Các toán số, chữ số dãy số Những Vấn đề chung I-/Tính cấp thiết Hiện học Toán giải toán học sinh nhìn chung có chiều hớng tiến so với trớc Có đợc điều nhờ em trọng, đầu t nhiều cho việc học nói chung có học toán Mặt khác, điều cốt lõi giáo viên đổi phơng pháp dạy học phát huy tính chủ động, sáng tạo óc t cho học sinh Nhng đặc điểm lứa tuổi, đại đa số em cha có khả tổng hợp kiến thức học thành hệ thống kiến thức nằm rải rác lớp Vì nhiệm vụ giáo viên bồi dỡng học sinh phải giúp em hệ thống lại kiến thức học thành chuyên đề nhỏ, loại toán, dạng toán để em dễ dàng tiếp thu tiếp thu cách khoa học Đối với toán số, chữ số dãy số kiến thức có từ lớp đến lớp 5, kiến thức đợc đa từ đơn giản đến phức tạp, từ đến nâng cao nhằm phù hợp với khả t em Do ngời dạy đầu t thời gian công sức tập hợp kiến thức thành chuyên đề có tính hệ thống hớng dẫn, giúp đỡ học sinh kiến thức từ dễ đến khó chắn em dễ dàng nắm đ ợc lợng kiến thức mà giáo viên học đặt Từ khả học toán em đợc nâng lên đến độ thích hợp để tiếp thu kiến thức theo trình độ nâng chuẩn chuẩn II-/Mục đích yêu cầu Khi chọn chuyên đề để áp dụng cho việc bồi dỡng học sinh giỏi mục đích đề tài giúp em có điều kiện nâng cao khả học toán đặc biệt khả t lôgíc óc khái quát, tổng hợp Bên cạnh đề tài giúp em có khả từ cách giải toán cụ thể mà khái quát hoá đa toán khác loại dạng học để giải Học xong phần em phải đạt đợc yêu cầu sau: - Nắm đợc kiến thức dãy số có nâng cao - Có kĩ giải toán giải đợc toán dạng loại - Đạt kết tốt hoc toán kì thi chọn học sinh giỏi III-/Đối tợng phơng pháp Đề tài dành cho đối tợng học sinh giỏi lớp -5 trờng, đặc biệt có kết khả quan việc bồi dỡng đội tuyển học sinh giỏi Phơng pháp là: Phân tích, tổng hợp, giảng giải, vấn đáp, trực quan, điều tra đặc biệt trọng phơng pháp phân tích để tìm cách giải toán tổng Lơng Đức Toàn: Trờng Tiểu học Thợng Quận -1- Các toán số, chữ số dãy số hợp để trình bày lời giải toán Ngoài sử dụng số phơng pháp khác nh: thực hành, luyện tập, thảo luận theo nhóm Nội dung kết I-/Nội dung Các toán số, chữ số dãy số toán yêu cầu học sinh biết dựa vào tính chất, đặc điểm chữ số, số để giải toán đồng thời tính toán sở dãy số quy dãy số để tính toán giải toán Khi bắt đầu bồi dỡng kiến thức cho em, qua điều tra trắc nghiệm thấy kiến thức số, chữ số dãy số em bị hổng nhiều Các em cha biết cách giải toán số, chữ số dãy số toán phải quy dãy số để giải Ví dụ Một sách có 234 trang Hỏi để đánh số trang sách ngời ta phải dùng chữ số Một bạn học sinh viết liên tiếp số tự nhiên từ mọt thành số lớn Hỏi chữ số thú 2004 chữ số Qua số làm học sinh số kiểm tra, kết cụ thể học sinh nh sau: Tổng số làm Điểm - 10 Điểm - Điểm - Điểm - 35 = 20% 14 = 40% 14 = 40% Với kết em cha đạt trình độ chuẩn học sinh giỏi Nh em khó mà đạt đợc điểm cao kì thi chọn học sinh giỏi cấp Từ thấy cần phải giúp em hệ thống hoá kiến thức dãy số toán số, chữ số dãy số để em có nhìn tổng quát kiến thức học Bớc đầu để em làm quen với số, chữ số dãy số đa ví dụ cụ thể sau tổng quát thành kiến thức đơn giản, em cần nắm đợc cụ thể nh sau: Số chữ số 1- Những kiến thức cần lu ý: a- Chữ số kí hiệu có tính chất quy ớc, dùng để ghi số Có mời chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Khi viết số tự nhiên ta sử dụng mời chữ số chữ số kể từ bên trái số tự nhiên phải khác Với 10 chữ số này, ta viết đ ợc tất số b- Phân tích cấu tạo số tự nhiên : ab = a x 10 + b abc = a x 100 + b x 10 + c = ab x 10 + c Lơng Đức Toàn: Trờng Tiểu học Thợng Quận -2- Các toán số, chữ số dãy số abcd = a x 1000 + b x 100 + c x 10 + d = abc x 10 + d = ab x 100 + cd c- Quy tắc so sánh hai số tự nhiên : c.1- Trong số tự nhiên, số có chữ số nhiều số lớn c.2- Nếu số có chữ số số có chữ số kể từ trái sang phảilớn lớn