3 VÝ dô VÝ dô 1: Cho  ABC, h×nh vu«ng MNPQ ®îc gäi lµ néi tiÕp  ABC nÕu nã cã hai ®Ønh n»m trªn hai c¹nh cña  vµ c¹nh cßn l¹i cña h×nh vu«ng n»m trªn c¹nh thø ba cña  a) H·y nªu c¸ch vÏ mét h×nh vu«ng nh vËy víi  ABC cho tríc b) TÝnh c¹nh h×nh vu«ng víi M  AB; N  AC theo BC = a vµ ®êng cao AH = h Gi¶i: a) VÏ h×nh vu«ng EFGK sao cho E AB; K vµ G n»m trªn BC Nãi BF c¾t AC t¹i N Qua N vÏ NM //EF c¾t AB t¹i M VÏ MQ  MN; MP  MN c¾t BC t¹i Q vµ P Ta cã MNPQ lµ h×nh vu«ng ThËt vËy V× MN//EF//BC, MQ  BC; NP  BC Nªn MNPQ lµ h×nh ch÷ nhËt MÆt kh¸c EF//MN => BP  EF BN MN FG//NP => BF  FG (§Þnh lý TalÐt) BN NP  EF  FG mµ EF = FG => MN = NP MN NP VËy MNPQ lµ h×nh vu«ng A b) V× MN//BC nªn AM  MN  x M N AB BC a MQ//AH nªn BM  MQ  x (§Þnh lý TalÐt) h x AB AH h x x AM BM 1 11 ah Do vËy:    1    x  B a h AB AB x ah ah Q H a P C VÝ dô 2: Cho h×nh thang ABCD (AB//CD) Cã AB = a ; CD = b ( a< b ) Hai ®êng chÐo c¾t nhau t¹i O Qua O kÎ ®êng th¼ng song song víi hai ®¸y c¾t c¸c c¹nh bªn t¹i M vµ N a) Chøng minh: OM = ON b) TÝnh MN theo a vµ b Gi¶i: a) V× MN//AB => OM  DO (§Þnh lý TalÐt) AB DB ON CO (§Þnh lý TalÐt) A a B M AB CA N D O Mµ AB//CD nªn CO  DO (§Þnh lý TalÐt) C CA DB b Do vËy OM ON OM ON AB AB §Ó chøng minh hai ®o¹n th¼ng a vµ b b»ng nhau Ta cã thÓ dïng ®o¹n cã ®é dµi c lµm trung gian vµ chøng minh a b a b cc b) Ta cã: OM  DO AB DB ON  BO CD BD §Æt O’M = ON – Tam gi x ta cã: x  x 1 1 1  1 x  ab ab x ab ab VËy MN = 2ab a b §Ó tÝnh x theo a vµ b ta cã thÓ dïng tû lÖ suy ra x  x k kh«ng ®æi ab Tõ ®ã suy ra x VÝ dô 3: Cho  ABC cã A 2B Chøng minh r»ng: BC2 = AC2 + AC.AB D Gi¶i: Trªn tia ®èi cña tia AC lÊy D sao cho AD = AB A Khi ®ã  ABC c©n t¹i A nªn: B AC 2ABD 2ADB XÐt  ABC vµ  BDC cã: B DC ABC 1 B AC B C 2 C chung nªn  ABC ®ång d¹ng víi  BDV (g.g)  BC  AC BC 2  AC.CD  AC( AC  AD)  AC( AC  AB)  AC 2  AC.AB CD BC 4 Bµi tËp tù luyÖn Bµi 1: Cho  ABC, dùng ra phÝa ngoµi cña nã c¸c tam gi¸c vu«ng c©n BAD vµ CAE (vu«ng t¹i A) Chøng minh r»ng ®êng cao AH cña  ABC ®i qua trung ®iÓm M cña DE Bµi 2: Cho  ABC c©n t¹i A, ph©n gi¸c CD Trªn tia CB lÊy M sao cho CM = 2 BD Chøng minh r»ng  CDM vu«ng t¹i D Bµi 3: Cho  ABC, biÕt r»ng ngêi ta cã thÓ chän ®îc ®iÓm M sao cho AM chia  ABC thµnh hai tam gi¸c con ®ång d¹ng vµ tû sè ®ång d¹ng b»ng 3 TÝnh c¸c gãc cña  ABC Bµi 4: Cho  ABC nhän c¸c ®êng cao AA’, BB’, CC’ ®ång quy t¹i H