Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân TP3: TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Dạng 1: Biến đổi lượng giác 8cos2 x  sin x  dx sin x  cos x (sin x  cos x )2  cos2 x  I  dx    sin x  cos x  4(sin x  cos x dx sin x  cos x  3cos x  5sin x  C cot x  tan x  tan x Câu I   dx sin x cot x  tan x cot x cos x dx   dx  2 dx   C  Ta có: I   sin x sin x 2sin x sin x   cos2  x   8  dx Câu I   sin x  cos2 x     cos  x     dx  Ta có: I    2  sin x       4    cos  x        dx     dx     2   sin  x             sin  x    cos  x      4  8       Câu I      cos  x      dx   dx     2 2 3   2   sin  x    sin  x       4        3     ln  sin  x    cot  x    C  4     Câu I   2  dx sin x  cos x I  dx 1 dx = I  =  4  2 x    cos  x   2sin    3 3  2 6   Câu I  2sin x  dx   Ta có: I    sin x  sin  dx   sin x  sin  dx Trang 11 Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng  x    x   cos        6       dx dx         sin x  sin cos x   sin x       2 6 2 6  cos   x  x   cos    sin     dx    dx  ln sin  x         20 x  20 x  2 6 sin    cos    2 6 2 6   x   ln cos    2 6   Câu I   (sin x  cos4 x )(sin6 x  cos6 x )dx  Ta có: (sin4 x  cos4 x )(sin6 x  cos6 x)  33 33  cos x  cos8x  I   64 16 64 128  Câu I   cos2 x (sin x  cos4 x )dx      2  0   I   cos2 x   sin2 x  dx     sin 2 x  d (sin x )  2   Câu I   (cos3 x  1) cos2 x.dx A =   2 0  cos xdx    cos x.dx  Vậy I = 15  B= 2    sin x d (sin x ) =  12  (1  cos2 x ).dx =  20  – 15  Câu I   cos x cos xdx   2  I   cos2 x cos2 xdx   12 (1  cos2 x ) cos2 xdx  (1  cos2 x  cos x )dx 0 0  1   ( x  sin x  sin x )  4  Câu 10 I   4sin3 x dx  cos x Trang 12  Trần Sĩ Tùng  Bài tập Tích phân 4sin3 x 4sin3 x(1  cos x )   4sin x  4sin x cos x  4sin x  2sin x  cos x sin2 x   I   (4sin x  2sin x)dx  2 Câu 11 I    sin xdx I 2 2  x  x x x x  sin  cos  dx   sin  cos dx   sin    dx  2 2 2 4 0 2   3  2 2 x  x      sin   dx   sin    dx   2 4 2 4  0 3     Câu 12 I   dx cos x  Ta có: I   (1  tan2 x  tan x )d (tan x )  28 15 Dạng 2: Đổi biến số dạng sin xdx  4sin x  cos2 x 2sin x cos x dx Đặt t  sin x  I  ln sin x   C  Ta có: I   sin x  2sin2 x  4sin x  dx Câu 14 I   sin x.cos5 x dx dx  I   8 3 sin x cos x cos x sin x cos2 x   3 Đặt t  tan x I    t  3t   t 3  dt  tan4 x  tan2 x  3ln tan x  C t   tan2 x 2t Chú ý: sin x   t2 dx Câu 15 I   sin x.cos3 x dx dx dx 2t  2 ; sin x   I  Đặt t  tan x  dt  2 sin x.cos x.cos x sin x.cos x cos x  t2 Câu 13 I    I  2 dt 2t  t2  1 t2 tan2 x dt   (t  )dt   ln t  C   ln tan x  C t t 2  t2 Trang 13 Bài tập Tích phân Câu 16 I   