d- Số tự nhiên có tận 0, 2, 4, 6, số chẵn Số chẵn có tính chất chia hết cho e- Số tự nhiên có tận 1, 3, 5, 7, số lẻ Số lẻ có tính chất không chia hết cho 2, mà chia cho d g- Hai số tự nhiên liên tiếp (kém) đơn vị Hai số (kém) 1đơn vị hai số tự nhiên liên tiếp h- Hai số chẵn liên tiếp (kém) đơn vị Hai số chẵn (kém) nhau2 đơn vị số chẵn liên tiếp i- Hai số lẻ liên tiếp (kém) đơn vị Hai số lẻ (kém) nhau2 đơn vị số lẻ liên tiếp k- Khi phải viết số có nhiều chữ số giống ngời ta thờng viết chữ số đầu sau viết chữ số cuối bên dới ghi số lợng chữ số giống 10 8chữ số 2- Các dạng toán: Dạng : Sử dụng cấu tạo thập phân số dạng ta thờng gặp loại toán sau: Loại 1: Viết thêm 1hay nhiều chữ số vào bên phải, bên trái xen số tự nhiên Bài 1: Tìm số tự nhiên có hai chữ số,biết viết thêm chữ số vào bên trái số ta đợc số lớn gấp 13 lần số cho Giải : Gọi số phải tìm ab Viết thêm chữ số vào bên trái ta dợc số 9ab Theo ta có : 9ab = ab x 13 900 + ab = ab x 13 900 = ab x 13 ab 900 = ab x ( 13 ) Lơng Đức Toàn: Trờng Tiểu học Thợng Quận -3- Các toán số, chữ số dãy số 900 = ab x 12 ab = 900 : 12 ab = 75 Bài : Tìm số có chữ số, biết viết thêm chữ số vào bên phải số tăng thêm 112 đơn vị Giải : Gọi số phải tìm abc Khi viết thêm chữ số vào bên phải ta dợc số abc5 Theo ta có : abc5 = abc + 112 10 x abc + = abc + 112 10 x abc = abc + 112 10 x abc = abc + 107 10 x abc abc = 107 ( 10 ) x abc = 107 x abc = 107 abc = 123 Bài 3: Tìm số tự nhiên có chữ số, biết viết chữ số xen chữ số hàng chục hàng đơn vị số ta đợc số lớn gấp 10 lần số cho, viết thêm chữ số vào bên trái số vừa nhận dợc số lại tăng lên lần Giải: Gọi số phải tìm ab Viết thêm chữ số 0xen chữ số hàng chục hàng đơn vị ta đợc số a0b Theo ta có : ab x 10 = a0b Vậy b = số phải tìm có dạng a00 Viết thêm chữ số vào bên trái số a00 ta đợc số 1a00 Theo ta có : 1a00 = x a00 Giải ta đợc a = Số phải tìm 50 Loại : Xoá bớt chữ số số tự nhiên Bài 1: Cho số có chữ số Nếu ta xoá chữ số hàng chục hàng đơn vị số giảm 4455 đơn vị Tìm số Giải : Gọi số phải tìm abcd Xoá chữ số hàng chục hàng đơn vị ta đợc số ab Theo đề ta có abcd ab = 4455 Lơng Đức Toàn: Trờng Tiểu học Thợng Quận -4- Các toán số, chữ số dãy số 100 x ab + cd ab = 4455 cd + 100 x ab ab = 4455 cd + 99 x ab = 4455 cd = 99 x (45 ab) Ta nhận xét tích 99 với số tự nhiên số tự nhiên nhỏ 100 Cho nên 45 ab phải - Nếu 45 ab = ab = 45 cd = - Nếu 45 ab = ab = 44 cd = 99 Số phải tìm 4500 4499 Loại : Số tự nhiên tổng, hiệu, tích chữ số Bài : Tìm số có chữ số, biết số gấp lần tỏng chữ số Giải : Cách : Gọi số phải tìm ab Theo ta có ab = x (a + b) 10 x a + b = x a + x b 10 x a x a = x b b (10 5) x a = (5 1) x b 5xa=4xb Từ suy b chia hết cho Vậy b + Nếu b = a = (loại) + Nếu b = x a = 20, a = Số phải tìm 45 Cách : Theo ta có ab = x ( a + b) Vì x (a + b) có tận hoăc nên b + Nếu b = thay vào ta có : a5 = x (a + 5) 10 x a + = x a + 25 Tính ta đợc a = Thử lại : 45 : (4 + 5) = Vậy số phải tìm 45 Bài : Tìm số có chữ số, biết số chia cho hiệu chữ số đợc thơng 28 d Lơng Đức Toàn: Trờng Tiểu học Thợng Quận -5- Các toán số, chữ số dãy số Giải : Gọi số phải tìm ab hiệu chữ số c Theo ta có : ab = c x 28 + 1, c 1, + Nếu c = ab = 29 Thử lại : = (loại) + Nếu c = ab = 57 Thử lại : = ; 57 : = 28 (d 1) + Nếu c= ab = 58 Thử lại : = ; 85 : = 28 (d 1) Vậy số phải tìm 85 57 Bài : Tìm số tự nhiên có chữ số, biết số gấp lần tích chữ số Giải : Cách : Gọi số phải tìm abc Theo ta có abc = x a x b x c Vì a x x b x c chia hết abc chia hết cho Vậy c = 5, nhng c 0, c = Số phải tìm có dạng ab5 Thay vào ta có 100 x a + 10 x b + = 25 x a x b 20 x a + x b +1 = x a x b Vì a x x b chia hết x b + chia hết cho Vậy x b có tận 9, nhng x b số chẵn nên b = - Trờng hợp b = ta có a25 = x a x Vế trái số lẻ mà vế