Đang tải... (xem toàn văn)
Bài báo này phát triển một mô hình tính toán phần tử hữu hạn cho kết cấu tấm FGM chịu uốn bằng phần tử tứ giác 4 nút được làm trơn MISQ20 với lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (HSDT). Trong đó, lý thuyết HSDT sẽ được sử dụng kết hợp với phần tử bậc thấp có hàm xấp xỉ liên tục C0 để tiết kiệm chi phí tính toán. Việc xây dựng phương trình phi tuyến hình học được dựa theo cách tiếp cận Total Lagrangian trong đó chuyển vị tại thời điểm hiện tại so với trạng thái ban đầu được xem là lớn. Lý thuyết biến dạng nhỏchuyển vị lớn von Kármán sẽ được sử dụng trong thiết lập công thức phi tuyến của phần tử tứ giác trơn. Nghiệm xấp xỉ của phương trình cân bằng phi tuyến hình học sẽ đạt được thông qua phương pháp giải lặp NewtonRapshon với tiêu chuẩn hội tụ thích hợp. Các kết quả số mô phỏng tính toán trong bài báo được so sánh với những kết quả đã công bố trước đây đồng thời đưa ra những đánh giá giúp người thiết kế hiểu rõ hơn các dạng ứng xử của các dạng kết cấu này khi chịu chuyển vị lớn.
PHÂN TÍCH KẾT CẤU TẤM CHỨC NĂNG (FGM) CHỊU UỐN VỚI CHUYỂN VỊ LỚN BẰNG PHẦN TỬ MISQ20 ANALYSIS OF FUNCTIONALY GRADED MATERIAL (FGM) PLATES UNDER LARGE BENDING DEFLECTIONS BY THE MISQ20 ELEMENT KS Đoàn Thị Hải Yến, TS Nguyễn Văn Hiếu, TS Châu Đình Thành TÓM TẮT Giới thiệu Bài báo phát triển mô hình tính toán phần tử hữu hạn cho kết cấu FGM chịu uốn phần tử tứ giác nút làm trơn MISQ20 với lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (HSDT) Trong đó, lý thuyết HSDT sử dụng kết hợp với phần tử bậc thấp có hàm xấp xỉ liên tục C0 để tiết kiệm chi phí tính toán Việc xây dựng phương trình phi tuyến hình học dựa theo cách tiếp cận Total Lagrangian chuyển vị thời điểm so với trạng thái ban đầu xem lớn Lý thuyết biến dạng nhỏ-chuyển vị lớn von Kármán sử dụng thiết lập công thức phi tuyến phần tử tứ giác trơn Nghiệm xấp xỉ phương trình cân phi tuyến hình học đạt thông qua phương pháp giải lặp NewtonRapshon với tiêu chuẩn hội tụ thích hợp Các kết số mô tính toán báo so sánh với kết công bố trước đồng thời đưa đánh giá giúp người thiết kế hiểu rõ dạng ứng xử dạng kết cấu chịu chuyển vị lớn Sau đề xuất nhà khoa học viện Sendai Nhật Bản vào năm 1984, vật liệu FGM ngày ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực Đây loại vật liệu composite đặc biệt cấu tạo có đặc trưng vật liệu thay đổi liên tục trơn theo suốt chiều dày từ bề mặt giàu ceramic đến mặt giàu kim loại Do vậy, FGM không xuất hiện tượng bong tách lớp vật liệu composite thông thường ổn định môi trường có nhiệt độ cao ABSTRACT This paper develops a computational finite element model for FGM bending plates using a smoothed four-node quadrilateral element MISQ20 and the higher order shear deformation theory (HSDT) In particular, the HSDT will be