Chøng minh r»ng: a) HA'  HB'  HC' 1 AA' BB' CC' b) HA.HA’ = BH.HB’ = CH.HC’ Bµi 5 Cho  ABC M lµ 1 ®iÓm bÊt kú trong  Nèi M víi c¸c ®Ønh A, B, C c¾t c¸c c¹nh ®èi diÖn lÇn lît t¹i A’, B’, C’ qua M kÎ ®êng th¼ng song song víi BC c¾t A’B’; A’C’ t¹i K vµ H Chøng minh r»ng: MK = MH Bµi 6 Trªn ®êng ph©n gi¸c cña x Oy lÊy 1 ®iÓm M Qua ®ã vÏ mét ®êng th¼ng bÊt kú ®Þnh ra trªn hai c¹nh cña gãc c¸c ®o¹n th¼ng cã ®é dµi a vµ b Chøng minh r»ng: 1  1 kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®êng th¼ng mµ ta vÏ ab Bµi 7 Cho  ABC Trªn AB vµ AC lÊy c¸c ®iÓm M vµ N sao cho BM = CN Chøng minh r»ng: Khi M, N ch¹y trªn AB vµ AC th× trung ®iÓm K cña MN lu«n n»m trªn 1 ® - êng th¼ng cè ®Þnh Bµi 8 Cho h×nh b×nh hµnh ABCD Mét ®êng th¼ng d bÊt kú c¾t AB, AC, AD t¹i M, N, P Chøng minh r»ng: AB  AD  AC AM AP AN Bµi 9 Gäi I lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp cña  ABC Trªn AB vµ AC lÊy c¸c ®iÓm M, N sao cho CN.CB = CI2 ; BM.BC = BI2 Chøng minh r»ng: M, I, N th¼ng hµng Bµi 10 Cho  ABC c©n t¹i A Tõ trung ®iÓm H cña BC kÎ HK  AC Gäi M lµ trung ®iÓm cña HK Chøng minh r»ng: AM  BK F Gi¶i: Bµi 1 E KÐo dµi AM lÊy F sao cho AF = 2AM Khi ®ã ADFE lµ h×nh b×nh hµnh M D A => DF = AE = AC CF = AD = AB ADE  DAE 180 0 CH C x  ADE  AED B AC C¸c  ADF vµ  BAC b»ng nhau Suy ra D AM ABC A Do vËy ABC  B Ax B Ax  D AM 900 D MB N C Hay Ax  BC tøc lµ Ax  AH Hay AH ®i qua M A Bµi 2: Tõ D kÎ ®êng vu«ng gãc víi CD c¾t CB t¹i M’ Gäi N lµ trung ®iÓm cña CM’ V×  CDN c©n t¹i N nªn D BN 2D CN ACB ABC =>  DBN c©n t¹i D nªn DB = DN => DB = 12 CM’ do ®ã M’  M Hay DM  CD Bµi 3 Tõ  ABM vµ  ACM ®ång d¹ng th× AM  BC V× tû sè ®ång d¹ng b»ng 3 1 nªn B C Do vËy B C AM ; C B AM => A = 900 B M C Tû sè ®ång d¹ng b»ng 3  AC A  3 AB => B = 600; C = 300 C' H B' VËy 3 gãc cña  ABC lµ : 300 ; 600 vµ 900 B A' C Bµi 4: a) HA '  SHBC AA ' SABC HB '  SHAC BB ' SABC HC '  SHAB CC ' SABC B)  AB’H ®ång d¹ng  BA’H => AH.HA’ = HB.HB’ T¬ng tù suy ra HA.HA’ = HB HB’ = HC HC’ Bµi 5: HK c¾t AB, AC t¹i P, Q Ta cã: Theo ®Þnh lý TalÐt A MH CA' B' MP CB MQ  BC C' M Q MK BA' MP  BA' PH K MQ CA' B A' C  MH MQ MP CA' CB BA' MP MK MQ CB BA' CA'  MH 1 MH MK MK Bµi 6: Qua M vÏ ME// oy; MF//ox C¾t ox, oy t¹i E vµ F x Th× OEMF lµ h×nh thoi A Theo ®Þnh lý TalÐt: OE  BM E M OA AB O OF  AM y OB AB OE OF FQ Bd Suy ra : OE  OE 1 OE( 1  1) 1 OA OB ab  1  1  1 kh«ng phô