Ôn tập: Hoán vị Chỉnh hợp Tổ hợp Giáo viên : Lớp : Đặng Thu Hà 12A8 A Kiến thức cần nhớ I Quy tắc đếm: Cho n đối tượng x1, x2, , xn Quy tắc cộng * Nếu có: m1 cách chọn đối tượng x1, m2, cách chọn đối tượng x1, mn cách chọn đối tư ợng xn cách chọn đối tượng xi trùng với cách chọn đối t­ỵng xj ( i ≠ j, i, j = 1, 2, , n) th× cã (m1 + m2 + + mn) cách chọn đối tượng đà cho * Cách khác: Để hoàn thành công việc, thực theo phương ph¸p A1, A2, , An Cã m1 c¸ch thùc hiƯn phương án A1, m2 thực phư ơng án A2, , có mn cách thực phương án An Vậy có (m1 + m2 + + mn) cách để hoàn thành công việc Quy tắc nhân * Nếu có m1 cách chọn đối tượng x1 ứng với cách chọn đối tượng x1 có m2 cách chọn đối tượng x2 , ứng với cách chọn đối tượng x1, x2, , xn có mn cách chọn đối tượng xnthì có (m1 m2 mn) cách chọn đối tượng x1, x2, , xn * C¸ch ph¸t biĨu kh¸c để hoàn thành công việc phải qua n công đoạn A1, A2, , An độc lập có m1 cách thực công đoạn A1, có m2 cách thực công đoạn A1, , có mn cách thực công đoạn An Vậy có (m1 m2 mn) cách hoàn thành công việc II Khái niệm hoán vị, chØnh hỵp, tỉ hỵp Cho tËp hỵp A gåm n phần tử ( n N*) Hoán vị: * Một hoán vị n phần tử tập A cách xếp thứ tự n phần tử ChØnh hỵp: Cho k ∈ N, ≤ k ≤ n * Mét chØnh hỵp chËp k cđa n phần tử A cách xếp k phần tử số n phần tử thuộc A thành thứ tự 3 Tổ hợp: Cho k N, ≤ k ≤ n * Mét tỉ hỵp chập k n phần tử A tËp gåm k phÇn tư cđa tËp A III Các công thức: Cho n N* Giai thừa: n ! = n(n − 1)(n − 2) 3.2.1 n ! = n(n − 1)! = n(n − 1)(n − 2)! = Quy ­íc : 0! = Chó ý: víi m, n ∈ N* cã m! = n! m = n Số hoán vị n phần tử Pn = n! Chỉnh hợp * Số chỉnh hợp chập k n phần tử là: A = n(n − 1)(n − 2) (n − k + 1) 4 42 4 43 K n ( ≤ k ≤ n; k∈ N ) Tích k số K n A *đặc biệt n! = ( n − k )! A = Pn = n ! n n (0 ≤ k ≤ n; k∈ N ) Tỉ hỵp * Sè tỉ hỵp chập k n phần tử : n! C = k !(n − k )! k n ( ≤ k ≤ n; k∈ N ) * HÖ thøc liªn hƯ : k n Cn = Cn − k C =C k n k n −1 +C ( ≤ k ≤ n; k∈ N ) k −1 n −1 ( ≤ k ≤ n; k∈ N ) Hằng đẳng thức Pascal k An k Cn = k! ( ≤ k ≤ n; k∈ N ) B Một số tập Bài : Tính giá trị cđa biĨu thøc sau a b P Pn +1 A= ( n + n).(n − 1)! P4 A +A A +A B= − 12 A49 A17 12 49 11 49 10 17 17 Đáp số a Víi n ≥ 1, n∈ N cã A = 30 b B = 392 - 92 = 30 * 48 = 1440 * Bằng phương pháp tương tự rút gọn biểu thức B, nêu kết rút gọn bt k k An + + An +1 ' B = k An * đáp số: B = (n k ) ' * Bằng phương pháp tương tự rót gän biĨu thøc B, nªu kÕt qđa rót gän bt B = ' k +2 n A k +1 n +A k An * đáp số: B = (n − k ) ' Bµi 02 : Chøng minh đẳng thức sau C + 3C K n K −1 n + 3C K −2 n +C K −3 n =C K n +3 Chó ý: §Ĩ chøng minh đẳng thức hay BĐT, tiến hành: + Tìm điều kiện để đẳng thức ( BĐT ) xác định + Chứng minh đẳng thức ( BĐT) theo phương pháp sau: Biến đổi vế trái thành vế phải ngược lại