Một số phơng pháp giải toán cực trị Mục lục Trang: A. Mở đầu .1 1. Lý do chọn đề tài .1 2. Mục đích nghiên cứu .1 3. Nhiệm vụ đề tài .1 5. Đối tợng nghiên cứu 2 6. Phơng pháp tiến hành 2 4. Phạm vi đề tài 2 7. Dự kiến kết quả đề tài 2 B. Nội dung 3 Phần 1: Bài toán cực trị và phơng pháp giải trong đại số 3 I. Kiến thức cơ bản 3 1. Định nghĩa bài toán cực trị 3 2. Các bớc cơ bản tiến hành giải toán cực trị .3 !!. Phơng pháp cơ bản và ví dụ .3 1. Phơng pháp dùng bất đẳng thức .3 2. Phơng pháp dựa vào tính chất lũy thừa bậc chẵn .8 3. Phơng pháp miền giá trị 10 4. phơng pháp đồ thị hàm số .12 Phần II. Bài toán cực trị trong hình học 17 I. Kiến thức cơ bản 17 II. Một số dạng toán thờng gặp 19 C. Thực nghiệm s phạm . 29 D. Kết quả thực hiện .35 E. Tài liệu tham khảo 36 `` 1 Nguyễn Thị Bích Diệp THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá Một số phơng pháp giải toán cực trị a. mở đầu 1. Lý do chọn đề tài - Hai yếu tố đã góp phần đổi mới phơng pháp giảng dạy nói chung và phơng pháp giảng dạy mon toán cấp THCS nói riêng, muốn thực hiện đợc điều đó thì vi trò của ngời thầy hết sức quan trọng. Để góp phần vào công cuộc đổi mới phơng pháp giảng dạy thì bản thân tôi đã trăn trở rất nhiều về việc truyền thụ kiến thức cho học sinh, không chỉ những kiến thức trong SGK mà còn phải làm sao đó từ những kiến thức cơ bản ấy phát triển và tìm ra những kiến thức mới giúp HS lĩnh hội một cách chủ động và có hệ thống. - Trong chơng trình toán phổ thông cấp THCS nhiều mảng kiến thức trong SGK đề cập đến rất ít nhng trong quá trình học lại gặp rất nhiều, ngay những em HS nắm rất vững kiến thức SGK nhng khi gặp dạng toán này cũng lúng túng vì vậy với phạm vi đề tài này tôi muốn đề cập đến một vấn đề mà không ít chúng ta - những ngời thầy đang trăn trở và băn khoăn, đó là dạng toán Tìm cực trị . Thật vậy trong chơng trình toán phổ thông dạng kiến thức về cực trị là một trong những mảng kiến thức khó mà ứng dụng của nó lai khá rộng rãi nó không những có mặt trong phân môn đại số mà còn đóng góp một vai trò quan trọng trong phân môn hình học, nó không chỉ dừng ở chơng trình THCS mà còn là một phần quan trọng trong chơng trình THPT. Vì vậy dạng toán cực trị là phần gây cho HS ngay cả HS giỏi nhiều bối rối tuy nhiên đây cũng là phần quyến rũ HS say mê môn toán và học giỏi toán vì nó đòi hỏi phải t duy, tìm tòi sáng tạo. - Để giải đợc một bài toán cực trị cấp THCS yêu cầu phải nắm vững đợc các kiến thức cơ bản phổ thông phải biến đổi thành thạo các biểu thức đại số và sử dụng khá nhiều hằng đẳng thức từ đơn giản đến phức tạp và điều đặc biệt là thông qua các bài tập cực trị hHS có thể vận dụng linh hoạt vào các loại toán khác nh giải phơng trình, hệ phơng trình, bất đẳng thức, chứng minh một yếu tố hình học . Tóm lại: Qua nghiên cứu kỹ nội dung kiến thức , đọc nhiều tài liệu và qua những năm dạy toán ở trờng THCS , tôi đã rút ra đợc vài