thuéc vµo d A P a b OE Bµi 7: Gäi D, E, K lµ trung ®iÓm cña BC, MN, CM Ta cã EK //AC; EK = 1 NC ME KN 2 B DK //AB; DK = BM ( t/c ®êng TB) D C x => EK = DK =>  DEK c©n VËy DE t¹o víi AB, AC c¸c gãc b»ng nhau Hay DE // Ax (Ax lµ ph©n gi¸c cña A ) D cè ®Þnh Do ®ã DE cè ®Þnh Hay E lu«n n»m trªn 1 ®êng th¼ng cè ®Þnh Bµi 8: Tõ B, D kÎ BB’//DD’//d C¾t AC t¹i, ta cã: AM  AN  AB' AD' B AB AB' AN C AP  AN AD AD' D'  AB  AD M AM AP mµ  ABB’ =  CDD’ => CD’ = AB’ N B' A D  AB  AD  AC P AM AP AN Bµi 9: V× BM.BC = BI2 => BM  BI A BI BC Vµ IBM IBC =>  MBI ®ång d¹ng víi  IBC MI N B C => M IB ICB T¬ng tù N IC IBC M IB  N IC  B IC IBC  B IC  B CI 1800 Hay M, I, N th¼ng hµng Bµi 10 KÎ BM  AC,  BMC ®ång d¹ng  AKH A  AH  HK  HM BC CM CK =>  AHM ®ång d¹ng  BCK Gäi P, Q lµ giao cña AH vµ BK, AM vµ BK XÐt  BPH vµ  APQ cã B PH K PA N => AQP B HP = 900 Hay AM  BK PQ K 1.3 HÖ thøc lîng trong tam gi¸c vu«ng : B MC 1.3.1 KiÕn thøc cÇn nhí : - Tû sè lîng gi¸c cña gãc nhän : H sin B = cos C = b ; tgC = cotg B = c A a b c ; tgB = cotg C = b ch b sin C = cos B = a c B c' C b' H a - Tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A khi vµ chØ khi : 1) a2 = b2 +c2 ( ®Þnh lý Pitago ) 2) c2= ac' ; b2 = ab' 3) h2= b'c' 4) b2 1  c2 1 h2 1 5) ah = bc Ngoµi ra ta thÊy c¸c tam gi¸c ABC , HBA ; HAC lu«n ®ång d¹ng víi nhau tõng ®«i mét 1.3.2 Bµi tËp vÝ dô: VÝ dô 1: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i C , cã ®êng cao CK §êng ph©n gi¸c gãc ACK c¾t BC t¹i E Chøng minh BC = BE Gi¶i: XÐt  CBE cã B EC C AB  E CA ( gãc ngoµi cña tam gi¸c) C mµ  K CA 900  A B  0 ECA    ;CAB 90  B 2 2 2 A B EH 0  0 B   0 B  nªn BEC 180   90   B  90  BEC  2   2 VËy tam gi¸c CBE c©n t¹i B, do ®ã BC = BE VÝ dô 2: Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A ( A  900 ), CD lµ ®êng ph©n gi¸c trong cña gãc C Qua D kÎ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi CD c¾t ®êng th¼ng BC t¹i E Chøng minh: CE = 2 BD Gi¶i: Gäi M lµ trung ®iÓm cña CE, A ta cã CE = 2CM =2DM ( tÝnh chÊt tam gi¸c vu«ng) V×  CDM c©n nªn M CD M DC ACB  2 vËy D MB M CD  M DC ACB (gãc ngoµi tam gi¸c ) D mµ ACB ABC ( do tam gi¸c ABC c©n) nªn D BM D MB , do tm gic¸ BDM c©n t¹i D nªn DB = DM VËy CE = 2 BD EC VÝ dô 3: Cho tam gi¸c ABC cã AC = 2 BC vµ C 2A Chøng minh  ABBC lµ taMm gi¸c vu«ng M Gi¶i: Trªn tia ®èi cña tia BC lÊy ®iÓm M sao cho M MB B AC Khi ®ã M AC B