2011 Trần Sĩ Tùng sin2011 x  sin2009 x sin5 x cot xdx 2011  sin2 x cot xdx   sin x  Ta có: I   Đặt t  cot x  I   2011 t (1  t )tdt 4024 2011  cot x sin x cot xdx 4024 8046 2011 2011 2011 2011  t  t C 4024 8046 8046 2011 2011 cot 2011 x  cot 2011 x  C = 4024 8046  sin x.cos x dx  cos x  Câu 17 I   sin x.cos2 x (t  1)2 dx Đặt t   cos x  I  2 dt  ln  1  cos x t  Ta có: I     sin Câu 18 I  x tan xdx    Ta có: I   sin2 x sin x dx  cos x (1  cos2 x )sin x dx Đặt t  cos x  cos x  u2 du  ln  u  I   Câu 19 I    sin x(2   cos2 x )dx       Ta có: I   2sin2 xdx   sin2 x  cos2 xdx  H  K 2     2 + H   2sin2 xdx   (1  cos2 x )dx             2 + K   sin2 x cos2 x    sin2 x cos xdx    sin2 xd (sin x )  I    Trang 14 Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân  Câu 20 I  dx  sin2 x.cos4 x    I    dx 2 sin x.cos x Đặt t  tan x  dt  dx cos2 x I  (1  t )2 dt t2    1 t3  34 2    t  dt     2t    1  t t   sin x Câu 21 I     sin x  dx   Ta có: I   sin x  (2  sin x )2  I  2 t 2 t2 dx   sin x cos x (2  sin x )2 dx Đặt t   sin x 3 1   2 dt  2    dt   ln t    ln  t t2  t 2  2  Câu 22 I  sin x  cos x dx  I   sin x dx  cos2 x sin x  cos2 x  dx Đặt t  cos x  dt   sin xdx Đổi cận: x   t  1; x  Ta I    1 2t   dt  t  2 ln 2t  2t  = 2 ln 32 52  Câu 23 I  2 sin x  e sin x.cos x dx  Đặt t  sin2 x  I = 11 t e (1  t )dt = e   20  Câu 24 I   sin x  sin2 x   dx  Đặt t  cos x I   Câu 25 I   sin x sin6 x  cos6 x dx Trang 15 (  2) 16 Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng 4  sin x  I  sin2 x  dx Đặt t   sin2 x  I =    t dt = t  1 1   Câu 26 I  sin x  sin x  cos x  dx    Ta có: sin x  cos x  cos  x   ; 6        sin  x    cos  x   sin x  sin   x     = 6 6 6 6        sin  x   dx 6 3 dx  I= =    16     16  cos3  x   cos2  x   6 6    Câu 27 I      sin x cos2 x   cos2 x dx  cos2 x   sin2 x    dx  =  cos2 x   I sin x  cos2 x  dx   sin2 x cos2 x dx   sin x cos2 x sin x dx      sin x cos2 x sin x dx  7   12   sin x  cos x dx   sin  x   1 1  dx  dx =  I dx =  20  20    sin x  cos x  cos2  x   sin  x   3  3     6   1   dt  ln Đặt t  cos  x    dt   sin  x   dx  I   3 3 1 t    Câu 29 I    sin x  cos2 xdx Trang 16 sin x 0 cos x Câu 28 I   sin x dx Trần Sĩ Tùng I Bài tập Tích phân    sin x  cos x dx = I   sin x  cos x dx    sin x  cos x dx     Câu 30 I  sin xdx  (sin x  cos x )3   Đặt x   2I    cos tdt    2 dx cos xdx  1    cot( x  )   I   2 0 sin2 ( x  ) dx  (sin x  cos x )2    (sin t  cos t)3  (sin x  cos x )3  t  dx  dt  I   Câu 31 I  7sin x  5cos x  (sin x  cos x )3 dx   Xét: I1  Đặt x     sin xdx  sin x  cos x  ; I2   cos xdx  sin x  cos x   t Ta chứng minh I1 = I2  Tính I1 + I2 =   I1  I   dx sin x  cos x      tan( x  ) 1   2 cos ( x  ) dx  I  7I1 – 5I   Câu 32 I  3sin x  cos x  (sin x  cos x )3 dx   Đặt x    t  dx  dt  I   2I  I  I  Câu 33 I  3cos t  2sin t  (cos t  sin t)3 dt    2 3sin x  cos x  (sin x  cos x )3 dx    2 3cos x  2sin x  (cos x  sin x )3 dx  3cos x  2sin x  (cos x  sin x )3 dx   (sin x  cos x )2 dx   x sin x   cos2 x dx   Đặt x    t  dx  dt  I   (  t )sin t  cos t  dt    Trang 17 sin t  cos t dt  I I Bài tập Tích phân  Trần Sĩ Tùng     2  2I    dt        I  2 4 4  cos t  cos t  sin t d (cos t ) cos4 x sin x  cos3 x  sin3 x dx Câu 34 I   Đặt x    t  dx  dt  I      sin t cos t cos3 t  sin3 t dt  sin x cos x  cos3 x  sin3 x dx   2I    cos x sin x  sin x cos x sin3 x  cos3 x dx    sin x cos x (sin x  cos x ) sin3 x  cos3 x dx  12 sin xdx   20  I      cos2 (sin x )  tan Câu 35 I   Đặt x   2  (cos x ) dx   t  dx  dt   2    1  tan2 (sin t ) dt     tan2 (sin x ) dx  I  2  cos (cos t )   cos (cos x )  0 0     1   tan (cos x )  tan (sin x ) dx =  dt   Do đó: I     cos (sin x ) cos2 (cos x )  0  I   Câu 36 I  cos x  sin x  sin x  dx  Đặt u  sin x  cos x  I    du  u2 Đặt u  2sin t  I   cos tdt   4sin2 t    dt    12  Câu 37 I  sin x cos x  sin2 x   Đặt t   sin2 x = I= dx  cos2 x Ta có: cos2 x   t dt    3  sin x cos x  sin2 x dx =  sin x.cos x cos2 x  sin2 x dx = Trang 18 15  dt  t2 = sin x cos x  sin x 15   dx 1    dt t 2 t 2 Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân 15 t2 = ln t2 2 2 x sin x 2 + Tính I1   2 + Tính I =  Vậy: I   sin3 x  sin2 x  I   1 15  32    ln  =  ln ln 15    ln     4 15     x  ( x  sin x )sin x Câu 38 I   2 = dx    dx dx  sin x u  x   du  dx dx    I1  dx Đặt  dv  v   cot x sin x  sin2 x x 2 dx   sin x  2 dx dx  3 4    x 2  cos   x  cos    2   2 42 3  Câu 39 sin x I cos2 x  4sin2 x  I udu 22 dx Đặt u  3sin2 x   I     du  u 31 3sin2 x  1    tan  x    dx cos2 x   Câu 40 I  I  2sin x cos x  dx    tan  x    dx   tan x  dx Đặt t  tan x  dt  dx  (tan2 x  1)dx  cos2 x cos2 x (tan x  1)  I   dt (t  1)  1  t 1  Câu 41 I  cot x dx     sin x.sin x     4    I  2  cot x sin x (1  cot x ) dx Đặt  cot x  t  sin2 x dx  dt  I 1  1 t 1 dt   t  ln t  t 1 1    2  ln    Trang 19 Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng  Câu 42 I  dx  sin2 x.cos4 x    Ta có: I    dx 2 sin x.cos x Đặt t  tan x  dx  dt  t2 (1  t )2 dt 1 t3   (   t )dt  (  2t  )  I  t t2 1 t  34  Câu 43 I  sin x  5sin x.cos2 x  cos x dx  tan x  5tan x  2(1  tan2 x ) cos2 x dx Đặt t  tan x ,  Ta có: I  1 1  dt      I   dt  ln  ln  t  2t   2t  5t  t  sin2 xdx Câu 44 I     cos4 x (tan x  tan x  5)  Đặt t  tan x  dx   Tính I1  dt 1 t  2t  dt  t2 Đặt I t 1 t dt  1 t  2t   tan u  I1    ln   du   3 dt 1 t  2t  3 Vậy I   ln  8   Câu 45 I  sin2 x dx   sin x  I  2 sin x sin x  3sin x  4sin3 x dx   cos2 x  dx   6 Đặt t  cos x  dt   sin xdx  I     Câu 46 I  2 sin x  cos x  sin x dt 4t   dx Trang 20  dt t2   ln(2  3) Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân     Ta có:  sin x  sin x  cos x  sin x  cos x (vì x   ;  ) 4 2  sin x  cos x dx Đặt t  sin x  cos x  dt  (cos x  sin x)dx sin x  cos x  I  2 21 dt  ln t  ln t I  Câu 47 I    cos3 x sin x.cos5 xdx  Đặt t   cos3 x  t   cos3 x  6t 5dt  3cos2 x sin xdx  dx  2t 5dt cos2 x sin x 1  t t13  12  I  2 t (1  t )dt       13  91  Câu 48 I  tan xdx cos x  cos2 x    Ta có: I  tan xdx cos2 x tan2 x   tdt   I  t Đặt t   tan x  t   tan x  tdt   dt  3 2  Câu 49 I  tan x dx cos2 x cos x  (cos x  sin x  3)3 t 3 dt   32 t  Đặt t  cos x  sin x   I   dx  Câu 50 I  sin x cos2 x tan x   dx   Ta có: I   sin x 4 sin x  cos x dx Đặt t  sin x  cos4 x  I  2 2  dt    Câu 51 I  sin x   cos2 x dx   Ta có: I   2sin x (2 cos x  1)  cos x  Câu 52 I   2(2t  1) dt   ln t 1 dx Đặt t  cos2 x  I     tan( x  ) dx cos x Trang 21 Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng  tan x  dt 1 dx Đặt t  tan x  I     2 (tan x  1) ( t  1) 0  Ta có: I     Câu 53 I  tan x 0 cos xdx   tan3 x 6 tan3 x dx   dx  Ta có: I   2 2 cos x  sin x cos x(1  tan x) 3 t3 1 dt    ln Đặt t  tan x  I   1 t   Câu 54 I  cos x  dx  cos2 x I cos x dx  22  sin2 x    Câu 55 4  dx sin3 x.cos5 x     Ta có:  4 sin x cos x Đặt t  tan x  I  dx   4  cos8 x 3 t dt tan x cos x dx    1  Câu 56 I   x( cos x  cos x  sin x )dx  cos x     cos x(1  cos2 x )  sin x  x.sin x  Ta có: I   x  dx   x.cos x.dx   dx  J  K  2    cos x  cos x  0   u  x du  dx  + Tính J   x.cos x.dx Đặt   J  2 dv  cos xdx v  sin x  + Tính K   x.sin x  cos x  K dx (  t ).sin(  t )   2K    cos2 (  t ) ( x    x ).sin x  cos2 x Đặt x    t  dx  dt  dt   (  t ).sin t  cos2 t  dx    sin x.dx  cos  dt   x (  x ).sin x  cos2 x K Trang 22 dx   sin x.dx 0  cos2 x Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân Đặt t  cos x  K   K Vậy I    đặt t  tan u  dt  (1  tan2 u)du 1   tan2 u    4 dt   t2 , (1  tan u)du  2      du    u    2 4 2  Câu 57 I  cos x   sin x  cos x dx  sin x cos x  Ta có: I   sin x  cos x  dx Đặt t   cos2 x  I 15  dt 4t   ln( 15  4)  ln(  2) Dạng 3: Đổi biến số dạng  Câu 58 I   sin x  sin2 x   dx    34 3 1 sin t,   t    