kinh nghiệm . tôi mạnh dạn lấy đề tài nghiên cứu tựa đề là: Một số ph ơng pháp tìm cực trị trong trờng phổ 2 Nguyễn Thị Bích Diệp THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá Một số phơng pháp giải toán cực trị thông cấp THCS . Nếu có thể chúng ta cùng nghiên cứu và bổ sung cho hoàn chỉnh hơn. 2. Mục đích nghiên cứu - Đề tài này có tác dụng giúp học sinh học tập môn Toán nói chung và việc giải toán cực trị nói riêng đợc tháo gỡ phần nào những khó khăn. Trang bị cho học sinh một số kiến thức cơ bản nhằm nâng cao rèn luyện khả năng t duy và học tập bộ môn một cách chủ động. - Tạo thêm hứng thú cho học sinh trong học tập môn Toán cũng nh kích thích sự đam mê tự học và tự tìm tòi nghiên cứu. - Giúp bản thân những tri thức và kinh nghiệm phục vụ cho quá trình giảng dạy góp phần nâng cao chất lợng dạy và học của nền giáo dục nớc nhà. 3. Nhiệm vụ đề tài - Đề tài đa ra một số kiến thức cơ bản về bài toán cực trị phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh THCS. - Thông qua đề tài trang bị cho học sinh những phơng pháp cơ bản giải bài toán cực trị để học sinh vận dụng làm bài tập. - Chọn lọc hệ thống những bài tập mang tính tiêu biểu phù hợp với từng nội dung phơng pháp. 4. Phạm vi đề tài Phát triển năng lực t duy của HS thông qua giải toán tìm cực trị trong hình học và trong đại số đối với HS lớp 7, 8, 9 5. Đối t ợng nghiên cứu - Đề tài áp dụng phần nhiều cho HS lớp 8, 9 tuy nhiên có một số bài cho H lớp 7 và trong các bài luyện tập, ôn tập cuối năm, cuối kì, luyện HS giỏi, luyện thi tuyển THPT 6. Ph ơng pháp tiến hành : Giáo viên trang bị kiến thức cơ bản, học sinh phân tích vận dụng định hớng giải bài tập. Sau đó kiểm tra đánh giá và thảo luận tập thể. 7. Dự kiến kết quả đề tài áp dụng đề tài sẽ tháo gỡ cho học sinh nhiều khó khăn trong việc giải toán cực trị. Tạo cho học sinh có cơ sở và niềm tin trong giải toán cực trị. 3 Nguyễn Thị Bích Diệp THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá Một số phơng pháp giải toán cực trị B- Nội dung phần ! : Bài toán cực trị Phần đại số A . Yêu cầu 1 / với giáo viên : - Xây dựng cơ sở lí thuyết để giải các bài toán cực trị và phơng pháp giải cho từng dạng toán . - phân loại các bài tập từ dễ đến khó . - Rèn luyên nâng cao khả năng t duy sáng tạo qua việc tìm tòi chọn lọc tham khảo kiến thức trong khi nghiên cứu . - Trong quá trình giảng dạy, phải chú ý tìm ra nhũng vớng mắc , sai sót mà HS haymắc phải khi làm bài tập . 2 / Với học sinh : - Hiểu đợc bản chất các loại toán . - Nhận dạng đợc từng loại bài tập , vận dụng phơng pháp hợp lý của từng dạng vào giải toán . - Phát huy khả năng t duy sáng tạo trong khi giải toán , biết suy luận từ bài dễ đên bài khó với cách giải hay hơn . B . một số Kiến thức cơ bản 1. Định nghĩa Cho biểu thức f(x) xác định trên D a) Ta nói rằng M = const là giá trị lớn nhất của f(x) trên D nếu hai điều kiện sau đồng thời đợc thoả