Đang tải... (xem toàn văn)
PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG (LUẬN VĂN THẠC SĨ)PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG (LUẬN VĂN THẠC SĨ)PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG (LUẬN VĂN THẠC SĨ)PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG (LUẬN VĂN THẠC SĨ)PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG (LUẬN VĂN THẠC SĨ)PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG (LUẬN VĂN THẠC SĨ)PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG (LUẬN VĂN THẠC SĨ)PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG (LUẬN VĂN THẠC SĨ)PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG (LUẬN VĂN THẠC SĨ)PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG (LUẬN VĂN THẠC SĨ)PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG (LUẬN VĂN THẠC SĨ)
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - ĐÀO THỊ BÍCH THẢO PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG Mã số: 60440107 Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS VŨ ĐỖ LONG Hà Nội- Năm 2014 MỤC LỤC TỔNG QUAN .1 Chƣơng - CÁC HỆ THỨC CƠ SỞ PHÉP TÍNH TENXƠ 1.1 Một số khái niệm 1.2 Phép biến đổi tọa độ 1.2.1 Hệ tọa độ Đề 1.2.2 Hệ tọa độ cong .7 1.2.3 Phép biến đổi tọa độ 1.2.4 Tenxơ metric không gian Euclide .14 1.3 Thành phần vật lý tenxơ 20 1.3.1 Tenxơ hạng 20 1.3.2 Tenxơ hạng hai 21 1.3.3 Khai triển cụ thể 21 1.4 Đạo hàm hiệp biến 23 1.4.1 Đạo hàm véctơ sở 23 1.4.2 Kí hiệu Christoffel .25 1.4.3 Đạo hàm hiệp biến tenxơ hạng 31 1.4.4 Đạo hàm hiệp biến tenxơ hạng hai 32 Chƣơng - MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH TENXƠ 33 2.1 Ứng dụng tenxơ xác định phƣơng trình cân bằng- chuyển động .33 2.2 Ứng dụng tenxơ xác định thành phần liên hệ biến dạng- chuyển vị .42 2.3 Ứng dụng tenxơ toán vỏ mỏng 48 2.3.1 Trình bày lý thuyết vỏ mỏng đàn hồi 48 2.3.2 Thành phần biến dạng vỏ mỏng 49 2.3.3 Phƣơng trình cân 52 2.3.4 Khai triển cho vỏ trụ, vỏ cầu 53 TỔNG QUAN Tenxơ khái niệm toán học phục vụ cho việc thiết lập giải vấn đề vật lý nhiều lĩnh vực nhƣ học môi trƣờng liên tục, lý thuyết đàn hồi, lý thuyết tƣơng đối rộng… Tenxơ lần đƣợc nghiên cứu nhà toán học Tullio Levi-Civita Gregorio Ricci- Curbastro số nhà toán học khác Trong luận văn tenxơ đƣợc sử dụng để biểu diễn quan hệ ánh xạ tập véctơ hình học Để giải toán lý thuyết đàn hồi ngƣời ta thƣờng sử dụng hệ phƣơng trình cân bằng, phƣơng trình chuyển động, hệ thức Côsi liên hệ biến dạng chuyển vị Việc thiết lập phƣơng trình dựa hệ tọa độ cong nhƣ hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu ,….là tƣơng đối phức tạp Vì báo hay giáo trình học nói chung thƣờng nêu trực tiếp phƣơng trình cân bằng, hệ thức Côsi mà không nói rõ bƣớc biến đổi để thu đƣợc kết Luận văn trình bày rõ ràng khái niệm, phép tính bản, phép biến đổi tenxơ Trên sở vận dụng phép tính tenxơ để xác định phƣơng trình liên hệ biến dạng - chuyển vị, phƣơng trình cân bằng- chuyển