used in combination with the low-order element using C0 continuity to reduce computational cost The construction of the nonlinear geometric equations is based on Total Lagrangian approach in which motion at the present state compared with the initial state is considered large Smain-strain largedisplacement theory of von Kármán will be used in nonlinear formulations of the smoothed quadrilateral element MISQ20 The solution of the nonlinear equilibrium equations is obtained by the iterative method of Newton-Rapshon with the proper convergence criteria The results of the numerical simulations in the paper are compared with the previously numerical results in the literature and these numerical investigations can also help designers to have a better understanding of the behaviors of these structures under large deflections KS Đoàn Thị Hải Yến Học viên cao học, Khoa Xây dựng, Đại Học Kiến Trúc Tp.HCM Email: doanhaiyendhkt@gmail.com Điện thoại: 0987632093 TS Nguyễn Văn Hiếu Khoa Xây Dựng, Đại Học Kiến Trúc Tp.HCM Email: hieu.nguyenvan@uah.edu.vn Điện thoại: 0938123299 TS Châu Đình Thành Khoa Xây Dựng Cơ Học Ứng Dụng, Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật Tp.HCM Email: chdthanh@hcmute.edu.vn Điện thoại: 0903092979 Một số lời giải giải tích FGM công bố gần như: Reddy [1] phân tích ứng xử tĩnh FGM với lời giải giải tích theo lý thuyết chuyển vị bậc bậc cao; Chi Chung [2] xây dựng lời giải giải tích cho chữ nhật FGM bốn biên tựa khớp chịu uốn tác dụng tải trọng ngang phân bố dựa vào lý thuyết bậc nhất; Woo Megrid [3] sử dụng lý thuyết von Kármán cho biến dạng lớn để tìm lời giải giải tích cho vỏ chịu tác dụng tải trọng học nhiệt độ Tuy nhiên khối lượng công việc để thực lời giải giải tích lớn, phức tạp giới hạn số mô hình đơn giản nhu cầu phát triển mô hình tính toán phần tử cách đơn giản hiệu mục tiêu nhiều nhà nghiên cứu Trong năm gần đây, có vài mô hình phân tích ứng xử FGM phương pháp phần tử hữu hạn công bố Đầu tiên phải kể đến nghiên cứu như: [4] sử dụng dụng lý thuyết cổ điển cho Reissner – Mindlin với phần tử có bậc tự nút hay phần tử MISQ20 Nguyen Van Hieu [5] có bậc tự nút làm trơn áp dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc (FSDT) Nghiệm cho nghiên cứu tham chiếu với Reddy [1] hay Zienkiewicz Taylor [6] có sai lệch định Phần tử CS-DSG3 C0-HSDT Phung-Van P cộng [7] phân tích toán chịu uốn cho thấy kết phân tích tốt xét đến hai bậc tự xoắn thêm vào nút Tuy nhiên, nhược điểm phần tử khối lượng tính toán lớn, hội tụ chậm phần tử tứ giác cần thiết xây dựng mô hình phần tử bốn nút Vì vậy, nghiên cứu tập trung phát triển mở rộng phần tử hữu hạn trơn MISQ20 dùng xấp xỉ chuyển vị đề xuất Nguyễn Văn Hiếu cộng [8] kết hợp với sở HSDT cho phân tích ứng xử tĩnh FGM chịu chuyển vị lớn Cơ sở lý thuyết 2.1 