I =  cos2 tdt =     2 2 2 20  Đặt cos x   Câu 59 I  3sin x  cos x dx x  cos x  3sin      3sin x  cos x 3sin x cos x 3sin x cos x dx   dx   dx   dx   dx  I  2 2  cos x  cos x  cos x  cos x  sin x 0 0 2 2  3sin x 3dt dx Đặt t  cos x  dt   sin xdx  I1   + Tính I1    cos x  t2 0  3(1  tan u ) du   3(1  tan u ) 6 Đặt t  tan u  dt  3(1  tan u)du  I1    + Tính I   cos x 4dt1 dx Đặt t1  sin x  dt1  cos xdx I   dt  ln 2  sin x  t Trang 23 Bài tập Tích phân Vậy: I   Trần Sĩ Tùng  ln  Câu 60 I  tan x  cos x  cos2 x  dx   Ta có: I     tan x cos x Đặt u  tan x  du  dx  cos2 x cos x 1 tan x  cos2 x tan2 x    dx  I  u u 2 dx dx Đặt t  u2   dt  u u 2 I   dt  t 7  Câu 61 I     3  3   sin  x   4  dx 2sin x cos x    Ta có: I     sin x  cos x  sin x  cos x  Đặt t  tan u  I   2 arctan  2 dx Đặt t  sin x  cos x  I   2(1  tan2 u) 1 du   arctan 2 tan u  2 Trang 24 dt  t2  2 du Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân Dạng 4: Tích phân phần  x sin x  Câu 62 I   cos2 x dx  Sử dụng công thức tích phân phần ta có:  I        x xd     cos x  cos x   3     dx 4   J , với J  cos x 3   Để tính J ta đặt t  sin x Khi J    dx  cos x  3    dx cos x t 1   t   ln t  dt    ln 4 2  ln 2 Vậy I   2  sin x  0     cos x .e Câu 63 I  x dx x x  sin x  2sin cos x    tan  Ta có: x x  cos x 2 cos2 cos2 2  x e dx   x  I   e tan dx = e x 2 cos2 x  Câu 64 I   x cos2 x 1  sin x  dx u  x du  dx   cos2 x   Đặt dv  dx v      sin x (1  sin x )        1  14 1  I  x    dx     dx   16 2  2   sin x   sin x cos  x   4     1   2   16  tan  x        1   16 2 4 16 2  Trang 25 2 2 [...]... Bài tập Tích phân     Ta có: 1  sin 2 x  sin x  cos x  sin x  cos x (vì x   ;  ) 4 2  sin x  cos x dx Đặt t  sin x  cos x  dt  (cos x  sin x)dx sin x  cos x  I  2 4 21 2 1 dt  ln t 1  ln 2 t 2 I  1 2 6 Câu 47 I  2  1  cos3 x sin x.cos5 xdx 1  Đặt t  6 1  cos3 x  t 6  1  cos3 x  6t 5dt  3cos2 x sin xdx  dx  2t 5dt cos2 x sin x 1 1  t 7 t13  12  I  2 t... 2 sin x cos x  Ta có: I   sin x 3  cos x 2  2 dx Đặt t  3  cos2 x 6  I 15 2  3 dt 4t 2  1  ln( 15  4)  ln( 3  2) 2 Dạng 3: Đổi biến số dạng 2  2 Câu 58 I   sin x  sin2 x   1 dx 2 6   3  34 3 1 sin t,  0  t    I =  cos2 tdt =    2  2 2 4 2 20  Đặt cos x   Câu 59 I  2 3sin x  4 cos x dx 2 x  4 cos 2 x  3sin 0      2 3sin x  4 cos x 3sin x 4 cos... cos x  sin x )dx 1  cos 2 x 3     cos x(1  cos2 x )  sin x  x.sin x  Ta có: I   x  dx   x.cos x.dx   dx  J  K  2 2   1  cos x 1  cos x 0  0 0   u  x du  dx  + Tính J   x.cos x.dx Đặt   J  2 dv  cos xdx v  sin x 0  + Tính K   x.sin x 2 0 1  cos x  K dx (  t ).sin(  