Đang tải... (xem toàn văn)
Bài tập nhị thức newton hay và khó giúp phát triển tư duy của học sinh
Nhị thức NIU-TƠN Nhóm TỔ HỢP - NHỊ THỨC NIUTƠN A Lý thuyết: I TỔ HỢP: Định nghĩa: Cho n phần tử khác Một tổ hợp chập n phần tử tập chứa r phần tử Số tổ hợp n chập r nn 1(n 2)(n 3) (n r 1) n! 1.2.3 r r!(n r )! Cn r Tính chất: r nr a) C n C n b) c) d) e) II n 1 C C 1 , C C n C C C n r 1 C r C C C C C n n n r r n r 1 n n 1 n 1 n r r 1 n n 1 n n n n n n NHỊ THỨC NIUTƠN ab C a C a n n n n 1 n b Cn a n2 b 1 C b n n n (1) n Nhận xét: biểu thức VP công thức (1) - Số hạng tử n+1 - Các hạng tử có số mũ a giảm dần từ n đến 0, số mũ b tăng dần từ đến n, tồng số mũ a b hạng tử n (qui ước a0 = b0 = 1) - Các hệ số hạng tử cách hai hạng tử đầu cuối - Số hạng tử thứ k+1 la Tk+1= Cnk a n – k b k Chú ý: k n 1 n n a = b = ta có C n C n C n C n C n C n Cn C C a=1; b= -1 ta có n n 1 C 1 C k B BÀI TẬP Dạng 1: Viết khai triển theo công thức nhị thức Newton Dạng 2: Rút gọn, tính giá trị biểu thức Dạng 3: Giải phương trình Dạng 4: Tìm giá trị hệ số khai triển Newton Phương pháp: Ta có : a b n n Cn a i 0 i n i i b Khi đó: Trang k n n n n Nhị thức NIU-TƠN Nhóm Hệ số số hạng tử thứ i Số hạng tử thứ i Ta có: x x i n i C i n i Ca b n C x n n i 0 i n n i n i ( n i ) i i C x n x i 0 Khi đó: k i Hệ số x C n I nghiệm phương trình : (n i) i k Khi k = số hạng không phụ thuộc vào x Dạng 5: Sử dụng khai triển Newton chứng minh đẳng thức - bất đẳng thức Trang Nhị thức NIU-TƠN Nhóm BÀI TẬP NHỊ THỨC NIU – TƠN Dạng 1: Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn Dạng 2: Rút gọn, tính giá trị biểu thức Dạng 3: Giải phương trình Bài 1: a) a 2b 5 = k 0 C5k (2b)k a5k = C50 (2b)0 a5 + C51.(2b)1.a + … + C55.(2b)5.a0 = a + 10ba + 40b2a3 + 80b3a + 80b4a + 32b5 Bài 2: Viết số hạng đầ tiên theo lũy thừa tăng dần x khai triển 3 x 8 = 5k 0 C5k (3) k (2 x)8k Bài 3: Tính a) S= C50 xC51 x 2C52 x5C55 Ta có: (1 x) C50 xC 51 x C52 x 5C55 (1 2) C50 2C51 2 C52 C55 35 C50 2C51 2 C52 C55 S 35 243 C n1 Cnn c) C = C + +…+ n 1 n 1 x dx = C 1 n 0 Vậy C = n C x C x n n n n n 1 (1 x) n 1 = dx = n 1 n 1 n 1 n 1 d) D = C n1 - C n2 + … + (1)n1 n C nn (1 x) ' = C n n Cn1 x Cn2 x Cn3 x3 1 Cnn x n n -n (1 x) n1 = Cn1 2Cn2 x 3Cn3 x2 1n nCnn xn1 Chọn n (1 1)n1 = D D = Bài 4: Rút gọn biểu thức: A = C21n C23n C22nn1 B = C20n C22n C22nn Ta có A + B = C21n C23n C22nn1 + C20n C22n C22nn = (1 1) n = 2n (1) Trang Nhị thức NIU-TƠN Nhóm A - B = C21n C23n C22nn1 - C20n C22n C22nn = (1 1) n =0 (2) n 1 Từ (1) (2), ta có A B Bài 5: Giải phương trình: Cxx1 Cxx2 Cxc9 Cxx10 = 1023 ( x 10) = 1024 Cx0 C1x Cx2 Cx9 C10 x 2x x = 210 = 10 Dạng 4: Tìm giá trị hệ số khai triển Niu-tơn 15 Bài 1: Tìm số hạng thứ 13 khai triển 3 Ta có số hạng thứ k+1 khai triển T k 1 C15k (3 3)15k ( )k Theo giả thuyết T k 1 T 13 k+1 = 13 k = 12 Khi 12 T 13 C15 ( )3.