Đang tải... (xem toàn văn)
Đề thi toán rời rạc và đáp án cao học UIT từ năm 2009 Đề thi toán rời rạc và đáp án cao học UIT từ năm 2009 Đề thi toán rời rạc và đáp án cao học UIT từ năm 2009 Đề thi toán rời rạc và đáp án cao học UIT từ năm 2009 Đề thi toán rời rạc và đáp án cao học UIT từ năm 2009 Đề thi toán rời rạc và đáp án cao học UIT từ năm 2009 Đề thi toán rời rạc và đáp án cao học UIT từ năm 2009 Đề thi toán rời rạc và đáp án cao học UIT từ năm 2009 Đề thi toán rời rạc và đáp án cao học UIT từ năm 2009 Đề thi toán rời rạc và đáp án cao học UIT từ năm 2009 Đề thi toán rời rạc và đáp án cao học UIT từ năm 2009 Đề thi toán rời rạc và đáp án cao học UIT từ năm 2009 Đề thi toán rời rạc và đáp án cao học UIT từ năm 2009 Đề thi toán rời rạc và đáp án cao học UIT từ năm 2009 Đề thi toán rời rạc và đáp án cao học UIT từ năm 2009 Đề thi toán rời rạc và đáp án cao học UIT từ năm 2009 Đề thi toán rời rạc và đáp án cao học UIT từ năm 2009 Đề thi toán rời rạc và đáp án cao học UIT từ năm 2009 Đề thi toán rời rạc và đáp án cao học UIT từ năm 2009 Đề thi toán rời rạc và đáp án cao học UIT từ năm 2009 Đề thi toán rời rạc và đáp án cao học UIT từ năm 2009 Đề thi toán rời rạc và đáp án cao học UIT từ năm 2009 Đề thi toán rời rạc và đáp án cao học UIT từ năm 2009 Đề thi toán rời rạc và đáp án cao học UIT từ năm 2009 Đề thi toán rời rạc và đáp án cao học UIT từ năm 2009
ĐỀ THI (PHẦN TỐN RỜI RẠC) VÀ ĐÁP ÁN TĨM TẮT CỦA CÁC KỲ THI CAO HỌC UIT TỪ 2009 ĐẾN NAY (có bổ sung thêm số câu hỏi phụ vào đề thi ngun bản) NĂM 2009 CÂU 1: a) Cho biến mệnh đề p, q, r, s, t dạng mệnh đề A = { p [ p (r q) ] [ r (s t) ] s } t Chứng minh A (dùng luật logic hay dùng qui tắc suy diễn) b) Cho mệnh đề lượng từ B = “ > 0, > 0, x R , < | x a | < < | f(x) f(a) | < ’’ Viết mệnh đề phủ định B CÂU 2: a) X tập hợp ước số dương 30 | quan hệ ước số X Chứng minh | quan hệ thứ tự bán phần X Vẽ biểu đồ Hasse cho ( X, | ) tìm min, max, phần tử tối tiểu tối đại (nếu có) b) Cho A = { a, b, c } quan hệ thứ tự A cho b, c phần tử tối đại [ a = min(A, ) hay a phần tử tối tiểu ] Vẽ sơ đồ Hasse có cho (A, ) CÂU 3: a) Viết dạng nối rời tắc tìm cơng thức đa thức tối tiểu cho hàm Boole f : f(x,y,z,t) = x y z t x y z x y z y z t x y z x z t x y t (ký hiệu phép tốn tổng Boole) b) Vẽ sơ đồ mạng cổng logic tổng hợp f dựa vào cơng thức đa thức tối tiểu f c) Tìm tất hàm Boole g có biến thỏa g(x,y,z,t) = g(y,x,t,z) (x,y,z,t) B4 ĐÁP ÁN TĨM TẮT : CÂU 1: a) Cách : Dùng qui tắc suy diễn Đặt p (1), [ p (r q) ] (2), [ r (s t) ] (3), s (4) t (5) Từ (1), (2) có (r q) (6) Từ (6) có r (7) Từ (7), (3) có (s t) (8) Từ (8), (4) có t (5) Vậy A Cách : Dùng luật logic Ta có A p [ p ( r q ) ] [ r ( s t ) ] (s t) [( p p)( p r q )] {(r s t) [( s t ) (s t)]} [1 ( p r q )] { (r s t) 