động hệ tọa độ cong Từ kết sau biến đổi, tác giả thu đƣợc phƣơng trình liên hệ biến dạng – chuyển vị nhƣ hệ phƣơng trình cân hệ tọa độ trụ hệ tọa độ cầu Luận văn bao gồm phần mục lục, tổng quan, hai chƣơng, phần kết luận tài liệu tham khảo Nội dung luận văn bao gồm: - Chƣơng trình bày khái niệm, thành phần vật lý tenxơ, số phép tính tenxơ đạo hàm hiệp biến ten xơ hạng nhất, hạng hai Đồng thời tác giả trình bày cách biến đổi để thu đƣợc hệ véctơ sở, tenxơ mêtric hiệp biến phản biến, thành phần kí hiệu Christoffel, hệ số Lamé hệ tọa độ cong, cụ thể hệ tọa độ trụ cầu, từ giúp ích cho việc xác định phƣơng trình cân bằng- chuyển động, phƣơng trình liên hệ biến dạng- chuyển vị chƣơng - Chƣơng vận dụng hệ thức sở phép tính tenxơ để xây dựng phƣơng trình cân bằng- chuyển động xây dựng phƣơng trình liên hệ biến dạng- chuyển vị Đồng thời trình bày ứng dụng tenxơ toán vỏ mỏng, cụ thể áp dụng khai triển cho vỏ trụ vỏ cầu Nội dung luận văn đƣợc trình bày chi tiết dƣới đây: Chƣơng - CÁC HỆ THỨC CƠ SỞ PHÉP TÍNH TENXƠ 1.1 Một số khái niệm Định nghĩa Tenxơ trƣờng hợp riêng hệ thống phần tử, thành phần hệ số hàm số xác định hệ sở cho, với phép biến đổi tuyến tính hệ sở thành thay đổi theo quy luật xác định Hệ thống kí hiệu Các kí hiệu hệ thống đặc trƣng hay nhiều số dƣới Ví dụ nhƣ Theo quy ƣớc: số chữ la tinh lấy cá giá trị 1,2,3 Ví dụ, kí hiệu nghĩa biểu thị phần tử , , biểu thị phần tử , , Hạng tenxơ Hạng tenxơ xác định số lƣợng số kí hiệu tenxơ Nhƣ thuộc vào số nên vào số nên hệ thống hạng bao gồm hạng tử hệ thống hạng bao gồm phụ phụ thuộc phần tử Tổng quát: hệ thống phụ thuộc n số hệ thống hạng n gồm phần tử Quy ƣớc số Chỉ số hệ thống tenxơ tuân theo quy ƣớc: “ Trong biểu thức, số lặp lại lần , biểu thị tổng từ đến 3” Chỉ số nhƣ số câm nên thay chữ khác Ví dụ: Hệ thống đối xứng Xét hệ thống hạng hai Nếu thay đổi chỗ số cho nhau, thành phần hệ thống không thay đổi dấu giá trị hệ thống gọi hệ thống đối xứng Nếu thay đổi vị trí số cho nhau, thành phần hệ thống thay đổi dấu mà không thay đổi giá trị tuyệt đối hệ thống hệ thống phản đối xứng Ví dụ hệ thống Kronecker nếu { hệ thống đối xứng Mở rộng cho hệ có nhiều hệ số Hệ thống đối xứng với hai số đấy, thành phần không thay đổi đổi chỗ hai số cho Ví dụ: Nếu hệ thống đối xứng theo số Hệ thống Levi-Civita hệ thống phản đối xứng hạng số hoán vị chẵn số 1, 2, hoán vị lẻ số 1, 2, { Cụ thể: , , Cách thành phần lại Loại tenxơ Loại tenxơ (phản biến, hiệp biến, hỗn hợp) đƣợc xác định vị trí số Hệ thống hạng hai gọi tenxơ hiệp biến hạng hai Hệ thống hạng hai gọi tenxơ phản biến hạng hai Hệ thống hạng hai gọi tenxơ hỗn hợp hạng hai 1.2 Phép biến đổi tọa độ 1.2.1 Hệ tọa độ Đề Xét hệ tọa độ Đềcác vuông góc với véc tơ sở { ⃗ ⃗ ⃗ } (Hình 1) ⃗⃗ ⃗⃗ véctơ bán kính điểm P hệ tọa độ Đềcác O Hình Véc tơ ⃗⃗ đƣợc biểu diễn dƣới dạng ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ (1.1) Xét điểm Q lân cận điểm P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ độ dài bình phƣơng vô nhỏ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Do hệ tọa độ Đềcác hệ véctơ sở { ⃗ trực giao nên tích vô hƣớng ⃗ ⃗ =0 ⃗ , ⃗ ⃗ ⃗ } véctơ đơn vị nên ⃗ ⃗ Suy ra: ⃗ ⃗ a Các phép tính tenxơ hạng ( vectơ ) Xét hệ thống ⃗ có thành phần hệ sở ⃗ Phép cộng ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Nhân với số ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Nhân vô hƣớng ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Nhân véctơ ⃗ ⃗⃗ | ⃗ ⃗ ⃗ | ⃗ ⃗ ⃗ Hay viết dƣới dạng: ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⏟ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Tích hỗn hợp (⃗ ⃗⃗) ⃗ ⃗ Tích tenxơ ( ký hiệu tích tenxơ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ b Các phép tính tenxơ hạng hai Tenxơ hạng cao Đối với tenxơ hạng hai tenxơ hạng cao, phép tính đƣợc thực tƣơng tự nhƣ tenxơ hạng Chú ý phép tính cộng, trừ áp dụng đƣợc với tenxơ hạng loại Phép nhân thực với hai tenxơ có hạng Ví dụ: xét tenxơ hạng hai : ⃗ ⃗ Phép cộng ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ( )⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ( )⃗ ⃗ Phép trừ Phép nhân vô hƣớng ⃗ ⃗ ⃗ (⃗ ⃗ ) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ (⃗ ⃗ ) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Tích tenxơ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Phép nhân( tích tenxơ) ten xơ dẫn đến tenxơ hạng cao với ý sau phép cộng nhân tenxơ, số dƣới số dƣới, số số 1.2.2 Hệ tọa độ cong Hệ tọa độ cong tơ sở { ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ } (Hình 2) véctơ bán kính điểm P hệ tọa độ cong O Biểu diễn véc tơ ⃗⃗ dƣới dạng : ⃗ ⃗⃗ Hình Lấy điểm ⃗ với hệ véc ⃗ ⃗ lân cận điểm ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Độ dài bình phƣơng véc tơ vô nhỏ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đƣợc xác định ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Trong ⃗ ⃗ Phép tính vectơ Cho hai véctơ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ Phép cộng, trừ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ Tích vô hƣớng ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 1.2.3 Phép biến đổi tọa độ Bán kính ⃗⃗ điểm P hệ tọa độ Đềcác ⃗ ⃗ ⃗ biểu diễn dƣới dạng: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Với véc tơ sở ⃗ không đổi Trong tọa độ cong bất kỳ, biến liên hệ với tọa đồ Đề miền xét phép biến đổi thuận nghịch liên tục vi phân đƣợc, đơn trị Jacôbiên phép biến đổi thuẩn nghịch khác không | ̅ | | Ta có: Suy ma trận nghịch đảo Ta kí hiệu : | Với ta thay (vì hệ trực giao nên ) vào (2.12) nhận đƣợc ( ) ( * ( * ( * ( * ( ) ( * ( * ( * [ Với nên ( * ( ta thay làm tƣơng tự *] vào (1.30), ý hệ trực giao ta có 44 [ ( * ( *] (2.17) [ ( * ( *] (2.18) Tổng hợp công thức (2.13)-(2.18) thu đƣợc thành phần vật lý tenxơ biến dạng [ ( * ( *] [ ( * ( *] [ ( * ( *] Xét hệ tọa độ trụ Theo bảng chƣơng 1, ta có Ta thay giá trị tƣơng ứng vào biểu thức (2.19) đƣợc 45 (2.19) [ ( * ( ) ( )] ) * + + [ ( ) ( * )] + [ ( ) [ ( )] ] Các tenxơ tenxơ biến dạng hệ tọa độ trụ, ta viết gọn lại nhƣ sau * + * [ + ] Với cách tính nhƣ hệ tọa trụ, ta hoàn toàn áp dụng đƣợc hệ tọa độ cầu Xét hệ tọa độ cầu 46 Theo bảng chƣơng 1, ta có tƣơng ứng vào biểu thức (2.19) đƣợc Ta thay giá trị [ ( * [ ( ( * [ ( ) ( * * *] ( * * ] ] [ [ )] *+ + ( ) ( )] ( )+ + 47 Tổng hợp biểu thức ta đƣợc thành phần tenxơ biến dạng hệ tọa độ cầu [ ] * + * + 2.3 Ứng dụng tenxơ toán vỏ mỏng 2.3.1 Trình bày lý thuyết vỏ mỏng đàn hồi Vỏ mỏng vật thể giới hạn hai mặt cong, độ dày vỏ nhỏ so với kích thƣớc khác Mặt chia đôi độ dày vỏ gọi mặt Tùy thuộc vào dạng mặt phân biệt vỏ cầu, vỏ nón,v v… Ở xét vỏ có độ dày không đổi Vectơ bán kính điểm ⃗ ̀ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ mặt Trong hàm P hai thông số tạo thành hệ tọa độ cong điểm mặt Ta có ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ O Hình Khi phần tử đƣờng đƣợc xác định công thức ⃗ ⃗ 48 ⃗ ⃗ Với ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 2.3.2 Thành phần biến dạng vỏ mỏng Vỏ mỏng đàn hồi sử dụng giả thiết Đoạn thẳng vật chất giao với mặt trƣớc biến dạng thẳng trực giao với mặt sau biến dạng ( giả thiết pháp tuyến thẳng Kirchhoff) Thành phần ứng suất theo pháp tuyến với mặt nhỏ so với thành phần ứng suất khác nên bỏ qua Chọn hệ trục tọa độ nhƣ sau trục trực giao với mặt giữa, trục hƣớng theo đƣờng khúc ( đƣờng có tiếp tuyến điểm trùng với phƣơng chính) Hình mặt giữa( Hình 6) Ta sử dụng công thức (2.19) để xác định thành phần biến dạng vỏ mỏng Vỏ có độ dày nhỏ nên Trong ( ) ( ) chuyển dịch điểm mặt giữa, tức với Theo giả thiết thứ “ đoạn thẳng vật chất trực giao với mặt trƣớc biến dạng trực giao với mặt sau biến dạng” dẫn đến biến dạng trƣợt Thay giá trị công thức (2.34) vào giá trị ta suy 49 (2.19 ) [ ( * ( *] (2.35) [ ( * ( *] hay * ( *+ (2.36) * ( *+ Hệ số nhân biến đổi mặt song song cách mặt khoảng ( có dạng * (2.37) ( Trong đó: * hệ số nhân biến đổi tọa độ biểu thức phần tử đƣờng mặt bán kính khúc Sử dụng công thức (2.37) thay vào công thức (2.36) cho ( ta xác định đƣợc ) (2.38) ( ) Thay giá trị (2.38) vào (2.34) ta nhận đƣợc thành phần chuyển dịch theo hƣớng ( ) (2.39) ( Do ) nên bỏ qua số hạng nhỏ , thay (2.39) (2.37) vào (2.19 ) với ý 50 * ( ( )+ ( )+ * ( ) * * ( ) ( ( )+ )+ * ( ( ) ( *+ ) * [ ( ( ( ( ( ( )+ )), ( ) * ) ( ( * * ( )),] )+ ( ) ( )+ Có thể viết dƣới dạng đơn giản (2.40) 51 Với * ( ) ( )+ * ( ) ( )+ * ( ) ( )+ * ( Trong ) ( )+ chuyển dịch mặt giữa, biểu thị biến dạng mặt giữa, biến thiên độ cong mặt giữa, hệ số nhân biến đổi tọa độ biểu thức phần tử đƣờng mặt giữa, bán kính khúc 2.3.3 Phƣơng trình cân Để khảo sát thành phần cân bằng, ta khảo sát thành phần lực tác dụng vào phần tử vỏ lấy trục hƣớng theo tiếp tuyến với đƣờng cong tọa độ Tổng lực theo trục Tổng lực theo trục Tổng lực theo trục 52 Mômen trục Mômen trục Momen trục 2.3.4 Khai triển cho vỏ trụ, vỏ cầu a Vỏ trụ Đối với vỏ trụ tròn ta chọn hệ tọa độ nhƣ sau ( Hình 7) Chọn đƣờng tọa độ trùng với đƣờng sinh trụ tròn, đƣờng trùng với đƣờng tròn mặt phẳng thẳng góc với trục Bán kính trụ tròn , phần tử đƣờng có dạng x ds a Hình suy (2.47) Các thành phần biến dạng vỏ trụ xác định theo công thức (2.40) 53 Thay đại lƣợng (2.47) vào công thức (2.41) ta thu đƣợc kết sau [ ] Vậy ta có thành phần biến dạng vỏ trụ ( [ ) ] Phƣơng trình cân vỏ trụ tròn đƣợc xác định theo công thức (2.42)(2.46) Thay đại lƣợng (2.47) vào công thức (2.42)-(2.46) ý 54 b Vỏ cầu Chọn hệ trục tọa độ nhƣ sau (Hình 8) Trục r tiếp truyến với đƣờng cong ds tọa độ Trục tiếp tuyến đƣờng cong R tọa độ Bán kính vỏ cầu , phần tử đƣờng có dạng Hình suy (2.51) Các thành phần biến dạng vỏ cầu đƣợc xác định theo công thức (2.40) Ta thay đại lƣợng (2.51) vào (2.41) thu đƣợc [ ( ] * ( * ( ) ) ( ) Vậy thành phần tenxơ biến dạng hệ tọa độ cầu 55 ( *+ * ( * * ( ( )+ )+ [( * ( ( ) ( *+] Các phƣơng trình cân vỏ cầu mỏng đƣợc xác định theo công thức (2.42)(2.46) với ý Mômen trục đại lƣợng nhỏ bậc cao nên bỏ qua 56 Kết luận Luận văn trình bày khái niệm, phép tính bản, phép biến đổi tenxơ Trên sở vận dụng phép tính tenxơ để xác định phƣơng trình liên hệ biến dạng - chuyển vị, phƣơng trình cân bằng- chuyển động hệ tọa độ cong Từ kết sau biến đổi thu đƣợc phƣơng trình tính biến dạng – chuyển vị nhƣ hệ phƣơng trình cân hệ tọa độ trụ hệ tọa độ cầu Luận văn đạt đƣợc số kết sau: i Trình bày phép biến đổi để thu đƣợc - Các véctơ sở hiệp biến, phản biến hệ tọa độ trụ hệ tọa độ cầu - Các thành phần tenxơ mêtric hiệp biến hệ tọa độ trụ hệ tọa độ cầu - Các thành phần tenxơ mêtric phản biến hệ tọa độ trụ hệ tọa độ cầu - Các hệ số Lamé hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu - Dẫn đƣợc biểu thức liên hệ thành phần Christoffel đạo hàm véctơ sở - Xác định đƣợc thành phần kí hiệu Christoffel hệ tọa độ trụ hệ tọa độ cầu - Dẫn đƣợc biểu thức đạo hàm hiệp biến tenxơ hạng đạo hàm hiệp biến tenxơ hạng hai ii Trình bày đƣợc phƣơng trình chuyển động hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu, iii Tính đƣợc thành phần tenxơ biến dạng hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu iv Vận dụng phép tính sở tenxơ vào toán vỏ trụ tròn, vỏ cầu Những hƣớng nghiên cứu tiếp theo: i Giải gần phƣơng pháp số số toán đặt tải đơn giản vỏ trụ, vỏ cầu theo phƣơng pháp thiết lập ii Giải gần phƣơng pháp số số toán đàn hồi cho chữ nhật tròn theo phƣơng trình thiết lập 57 Tài liệu tham khảo [1] Đào Huy Bích(2000), Lý thuyết đàn hồi, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [2] Đào Huy Bích, Nguyễn Đăng Bích(2003), Cơ học môi trường liên tục, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [3] A W Joshi (1995), Matrices and Tensors in Physics, 3rd ed Wiley [4] D.A Danielson(2003), Vectors and Tensor In Engineering And Physics: Second Edition, Westview Press [5] Bernard Schutz (1980), Geometrical