mãn 1 o . f(x) M với x D 2 o . Tồn tại x 0 D sao cho f(x 0 ) = M. kí hiệu là max f(x) = M b) Ta nói rằng m = const là giá trị nhỏ nhất của f(x) rtên D nếu thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau: 1 o . f(x) m với x D 2 o . Tồn tại x 0 D sao cho f(x 0 ) = m. 2. Các b ớc cơ bản tiến hành giải toán cực trị - B ớc 1 : Chứng minh bất đẳng thức: 4 Nguyễn Thị Bích Diệp THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá Một số phơng pháp giải toán cực trị f(x) m (hoặc f(x) M) với x D. - B ớc 2: Chỉ ra giá trị x 0 D để: f(x 0 ) = m f(x 0 ) = M) - B ớc 3 Kết luận: Với giá trị x 0 D thì f(x) đạt: MxMaxf Dx o = )( mxM D x = 0 )inf( Chú ý : 1 / Nếu chỉ chứng minh đợc f (x) m hoặc f(x) M thì cha đủ để kết luận về GTLN hoặc GTLN Ví dụ : Tìm GTNN của biểu thức A = (x - 1) 2 +(x-3) 2 Giải : Ta có (x-1) 2 0 x (1) ( x - 3 ) 2 0 (2) A 0 x nhng không thể kết luận đợc Min A = 0 vì không xảy ra đồng thời hai BĐT (1) và (2). Ta có: f(x) = x 2 - 2x + 1 + x 2 -6x + 9 = 2 ( x 2 - 4x + 2 ) = 2 ( x - 2 ) 2 + 2 2 Vậy Min A = 2 x - 2 = 0 x = 2 2/ Một biểu thức có thể có GTNN, GTLN hoặc chỉ có một trong hai giá trị trên C . Phơng pháp cơ bản và ví dụ Ph ơng pháp 1 : Sử dụng bất đẳng thức 1.1. Nội dung ph ơng pháp + Dùng bất đẳng thức đã biết vào chứng minh f(x) m (hoặc f(x) M) với x D + Chỉ ra sự tồn tại x 0 D để "bất đẳng thức" trở thành "đẳng thức" (dấu "=" xảy ra). 1.2. Kiến thức bổ sung a) Bất đẳng thức cô si + Với a,b > 0, a,b D thì ab ba + 2 Dấu = xảy ra khi a= b 5 Nguyễn Thị Bích Diệp THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá Một số phơng pháp giải toán cực trị + Tổng quá: Với n số dơng a 1 , a 2 , ., a n D thì: n n n aaa n aaa . . 21 21 +++ Dấu bằng xảy ra khi a 1 = a 2 = . = a n . b) Bất đẳng thức Bunhiacopski + Nếu a 1 , a 2 , ., a n và b 1 , b 2 , ., b n là 2n số tuỳ ý thì: ( )( ) ( ) 2 2211 22 2 2 1 22 2 2 1 . nnnn babababbbaaa +++++++++ Dấu "=" xảy ra n n b a b a b a === . 2 2 1 1 . (Quy ớc nếu a i = 0 thì b i = 0 i = 0, 1, 2, 3, . n) c) Bất đẳng thức trị tuyệt đối *. 0 a a D dấu bằng xảy ra a = 0 * baba ++ với a,b D dấu bằng xảy ra a.b 0. Tổng quát : a 1 , a 2 , ., a n D thì nn aaaaaa ++++++ 2121 Dấu bằng xảy ra khi đôi một cùng dấu. *. baba dấu bằng xảy ra khi a.b 0 d) Với a b > 0 thì ba 11 dấu bằng xảy ra khi a = b. e) 2 + a b b a ( a, b > 0 ) dấu bằng xảy ra khi a = b. 1.3. Ví dụ minh hoạ Ví dụ 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x,y,z) = x 4 + y 4 + z 4 xét trên miền D ={(x,y,z) : xy +yz +zx = 4} Tìm xem vận dụng BĐT nào cho bài toán này là điều khó khăn nhất đói với học sinh . Tuy nhiên có thể thấy rằng có thể vận dụng BĐT Bunhiacopski cho 2 dãy số x,y,z và y,z ,x ta có ( x 2 + y 2 + z 2 ) ( xy + yz + zx ) 2 Từ đó ta suy ra nếu ( x, y, z ) D Thì ( x 2 + y 2 + z 2 ) 16 Lại áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 2 dãy số x 2 ,y 2 ,z 2 và 1,1 ,1 ta có 3 ( x 4 + y 