phải số chẵn Vậy trờng hợp b = bị loại - Trờng hợp b = ta có 20 x a + 15 = 35 x a Tính ta đợc a = Thử lại : 175 = x x Vậy số phải tìm 175 Cách : Tơng tự cach ta có : ab5 = 25 x a x b Vậy ab5 chia hết cho 25, suy b = Mặt khác, ab5 số lẻ cho nêna, b phải số lẻ suy b = Tiếp theo tơng tự cách ta tìm đợc a = Số phải tìm 175 Lơng Đức Toàn: Trờng Tiểu học Thợng Quận -6- Các toán số, chữ số dãy số Loại : So sánh tổng điền dấu Bài : Cho A = abc + ab + 1997 B = 1ab9 + 9ac + 9b So sánh A B Giải : Ta thấy : B = 1009 + ab0 + 900 + ac + 90 + b = 1999 + ab0 + a0 + c + b = 1999 + abc + ab a > B Bài : So sánh tổng A B A = abc +de + 1992 B = 19bc + d1 + a9e Giải : Ta thấy : B = 1900 + bc + d0 + + a00 + e + 90 = abc + de + 1991 Từ ta suy A > B : Điền dấu 1a26 + 4b4 +5bc abc + m000 x5 + 5x abc + 1997 m0bc + a00 xx +56 Dạng : Kĩ thuật tính quan hệ phép tính Bài : Tổng hai số gấp đôi số thứ Tìm thơng số Giải : Ta có : STN + ST2 = Tổng Mà tổng gấp đôi STN nên STN = ST2 suy thơng số Bài : Một phép chia có thơng số d 3, tổng số bị chia, số chia số d 195 Tìm số bị chia số chia Giải : Gọi số bị chia A, số chia B Ta có : A : B = (d 3) hay A = B x + Và : A + B + = 195 Lơng Đức Toàn: Trờng Tiểu học Thợng Quận -7- Các toán số, chữ số dãy số A + B = 1995 = 1992 A: | | | | | | | | | 1992 B: | | B = (1992 3) : (6 + 1) = 27 A = 27 x + = 165 Bài : Hiệu số 33, lấy số lớn chia cho số nhỏ đợc thơng số d Tìm số Giải : Số lớn : | | | | | 33 Số bé : | | Số bé : (33 3) : = 15 Số lớn : 33 + 15 = 48 Đáp số : SL 48 ; SB 15 * Bài tập nhà : Bài : Tìm số có chữ số, biết viết thêm số 21 vào bên trái số ta đ ợc số lớn gấp 31 lần số phải tìm Bài : Tìm số có chữ số, biết viết thêm chữ số vào bên trái số ta đ ợc số lớn gấp 26 lần số phải tìm Bài : Tìm 1số có chữ số, biết viết thêm chữ số vào bên phải số ta đợc số lớn số phải tìm 230 đơn vị Bài : Cho số có chữ số, ta xoá chữ số hàng trăm số giảm lần Tìm số Bài : tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết số lớn gấp ba lần tích chữ số Bài : Cho A = abcde + abc + 2001 B = ab56e + 1cd8 + a9c + 7b5 So sánh A B Bài : Cho hai số, lấy số lớn chia cho số nhỏ ta đợc thơng số d lớn có Lơng Đức Toàn: Trờng Tiểu học Thợng Quận -8- Các toán số, chữ số dãy số thể có đợc 48 Tìm hai số Bài : Tìm số có hai chữ số biết tổng chữ số số số lẻ nhỏ có hai chữ số, chữ số hàng đơn vị lớn chữ số hàng chục đơn vị Dạng : Thành lập số tính tổng Bài : Cho chữ số : 0, 3, a, Viết đợc tất số có chữ số khác từ chữ số cho b, Tìm số lớn nhất, số nhỏ có chữ số khác đợc viết từ chữ số cho c, Tìm số lẻ lớn nhất, số chẵn nhỏ có chữ số khác đợc viết từ chữ số cho Giải : Cách 1: Chọn làm chữ số hàng nghìn, ta có số : : 3089 : 3098 : 3809 : 3890 : 3908 : 3980 Nhìn vào sơ đồ ta thấy : Từ chữ số cho ta viết đợc số có số hàng nghìn thoả mãn điều kiện đề Chữ số đứng vị trí hàng nghìn Vậy só số thoả mãn điều kiện đề x = 18 (số) Cách : Lần lợt chọn chữ số hàng nghìn, hàng trăm, hàng chục hàng đơn vị nh sau : - có cách chọn chữ số hàng nghìn số thoả mãn điều kiện đề (vì số đứng vị trí hàng nghìn) - Có cách chọn chữ số hàng trăm (đó chữ số lại khác chữ số hàng nghìn) - Có cách chọn chữ số hàng chục (đó chữ số lại khác chữ số hàng Lơng Đức Toàn: Trờng Tiểu học Thợng Quận -9- Các toán số, chữ số dãy số nghìn hàng trăm) - Có cách chọn chữ số hàng đơn vị (đó chữ số lại khác hàng nghìn, hàng trăm hàng chục) Vậy số viết đợc : x x x = 18 (số) b, Số lớn có chữ số khác đợc viết từ chữ số cho phải có chữ số hàng nghìn chữ số lớn (Trong chữ số cho) Vậy chữ số hàng nghìn số phải tìm Chữ số hàng trăm phải chữ số lớn chữ số lại Vậy chữ số hàng trăm Chữ số hàng chục chữ số lớn chữ số lại Vậy chữ số hàng chục Số phải tìm 9830 Tơng tự phần ta nhận đợc số bé thoả mãn điều kiện