 Chương Hàm nhiều biến số §1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Các định nghĩa a) Miền phẳng • Trong mặt phẳng Oxy , hình phẳng D giới hạn đường cong kín gọi miền phẳng Tập hợp đường cong kín giới hạn D gọi biên D , ký hiệu D hay Đặc biệt, mặt phẳng Oxy xem miền phẳng với biên vô  Chương Hàm nhiều biến số • Miền phẳng D kể biên D gọi miền đóng, miền phẳng D không kể biên D miền mở • Miền phẳng D gọi miền liên thông có đường cong nằm D nối điểm thuộc D Miền liên thông có biên đường cong kín gọi miền đơn liên (hình a); có biên nhiều đường cong kín rời miền đa liên (hình b)  Chương Hàm nhiều biến số b) Lân cận điểm • Khoảng cách điểm M1(x1, y1 ), M (x , y2 ) là: d M1, M M1M x1 x2 y1 y2 • Hình tròn S (M , ) mở có tâm M (x, y ), bán kính gọi lân cận điểm M • M Nghĩa là: M (x , y0 ) S (M , ) (x x )2 (y y0 )2  Chương Hàm nhiều biến số c) Hàm số hai biến số • Trong mặt phẳng Oxy cho tập D Tương ứng f : D cho tương ứng (x, y ) với giá trị z f (x , y ) D gọi hàm số hai biến số x, y • Tập D gọi miền xác định (MXĐ) hàm số f (x, y ), ký hiệu Df Miền giá trị hàm số f (x, y ) là: G z f (x , y ) (x , y ) Df  Chương Hàm nhiều biến số Chú ý • Trong trường hợp xét hàm số f (x , y ) mà không nói thêm ta hiểu MXĐ hàm số tập tất điểm M (x , y ) cho f (x , y ) có nghĩa • Hàm có nhiều hai biến định nghĩa tương tự  Chương Hàm nhiều biến số VD • Hàm số f (x , y ) 3x y cos xy có Df x y có MXĐ hình tròn đóng • Hàm số z tâm O(0; 0), bán kính R 2 • Hàm số z ln(4 x y ) có MXĐ hình tròn mở tâm O(0; 0), bán kính R • Hàm số z f (x, y ) ln(2x y 3) có MXĐ nửa mp mở có biên d : 2x y , không chứa O  Chương Hàm nhiều biến số 1.2 Giới hạn hàm số hai biến số a) Điểm tụ • Trong mpOxy cho dãy điểm Mn (xn , yn ), n 1, 2, Điểm M (x , y0 ) gọi điểm tụ dãy lân cận M chứa vô số phần tử dãy • Điểm M (x , y0 ) gọi điểm tụ tập D lân cận điểm M chứa vô số điểm thuộc D  Chương Hàm nhiều biến số b) Định nghĩa giới hạn (giới hạn bội) • Điểm M (x , y0 ) gọi giới hạn dãy điểm Mn (xn , yn ), n 1, 2, M (x , y0 ) điểm tụ dãy 0, N Nghĩa M 0M n xn Ký hiệu: lim M n n thì: x0 yn M hay M n y0 n , n M0 N  Chương Hàm nhiều biến số • Hàm số f (x , y ) có giới hạn L dần đến M lim f (xn , yn ) n { } M n L Ký hiệu là: lim f (x , y ) x y x0 y0 VD lim (x ,y ) (1, 1) lim (x ,y ) (x ,y ) 2x 2y xy f (x , y ) 3x lim f (M ) M M0 L  Chương Hàm nhiều biến số VD Tìm Giải lim (x ,y ) (0,0) f (x , y ), với f (x , y ) xy f (x , y ) x Vậy lim (x ,y ) (0,0) xy f (x , y ) xy y y x2 x y2 x y 0  Chương Hàm nhiều biến số (*) d