( )12 = 87360 Vậy T 13 = 87360 13 Bài 2: Tìm số hạng thứ khai triển z , số hạng chứa z với mũ z số tự nhiên Giải Ta có số hạng thứ k+1 khai triển 1 z T k 1 C13k z13k ( ) k Theo giả thuyết T k 1 T k+1 = k = Khi 1 z z8 z T C134 z ( ) = 715 z8 Vậy T = 715 z 1 z Mặt khác, ta có: T k 1 C13k z13k ( ) k C z k 13 394 k (1)k Do đó, z có số mũ tự nhiên 39 – 4k (0 ≤ k ≤13) 4 k 3 39 4k Trang Nhị thức NIU-TƠN Nhóm k k k k 0 3 6 9 + Với k=0 T = z13 + Với k=3 T = - C133 z = -286 z + Với k=6 T = C136 z = 1716 z + Với k=9 T 10 = - C139 z1 = -175 z Vậy số hạng chứa z với số mũ tự nhiên T = z13 , T = -286 z , T = 1716 z , T 10 = -175 z Bài 3: Viết lại P(x) = 1 x + 1 x 2 + … + 20 1 x 20 dạng P(x) = a0 + a1 x + a2 x + … + a20 x 20 Tìm a9 Giải Ta có: P(x) = 1 x + 1 x 2 + … + 20 1 x 20 = (1 + C 20 + C30 + … + 20 C 20 ) + (1 + C 21 + C31 + … + 20 C 20 )x + (2 C22 + C32 + … + 20 C202 ) x + … + 20 C2020 x 20 a9 = C99 + 10 C109 + … + 20 C20 n 28 Bài 4: Trong khai triển x x x 15 tìm số hạng không phụ thuộc x, biết: n n 1 C n + Cn + C nn = 79 Giải Ta có C nn + Cnn 1 + Cnn = 79 nn 1 = 79 1+n + n + n - 156 = n 12 n 13 n = 12 Số hạng thứ k + T k 1 C x x k nk 28 x 15 k = Cnk x n 16k Số hạng không phụ thuộc biến 4n 16k = k = C125 = 792 n Bài : Cho biết ba hạng tử khai triển x có hệ số x số hạng liên tiếp cấp số cộng Tìm tất hạng tử hữu tỷ khai triển Giải Trang Nhị thức NIU-TƠN Nhóm Theo công thức nhị thức Niu – Tơn ta có: Số hạng thứ : C 0n 1 2 Số hạng thứ hai : C 1n n nn 1 1 Số hạng thứ ba : C 2 nn 1 Theo đề ta có : n n 9n n n 2 n 8 k k k 4 k 1 1 Với n = ta có T k 1 = C x x = C8k x 2 2 4 k 16 Xét x để hữu tỷ k k Do k nguyên dương nên ta chọn k k = 6, 7, 1 k = ta T = C8 x 2 16 x 16 k = ta có T = x3 x k = ta có T = 256 x k 1 Xét C8k Ta có : 2 k=0 k=1 T x (loại) T x x (loại) k=2 T x x (loại) k= T x x (loại) k=4 T5 35 x (nhận) T x (nhận) k=5 n Vậy khai triển x ba số hạng liên tiếp lập thành cấp số x 16 35 x, x cộng ta có hạng tử hữu tỷ , , 34 , , x 16 x x x 256 x 200 Bài : Tìm hệ số x101 y 99 khai triển 2 x y Giải Trang Nhị thức NIU-TƠN Nhóm 99 99 99 Áp dụng công thức nhị thức Niu – Tơn ta có T 100 C200 2101. 3 C200 299.3101 Bài : Tính hệ số x y khai triển x y 13 Giải Áp dụng công thức nhị thức Niu – Tơn ta có : T C138 1287 Bài : Tìm hệ số x khai triển 2 x 19 Giải Áp dụng công thức nhị thức Niu – Tơn ta có : T 10 C199 210. 19 C199 210 94595072 Bài 10 : Tìm hệ số x khai triển 3 x 15 Giải Áp dụng công thức nhị thức Niu – Tơn ta có : T C157 38. 27 C157 38.2 Bài 11 : Tìm hệ số x 25 y 10 khai triển x xy Giải 15 k Áp dụng công thức nhị thức Niu – Tơn ta có : T k 1 C15k x xy k C15k x 452k y k 15 45 2k 25 k 10 Để tìm hệ số x 25 y 10 10 Vậy hệ số x 25 y 10 khai triển x xy T 11 C15 3003 15 1 4 n Bài 12 : Biết hệ số x n 2 khai triển x 31 Tìm n Giải Hạng tử chứa x n 2 khai triển hạng tử chứa hệ số thứ ba, nên theo đề ta có phương trình : 1 C n2 31 4 nn 1 31.32 n 32 ta nhận n = 32 n n 992 n 31 n Vậy hệ số x n2 1 khai triển x 31 n = 32 4 Bài 13 : Biết hệ số x khai triển 1 3x n 90 Tìm n Giải Theo đề ta có phương trình : C n2 (3) 90 n n 20 n (loại n = -4) n 4 Vậy hệ số x khai triển 1 3x n 90 n = Trang ... 5: Sử dụng khai triển Newton chứng minh đẳng thức - bất đẳng thức Trang Nhị thức NIU-TƠN Nhóm BÀI TẬP NHỊ THỨC NIU – TƠN Dạng 1: Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn Dạng 2: Rút... công thức nhị thức Niu – Tơn ta có : T C138 1287 Bài : Tìm hệ số x khai triển 2 x 19 Giải Áp dụng công thức nhị thức Niu – Tơn ta có : T 10 C199 210. 19 C199 210 94595072 Bài. .. 256 x 200 Bài : Tìm hệ số x101 y 99 khai triển 2 x y Giải Trang Nhị thức NIU-TƠN Nhóm 99 99 99 Áp dụng công thức nhị thức Niu – Tơn ta có T 100 C200 2101. 3 C200 299.3101 Bài : Tính