1} ( p r q ) ( r s t ) (r r ) ( p q s t ) ( p q s t ) b) B = “ > 0, > 0, x R , < | x a | < [ f(x) = f(a) hay | f(x) f(a) | ] ’’ CÂU 2: a) X = { 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 } | phản xạ ( x X, 1 Z, x = 1.x nên x | x ) | phản xứng [ x, y X, ( x | y & y | x ) ( u, v Z, y = ux x = vy u, v x, y ) ( y x & x y ) ( x = y ) | truyền [ x, y, z X, ( x | y & y | z ) ( u, v Z, y = ux z = vy ) ( w = uv Z, z = wx) ( x | z ) Vậy | quan hệ thứ tự X Đây thứ tự bán phần 2, X, vả khơng phải ước số ( nghĩa khơng so sánh quan hệ thứ tự | ) Sơ đồ Hasse (X, | ) vẽ hình hộp chữ nhật mà phần tử X ghi đỉnh hình hộp Hai phần tử kề có thương số số ngun tố Ta có min( X, | ) = max( X, | ) = 30 b) TH1 : [ b, c phần tử tối đại a = (A, ) ] : có khả xảy (a kề b, a kề c) TH2 : [ b, c phần tử tối đại a phần tử tối tiểu ] : có khả xảy (a, b, c lập), (c lập, a kề b), (b lập, a kề c), (a kề b a kề c) Vẽ biểu đồ Hasse cho khả nói CÂU 3: a) Viết f(x,y,z,t) = = x y z t x y z(t t ) x y z(t t ) (x x )y z t x y z (t t ) x (y y ) z t x y(z z ) t = xy zt x yz t x yz t x y z t x y zt x yz t x yz t x y z t xy z t x yz t x y z t x y z t ( loại bỏ đơn thức tối tiểu trùng lặp ) S = Kar(f) = K(x y z t ) K(x y z) K( x y z) K(y z t) K(x y z ) K( x z t ) K(x y t ) = { (1,1), (1,2), (1,4), (2,2), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4) } ( S có 12 ) S có tế bào lớn T1 = x t , T2 = y t , T3 = x y, T4 = x z , T5 = y z , T6 = z t T7 = x y z Thuật tốn cho phép phủ S theo sơ đồ sau : T3 T4 T5 T7 T2 (phép phủ tối tiểu) T1 T6 (phép phủ tối tiểu) T2 (phép phủ chưa tối tiểu) S = T3 T4 T5 T7 T2 = T3 T4 T5 T7 T1 T6 = T3 T4 T5 T7 T1 T2 (hai phép phủ tối tiểu, phép phủ thứ chưa tối tiểu nên bị loại) Ta có f(x,y,z,t) = x y x z y z x y z y t = x y x z y z x y z x t z t Cơng thức đa thức tối tiểu f f(x,y,z,t) = x y x y z x z y z y t b) Vẽ sơ đồ mạng cổng logic tổng hợp f(x,y,z,t) = x y x y z x z y z y t c) f(x,y,z,t) = ax y z t bx y z t c x y z t d x y z t e( x y z t x y z t ) u( x y z t x y z t ) v( x y z t x y z t ) w( x y z t x y z t ) r( x y z t x y z t ) s( x y z t x y z t) a, b, c, d, e, u, v, w, r, s số nhị phân tùy ý ( lấy trị số ) NĂM 2010 (ĐỢT 1) CÂU 1: a) Hãy trình bày luật logic (trong số 10 luật logic) b) Cho biến mệnh đề p, q, r dạng mệnh đề A = [ ( p q ) ( p r ) ( q r ) ] r Chứng minh A (dùng luật logic hay dùng qui tắc suy diễn) c) Cho mệnh đề lượng từ B = “ x R, y R , (x + y 2) hay (2x y 1) ’’ Viết mệnh đề phủ định B suy chân trị B CÂU 2: Cho số ngun dương n k thỏa k < n a) Có dãy có n bits mà có k bit 1? b) Có dãy có 16 bits mà có bit hay có bit ? c) Có dãy có 16 bits mà có bit hay có bit ? d) Có dãy có 16 bits mà có bit có bit ? CÂU 3: a) Viết dạng nối rời tắc cho hàm Boole fm (ký hiệu phép tốn tổng Boole) : fm(x,y,z,t) = x