Methods of Mathematical Physics, Cambridgr University Press [6] Gantmacher FR (1959), The Theory of Matric, Chelsea Publishing Company, New York [7] Halmos PR (1958) Finite- Dimensional Vecctor Space, Van Nostrand, New York [8] I.N Broustein, K.A Semendyayev, G Musiol,H Muehlig (2004), Handbook of Mathematics, Spinger, Berlin Heidelberg New York [9] J.H Heinbocked (2001), Introduction to Tensor Calculus and Continuum Mechanics, Trafford Publishing [10] Mikhail Itskow, Tensor Algebra and Tensor Analysis for Engineers, Spinger Dordrecht Heidelberg London New York [11] Ralph Abraham, J E Marsden, T Ratiu (1988), Tensor Analysis, and Applications, 2nd ed, Springer-Verlag, New York 58 [...]... các số hạng số 2, 3 vừa biểu diễn ở trên vào biểu thức (1.69) nhận đƣợc ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ( ⃗ ⃗ )⃗ ⃗ Vậy vi phân tuyệt đối của các thành phần Và đạo hàm hiệp biến 32 của tenxơ có dạng Chƣơng 2 - MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH TENXƠ 2.1 Ứng dụng tenxơ xác định phƣơng trình cân bằng- chuyển động Trong phần này bài luận văn sử dụng kết quả của véctơ ứng suất, công thức Ostrogradsky- Gauss, định lý về động lƣợng và. .. với ⃗ Thay vào ( 1.23) ⃗ ⃗ ⃗ Hay ⃗ ⃗ Từ ( 1.22) và ( 1.24) ta có phép nâng, hạ chỉ số nhƣ sau: ⃗ ⃗ ( phép nâng chỉ số) ⃗ ⃗ ( phép hạ chỉ số) 1.2.4 Tenxơ metric trong không gian Euclide a Tenxơ mêtric hiệp biến 14 ⃗ Xét trong hệ tọa độ Đềcác Gọi là độ dài bình phƣơng của véctơ vô cùng nhỏ là ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ Xét trong tọa độ cong ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Trong đó ⃗ ⃗ là tenxơ mêtric hiệp biến trong hệ... hai Một tenxơ hạng hai bất kỳ có thể biểu diễn dƣới dạng: ⃗ ⃗ Trong đó ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ là các thành phần 2 lần phản biến của tenxơ là các thành phần 2 lần hiệp biến của tenxơ là các thành phần 1 lần phản biến, 1 lần hiệp biến của tenxơ Khi biến đổi từ hệ tọa độ cong này sang hệ tọa độ cong khác với cơ sở {⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ } tenxơ hạng 2 sẽ đƣợc biểu diễn trong hệ cơ sở mới với các thành phần 2 lần phản biến. .. , Trong hệ tọa độ cầu (Hình 4) Phép biến đổi tọa độ: 18 * Hình 4 Ta tính đƣợc các đạo hàm riêng Vậy từ (1.3) ta có ⃗ ⃗ ⃗ Thay (1.33) vào (1.29) ta có các thành phần tenxơ mêtric hiệp biến trong hệ tọa độ cầu | | √ 19 Từ (1.34) ta tính đƣợc ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Vậy theo (1.30) ta có: ⃗ ⃗ ( ⃗ ( * * Từ đó ta có các thành phần của tenxơ mêtric phản biến trong tọa độ cong 1.3 Thành phần vật lý của tenxơ 1.3.1 Tenxơ. .. là đạo hàm biệp biến của ten xơ hạng nhất Vậy: ⃗ ⃗ ⃗ 1.4.4 Đạo hàm hiệp biến của tenxơ hạng hai Xét đạo hàm hiệp biến của các thành phần phản biến của tenxơ hạng hai ⃗ ⃗ Lấy vi phân hai vế biểu thức (1.68) ( ⃗ ⃗) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ , ta thế ở số hạng thứ 2: ⃗ ⃗ ⃗ ở biểu thứ (1.60) và thay thì