Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 11 Môn: Toán Thời gian làm bài:150 phút Ngày thi : 17/1/2009 Câu1 (4Điểm) Cho phơng trình: 2 1 tan cos 4 4 2 1 tan x x m x + = + 1.Giải phơng trình với m = 1 2 2.Tìm m để phơng trình có nghiệm x (0; ) 4 . Câu2(3Điểm) Giải hệ phơng trình: 2 1 x y x y y x y x + + = + = Câu3 (6Điểm) 1.Tính: 2 2008 0 ( 2008) 1 2008 2008 lim x x x x + 2.Cho khai triển: 2008 2 1 (1 )x x + Tính hệ số của x 10 Câu4: (3Điểm) Tìm các điểm tại đó hàm số: y= cos 0 0 0 x voi x x voi x = không có đạo hàm Câu5: (4Điểm) Cho tứ diện ABCD có các cạnh: BC=DA=a;CA=DB=b;AB=DC=c. 1.Tính thể tích tứ diện ABCD. 2.Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 9 a b b c c a s + + (s là diện tích toàn phần của tứ diện) .Hết đáp án Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 11 Môn: Toán Thời gian làm bài:150 phút Ngày thi:19/1/2009 Câu Nội dung điểm 1/1 1/2 2 3/1 *Tập xác định:x 2 k + *PT tơng tơng: sin 2 2x-2sin2x+m-1/2=0 1)Với m=1/2:Thay PT ta đợc: sin 2 2x-2sin2x=0 sin 2 0 sin 2 2 x x = = x= 2 k kết hợp điều kiện nghiệm : x=k 2)*Đặt t=sin2x do x (0; ) 4 nên 0<t<1 ta đợc: t 2 -2t-1/2=-m với 0<t<1 *Xét HS: y=t 2 -2t-1/2 với 0<t<1 suy ra:-3/2<y<-1/2 (Yêu cầu HS lập bảng) *Để PT có nghiệm khi và chỉ khi 1/2<m<3/2 *Điều kiện: 0 0 0 0 x y x y y x *Hai vế của PT của hệ không âm,bình phơng 2vế ta đợc: 2 2 2 2 2 1 x y x y x y = = 2 1/ 2 4 4 0 4 4 1 0 x y x y x y = + = 17 /12 5 / 3 x y = = là nghiệm của hệ 1) 2 2008 0 ( 2008) 1 2008 2008 lim x x x x + = 2 2 2 2008 0 ( 2008) 1 2008 ( 2008) lim x x x x x x + + + = 2 2 2008 0 ( 2008)( 1 2008 1) lim x x x x x + + = 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1,0 0,5 0,5 1,0 1,0 0,5 1,0 3/2 4 2 2007 2006 0 2008 2008 2008 lim( 2008) (1 2008 ) (1 2008 ) . 1 x x x x + + + + =-2008 2) 2008 2 1 (1 )x x + = 2008 2008 3 3 2008 2008 0 0 0 ( ) ( ) k k k k i k i i k k k i c x x c c x x = = = = = 2008 2 2008 0 0 ( 1) k k i k i i k k i c c x + = = *Hệ số chứa x 10 ứng với 2 10 0 2008 ; k i i k i N k N + = suy ra: 0 10 / 3i Vậy i=0;1;2;3 * 0 10 1 8 2 6 3 4 i k i k i k i k = = = = = = = = Vậy hệ số chứa x 10 là: 10 0 8 1 6 2 4 3 2008 10 2008 8 2008 6 2008 4 c c c c c c c c + *Hàm số có đạo hàm tại các điểm x với x 0 và cos x 0 Hay HS có đạo hàm tại các điểm x 0 và x 2/ (2k+1) *Tại x=0: 0 0 lim lim cos x x y x x = Không tồn tại giới hạn.(Yêu cầu chứng minh cụ thể) *Tại điểm x=2/(2k+1) 0 0 2 2 ( ) ( ) 2 1 2 1 lim lim x x x y x x y y k k + + + = = 0 2 (2 1) (2 1) lim cos cos (2 1) 2 (2 1) 2 (2 1) x x x x k k k k k + + + + + + + + = 0 2 1 (2 1) lim cos 2 1 2 (2 1) x x x k k k + + + + + 0 0 2 1 (2 1) lim lim sin (2 1) ) 2 1 2 (2 1) 2 x x y x x k k x k k + = + + + + = [ ] 2 0 (2 1) 2 1 lim sin 2 1 2 2 (2 1) x x x x k k k + + + + = [ ] 2 0 (2 1) 2 1 lim sin 2 1 2 2 (2 1) x x x x k k k + + + + = 2 2 (2 1) (2 1) 2 1 4 2 k k k + = + + + 0 lim (2 1) 2 x y k x + = + (tơng tự) Vậy không tồn tại giới hạn tại điểm x=2/(2k+1) 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 5/1 5/2 *Tóm lại HS không có đạo hàm tại x=0 và x=2/(2k+1) 1) A E F G B C D *Qua điểm B;C;D dựng các đờng thẳng song song các cạnh tam giác BCD nh hình vẽ suy ra AD=DE=DG=a;AB=BE=BF=c;AC=CF=CG=b Vậy tam giác AEF;AG F;AGE vuông tại A * 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 4 4 2( ) 4 2( ) AE a c b AE AF c AF AG b AF b c a AG AE a AG a b c = + + = + = = + + = = + *V ABCD =1/4V AEG F = 1 24 AE.A F.AG= 2 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( )( )( )a b c b c a c a b+ + + 2)*Diện tích các mặt của tứ diện bằng nhau và bằng abc/4R=S/4 *BĐT tơng đơng a 2 +b 2 +c 2 9R 2 *Gọi O tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC a 2 +b 2 +c 2 = 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( )BC CA AB OC OB OA OC OB OA+ + = + + uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur =6R 2 -2( .OB OC OCOA OAOB+ + uuur uuur uuuruuur uuuruuur ) =9R 2 -( OA OB OC+ + uuur uuur uuur ) 2 2 9R *Dấu bằng xảy ra khi OA OB OC O+ + = uuur uuur uuur ur O trùng trọng tâm G tam giác ABC tam giác ABC đều ABCD là tứ diện đều. 0,5 0,5 0,5 1,0 0,5 0,5 1,0 0,5 . Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 11 Môn: Toán Thời gian làm bài:150 phút Ngày thi : 17/1/2009 Câu1 (4Điểm) Cho phơng. toàn phần của tứ diện) .Hết đáp án Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 11 Môn: Toán Thời gian làm bài:150 phút Ngày thi: 19/1/2009 Câu Nội dung điểm 1/1 1/2