y z t x y z x y z t x y z x y z t x y z t x y t m.x y z t với m { 0, } b) Xác định m cho fm(x,y,z,t) có cơng thức đa thức tối tiểu đơn giản c) Vẽ sơ đồ mạng cổng logic tổng hợp fm dựa vào cơng thức đơn giản tìm câu b) ĐÁP ÁN TĨM TẮT : CÂU 1: a) Trình bày luật : phủ định kép, lũy đẳng, giao hốn, phủ định DE-MORGAN hấp thu b) Cách : Dùng qui tắc suy diễn Đặt ( p q ) (1), ( p r ) (2), ( q r ) (3) r (4) Từ (2), (3) có [ ( p q ) ( r r ) ] (5) Từ (5), (1) có r (4) Vậy A Cách : Dùng luật logic Ta có A ( p q ) ( p r ) [ ( q r ) r ] ( p q ) ( p r ) [ ( q r ) (r r ) ] ( p q ) ( p r ) [ ( q r ) ] ( p q ) ( p r ) ( q r ) [ ( p q ) q ] [ ( p r ) r ] [ ( p q ) (q q ) ] [ ( p r ) (r r ) ] [ ( p q ) ] [ ( p r ) ] (pq)(pr) (pp)(qr) 1(qr) c) B = “ x R, y R , ( x + y = ) ( 2x y = ) ’’ Lấy x = khơng có y R thỏa ( y = ) ( y = ), nghĩa B sai B CÂU 2: a) Có ( Cnk + Cnk 1 + Cnk + … + Cnn 1 + Cnn ) dãy c) Có 2( C169 + C1610 + … + C1616 ) dãy b) Có 216 dãy (vì dãy thỏa u cầu) d) Có C168 dãy (các dãy có bit bit 0) CÂU 3: a) fm(x,y,z,t) = x y z t x y z x y z t x y z x y z t x y z t x y t m.x y z t = = x y z t x y z (t t ) x y z t x y z (t t ) x y z t x y z t x y (z z ) t m.x y z t = = x y z t x y z t x y z t x y z t x y z t x y z t x y z t x y z t x y z t x y z t m.x y z t b) Khi m = : S0 = Kar(f0) = K( x y z t ) K( x y z) K( x y z t) K(x y z ) K(x y z t) K(x y z t ) K(x y t) = { (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,4) } ( S0 có 10 ) S0 có tế bào lớn T1 = z t, T2 = x t, T3 = x z , T4 = x y t , T5 = y z t T6 = x y z Thuật tốn cho phép phủ S0 theo sơ đồ sau : T1 T3 T4 (phép phủ tối tiểu) T6 T5 (phép phủ tối tiểu) T4 (phép phủ chưa tối tiểu) S0 = T1 T3 T4 = T1 T3 T6 T5 = T1 T3 T6 T4 (hai phép phủ tối tiểu, phép phủ thứ chưa tối tiểu nên bị loại) Ta có f0(x,y,z,t) = z t x z x y t f0(x,y,z,t) = z t x z x y z y z t Cơng thức đa thức tối tiểu f0 f0(x,y,z,t) = z t x z x y t Khi m = : S1 = Kar(f1) = = K( x y z t ) K( x y z) K( x y z t) K(x y z ) K(x y z t) K(x y z t ) K(x y t) K(x y z t ) = { (1,1), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,4) } ( S1 có 11 ) S1 có tế bào lớn T1 = z t, T2 = x t, T3 = x z , Z4 = y t , Z5 = x y T6 = x y z Thuật tốn cho phép phủ S theo sơ đồ sau : T1 T3 Z4 Ta có phép phủ tối tiểu S1 S1 = T1 T3 Z4 Cơng thức đa thức tối tiểu f1 f1(x,y,z,t) = z t x z y t Vậy m = fm(x,y,z,t) có cơng thức đa thức tối tiểu đơn giản f1(x,y,z,t) = z t x z y t c) Vẽ sơ đồ mạng cổng logic tổng hợp f1(x,y,z,t) = z t x z y t NĂM 2010 (ĐỢT 2) CÂU 1: a) Hãy trình bày luật logic (trong số 10 luật logic) b) Cho biến mệnh đề p, q, r, s, t dạng mệnh đề A = { [ p ( q r ) ] ( p s ) ( t q ) s } (r t ) Chứng minh A (dùng luật logic hay dùng qui tắc suy diễn) c) Cho mệnh đề lượng từ B = “ x N, y N, k N, kx = y ’’ Xét chân trị B viết mệnh đề phủ định B CÂU 2: Xét biển số xe có dạng x y z t u v , , mẫu tự latin ( từ A đến Z ) x, y, z, t, u, v, w chữ số hệ thập phân ( từ đến ) a) Có biển số xe ? b) Có biển số xe có mẫu tự khác có chữ số chữ số ? c) Có biển số xe có chữ số có chữ số ? CÂU 3: Cho hàm Boole f theo biến x, y, z, t (ký hiệu phép tốn tổng Boole) : f(x,y,z,t) = x y z t x z x y z t y z t x y z t x y z x z t x y t a) Vẽ biểu đồ Karnaugh S = Kar(f) xác định tế bào lớn S b) Viết dạng nối rời tắc tìm cơng thức đa thức tối tiểu cho hàm Boole f c) Vẽ sơ đồ mạng cổng logic tổng hợp f dựa vào cơng thức đa thức tối tiểu f ĐÁP ÁN TĨM TẮT : CÂU 1: a) Trình bày luật : kết hợp, phân phối, trung hòa, thống trị bù b) Cách : Dùng qui tắc suy diễn Đặt [ p ( q r ) ] (1), ( p s ) (2), ( t q ) (3), s (4) ( r t ) (5) Từ (2), (4) có p (6) Từ (6), (1) có ( q r ) (7) Từ (7), (3) có ( t r ) (8) Từ (8) có ( r t ) (5) Vậy A Cách : Dùng luật logic Ta có A { ( p q r ) ( p s ) s ( t q ) } ( r t ) { ( p q r ) [( p s ) ( s s ) ] ( t q ) } ( r t ) {( p q r) [(p s ) O] ( t q)} (r t )} { ( p q r) p s ( t q) } ( r t ) (p q r ) p s ( t q ) ( r t ) {( p p ) [ (q r ) p ) ]} s [( t q ) t ] r {1 [ ( q r ) p ] } s [ ( t t ) ( q t ) ] r [ (q r ) p ]} s [ ( q t )] r [ ( q r ) (q r ) ] ( p s t ) ( p s t ) c) B x = 1 N, y N, k = y N, kx = k.1 = k = y B = “ x N, y N, k N, kx y ’’ CÂU 2: a) Có 263 x 106 = 17.576 x 106 biển số xe b) Có A26 x A62 x 84 = 1.916.928 x 106 biển số xe c) Số biển số xe khơng có chữ số 263 x 96 Số biển số xe khơng có chữ số 263 x 96 Số biển số xe khơng có chữ số khơng có chữ số 263 x 86 Dùng ngun lý bù trừ, ta có Số biển số xe khơng có chữ số hay khơng có chữ số 263(96 + 96 86) = 263(2.96 86) Dùng cách đếm phần bù, ta có số biển số xe có chữ số có chữ số 263 x 106 [ 263(2.96 86) ] = 263(106 2.96 + 86) = 17.567(106 1.062.882 + 262.144) = = 17.567 x 199.262 = 3.500.435.554 CÂU 3: a) S = Kar(f) = = K( x y z t) K(x z) K( x y z t ) K(y z t) K(x y z t) K(x y z ) K( x z t ) K(x y t ) = {(1,1), (1,2), (1,4), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4)} (S có 12 ơ) S có tế bào lớn T1 = x, T2 = y t , T3 = z t T4 = y z b) Gọi tên S nối chúng phép tốn tổng Boole ( ), ta được dạng nối rời tắc f sau : f(x,y,z,t) = x y z t x y z t x y z t x y z t x y z t x y z t x y z t x y z t x y z t x yz t xy zt x y z t Ta có phép phủ tối tiểu S = T1 T2 T4 ( theo sơ đồ T1 T2 T4 ) Cơng thức đa thức tối tiểu f f(x,y,z,t) = x y t y z c) Vẽ sơ đồ mạng cổng logic tổng hợp f(x,y,z,t) = x y t y z NĂM 2011 (ĐỢT 1) CÂU 1: a) Cho biến mệnh đề p, q, r, s dạng mệnh đề A = { p [ ( q r ) s ] } [ s ( r p) ] Dùng luật logic để rút gọn A dạng (a b) (u v w t) a, b, u, v, w, t chọn từ { p, q, r, s, p , q , r , s } Từ xác định chân trị p, q, r s