4 +z 4 ) ( x 2 + y 2 + z 2 ) 2 (2) Từ (1) và (2) f(x,y,z) > 16/3 (x,.y,z) D 6 Nguyễn Thị Bích Diệp THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá Một số phơng pháp giải toán cực trị Mặt khác f ( 3 2 , 3 2 , 3 2 ) = 3 16 và ( 3 2 , 3 2 , 3 2 ) D Vậy Min f (x,y,z) = 16/3 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = + x x 1 với x 1,y 2 , z 3 A = + x x 1 + y y 2 + z z 3 áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm 1 và x - 1 ta có: ( ) 22 11 1.1 xx x = + Tơng tự : 22 2 22 . 2 1 2 2 1 2 yy yy = + = 32 2 33 . 3 1 3 3 1 3 zz zz = + = A z z y y x x 3222 2 ++ A 32 1 22 1 2 1 ++ Dấu "=" xảy ra = = = 6 4 2 z y x Max A = 32 1 22 1 2 1 ++ = = = 6 4 2 z y x Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) D = 12 + xx b) Cho x 1 , x 2 , . , x 2004 thoả mãn 2005 . 200421 =+++ xxx Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức E = 1 .11 200421 +++ xxx Giải: a) áp dụng bất đẳng thức baba ++ dấu "=" xảy ra khi a.b 0 Ta có D = 11212 =++ xxxx Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi (x-2)(1-x) 0 1 x 2 7 Nguyễn Thị Bích Diệp THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá Một số phơng pháp giải toán cực trị Vậy Min D = 1 khi 1 x 2 b) Vận dụng bất đẳng thức baba Dấu "=" xảy ra khi ab 0. Ta có: 11 11 xx 11 22 xx . 11 20042004 xx Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta đợc: E = 1 .11 200421 +++ xxx 200421 . xxx +++ - 12004 1 .11 só +++ = 2005 - 2004 = 1 Vậy E 1 Dấu "=" xảy ra khi x 1 , x 2 , . x 2004 0 và 200421 . xxx +++ = 2005 Những sai lầm th ờng gặp của dạng toán này Sai lầm thờng gặp khi vận dung BĐT rất phổ biến là : - Điều kiện tồn tại BĐT - Dấu bằng của BĐT không xảy ra với những giá trị tìm đợc Ví dụ 3 : Với x , y , z , t > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của A = t xzy z txy y xzt x tzy xzy t txy z xzt y tzy x ++ + ++ + ++ + ++ + ++ + ++ + ++ + ++ Học sinh có thể ngộ nhận và vận dụng ngay BĐT 2 + a b b a ( a, b > 0 ) dấu bằng xảy ra khi a = b Để ra ngay kết quả A 8 Min A = 8 0 ==== ++= ++= ++= ++= tzyx zyxt yxtz xtzy tzyx Điều này hoàn toàn không xảy ra vì A không tồn tại với x = y = z = t = 0 Đây là những sai lầm thờng gặp mà nhiệm vụ của ngời thầy là phải chỉ ra đợc những sai lầm để các em rút kinh nghiệm khi giải toán cực trị 1.4. Bài tập vận dụng 8 Nguyễn Thị Bích Diệp THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá Một số phơng pháp giải toán cực trị 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = )11(2)11(2 ++++++ xxxx 2) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x,y,z) = xyz(x+y ) (y+z) (z+x) xét trên miền D = { } 1,0,0,0:),,( =++>>> zyxzyxxyx 3) Tìm giá trị bé nhất của hàm số : f(x,y,z) = ( 1+ x 1 ) ( 1+ y 1 ) ( 1+ z 1 ) Xét trên miền. D = { } 1;0,0,0:),,( =++>>> zyxzyxzyx Ph ơng pháp 2 Tìm cực trị dựa vào tính chất của luỹ thừa bậc chẵn 2.1. Nội dung ph ơng pháp */ A 2 0 x ( x là biến của biểu thức A ) A 2k 0 x */ - B 2 0 x (x là biến của biểu thức B ) - B 2k 0 x Nhiệm vụ của ngời thầy phải chỉ ra đợc : */ A 2k +m m m là GTNN A = 0 */ -B 2k + M M M là GTLN B = 0 2.2. Kiến thức bổ sung: Nhiệm vụ của các em là làm thế nào để có thể đa về dạng A 2k +m m và -B 2k + M M bằng các phép biến đổi đại số 2.3 : các ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Tìm GTNN của A = 3x 2 + 6x - 5 Giải: Ta có A = 3 ( x 2 + 2x + 1 ) - 8 = 3 (x + 1 ) 2 - 8 - 8 Dấu bằng xảy ra x + 1 = 0 x = - 1 Vậy Min A = - 8 x = - 1 Ví dụ 2: Tìm GTLN của B = - 5x 2 - 4x + 1 Giải : A = -5 ( x 2 + 4/5 x ) + 1 = -5 ( x 2 + 4/5x + 4/25 ) + 9/5 ( x 2 + 2/5 ) 2 +9/5 9/5 Dấu = xảy ra x + 2 /5 = 0 x = - 2/5 * Chú ý : f(x) = ax 2 + bx + c 9 Nguyễn Thị Bích Diệp THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá Một số phơng pháp giải toán cực trị * Có giá trị nhỏ nhất a > 0. * Có giá trị lớn nhất a < 0. Không dừng lại ở đây ta có thể đa ra một số ví dụ sau : Ví dụ 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: )( 1 12 683 2 2 + + = x xx xx C Có thể các em sẽ ngỡ ngàng và lúng túng trong việc giải . Tuy nhiên có thể gọi phơng pháp giải là tìm cách đa về dạng ax 2 + bx + c bằng cách đổi biến số , cụ thể cách làm nh sau : C = 22 2 )1( 1 1 2 3 )1( 1)1(2)12(3 + = ++ xxx xxx Đặt y = 1 1 x (y 0 ) C = 3 - 2y + y 2 đến đây C đã đa về dạng cơ bản việc giải không còn gì khó khăn nữa, giáo viên cần phải cho học sinh thấy rằng việc đổi biến số trong toán cực trị là rất quan trọng trong nhiều bài toán và việc đổi biến số giúp chúng ta giải đợc bài toán nhanh hơn, gọn hơn. Ta còn có thể mở rộng dạng toán này. Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: f(x,y ) = 4x 2 + 4y 2 - 4xy - 3x = 4y 2 - 4xy + x 2 + 3( x 2 -x ) = ( 2y - x ) 2 + 3( x- 2 1 ) 2 - 4 3 - 4 3 Đẳng thức xảy ra x = 2 1 và y = 2 x = 4 1 min f(x,y) = - 4 3 = = 4 1 2 1 y x Sai lầm thờng gặp ở dạng toán này là:. Nh ví dụ 4 các em có thể làm nh sau: f(x,y) = x 2 - 4xy + 4y 2 + 2x 2 - 4x + 2 + x 2 + x -2 10 Nguyễn Thị Bích Diệp THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá [...]... cạnh bằng a Trên hai cạnh AB và AD lần lợt lấy 2 điểm M, N sao cho chu AMN = 2a Tìm vị trí của M và N để SAMN lớn nhất Bài 2: Cho ABC ngoại tiếp đờng tròn (O;r) Kẻ các tiếp tuyến của đờng tròn (O;r) song song với các cạnh của tam giác Các tiếp tuyến này tạo với các cạnh của tam giác thành 3 tam giác nhỏ có diện tích là S 1, S2, S3 Gọi S là diện tích của tam giác ABC Tìm giá trị nhỏ nhất của tỷ số S1... giáo Tống Trần Hoàn trực tiếp hớng dẫn tôi hoàn thành đề tài này Tôi xin chân thành cảm ơn Thanh Hóa ngày 20 tháng 2 năm 2005 Lê Thị Gấm giáo án tiết dạy chuyên đề Ngời so n: Lê Thị Gấm Lớp Toán K6 - Đại học tại chức Thanh hoá Bài so n: Một phơng pháp tìm cực trị của một biểu thức đại số I/ Mục tiêu - Học sinh biết sử dụng các bất đẳng thức đại số để giải các bài toán cực trị trong hình học Muốn vậy