số hạng thứ 2 trở thành: ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ở số hạng thứ 3, sử dụng biểu thức (1.60) và thay các chỉ số thì số hạng thứ 3... trụ và hệ tọa độ cầu là hai hệ tọa độ cong trực giao Ta đi xác định tenxơ metric trong hai hệ tọa độ này Tọa độ trụ ( Hình 3.) z Phép biến đổi tọa độ P Hình 3 Ta tính đƣợc Suy ra từ công thức (1.31) ⃗ 17 ⃗ ⃗ Thay (1.31) vào (1.29) ta có các thành phần của tenxơ mêtric hiệp biến trong hệ tọa độ trụ Vậy: | | Suy ra √ Thay (1.32) vào (1.30) ta sẽ thu đƣợc các thành phần của tenxơ metric phản biến trong. .. Sử dụng biểu thức ⃗ suy ra ⃗ ⃗ Thay (1.60) vào (1.59), biểu thức (1.59) trở thành ⃗ ⃗ ⃗ ⃗( ) ⃗ Trong đó : ( ) Kí hiệu: Vậy: Biểu thức (1.63) là đạo hàm hiệp biến của tenxơ phản biến hạng nhất biến số trong hệ tọa độ cong của véctơ ⃗ gọi là vi phân tuyệt đối của thành phần ⃗ Trong trƣờng hợp rêpe cố định , suy ra Xét véctơ ⃗ với các thành phần hiệp biến ⃗ ⃗ Lấy vi phân hai vế của véctơ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Sử dụng. .. 22 Bảng 1 1.4 Đạo hàm hiệp biến 1.4.1 Đạo hàm véctơ cơ sở Sử dụng công thức (1.3) thu đƣợc đạo hàm hiệp biến của véctơ cơ sở ⃗ Ta biểu thị ⃗ ⃗ ⃗⃗ qua các véctơ cơ sở nhƣ sau : ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Vậy : Các đại lƣợng là hệ số liên quan hay Christoffel loại 1 và loại 2 Để xác định các thành phần của Christoffel ta dựa trên công thức biến đổi hệ véctơ cơ sở với hệ véctơ cơ sở ⃗ ⃗ ⃗ Xét trong hệ tọa độ Đềcác vuông... ở biểu thức (1.39) Và trong mục này sẽ đi vào xác định các thành phần của kí hiệu đó thông qua tenxơ mêtríc và đạo hàm véctơ cơ sở ⃗ Theo biểu thức (1.39): ⃗ Ta đồng nhất (1.45) và (1.39) rút ra đƣợc: a Xác định biểu thức qua tenxơ mêtríc Ta có: nên Suy ra: ( * ( * ( * Tƣơng tự ta tính đƣợc : Vậy có Suy ra: 25 ( ) Đạo hàm véctơ cơ sở phản biến Để xác định đạo hàm véctơ cở sở phản biến ta xuất phát từ... mêtric hiệp biến trong hệ tọa độ cong Từ biểu thức ( 1.25) ta biến đổi Đồng nhất (1.26) với (1.27) nhận đƣợc Từ đó ta có các thành phần của tenxơ mêtric hiệp biến nhƣ sau ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 15 b Xác định tenxơ mêtric phản biến Hệ véctơ cơ sở phản biến ⃗ liên hệ với các véctơ cơ sở hiệp biến qua biểu thức ⃗ ⃗ Với hệ cơ sở ⃗ ⃗ - tenxơ Kronecker ⃗ đã biết ta xác định đƣợc ⃗ √ ⃗ ⃗ | hay | ... - MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH TENXƠ 33 2.1 Ứng dụng tenxơ xác định phƣơng trình cân bằng- chuyển động .33 2.2 Ứng dụng tenxơ xác định thành phần liên hệ biến dạng- chuyển vị .42 2.3 Ứng. .. với tenxơ hạng hai tenxơ hạng cao, phép tính đƣợc thực tƣơng tự nhƣ tenxơ hạng Chú ý phép tính cộng, trừ áp dụng đƣợc với tenxơ hạng loại Phép nhân thực với hai tenxơ có hạng Ví dụ: xét tenxơ. .. thành phần vật lý tenxơ, số phép tính tenxơ đạo hàm hiệp biến ten xơ hạng nhất, hạng hai Đồng thời tác giả trình bày cách biến đổi để thu đƣợc hệ véctơ sở, tenxơ mêtric hiệp biến phản biến, thành