AC nªn MA = MC V× AB lµ ph©n gi¸c nªn: BM  MA 2BM 2BM B BC CA 2BC AC C A VËy tam gi¸c MCA c©n t¹i A nªn AM = AC Do ®ã tam gi¸c CAM ®Òu VËy C 600 ;C AB 300 ;C BA 900 1.3.3 Bµi tËp tù gi¶i: Bµi1: Tæng c¸c gãc ë ®¸y cña mét h×nh thang b»ng 900 Hai ®¸y cã ®é dµi a, b Gäi E vµ F lµ trung ®iÓm cña hai ®¸y TÝnh EF Bµi2: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A cã ®êng cao AH vµ ph©n gi¸c AD Gäi HM, HN lµ ®êng ph©n gi¸c cña gãc BHA vµ gãc CHA Chøng minh r»ng: A, D, M, N lµ c¸c ®Ønh cña mét h×nh vu«ng Bµi 3 : Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A cã ®êng cao AH §êng th¼ng nèi t©m ®uêng trßn néi tiÕp c¸c tam gi¸c AHB vµ AHC c¾t AB, AC lÇn lît t¹i M vµ N Chøng minh r»ng AM = AN Bµi 4 : Gi¶i tam gi¸c ABC biÕt AB = c, AC= b vµ B AC x Bµi 5 : Gi¶i tam gi¸c ABC biÕt BC = a, ABC x; ACB  y M Híng dÉn gi¶i: Bµi 1: KÐo dµi DA vµ CB c¾t nhau t¹i M AB - Chøng minh M , E , F th¼ng hµng E - Tam gi¸c DMC vu«ng t¹i M D C - Tõ ®ã tÝnh ®îc EF = b  a F 2 Bµi 2: - ¸p dông tÝnh chÊt ®êng ph©n gi¸c víi c¸c ®êng ph©n gi¸c AD , HN , HM vµ hÖ thøc trong tam gi¸c vu«ng ABC víi ®êng cao AH ta ®îc A N NC  HC  BC.HC  AC 2  AC  DC ; MB  DB NA HA BC.HA AB.AC AB DB MA DC M Do ®ã: ND // AB , MD // AC ( §Þnh lý ta lÐt ) Nªn AMDN lµ h×nh ch÷ nhËt B C L¹i cã AD lµ ph©n gi¸c cña A nªn AMDN lµ h×nh vu«ng HD Mét sè bµi tËp chung PhÇn h×nh häc Bµi1: cho h×nh b×nh hµnh ABCD víi O lµ giao ®iÓm cña hai ®êng chÐo LÊy E trªn AD sao cho AD = 3DE Tû sè diÖn tÝch cña tam gi¸c DEO vµ tø gi¸c ABOE lµ: a) 1:2 b) 1:3 c) 1:5 d) 1:6 e) 1:7 Bµi2 Trong h×nh vÏ cho gãc BAD b»ng gãc BDC BiÕt AD = 4cm, AB = 6cm, BD = 5cm, DC = 7,5cm §é dµi cña BC lµ: a) Kh«ng tÝnh ®îc b) 4 cm c) 5,5 cm d) 6 cm e) 6,25 cm Bµi3 §é dµi c¸c c¹nh cña tam gi¸c ABC lµ 13, 14, 15 Giä H lµ trùc t©m cña tam gi¸c NÕu AM lµ ®ßng cao øng víi c¹nh cã ®é da×i lµ 14 th× tØ sè HM : HA lµ a) 3:11 b) 5:11 c) 1:2 d) 2:3 e) 25:33 Bµi 4: Mét h×nh thoi néi tiÕp tam gi¸c ABC( cã mét ®Ønh lµ A, hai c¹nh n»m trªn AB vµ AC, ®Ønh ®èi diÖn víi ®Ønh A n»m trªn BC) BÕt AC =3, , AB =6, BC =4 §é dµi c¹nh cña h×nh thoi lµ: a) 1 b) 1,5 c) 1,75 d) 2 e) 2,5 Bµi 5 Cho tø gi¸c ABCD, trªn tia ®èi cña tia BA lÊy ®iÓm E sao cho BE = BA §Ó ACE b»ng 900 th× tø gi¸c ABCD lµ a) H×nh ch÷ nhËt b) H×nh thoi c) H×nh b×nh hµnh d) Cã mét c¹p c¹nh b»ng nhau e) Cã mét cÆp gãc b»ng nhau Bµi 6 Mét h×nh