đề 3089 c, Số lẻ lớn thoả mãn điều kiện đề phải có chữ số hàng nghìn số lớn chữ số cho Vậy chữ số hàng nghìn số phải tìm Số phải tìm có chữ số hàng nghìn số lẻ nên chữ số hàng đơn vị phải Chữ số hàng trăm phải chữ số lớn hai chữ số lại, nên chữ số hàng trăm phải Vậy số phải tìm 9830 Tơng tự số chẵn nhỏ 3098 Bài : Viết liên tiếp 15 số lẻ đầu tien để đợc số tự nhiên Hãy xoá 15 chữ số số tự nhiên vừa nhận đợc mà giữ nguyên thứ tự chữ số lại đẻe đợc : a, Số lớn b, Số nhỏ Viết số Giải : Viết 15 số lẻ liên tiếp ta đợc số tự nhiên : 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 Để sau xoá 15 chữ số ta nhận đợc số lớn chữ số giữ lại kể từ bên trái phải chữ số Vậy trớc hết ta xoá chữ số dãy 1, 3, 5, Số lại : 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 Ta phải xoá tiếp 15 = 11 chữ số lại để đợc số lớn Để sau xoá Lơng Đức Toàn: Trờng Tiểu học Thợng Quận - 10 - Các toán số, chữ số dãy số nhận đợc số lớn chữ số thứ hai kể từ bên trái phải chữ số Vậy ta phải xoá tiếp chữ số viết hai chữ số dãy, 11 13 15 17 Số lại : 992 123 252 729 Ta phải xoá tiếp 11 = chữ số từ số lại để đợc số lớn Chữ số thứ ba lại kể từ bên trái phải 2, để đợc số lớn sau xoá chữ số ta phải xoá số 12 21 Vậy số lớn phải 923 252 729 b, Lập luận tơng tự câu a số phải tìm 111 111 122 Bài : Cho chữ số 2, Hãy lập tất số có chữ số mà số có đủ chữ số cho Hỏi : a, Lập đợc số nh b, Mỗi chữ số đứng hàng lần? c, Tính tổng số Giải : a, Ta lập đợc số sau 235 325 523 253 352 532 b, Mỗi chữ số đứng hàng lần c, Tổng số : (2 + + 5) x x 100 + (2 + + 5) x x 10 + (2 + + 5) x = 10 x x (100 + 10 + 1) = 10 x x 111 = 2220 Bài : Cho chữ số 1, 2, 3, Hãy lập tất số có chữ số mà số có đủ chữ số đẫ cho Tính tổng số Giải : Chọn chữ số hàng nghìn ta lập đợc số sau : 1234 1324 1423 1243 1342 1432 Ta thấy chữ số đứng hàng lần Vậy tổng số lập đợc : (1 + + + 4) x 1000 x + (1 + + + 4) x 100 x + (1 + + + 4) x 10 x + (1 + + + 4) x x = 10 x x (1000 + 100 + 10 + 1) = 60 x 1111 Lơng Đức Toàn: Trờng Tiểu học Thợng Quận - 11 - Các toán số, chữ số dãy số = 66660 Bài : Cho chữ số 1, 2, 3, 4, Hãy lập tất số có chữ số mà số có đủ chữ số cho Tính tổng Giải : Chọn chữ số hàng chục nghìn ta lập đợc 24 số Tơng tự nên ta lập đợc 24 x = 120 (số) Tổng : (1 + + + + 5) x 10000 x 24 + (1 + + + + 5) x 1000 x 24 + (1 + + + + + 5) x 100 x 24 + (1 + + + + 5) x 10 x 24 + (1 + + + + 5) x x x 24 = (1 + + + + 5) x 24 x 11111 = 15 x 24 x 11111 = 3999960 Bài : Cho chữ số 3, 3, Hãy lập tất số có chữ số mà số có đủ chữ số cho mà chữ số viết lần Tính tổng số Giải : Ta lập đợc số 334, 343, 433 Tổng số : (3 + + 4) x 100 x + (3 + + 4) x 10 + (3 + + 4) x = 10 x (10 + 10 + 1) = 10 x 111 = 1110 Bài : Cho chữ số : 2, 2, 5, Hãy lập tất số có chữ số mà số có đủ chữ số cho Tính tổng Giải : - Chọn chữ số hàng nghìn ta lập đợc số : 1225 1522 1252 - Chọn chữ số hàng nghìn ta lập đợc số - Chọn chữ số hàng nghìn ta lập đợc số 2152 2251 2512 2125 2215 2521 Vậy ta lập đợc 12 số Tổng : (1 + + + 5) x 1000 x + (1 + + + 5) x 100 x + (1+ + + 5) x x Lơng Đức Toàn: Trờng Tiểu học Thợng Quận - 12 - Các toán số, chữ số dãy số = (1 + + + 5) x x 1111 = 10 x x 1111 = 33330 Bài : Cho chữ số 0, 3, Hãy lập tất cảc số có chữ số cho số có đủ chữ số cho Tính tổng số vừa lập Giải : Ta lập đợc số 307 703 370 730 Tổng (3 + 7) x 100 x + (3 + 7) x 10 + (3 + 7) x = 10 x 100 x + 10 x 10 + 10 x = 20 x 100 + 100 + 10 = 2110 Các tập áp dụng: Bài : Cho chữ số : 0, 2, 3, Hãy lập tất số mà số có đủ chữ số cho Tính tổng Bài : Cho chữ số : 1, 3, 3, Hãy lập tất số có chữ số mà số có đủ chữ số cho Tính tổng Bài : Cho chữ số : 0, 1, 3, 2, Hãy lập tất số có chữ số mà số có đủ chữ số cho Tính tổng Bài : Cho chữ số 0, 1, 2, 3, a, Có thể viết đợcbao nhiêu số có chữ số