Tấm FGM đặc trưng vật liệu Sự thay đổi liên tục trơn đặc trưng vật liệu theo chiều dày thể qua hàm vật liệu P(z) với giả định hàm phân phối vật liệu ceramic V c sau: P( z ) = ( Pc − Pm ) Vc + Pm −h 1 z ≤z≤ Vc = + n ≥ 0, 2 h n h (1) 2 Pc , Pm đặc trưng vật liệu lớp gốm lớp kim loại, z biến theo chiều dày dao động từ h/2 đến h/2, n số mũ phân phối Đồ thị thể thay đổi Trang Thành phần biến dạng phi tuyến mặt cắt Vc theo chiều dày với giá trị khác số mũ phân phối n thể hình T ε p =ε xx ε yyγ xy =ε + zκ1 − z 3κ 3h Biến dạng màng (5) ε= ε 0L + ε 0NL Vc ∂u ∂w ∂x ∂x ∂v 1 , = ε 0L = ε 0NL 2 ∂y ∂u ∂v ∂w + 0 ∂ x ∂ y ∂y ∂w ∂w ∂ x ∂ y ∂w ∂w ∂ x ∂ x (6) Biến dạng uốn: β y,x β y,x + φx,x 1 1 κ1= − β x,y , κ 2= − β x,y + φy,y 2 β y,y − β x,x ( β y,y − β x,x ) + (φx,y + φy,x ) z/h Hình Hàm phân phối V c theo chiều dày Dưới tác dụng môi trường nhiệt độ, nhiệt độ giả định không đổi mặt phẳng thay đổi theo suốt bề dày Sự phân bố nhiệt độ chiều dày xác định thông qua lời giải phương trình truyền nhiệt ổn định chiều − d λ (z) dt dT = dz (2) với điều kiện biên nhiệt độ T = Tt z = h h T = Tb z = − 2 Phương trình (2) viết lại T ( z= ) Tt − Tt − Tb h/2 ∫ ( dz / λ ( z ) ) h/2 dξ ∫ λ (ξ ) z (3) Thành phần biến dạng cắt tuyến tính mặt phẳng T γ= γ xz γ yz = ε s + z κ s w ,x + β y φx + β y εs = (9) , κ s = − φ − β w − β h y x x ,y Theo định luật Hooke, thành phần ứng suất pháp theo chiều dày σ= Q ε0L + zκ1 − z κ − εth (10) 3h Thành phần ứng suất tiếp mặt trung bình = τ H εs + z κs (11) ( 2.2 Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao cho FGM 4z3 4z3 u( x , y , z ) = u + z − β y − φx 3h 3h (4) tương ứng φx ,φ y góc xoắn theo trục x, y hình Đây công thức chuyển đổi từ lý thuyết cắt bậc cao Reddy [9] nhờ việc thay đổi bậc tự trường xấp xỉ liên tục C1 sang C0 với bậc tự u = u v w β x β yφxφy ) Các ma trận vật liệu tính 1 ν E ( z ) 1 E (z) H= ν Q= (1 + ν ) 0 −ν − ν ( ) 0 Các ma trận số vật liệu tính toán sau Với hai bậc tự xoắn Φ x , Φ y thêm vào, thành phần chuyển vị tính sau đó, t chiều dày tấm, u0 ,v0 ,w0 chuyển vị điểm tấm, β x , β y góc xoay quanh trục x, y (8) đó: −h/ 4z3 4z3 v( x , y , z ) = v0 − z − β x − φy 3h 3h w( x , y ,0 ) = w0 (7) Dmb với B c1E A As D c1F , Ds = s = B c2B c1E c1F c12 H h/2 ( A,B, D,E,F, H ) = ∫ (12) c2B s c22 Ds (13) (1, z, z , z , z , z )Qdz (14) −h/ h/2 ( A , B , D ) = ∫ (1, z , z )Gdz s s s (15) −h/ c1 = − 3h c2 = − h2 (16) 2.3 Công thức phần tử hữu hạn trơn cho FGM Khi sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn trơn, miền Ω e phần tử tứ giác chia nhỏ thành nc phần tử hình Bằng việc trung bình hóa theo hàm làm trơn, trường biến dạng gốc miền phần tử con, trường biến dạng tổng quát tính toán sau Hình Quy ước dấu chịu uốn [7] ε L = ∫ ε0 L ( x ) d Ω Ac Ωc Trang ∫ ∫ = κ (x) dΩ A ∫Ω = ε (x) dΩ A ∫Ω = κ (x) dΩ A ∫Ω ε NL ( x ) d Ω Ac Ωc κ1 = κ1 ( x ) d Ω Ac Ωc ε NL = κ ε s c (17) c c (23) ∫ ∑ B (24) 0 0 = B 1bi s c ∑ B d c Ac ∑ m =1 = κ s ∑ B m i di B im = Ac ( )n i =1 ∑ m =1 0 0 0 0 0 l 0 0 x ( ) N (x )n N i xG m ny Ni xG m nx 0 Ni xG m ny Ni xG m ny ( ) N xG n i m y i G m x Tương tự, biến dạng màng trơn phi tuyến ∫ 1 n (x)u (x) dΓ = Ac Γ c ∑ B mNL di i ∫ ∫ 0 Ni ( xGg )nx G g =1 0 N i ( x g )n y ∑ Các biến dạng uốn làm trơn lại sau C N i xG m nxlm G C m =1 0 Ni x m n y lm ∑ ∑ m =1 0 0 0 − shi shi 0 shi − shi 0 0 (29) shi shi (30) (31) Ma trận độ cứng tuyến tính, ma trận độ cứng phi tuyến ma trận độ cứng hình học phần tử sau làm trơn có dạng T bm T s e = K ∫Ω Bi D B j d Ω +Ω∫ Si D S j d Ω (32) e 1 ∫ B T Li e D*B Lj + BTNLi D*B Lj + BTNLi D*B NLj d Ω ∫ G T i dΩ NG j (33) (34) Ωe (21) ∑ ( ) 0 0 c l g 0 0 i =1 ( ) ( ) 0 eg = K với w i độ võng nút thứ i phần tử = G i Ac (28) s 1i i ( d ) =+ K K L K NL ( d ) + K g Ωe ∑ ( ) ∑ ( ) ∑ B d Từ đó, ma trận độ cứng tổng thể làm trơn sau mNL = HG B i i ∑ (27) i =1 = n (x)u (x) dΓ Ac Γ c B 1si = Ac e = K NL ma trận tính biến dạng màng phi tuyến làm trơn ∑ ( ) s 0i d i L (20) i =1 Ni xGj nxl cj wi Ac j =1 G c = H x N n l w i j y j i Ac i 1= j 4 G c G c Ni x j n y l j wi Ni x j nxl j wi A Ac c j 1= = j C G Ni x m n y lm Ni xG m nx với sh i hàm dạng xấp xỉ hệ tọa độ tự nhiên phần tử với n x , n y thành phần vector pháp tuyến đơn vị n vuông góc với đường biên d Γ , xGm lmC điểm (điểm Gauss) chiều dài cạnh biên d Γ ε NL = (25) ∑ B B 0s i = Ac (19) ( ) N i xG m ny Trong ma trận tính biến dạng cắt tính (18) ma trận tính biến dạng màng trơn tuyến tính N xG i m (26) Đặc biệt biến dạng cắt phần tử Ωe làm trơn phần xấp xỉ dùng hệ hệ tọa độ tự nhiên theo [9] bình A c diện tích miền Ω c ∫ 0 C 0 lm 0 Ni xG m nx = ε1 = n (x)u (x) dΓ với ε0L , ε0NL , κ1 , κ , εs , κ s biến dạng trơn trung Ac Γ c = n (x)u (x) dΓ Ac Γ c i =1 ( ) ( ) N i ( xG m ) nx ∑ = ε L b 2i d i N i xG m nx 0 0 G B b2i = 0 − Ni x m n y Ac m =1 G 0 Ni x m nx Biến dạng màng trơn tuyến tính i =1 0 − N i xG m ny 0 0 Hình Làm trơn phần tử cách chia nhỏ thành nc phần tử b 1i i Các ma trận tính biến dạng uốn làm trơn phần tử viết lại s κ s ∫ = n (x)u (x) dΓ Ac Γ c = κ 2 c = n (x)u (x) dΓ Ac Γ c = κ1 (22) Bi = ( Bim )T (B ) (B ) b 1i T b 2i T S = ( B s )T ( B s )T i 1i 0i B Li = Bi Si B NLi = BimNL (35) (36) (37) (38) Theo phương pháp Lagrange toàn cục, công thức phần tử hữu hạn viết lại sau tK ∆d t +∆t P − t F = T (39) Trang t +∆t P ngoại lực phần tử thời điểm t + ∆t ; t F nội lực phần tử thời điểm t; ∆d chênh lệch chuyển vị phần tử thời điểm t + ∆t t; t K T : ma trận độ cứng tiếp tuyến phần tử thời điểm t Bảng Kết phân tích FGM Al/ZrO -1 với giá trị n=0, n=0.2, n=0.5, n=1, n=2 0.1502 0.4279 Các ví dụ số Trong trình phân tích ứng xử kết cấu, tải