t ) 0   2K   0 1  cos2 (  t ) ( x    x ).sin x 1  cos2 x Đặt x    t... 0 cos x 1  cos2 x    Ta có: I  4 tan xdx 0 cos2 x tan2 x  2  3 tdt   I  t 2 Đặt t  2  tan 2 x  t 2  2  tan 2 x  tdt  3  dt  3 2 2  Câu 49 I  2 tan x dx cos2 x cos 2 x  (cos x  sin x  3)3 4 t 3 1 dt   3 32 2 t  Đặt t  cos x  sin x  3  I   dx 0  Câu 50 I  4 sin 4 x 0 cos2 x tan 4 x  1  dx   Ta có: I  4  0 sin 4 x 4 4 sin x  cos x dx Đặt t  sin 4 x  cos4... 2 2 0 cos x  sin x 0 cos x(1  tan x) 3 3 t3 1 1 2 dt    ln Đặt t  tan x  I   2 6 2 3 0 1 t   Câu 54 I  2 cos x  dx 7  cos2 x 0 I 2 1 cos x dx  2 22  sin2 x 0   6 2  Câu 55 3 4  4 dx sin3 x.cos5 x   3 1   Ta có:  4 4 3 sin x 3 cos x Đặt t  tan x  I  dx   4  cos8 x 3 3 t 4 dt 3 4 1 1 2 tan x cos x 3 dx  4  8 3  1 1  Câu 56 I   x( 0 cos x  cos x  sin x... cos x 3sin x 4 cos x dx   dx   dx   dx   dx  I  2 2 2 2 3  cos x 3  cos x 3  cos x 3  cos x 4  sin 2 x 0 0 0 0 0 2 2 2 2  1 2 3sin x 3dt dx Đặt t  cos x  dt   sin xdx  I1   + Tính I1   2 3  cos x 3  t2 0 0  3 3(1  tan 2 u ) du  3  3(1  tan 2 u ) 6 0 6 Đặt t  3 tan u  dt  3(1  tan 2 u)du  I1    2 + Tính I 2   0 1 4 cos x 4dt1 dx Đặt t1  sin x  dt1  cos xdx... x 3 xd     cos x  cos x   3 3  3    dx 4   J , với J  cos x 3 3  3  Để tính J ta đặt t  sin x Khi đó J    3 2 dx  cos x  3 3    dx cos x 3 1 t 1  1  t 2   2 ln t  1 3 dt 2 3 2  3 2   ln 4 2 3  ln 3 2 3 Vậy I   2 1  sin x  0    1  cos x .e Câu 63 I  x dx x x 1  sin x 1  2sin 2 cos 2 1 x    tan  Ta có: x x 1  cos x 2 2 cos2 2 cos2 2 2  x 2 e...  t ).sin t 1  cos2 t  dx    0 sin x.dx 2 0 1  cos  dt   x (  x ).sin x 1  cos2 x K Trang 22 dx   sin x.dx 2 0 1  cos2 x Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân Đặt t  cos x  K   K Vậy I    đặt t  tan u  dt  (1  tan2 u)du 2 1  1  tan2 u   4  2 4 2 4 dt  1  t2 , (1  tan u)du  2 1 2 4      du   2  u 4  4   2 4 4 2  Câu 57 I  2 cos x   sin x 3  cos 2 x... = e 2 x 0 2 0 2 cos2 2 x  Câu 64 I  4  0 x cos2 x 1  sin 2 x  2 dx u  x du  dx   cos2 x   Đặt dv  1 dx v   2   1  sin 2 x (1  sin 2 x )       1  1 1 1  14 1 1  I  x    dx     dx  4  16 2 0 2  2  2 1  sin 2 x  0 2 0 1  sin 2 x cos  x   4     1 1   1 2 2   16 4  tan  x   4     0  1  4  16 2 2 4 16 2 2  0 Trang 25 2 3 2...  sin x 4  t 1 0 Trang 23 Bài tập Tích phân Vậy: I   3 6 Trần Sĩ Tùng  ln 3  Câu 60 I  4 tan x  cos x 1  cos2 x  6 dx   Ta có: I   4   6 tan x 2 cos x Đặt u  tan x  du  dx  1 cos2 x 1 2 cos x 1 4 tan x  cos2 x tan2 x  2  6 1  dx  I  1 u 2 u 2 dx dx Đặt t  u2  2  dt  u 2 u 2 3 I  3  3 dt  t 7 3 7 3  Câu 61 I  2   7  3 3  3 7 3   sin  x   4  dx 2sin