khác từ chữ số cho? Trong số viết đợc có số chẵn? b, Tìm số chẵn lớn nhất, số lẻ nhỏ có chữ số khác đợc viết từ chữ số cho Bài : Có thể viết đợc số có chữ số khác nhau, biết : a, Các chữ số chúng số lẻ? b, Các chữ số chúng số chẵn? Bài : a, Tìm số tự nhiên nhỏ có chữ số đợc viết tữ chữ số khác b, Tìm số tự nhiên lớn có chữ số đợc viết từ chữ số khác Bài : Viết liên tiếp số tự nhiên từ đến 15 để đợc số tự nhiên Hãy xoá 10 Lơng Đức Toàn: Trờng Tiểu học Thợng Quận - 13 - Các toán số, chữ số dãy số chữ số vừa nhận đợc mà giữ nguyên thứ tự chữ số lại để đợc : a, Số lớn nhất; b, Số nhỏ nhất; Viết số Bài : Viết liên tiếp 10 số chẵn khác để đợc số tự nhiên Hãy xoá 10 chữ số số vừa nhận đợc mà giữ nguyên thứ tự chữ số lại để đợc : a, Số chẵn lớn nhất; b, Số lẻ nhỏ Dãy số 1- Dãy số ? Ví dụ 1: , 2, 3, ,100 Ta thấy: - = - = Ví dụ 2: 1, 2, 3, 5, 8, Ta thấy: = + 5= 2+ Và số ví dụ khác Rút kết luận: Dãy số tập hợp dãy số đợc viết liền liên quy luật định 2- Dãy số cách Ví dụ 1: 1, 3, 5, 7, 9, Ta thấy: - = : = d -3 =2 : = 1d1 Ví dụ 2: 2, 5, 8, 11 Ta thấy: - = : =0d2 - =3 : 3= 1d2 Kết luận: Dãy số cách dãy số mà hiệu số hạng với số liền trớc luôn Hoặc: Dãy số cách dãy số mà số hạng dãy đem chia cho Lơng Đức Toàn: Trờng Tiểu học Thợng Quận - 14 - Các toán số, chữ số dãy số khoảng cách số hạng có số d 3- Dãy số khác Có nhiều dãy số khác có quy luật khác Muốn làm toán dãy số ta buộc phải tìm đợc quy luật dãy số Ví dụ 1: 1, 2, 4, 8, 16 Quy luật: Mỗi số hạng dãy gấp đôi số hạng đứng liền trớc Ví dụ 2: 1, 4, 9, 16, 25, Quy luật: Số hạng vị trí số thứ tự vị trí nhân với Ví dụ 3: 1, 3, 6, 10, 15, Quy luật: Mỗi số hạng tổng số hạng liền trớc với số thứ tự dãy số Sau em nắm bắt đợc kiến thức dãy số tiếp tục nâng dần mức độ khái quát lên để em hiểu sâu, hiểu kĩ dãy số Đó toán dãy số 4- Các toán dãy số cách Dạng 1: Tìm số hạng dãy số Bài toán: Cho dãy số : 1, 3, 5, 7, 99 Hỏi dãy số có số hạng - Lời giải cụ thể: Số cuối số đầu là: 99 - = 98 Khoảng cách số hạng liền là: - = - =2 Số khoảng cách là: 98: = 49 Số số hạng là: 49 + = 50 Biểu thức đáp số là: ( 99 - 1) : ( - 3) + = 50 - Rút công thức tổng quát: Số số hạng = (Số cuối - số đầu): khoảng cách + - Bài tập áp dụng + Bài 1: Cho dãy số: 2, 4, 6, 8, 100 Lơng Đức Toàn: Trờng Tiểu học Thợng Quận - 15 - Các toán số, chữ số dãy số - Dãy số đợc viết theo quy luận ? số 51 có thuộc dãy số không? Tại ? + Bài 2: Cho dãy số: 1, 4, 7, 10, 214 Hỏi dãy số có số hạng Dạng 2: Tính tổng dãy số Bài toán: Cho dãy số : 2, 4, 6, 8, 100 Hãy tính tổng dãy số - Lời giải cụ thể Tổng số đầu số cuối 2+ 100 = 102 Dãy số có số hạng là: ( 100 - 2) : + = 50 Tổng dãy số là: (102 ì 50) : = 2550 Biểu thức đáp số (2 + 100) ì 50 : = 2550 - Công thức tổng quát Tổng = (số đầu + số cuối) ì Số số hạng : - Bài toán áp dụng: - Bài 1: Cho dãy số: 5, 9, 13, 1981 Tính tổng dãy số Bài 2: Viết số chẵn liên tiếp thành dãy số: 2, 4, 6, 8, , 234 a-Tính tổng dãy số trên? b- Không làm tính cụ thể, em cho biết viết tiếp đến số 2004 tổng dãy số có chia hết cho không? Tại sao? Dạng 3: Tìm só hạng thứ n dãy số Bài toán: Cho dãy số: 1, 3, 5, 7, Hỏi số hạng thứ 100 dãy số số - Lời giải cụ thể Số khoảng cách từ số đầu đến số hạng thứ 100 98 - = 99 Mỗi khoảng cách - = -3 =2 Số hạng thứ 100 Lơng Đức Toàn: Trờng Tiểu học Thợng Quận - 16 - Các toán số, chữ số dãy số + 99 ì = 199 - Công thức tổng quát: Số hạng thứ n = số đầu + khoảng cách ì (Số số hạng - 1) - Bài toán áp dụng: Cho dãy số : 101, 104, 107, Tìm số hạng thứ 1998 dãy số Dạng 4: Tìm số chữ số dãy biết số số hạng Bài toán 1: Cho dãy số: 1, 2, 3, .150 Hỏi để viết dãy số ngời ta phải dùng chữ số Giải: Dãy số cho có : ( - 1) : + = số có chữ số Có ( 99 - 10 ) : + = 90 số có chữ số có ( 150 - 100) : + = 51 