trọng tăng theo cấp tải sử dụng quy trình tính lặp NewtonRaphson với kỹ thuật điều khiển tải trọng để giải toán sau Tiêu chuẩn hội tụ chuyển vị lấy với giá trị 0.001 đạt độ xác lời giải phi tuyến 0.2 0.1742 0.4975 0.204 0.5846 0.2383 0.6844 0.2721 0.7791 Ví dụ phân tích ứng xử tuyến tính Al/ZrO -1 với thông số vật liệu cho Bảng 3.1 chịu tải trọng phân bố q =106 Pa với thông số hình học chiều dày h=0,02m bề rộng a=0,2m Hai trường hợp điều kiện biên xét ngàm bốn cạnh gối bốn cạnh Tỷ lệ bề rộng chiều dày a/h chọn 10 Kết tính toán chuẩn hóa không thứ nguyên với giá trị chuyển vị chuẩn hóa 12x12 Loại liên kết Bốn cạnh gối Bốn cạnh ngàm Ezr h3 100wD0 với D = 12(1 − ν zr ) q0 a Bảng Thuộc tính vật liệu Al/ ZrO -1 Modul đàn hồi Aluminum (Al) 70 GPa Zirconia (ZrO -1) 200 GPa Hệ số Poisson 0,3 0,3 Thuộc tính vật liệu 0.5 Liên kết ngàm cạnh Liên kết gối cạnh Bảng Bảng so sánh w* với phần tử MISQ20 sử dụng FSDT 3.1 Khảo sát tuyến tính FGM vuông w* = Lưới chia n Kết phân tích Bảng cho thấy chuyển vị w* điểm với n=0 lưới phần tử chia 12x12 so với nghiệm xác theo báo cáo Zienkiewicz Taylor [6] có sai số nhỏ (Bảng 2) Với giá trị n ≠ 0, chuyển vị w* cho thấy với vật liệu nhiều khối lượng Ceramic chuyển vị giảm modul đàn hồi vật liêu tăng lên làm độ cứng kết cấu tăng (Bảng 3) Sai số phân tích phần tử tứ giác lý thuyết HSDT với hệ lưới 12x12 toán liên kết khớp 0.02% toán liên kết ngàm 1,5% Kết so sánh phần tử với phần tử MISQ20 [5] thể Bảng 3.4 cho thấy việc sử dụng lý thuyết HSDT cho phân tích toán đem lại kết tốt Ngoài Bảng cho thấy với việc chia lưới mịn, mức độ xác tăng dần Tuy nhiên, với lưới 4x4 kết cho sai số 0.51% sai số bé chấp nhận thực hành tính toán kết cấu, người thiết kế lại giảm khối lượng tính toán đáng kể so với lưới 12x12 Điều cho thấy mức độ hội tụ phần tử nhanh Kết Mô hình MISQ20 sử dụng FSDT MISQ20 sử dụng HSDT MISQ20 sử dụng FSDT MISQ20 sử dụng HSDT Nghiệm giải tích 0.4276 Sai số % 0.09 0.4280 0.4279 0.02 0.1507 1.82 0.1480 0.1503 1.55 3.2 Khảo sát phi tuyến hình học FGM vuông Đầu tiên, xét vuông với điều kiện biên gối bốn cạnh có kích thước hình học h = 0.01 m, a = 0.2 m sử dụng vật liệu Al/ZrO -2 có đặc trưng vật liệu theo Bảng Vì toán đối xứng nên ¼ tính toán để giảm bớt khối lượng tính toán (Hình 4) Bảng Thuộc tính vật liệu Al/ ZrO2-2 Modul đàn hồi Aluminum (Al) 70 GPa Zirconia (ZrO -2) 151 GPa Hệ số Poisson 0,3 0,3 Thuộc tính vật liệu Bảng Kết phân tích FGM Al/ZrO -1 với n=0 Loại liên kết Bốn cạnh gối Mô hình MISQ20 sử dụng HSDT Lưới chia n=0 4x4 0.4302 8x8 0.4283 12 x 12 0.4279 Zienkiewicz and Taylor [6] Bốn cạnh ngàm MISQ20 sử dụng HSDT 0.4280 4x4 0.1506 8x8 0.1502 12 x 12 0.1502 Zienkiewicz and Taylor [6] Hình Sơ đồ tính toán vuông liên kết gối bốn cạnh Qua hình thấy kết phân tích phần tử tứ giác trơn sử dụng