L(M1 ) 8dy M1 điểm cực đại • Tại điểm M , M , M ta làm tương tự Cách khác (dùng trắc nghiệm) 2 d L(M ) dx 2dxdy 2dy 2 dx 2dy M điểm cực đại  Chương Hàm nhiều biến số VD 11 Tìm cực trị hàm số f (x, y ) điều kiện xy 20 x, y 10x Giải Ta có: xy 20 xy 400 (x, y ) xy 400 L 10x 40y (xy 400) Lx Điểm dừng: Ly L 10 40 xy y x 400 x y 40 10 40y thỏa  Chương Hàm nhiều biến số Vi phân cấp 2: L x 2 0; Lxy 1; Ly d L 40; 10 Điều kiện: d (x, y ) d 2dxdy ydx 40; 10 d L 40; 10 xdy 8dy dx 4dy 0 Vậy M 40; 10 điểm cực tiểu f (x, y )  Chương Hàm nhiều biến số 4.6 Giá trị lớn – nhỏ hàm hai biến miền đóng, bị chặn (cực trị toàn cục) Cho miền D đóng có biên D : (x, y ) f (x , y ) hàm liên tục D , khả vi D mở (có thể không khả vi m điểm M1, , Mm ) Giả sử biên D trơn, nghĩa hàm khả vi Để tìm giá trị lớn – nhỏ f D , ta thực bước sau: • Bước Tìm điểm cực trị tự N 1, , N n D (chỉ cần tìm điểm dừng)  Chương Hàm nhiều biến số • Bước Tìm điểm cực trị P1, , Pp biên D thỏa điều kiện (x, y ) (chỉ cần tìm điểm dừng) • Bước Giá trị max f (x , y ), f (x , y ) tương ứng D D giá trị lớn nhất, nhỏ tất giá trị sau: f (M1 ), , f (M m ), f (N1 ), , f (N n ), f (P1 ), , f (Pp )  Chương Hàm nhiều biến số VD 12 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số f (x , y ) x 2 y miền D : x x y Giải • Xét hàm f (x, y ) miền mở D : x fx Ta có: fy 0 Ta có: L x x y N (0; 0) điểm dừng thuộc D • Xét hàm f (x, y ) D : x 2 y x 2 x x y y 2  Chương Hàm nhiều biến số 2x Lx L Ly x 2y (2x x y y 1) 0 Suy điểm dừng thuộc D P1 ; , P2 ;0  Chương Hàm nhiều biến số Do f (N ) 0, f (P1 ) , f (P2 ) nên:  N (0; 0) điểm cực tiểu min(x D  P1 ; điểm cực đại max(x D y2) y ) 0;  Chương Hàm nhiều biến số VD 13 Cho hàm số f (x, y ) x y xy x y Tìm giá trị lớn nhỏ f (x, y ) miền D : x 0, y 0, x y Giải Miền D • Tại đỉnh OAB với A( 3; 0), B(0; 3) OAB hàm số không khả vi, ta có: f (O) 0, f (A) f (B) • Trong miền D , ta có: fx fy 2x 2y y x 1 0 N ( 1; 1) điểm dừng f (N )  Chương Hàm nhiều biến số • Trên cạnh OA : f (x , 0) P1 x x x 0, y fx , ta có: x ; điểm dừng f (P1 ) • Trên cạnh OB : x f (0, y ) 0, y y y fy , ta có: y điểm dừng f (P2 ) P2 0; 2  Chương Hàm nhiều biến số • Trên cạnh AB : y f (x , y ) 3x x 9x x 3, fx , ta có: x 3 điểm dừng f (P3 ) ; 2 P3 Vậy max f D A, B f D 3 N  Chương Hàm nhiều biến số VD 14 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số z sin x sin y sin(x y ) miền D : x ,0 y Giải Miền D hình vuông OABC , đó: A ;0,B ; 2 , C 0; • Tại đỉnh OABC hàm số không khả vi, ta có: z (O) 0, z (A) z (B) z (C )  Chương Hàm