ch÷ nhËt cã chiÒu dµi b»ng 5, chiÒu réng nhá h¬n 4 NÕu gÊp h×nh ch÷ nhËt l¹i sao cho hai ®Ønh ®èi diÖn cña nã trïng nhau th× chiÒu dµi cña nÕp gÊp lµ 6 , chiÒu réng cña h×nh ch÷ nhËt lµ: a) 2 b) 3 c) 2 d) 5 e) 11 2 Bµi 7 §é dµi c¸c c¹nh cña tam gi¸c ABC tØ lÖ víi 2:3:4.BiÕt ®êng ph©n gi¸c BD c¾t c¹nh ng¾n nhÊt AC cña tam gi¸c t¹i D Khi AC =10 th× ®é dµi cña ®o¹n lín h¬n trong hai ®o¹n AD vµ CD lµ: a) 3,5 b) 5 c) 40 7 d) 6 e) 7,5 Bµi 8 Cho tø gi¸c ABCD cã c¸c ®êng chÐo c¾t nhau t¹i O BiÕt BO = 4, DO =6, AO = 8, CO =3, AB = 6 §é dµi cña c¹nh AD lµ: a) 9 b) 10 c) 6 3 d) 8 2 e) 166 Bµi 9 LÊy c¸c ®iÓm D, E, F lÇn lît trªn c¸c c¹nh AB, bC, CA cña tam gi¸c ABC sao cho AD : DB = BE : EC = CF : FA = 1 Tû sè diÖn tÝch cña tam gi¸c DEF vµ tam gi¸c ABC lµ; n a) n2  n 1 (n 1) 2 b) 1 (n 1) 2 c) 2n2 (n 1) 3 d) n3 (n 1) 3 e) n(n  1) n 1 Bµi 10 Cho tø gi¸c ABCD KÐo dµi AD vµ BC c¾t nhau T¹i E §Æt x= C DE  D CE; y B AD  ABC vµ k  xy Ta cã: a) k ≥ 1 b) k  1 c) 0 LÊy c¸c ®iÓm D, E ,F lÇn lît trªn c¸c c¹nh BC , CA , AB sao cho CE = CD ; BD = BF Sè ®o E DF lµ : a ) 400 b ) 450 c) 500 d) 550 e) §¸p sè kh¸c Bµi 16: TÝnh c¹nh cña h×nh thoi ABCD biÕt b¸n kÝnh ®êng trßn ng¹i tiÕp cac tam gi¸c ABC vµ ABD lÇn lît lµ 3 vµ 4 Bµi 17 : Cho tam gi¸c nhän ABC c©n t¹i A §êng cao BH Chøng minh r»ng : AB  AC 2  2CH  BC  Bµi 18: Cho tam gi¸c ABCc©n t¹i A cã A 200 AB BC 2 Chøng minh r»ng :  2 3 BC AB Bµi 19 : Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A Chøng minh r»ng : tg  ABC 1  AC víi p lµ nöa chu vi cña tam gi¸c ABC 2 2 p  AC Bµi 20 :Cho gãc nhän xOy Trªn hai c¹nh Ox vµ Oy lÇn lît lÊy hai ®iÓm M vµ N sao cho OM +ON = 2a kh«ng ®æi a ) Chøng minh r»ng : Khi M ,N ch¹y trªn Ox , Oy th× trung ®iÓm cña MN lu«n n»m trªn mét ®o¹n th¼ng cè ®Þnh b ) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M vµ N ®Ó tam gi¸c OMN cã diÖn tÝch lín nhÊt ... N đỉnh hình vuông Bài : Cho tam giác ABC vuông A có đờng cao AH Đờng thẳng nối tâm đuờng tròn nội tiếp tam giác AHB AHC cắt AB, AC lần lợt M N Chứng minh AM = AN Bài : Giải tam giác ABC biết... chu vi tỷ số đồng dạng - Tỷ số diện tích bình phơng tỷ số ®ång d¹ng M N - Tỷ số đờng cao, trung tuyến, phân giác tơng ứng tỷ số đồng dạng E F VD: ABC đồng dạng víi  A’B’C’... giải tập đồng dạng nên quen nhìn ABC AA MN đồng dạng hình vẽ sau: A'' B C B'' C'' H H'' Nếu hai tam giác đồng dạng: A -