lý thuyết HSDT giai đoạn tuyến tính cho kết phân tích gần trùng khớp với nghiệm giải tích Trong giai đoạn phi tuyến, sai số lớn xem xét tổng thể sai số nhỏ Với vật liều nhiều ceramic hơn, tức có n nhỏ hơn, trở nên cứng chuyển vị bé độ sai lệch Ngoài với độ cong đường cong phi tuyến nhỏ mà vật liệu có n nhỏ có sai số tải trọng lớn 0.1480 Trang z/h P w* Hình Quan hệ tải trọng - chuyển vị theo giá trị n khác (n=0.2, n=1) Để nhận thấy rõ chênh lệch chuyển vị toán tuyến tính phi tuyến ta xét có a/h= 40 n= 20 Hình cho thấy khác biệt nghiệm chuyển vị toán tuyến tính phi tuyến Với giá trị tải trọng chuyển vị toán có xét đến phi tuyến hình học nhỏ toán tuyến tính Nguyên nhân kết cấu chịu tải có xuất thêm thành phần lực màng ngăn cản võng xuống kết cấu Và ảnh hưởng tính chất lên lớn chịu tải trọng lớn, lời giải phi tuyến mô tả sát với ứng xử thật kết cấu lời giải tuyến tính σ* Hình Biểu đồ phân bố ứng suất chuẩn hóa theo chiều dày Bài toán vuông với bốn cạnh biên liên kết ngàm giải so sánh với vuông tựa đơn cho Bảng Lưu ý chênh lệch chuyển vị Bảng hiểu sai khác chuyển vị toán biên gối với ngàm chuyển vị biên ngàm Bảng So sánh quan hệ chuyển vị - tải trọng toán phi tuyến FGM vuông có biên liên kết ngàm gối n Tải trọng P Chuyển vị w* biên bốn cạnh ngàm Chuyển vị w* biên bốn cạnh gối Chênh lệch chuyển vị % 20 36.57 0.45 1.3762 206% w* Việc phân bố ứng suất theo chiều dày qua hình cho thấy ứng suất vùng giàu ceramic có giá trị lớn vùng kim loại Điều hợp lý modul đàn hồi vật liệu ceramic lớn kim loại Với giá trị n= 0, tức gồm vật liệu ceramic đồng nhất, đường phân bố ứng suất tuyến tính Khi giá trị n lớn, đường phân phối ứng suất trở nên cong điểm ứng suất σ x* = với giá trị n Các kết có mức độ tin cậy cao so sánh với nghiệm thực nghiệm Reddy [1] Ứng suất chuẩn hóa σ h2 σ x* = x 1.3075 3.4265 162% 2.0681 4.8174 133% 36.57 0.3677 1.1175 204% 109.71 1.0745 2.8221 163% 182.86 1.714 4.0051 134% Kết từ hình cho thấy chuyển vị điểm có liên kết ngàm nhỏ so với liên kết gối điều kiện ràng buộc biên ngàm nhiều bậc tự biên gối Mặt khác tác dụng tải trọng lớn, chênh lệch chuyển vị hai toán nhỏ dần cho thấy độ cong phi tuyến toán liên kết gối phải lớn toán liên kết ngàm Từ cho thấy mức độ ảnh hưởng phi tuyến lên toán có cạnh biên liên kết gối nhiều w* P Hình Quan hệ tải trọng-chuyển vị FGM tựa đơn theo toán tuyến tính toán phi tuyến hình học 109.71 182.86 qa P Hình Quan hệ tải trọng – chuyển vị FGM có biên liên kết ngàm gối Trang 3.3 Khảo sát phi tuyến hình học FGM hình bình hành Hình Sơ đồ hình học hình bình hành w* Đầu tiên ta khảo sát toán phi tuyến hình học với FGM hình bình hành có a=b, b/h=40, đặc trưng vật liệu ví dụ 3.2, n=20 chịu tải phân bố với góc α khác biến thiên từ 00 đến 450 Kết thể dạng đồ thị hình 10 hình 11 w* P Hình 10 Quan hệ chuyển