nhiều biến số • Trong miền D , ta có: zx N zy ; 3 cos x cos y cos(x cos(x điểm dừng z (N ) y) y) 0 3 • Trên cạnh OA, OC (không kể biên) hàm số điểm dừng  Chương Hàm nhiều biến số • Trên cạnh AB : x z P1 sin y ; ,0 sin y y , ta có: sin y điểm dừng z (P1 ) cos y  Chương Hàm nhiều biến số • Trên cạnh BC : y z sin x P2 ; Vậy max z D ,0 sin x x 2 , ta có: sin x điểm dừng z (P2 ) 3 N z D cos x O ……………………………………………………………… [...]...  Chương 2 Hàm nhiều biến số VD 1 Tính các đạo hàm riêng của hàm số: 4 3 2 3 f (x , y ) x 3x y 2y 3xy tại ( 1; 2) Giải fx/ (x, y ) / fx ( fy/ (x , y ) 4x 3 1; 2) 6x 3y 9x 2y 2 3y 46 6y 2 3x fy/ ( 1; 2) 39  Chương 2 Hàm nhiều biến số VD 2 Tính các đạo hàm riêng của z x Giải Ta có: z x 2 x2 1 y2 1 x ln 2 2xy 2 (x zy x x2 2 2 1)(x 1 y2 1 y x 2 2 y y x2 2 2 x2 y x2 x x2 1) 2 y2 1 1 1 , 2y 1 1 1 x2... lập  Chương 2 Hàm nhiều biến số 2 3 VD 10 Cho hàm số f (x, y ) x y xy 2 3 5 3x y 2 Tính vi phân cấp hai df (2; 1) Giải Ta có: // f2 x fxy// f // y2 fx/ 2xy 3 fy/ 3x 2y 2 y2 9x 2y 5 2xy 15x 3y 4 6xy 2 +2y 45x 2y 4 6x 2y +2x 60x 3y 3 // f 2 (2; x fxy// (2; f // (2; 2 y 2y Vậy d 2 f (2; 1) 3 18xy 5 34dx 2 340dxdy 1) 1) 1) 460dy 2 34 170 460  Chương 2 Hàm nhiều biến số 2 VD 11 Tính vi phân cấp 2 của... 2 1: C 3 f 2 dxdy xy 18x dxdy ; •k 2 (3) 2 2 : C 3 f 2 dx dy x y 36xydx 2dy ; •k 3 (3) 3 3: C 3 f 3 dx x 2 y Vậy d 3 f 3 2 x y 0; 2 2 3 6y dx 18x 2dxdy 2 36xydx 2dy 6y 2dx 3  Chương 2 Hàm nhiều biến số VD 13 Tính vi phân d 3z của hàm số z Giải Ta có: (3) 3 3 d z z 3 dy y 27 e 2x (3) 2 3z 2 dxdy xy sin 3ydy 3 54e e 2x cos 3y (3) 2 3z 2 dx dy x y 2x 36e 2x sin 3ydx 2dy cos 3ydxdy (3) 3 z 3 dx x 2. .. e 2 5  Chương 2 Hàm nhiều biến số VD 9 Tính vi phân cấp 1 của hàm z Giải z x/ 2 2x sin(xy ) zy/ sin(xy ) Vậy dz 2 2 2x sin(xy ) 2 e 2 x2 y 2 x2 y 2 x2 y y cos(xy ) e 2xy cos(xy ) e 2 y cos(xy ) e 2 sin(xy ) x2 y sin(xy 2 ) , dx 2 2xy cos(xy ) e x2 y dy  Chương 2 Hàm nhiều biến số 2. 3 .2 VI PHÂN CẤP CAO a) Vi phân cấp 2 Giả sử f (x , y ) là hàm khả vi với x, y là các biến độc lập Các số gia dx x,... f2 x // fxy // f2 y // f2( x fxy// ( f // ( 2 y 6xey 2 y 2y 3 3x e 6xy x 3e y 6x 2y 1;1) 6e 1;1) 3e 1;1) e 2 // fyx 2 12y 2 6 6  Chương 2 Hàm nhiều biến số x5 VD 6 Cho hàm số f (x, y ) y4 x 4y 5 Giá trị của đạo hàm riêng cấp năm f (5) (1; 1) là: 3 2 x y A C (5) f 3 2 (1; x y f (5) (1; 3 2 x y Giải fx/ /// f3 x (5) f 32 x y 5x 1) 480 ; B 1) 120 ; D 4 60x f // 2 3 5 4x y 2 24xy 480xy 3 x 5 (5) f 3 2. .. hàm f (x , y ) Giải Ta có fx/ // f2 x Vậy d 2 f y 2 xy 2xy 1 / , fy x 2 1 x 2 , fxy// x 2dx 2 xy 0, 2 // f2 y 2y 2dy 2 ln(xy ) 2 y 2 y 2  Chương 2 Hàm nhiều biến số b) Vi phân cấp n n d f d d n 1 n f k 0 k (n ) Cn f k n x y k k dx dy Trong đó: f (nn )0 x y n 0 dx dy f (nn ) , x f (0n )n x y 0 n dx n , dx dy f (nn ) , y dy n n k  Chương 2 Hàm nhiều biến số VD 12 Tính vi phân cấp 3 của hàm số f... x2 y2 1  Chương 2 Hàm nhiều biến số VD 3 Tính các đạo hàm riêng của z x cos tại ( ; 4) y Giải zx zy x y x y x x sin y x sin y y 1 x sin y y x x sin 2 y y z x ( ; 4) zy ( ; 4) 2 , 8 2 32  Chương 2 Hàm nhiều biến số VD 4 Tính các đạo hàm riêng của f (x, y, z ) Giải fx/ / fy / fz / x 2y (x y )x e sin z 2 / x 2y (x y )y e sin z 2 e x 2y cos z 2xye x 2y 2 x 2y xe sin z sin z e x 2y sin z  Chương 2. .. Ký hiệu: f 2 x fy 2 fxy fyx fxx fyy fxy fyx fx fy fx fy x y y x x f x y f y y x f x f y 2 f x2 2 f y 2 , , 2 f , y x 2 f x y  Chương 2 Hàm nhiều biến số • Hàm số nhiều hơn 2 biến và đạo hàm riêng cấp cao hơn 2 có định nghĩa tương tự VD 5 Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số: f (x , y ) x 3ey x 2y 3 y 4 tại ( 1; 1) Giải Ta có / fx / fy 2 y 3x e 3 y xe 2xy 3 2 2 3x y 4y 3  Chương 2 Hàm nhiều... là hằng số đối với x, y Vi phân của hàm df (x , y ) được gọi là vi phân cấp 2 của hàm số f (x , y ) Ký hiệu và công thức: 2 d f d df fx 2dx 2 2fxydxdy 2 fy 2dy  Chương 2 Hàm nhiều biến số Chứng minh 2 d f d (df ) d (fxdx ( fx dx fydy )x dx (fxdx (fx 2dx fxydy )dx (fxydx fx 2dx 2 fydy ) 2 fxydxdy fydy )y dy fy 2dy )dy 2 fy 2dy Chú ý • Nếu x, y là các biến không độc lập (biến trung gian) x x( , ),... Chương 2 Hàm nhiều biến số Nhận xét Nếu đặt x x0 r cos , y (x , y ) VD 4 Tìm x (x ,y ) (0,0) Giải Đặt x lim 2 2 x 0 y ) 2 r sin , ta có: sin(x 2 2 r thì: 2 y r cos , y (x ,y ) (0,0) r sin (x 0, y0 ) sin(x lim y0 y2) y 2 lim r 0 sin r 2 r 2 1  Chương 2 Hàm nhiều biến số 2xy VD 5 Cho hàm số f (x , y ) Chứng tỏ rằng Giải Đặt x lim x 2 y2 lim f (x , y ) không tồn tại (x ... biến số VD Tính đạo hàm riêng z x Giải Ta có: z x x2 y2 x ln 2xy (x zy x x2 2 1)(x y2 y x 2 y y x2 2 x2 y x2 x x2 1) y2 1 , 2y 1 x2 y2  Chương Hàm nhiều biến số VD Tính đạo hàm riêng z x... zy/ sin(xy ) Vậy dz 2 2x sin(xy ) e x2 y x2 y x2 y y cos(xy ) e 2xy cos(xy ) e y cos(xy ) e sin(xy ) x2 y sin(xy ) , dx 2xy cos(xy ) e x2 y dy  Chương Hàm nhiều biến số 2. 3 .2 VI PHÂN CẤP CAO... fy y 3x e y xe 2xy 2 3x y 4y  Chương Hàm nhiều biến số // f2 x // fxy // f2 y // f2( x fxy// ( f // ( y 6xey y 2y 3x e 6xy x 3e y 6x 2y 1;1) 6e 1;1) 3e 1;1) e // fyx 12y 6  Chương Hàm nhiều