số có chữ số Vậy số chữ số cần dùng : ì + 90 ì + 51 ì = 342 chữ số Bài toán 2: Một sách có 234 trang Hỏi để đánh số trang sách ngời ta phải dùng chữ số Giải: Để đánh số trang sách ngời ta phải viết liên tiếp số tự nhiên từ đến 234 thành dãy số Dãy số có ( - 1) : + = số có chữ số Có: ( 99 - 10) : + = 90 số có chữ số Có: ( 234 - 100) : + = 135 số có chữ số Vậy ngời ta phải dùng số chữ số là: ì + 90 ì + 135 ì = 594 chữ số áp dụng: Bài 1: Một bạn học sinh viết liên tiếp số tự nhiên từ 101 đến 2004 thành số lớn Hỏi số có chữ số Bài 2: Trờng Tiểu học Thành Công có 987 học sinh Hỏi để ghi số thứ tự học sinh trờng ngời ta phải dùng chữ số Dạng 5: Tìm số hạng biết số chữ số Bài toán: Để đánh số trang sách ngời ta dùng hết 435 chữ số Hỏi sách có trang Giải: Lơng Đức Toàn: Trờng Tiểu học Thợng Quận - 17 - Các toán số, chữ số dãy số Để đánh số trang sách đó, ngời ta phải viết liên tiếp số tự nhiên thành dãy số Dãy số có số có chữ số có 90 số có chữ số Để viết số cần số chữ số ì + 90 ì = 189 chữ số Số chữ số lại là: 435 - 189 = 246 chữ số Số chữ số lại dùng để viết tiếp số có chữ số 100 Ta viết đợc 246 : = 82 số Số trang sách 99 + 82 = 181 ( trang) áp dụng: Bài 1: Để viết dãy số tự nhiên liên tiếp ngời ta dùng hết 756 chữ số Hỏi số hạng cuối dãy số Bài 2: Để ghi số thứ tự học sinh trờng Tiểu học, ngời ta phải dùng 1137 chữ số Hỏi trờng có học sinh Dạng 6: Tìm chữ số thứ n dãy Bài toán: Cho dãy số 1, 2, 3, Hỏi chữ số thứ 200 chữ số ? Giải: Dãy số cho có số có chữ số Có 90 số có chữ số Để viết số cần ì + 90 ì = 189 chữ số Số chữ số lại 200 - 189 = 11 chữ số Số chữ số lại dùng để viết số có chữ số 100 Ta viết đợc 11 : = số d chữ số Nên có số có chữ số đợc viết liên tiếp đến 99 + = 102 Còn d chữ số dùng để viết tiếp số 103 nhng viết đợc 10 Vậy chữ số thứ 200 dãy chữ số số 103 áp dụng: Bài 1: Cho dãy số: 2, 5, 8, 11, .Hãy tìm chữ số thứ 200 dãy số Lơng Đức Toàn: Trờng Tiểu học Thợng Quận - 18 - Các toán số, chữ số dãy số Bài 2: Cho dãy số: 2, 4, 6, 8, Bạn Minh tìm đợc chữ số thứ 2004 dãy chữ số 0, hỏi bạn tìm hay sai? Dạng 7: Tìm xem tích số hạng dãy tận chữ số Bài toán 1: Em tính xem tích số tự nhiên liên tiếp từ 18 đến 26 tận chữ số giống Giải Tích viết nh sau: 18 ì 19 ì 20 ì ì 26 Ta thấy 25 = ì mà số chẵn nhân với cho ta số tròn chục Mặt khác dãy có số 20 số tròn chục Mỗi số tròn chục nhân cho ta chữ số Vậy tích cho có tận chữ số giống , chữ số Bài toán 2: Tích sau có tận chữ số nào: ì 19 ì 29 ì ì 99 Giải: Tích có ( 99 - 9) : 10 + = 10 thừa số mà .9 ì .9 = .1 Có 10 : = cặp nh Mà ì .1 ì ì .1 = Vậy tích có tận chữ số Nh số thừa số có tận dãy lẻ tích có tận là: ì = thừa số chẵn tích có tận áp dụng: Bài 1: Tích số tự nhiên liên tiếp từ 24 đến 75 có tận chữ số giống Bài 2: Các tích sau có tận chữ số nào: a- ì 16 ì 26 ì ì 1996 b- ì 17 ì 27 ì ì 197 Dạng 8: Tìm số hạng thứ n biết tổng dãy số Bài toán 1: Cho dãy số: 1, 2, .n Hãy tìm số n biết tổng dãy số 136 Giải: áp dụng công thức tính tổng ta có : + + + + n = (1 + n) ì n = 136 Do đó: (1 + n ) ì n = 136 ì Lơng Đức Toàn: Trờng Tiểu học Thợng Quận - 19 - Các toán số, chữ số dãy số = 17 ì ì = 16 ì 17 Vậy n = 16 Bài toán 2: Cho dãy số 21, 22, 23, n Tìm n biết 21 + 22 + 23 + + n = 4840 Giải: Nếu cộng thêm tổng tổng số tự nhiên liên tiếp từ đến 20 ta có tổng sau: + + + + 21 + 22 + 23 + .