vị-tải trọng FGM bình hành liên kết ngàm có b/h=40, α=00,300,450 lời giải phi tuyến Kết luận Với việc sử dụng lý thuyết HSDT, phần tử MISQ20 cho kết phân tích có độ xác cao sử dụng lý thuyết FSDT để phân tích toán FGM chịu uốn Điều cho thấy cần thiết phải xét đến ảnh hưởng hai bậc tự xoắn Φ x , Φ y trình phân tích toán So với phần tử hữu hạn bốn nút thông thường, phần tử MISQ20 làm giảm thời gian tính toán ma trận độ cứng phần tử xấp xỉ phần biên đảm bảo độ xác cao Đây ưu điểm bật phần tử so với phần tử hữu hạn truyền thống khác Ngoài ra, kết khảo sát số cho thấy ứng xử tuyến tính phi tuyến hình học kết cấu FGM có khác biệt lớn Do việc phân tích ứng xử kết cấu FGM có xét đến phi tuyến hình học cần thiết để phản ánh làm việc thực tế chịu chuyển vị lớn, đặc biệt toán có điều kiện biên tựa đơn TÀI LIỆU THAM KHẢO J N Reddy, Mechanics Of Laminated Composites Plates: Theory And Analysis, CRC Press, 2009 Shyang-Ho Chi, Yen-Ling Chung, Mechanical Behavior Of Functionally Graded Material Plates Under Transverse Load – Part I: Analysis, International Journal of Solids and Structures, 43: 3657-3674, 2006 J Woo, S.A Megrid, Nonlinear Analysis Of Functionally Graded Material Plates And Shallow Shells, International Journal of Solids and Structures, 38: 7409-7421, 2001 K.D Kim, G.R Lomboy, S.C Han, Geometrically NonLinear Analysis Of Functionally Gradel Material (FGM) Plates Anh Shells Using A Four-Node Quasi- Conforming Shell Element, Journal of Composite Materials, 42: 485511, 2008 Nguyen-Van, H., Development And Application Of Assumed Strain Smoothing Finite Element Technique For Composite Plate/Shell Structures Ph.D Thesis, University of Southern Queensland, Australia, 2009 O.C Zienkiewicz, R.L Taylor, The Finite Element Method Vol.2 : Solid Mechanics , 5th Edition, Butterworth Heinemann-Oxford, 2000 P Phung Van, T Nguyen Thoi, H Luong-Van , Q LieuXuan., Geometrically Nonlinear Analysis Of Functionally Graded Plates Using A Cell-Based Smoothed Three-Node Plate Element (CS-DSG3) Based On C0-HSDT, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 270: 1536, 2014 Nguyễn Văn Hiếu, Nguyễn Hoài Nam, Trần Đồng Kiếm Lam, Lê Văn Thông, Mô Hình Và Phân Tích Phi Tuyến Hình Học Kết Cấu Tấm/Vỏ Composite Sử Dụng Phần Tử Tứ Giác Trơn Báo cáo hội ngị khoa học toàn quốc học vật rắn biến dạng lần thứ XI, Tập 1: Trang 469-486, 2014 J.N.Reddy, Anlysis Of Functionally Gradel Plates, International Journal for Numerical Method in Engineering 47: 663-684, 2000 P Hình 11 Quan hệ chuyển vị- tải trọng FGM bình hành liên kết gối có b/h=40, α=00,300,450 lời giải phi tuyến Hình 11 cho thấy toán phi tuyến hình học hình bình hành góc α ảnh hưởng lớn đến chuyển vị Cụ thể với loại vật liệu kích thước hình học, hình bình hành FGM có góc α lớn có độ võng nhỏ Trang