Biến đổi để sử dụng tính chất bắc cầu Biến đổi điều đà có đẳng thức ( BĐT) phải chứng minh Biến đổi đẳng thức ( BĐT) tương đương với đẳng thức ( BĐT) Sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng, quy nạp Bằng phương pháp chứng minh tương tự hÃy chứng minh : C + 4C k n k −1 n + 6C k −2 n + 4C k −3 n +C k n =C k n+4 Bài 03: Giải phương trình, bất phương trình sau với x ẩn sè a 1 − x = x x C4 C5 C6 b A2 x − Ax ≤ C x + 10 x Chú ý: Các bước giải phương trình, bất phương trình Tìm điều kiện ẩn để phương trình, bất phương trình xác đinh ( tìm TXĐ) Biến đổi phương trình, bất phương trình tương đương với phương trình, bất phương trình quen thuộc Giải phương trình, bất phương trình quen thuộc để tìm nghiệm, đối chiếu với điều kiện để kết luận nghiệm phương trình, bất phương trình đà cho đáp số câu a: a ®K : x ∈ [ 0; 4] , x ∈ N x = pt  x − 17 x + 30 = ⇔   x = 15 Phương trình có nghiệm là: x=2 Cách kh¸c : Do x ∈ [ 0; 4] , x ∈ N Nªn x ∈ { 0;1; 2;3; 4} + Kiểm tra ta x=2 thoả mÃn pt + x=2 nghiệm đáp số câu b: đk: x ≥ 3, x ∈ N (2 x)! x! 6x! pt ⇔ − ≤ + 10 (2 x − 2)! ( x − 2)! x.3!.( x − 3!) ⇔ x ≤ Do x ≥ 3, x ∈ N VËy: x = 3; x = lµ nghiƯm BPT Bài 04: Chi đoàn 12A8 có 25 đoàn viên nam 15 đoàn viên nữ Có cách lập thành 01 nhóm TNTN gồm 04 người chi đoàn cho có 01 nam Đáp số : Có khả sau: 25 15 - Cã nam, n÷ Cã C C - Cã nam, n÷ Cã - Cã nam, n÷ Cã - Cã nam: VËy cã : Cã 2 C25 C15 25 15 c¸ch lËp c¸ch lËp C C c¸ch lËp C25 C15 c¸ch lËp 2 3 C25 C15 + C25 C15 + C25 C15 + C25 C15 = 90025 cách thoả mÃn Cách khác : -Có C 40 cách chọn ngẫu nhiên người chi đoàn -Những cách chọn không thoả mÃn điều kiện cách chọn số nam nhỏ Cã C15 VËy cã c¸ch C 40 - 15 C = 90025 cách thoả mÃn C Củng cố toàn bài: * Nắm quy tắc đếm, khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp * Nhớ vận dụng thành thạo công thức giai thừa, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp * Kỹ làm tập: - Các tập sử dụng công thức: Chú ý đến điều kiện, kỹ khai triển công thức, biến đổi biểu thức - Các tập toán đếm số, thực tế: Ký phân tích tình sảy ra, huy động kiến thức vận dụng D - Một số tập tự lµm ... niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp * Nhớ vận dụng thành thạo công thức giai thừa, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp * Kỹ làm tập: - Các tập sử dụng công thức: Chú ý đến điều kiện, kỹ khai triển công thức,... m2 mn) cách hoàn thành công việc II Khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n N*) Hoán vị: * Một hoán vị n phần tử tập A cách xếp thứ tự n phần tử ®ã ChØnh hỵp: Cho... − 1)(n − 2)! = Quy ­íc : 0! = Chó ý: víi m, n ∈ N* cã m! = n! m = n Số hoán vị n phần tử Pn = n! Chỉnh hợp * Số chỉnh hợp chập k n phần tử là: A = n(n − 1)(n − 2) (n − k + 1) 4 42 4 43 K n (