+ n áp dụng công thức tính tổng ta có (1 + n) ì n : = + + + 20 + 4840 = ( + 20) ì 20 : + 4840 = 210 + 4840 = 5050 ( 1+ n) ì n = 5050 ì = 10100 = 101 ì 100 Vậy n = 100 áp dụng Bài 1: Cho biết: + + + + n = 345 Hãy tìm số n Bài 2: Tìm số n biết 98 + 102+ +n = 15050 Dạng 9: Viết liên tiếp nhóm chũ số ( chữ cái) thành dãy Hỏi chữ số (chữ cái) thứ n chữ số ( chữ cái) Bài toán 1; Một bạn học sinh viết liên tiếp chữ số 1, 3, 5, 7, thành dãy 1357913579 Hỏi chữ số thứ 1998 chữ số Giải Ta nhận thấy chữ số lập thành nhóm 13579 với 1998 chữ số ta viết đợc 1998 : = 399 nhóm d chữ số dùng để viết nhóm tiếp theo, nhng viết đợc135 Vậy chữ số thứ 1998 chữ số Bài toán 2: Ngời ta viết liên tiếp chữ K, I, N , H, M, Ô, N thành dãy KINH MÔN KINH MÔN Lơng Đức Toàn: Trờng Tiểu học Thợng Quận - 20 - Các toán số, chữ số dãy số Hỏi chữ thứ 2000 chữ Giải: Ta thấy chữ thành lập nhóm KINH MÔN với 2000 chữ ta viết đợc số nhóm là: 1999 : = 285 nhóm, d chữ để viết nhóm nhng với viết đợc KINH M Vậy chữ thứ 2000 chữ M áp dụng: Bài 1: Một bạn học sinh viết liên tiếp chữ H, A, I , D, Ư, Ơ, N, G thành dãy HAI DƯƠNG HAI DƯƠNG viết đến chữ thứ 1234 phát viết nhầm chữ Hỏi chữ viết nhầm chữ Bài 2: Ngời ta viết chữ cái: T, o, A, n, t, u, Ô, i, t, h, thành dãy ToAntuôithơToAntu chữ viết màu khác theo thứ tự xanh, đỏ, vàng Hỏi chữ thứ 2004 chữ gì, màu gì? II-/Kết Qua thời gian giúp em học ôn luyện kiến thức bản, hớng dẫn em làm toán dãy số, qua kiểm tra đánh giá thấy học sinh có tiến nhanh Các em không bị lúng túng gặp loại toán mà ngợc lại em thích dạng toán mà hệ thống đợc Các em học tập hăng say hơn, hứng thú kết em nắm kiến thức làm tốt Cụ thể nh sau Tổng số tham gia Điểm - 10 Điểm - Điểm - Điểm - 35 = 14,3% 12 = 34,3% 14 = 40% = 11,4% Qua kết cho ta thấy tác dụng rõ rệt đề tài việc bồi dỡng học sinh giỏi nhà trờng III-/Hạn chế Do thời gian nghiên cứu có hạn nên kiến thức hệ thống đợc cha sâu Mặt khác trình độ học sinh lớp không đồng phần hạn chế tác dụng đề tài Chính kết đạt đợc cha thật nh mong muốn theo yêu cầu đề Kết luận chung Học sinh Tiểu học tiềm tàng khả phát triển, em muốn vơn tới mới, hay tự khẳng định Nhng khả t em mức độ từ biểu tợng cụ thể để rút đánh giá, kết luận mà cha có khả khái quát, tống hợp kiến thức đợc học Khi giáo viên hớng dẫn học sinh làm công việc tức hệ thống hoá kiến thức học phần thành kiểu, Lơng Đức Toàn: Trờng Tiểu học Thợng Quận - 21 - Các toán số, chữ số dãy số loại, dạng toán có chung vài đặc điểm toán học em dễ dàng nắm đợc kiến thức áp dụng để giải toán theo yêu cầu nội dung học Từ không bị ức chếvề khả nên em học tập thoải mái hơn, phát huy tính tích cực học tập đạt đợc yêu cầu mà chơng trình đề Nh ta giúp em cách học có khoa học, lô gic hớng tới khái quát, tổng hợp Mặt khác kĩ giải toán em đợc rèn giũa qua làm tập lực t em đợc phát triển có định hớng Từ tạo tiền đề để em học tập tốt môn học khác học tiếp lên lớp Đó mục tiêu đề tài Lơng Đức Toàn: Trờng Tiểu học Thợng Quận - 22 - Các toán số, chữ số dãy số Lơng Đức Toàn: Trờng Tiểu học Thợng Quận - 23 - [...]... : Cho 4 chữ số : 1, 3, 3, 4 Hãy lập tất cả các số có 4 chữ số mà mỗi số có đủ 4 chữ số đã cho Tính tổng Bài 3 : Cho 5 chữ số : 0, 1, 3, 2, 4 Hãy lập tất cả các số có 5 chữ số mà mỗi số có đủ 5 chữ số đã cho Tính tổng Bài 4 : Cho 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4 a, Có thể viết đợcbao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau từ 5 chữ số đã cho? Trong các số viết đợc có bao nhiêu số chẵn? b, Tìm số chẵn lớn nhất, số lẻ nhỏ... số thứ tự học sinh của 1 trờng Tiểu học, ngời ta phải dùng 1137 chữ số Hỏi trờng đó có bao nhiêu học sinh Dạng 6: Tìm chữ số thứ n của dãy Bài toán: Cho dãy số 1, 2, 3, Hỏi chữ số thứ 200 là chữ số nào ? Giải: Dãy số đã cho có 9 số có 1 chữ số Có 90 số có 2 chữ số Để viết các số này cần 9 ì 1 + 90 ì 2 = 189 chữ số Số chữ số còn lại là 200 - 189 = 11 chữ số Số chữ số còn lại này dùng để viết các số. .. nhất có 4 chữ số khác nhau đợc viết từ 5 chữ số đã cho Bài 5 : Có thể viết đợc bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau, biết rằng : a, Các chữ số của chúng đều là những số lẻ? b, Các chữ số của chúng đều là những số chẵn? Bài 6 : a, Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 5 chữ số đợc viết tữ 3 chữ số khác nhau b, Tìm số tự nhiên lớn nhất có 5 chữ số đợc viết từ 3 chữ số khác nhau Bài 7 : Viết liên tiếp các số tự nhiên... có 3 chữ số bắt đầu từ 100 Ta viết đợc 11 : 3 = 3 số d 2 chữ số Nên có 3 số có 3 chữ số đợc viết liên tiếp đến 99 + 3 = 102 Còn d 2 chữ số dùng để viết tiếp số 103 nhng chỉ viết đợc 10 Vậy chữ số thứ 200 của dãy là chữ số 0 của số 103 áp dụng: Bài 1: Cho dãy số: 2, 5, 8, 11, .Hãy tìm chữ số thứ 200 của dãy số đó Lơng Đức Toàn: Trờng Tiểu học Thợng Quận - 18 - Các bài toán về số, chữ số và dãy số Bài. .. nhiêu chữ số Dạng 5: Tìm số hạng biết số chữ số Bài toán: Để đánh số trang 1 quyển sách ngời ta dùng hết 435 chữ số Hỏi quyển sách đó có bao nhiêu trang Giải: Lơng Đức Toàn: Trờng Tiểu học Thợng Quận - 17 - Các bài toán về số, chữ số và dãy số Để đánh số trang quyển sách đó, ngời ta phải viết liên tiếp các số tự nhiên bắt đầu từ 1 thành dãy số Dãy số này có 9 số có 1 chữ số có 90 số có 2 chữ số Để... Để viết các số này cần số chữ số là 9 ì 1 + 90 ì 2 = 189 chữ số Số chữ số còn lại là: 435 - 189 = 246 chữ số Số chữ số còn lại này dùng để viết tiếp các số có 3 chữ số bắt đầu từ 100 Ta viết đợc 246 : 3 = 82 số Số trang quyển sách đó là 99 + 82 = 181 ( trang) áp dụng: Bài 1: Để viết dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 ngời ta dùng hết 756 chữ số Hỏi số hạng cuối cùng của dãy số là bao nhiêu Bài 2:... 3999960 Bài 6 : Cho 3 chữ số 3, 3, 4 Hãy lập tất cả các số có 3 chữ số mà mỗi số có đủ 3 chữ số đã cho mà mỗi chữ số trên chỉ viết 1 lần Tính tổng các số đó Giải : Ta lập đợc 3 số 334, 343, 433 Tổng các số : (3 + 3 + 4) x 100 x 1 + (3 + 3 + 4) x 10 + (3 + 3 + 4) x 1 = 10 x (10 + 10 + 1) = 10 x 111 = 1110 Bài 7 : Cho 4 chữ số : 2, 2, 5, 1 Hãy lập tất cả các số có 4 chữ số mà mỗi số có đủ 4 chữ số đã cho... để đợc 1 số tự nhiên Hãy xoá đi 10 Lơng Đức Toàn: Trờng Tiểu học Thợng Quận - 13 - Các bài toán về số, chữ số và dãy số chữ số vừa nhận đợc mà vẫn giữ nguyên thứ tự của các chữ số còn lại để đợc : a, Số lớn nhất; b, Số nhỏ nhất; Viết các số đó Bài 8 : Viết liên tiếp 10 số chẵn khác 0 đầu tiên để đợc một số tự nhiên Hãy xoá đi 10 chữ số của số vừa nhận đợc mà vẫn giữ nguyên thứ tự của các chữ số còn lại... lên để các em hiểu sâu, hiểu kĩ hơn về dãy số Đó là các bài toán về dãy số 4- Các bài toán về dãy số cách đều Dạng 1: Tìm số hạng của dãy số Bài toán: Cho dãy số : 1, 3, 5, 7, 99 Hỏi dãy số có bao nhiêu số hạng - Lời giải cụ thể: Số cuối hơn số đầu là: 99 - 1 = 98 Khoảng cách giữa 2 số hạng liền nhau là: 3 - 1 = 5 - 3 =2 Số khoảng cách là: 98: 2 = 49 Số số hạng là: 49 + 1 = 50 Biểu thức đáp số là:... Thợng Quận - 16 - Các bài toán về số, chữ số và dãy số 1 + 99 ì 2 = 199 - Công thức tổng quát: Số hạng thứ n = số đầu + khoảng cách ì (Số số hạng - 1) - Bài toán áp dụng: Cho dãy số : 101, 104, 107, Tìm số hạng thứ 1998 của dãy số đó Dạng 4: Tìm số chữ số của dãy biết số số hạng Bài toán 1: Cho dãy số: 1, 2, 3, .150 Hỏi để viết dãy số này ngời ta phải dùng bao nhiêu chữ số Giải: Dãy số đã cho có : ( ... tiếp số tự nhiên thành dãy số Dãy số có số có chữ số có 90 số có chữ số Để viết số cần số chữ số ì + 90 ì = 189 chữ số Số chữ số lại là: 435 - 189 = 246 chữ số Số chữ số lại dùng để viết tiếp số. .. từ chữ số cho phải có chữ số hàng nghìn chữ số lớn (Trong chữ số cho) Vậy chữ số hàng nghìn số phải tìm Chữ số hàng trăm phải chữ số lớn chữ số lại Vậy chữ số hàng trăm Chữ số hàng chục chữ số. .. Đức Toàn: Trờng Tiểu học Thợng Quận -8- Các toán số, chữ số dãy số thể có đợc 48 Tìm hai số Bài : Tìm số có hai chữ số biết tổng chữ số số số lẻ nhỏ có hai chữ số, chữ số hàng đơn vị lớn chữ số