để A có chân trị b) Cho vị từ p(x), q(x), r(x) s(x) với x X Giải thích suy luận sau đúng: x X, p(x) q(x) x X, q( x ) s(x) x X, r(x) s ( x) x X, p( x) - x X, r ( x) CÂU 2: a) Có byte ( với bits ) có bit hay có hai bit cuối 00 ? b) Mỗi password dãy ký tự có 6, ký tự xếp liền Mỗi ký tự chữ số hệ thập phân (từ đến 9) mẫu tự latin (từ A đến Z) password phải có chữ số Hỏi có password thỏa điều kiện ? CÂU 3: Cho hàm Boole f theo biến x, y, z t thỏa f 1(0) = { (0,0,1,1), (0,1,1,1), (1,1,1,0), (1,0,0,1) } a) Vẽ biểu đồ Karnaugh S = Kar(f) xác định tế bào lớn S b) Viết dạng nối rời tắc tìm cơng thức đa thức tối tiểu cho hàm Boole f c) Vẽ sơ đồ mạng cổng logic tổng hợp f dựa vào cơng thức đa thức tối tiểu f ĐÁP ÁN TĨM TẮT : CÂU 1: a) A p [ ( q r ) s ] [ s ( r p ) ] ( p u ) (s v ) với u = [ ( q r ) s ] v = ( r p ) Để ý (u s) [( q r) ( s s)] [( q r) O ] O, ( p v) r (p p ) r O O ( u v ) [ r ( q r ) ] s p [ ( r q ) ( r r ) ] s p [ ( r q ) O ] s p r q s p Ta có A ( p s ) ( p v ) ( u s ) ( u v ) ( p s ) O O ( u v ) ( p s ) ( u v ) ( p s ) ( r q s p ) Suy A [ ( p s ) ] hay [ ( r q s p ) ] ( p sai s ) hay ( p q, r, s sai ) b) Đặt x X, p(x) q(x) (1), x X, q( x ) s(x) (2), x X, r(x) s ( x) (3), x X, p( x) (4) x X, r ( x) (5) Từ (4), ta có x = a X, p(a ) (6) Từ (1), ta có p(a) q(a) (7) Từ (7), (6) ta có q(a) (8) Từ (2) ta có q(a ) s(a) (9) Từ (9), (8), ta có s(a) (10) Từ (3), ta có r(a) s (a ) (11) Từ (11), (10), ta có r (a ) , nghĩa có x = a X, r ( x) (5) CÂU 2: a) Số chuỗi (8 bits) có (bit đầu = 1) 27 Số chuỗi (8 bits) có (2 bit cuối = 00 ) 26 Số chuỗi (8 bits) có (bit đầu = 1) có (2 bit cuối = 00) 25 Theo ngun lý bù trừ, Số chuỗi (8 bits) có (bit đầu = 1) hay (2 bit cuối = 00) (27 + 26) 25 = (128 + 64) 32 = 160 b) Nếu password có ký tự, dùng cách đếm phần bù, ta có số password có chữ số (366 266) Tương tự password có ký tự, ta có số password có chữ số (367 267) (368 268) Theo ngun lý cộng, kết chung (366 266) + (367 267) + (368 268) = 1333.366 703.266 CÂU 3: a) S = Kar(f) = {(1,1), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4)} (S có 12 ơ) Gọi tên S nối chúng phép tốn tổng Boole ( ), ta được dạng nối rời tắc f sau : f(x,y,z,t) = x y z t x y z t x y z t x y z t x y z t x y z t x y z t x y z t x y zt x yz t xy zt x y zt S có tế bào lớn T1 = y t , T2 = x t , T3 = y z , T4 = x z , T5 = z t , T6 = x y z , T7 = x z t T8 = x y t Thuật tốn cho 13 phép phủ (sau loại phép phủ trùng lặp) ta chọn phép phủ tối tiểu S : S = T2 T4 T7 T1 T3 = T2 T4 T6 T8 T5 = = T2 T4 T6 T8 T3 T1 = T2 T4 T6 T7 T3 T5 = T2 T4 T7 T1 T8 T5 f có cơng thức đa thức tối tiểu tương ứng với phép phủ f(x,y,z,t) = x t x z x z t y t y z b) Vẽ sơ đồ mạng cổng logic tổng hợp f(x,y,z,t) = x t x z x z t y t y z NĂM 2011 (ĐỢT 2) CÂU 1: a) Cho biến mệnh đề p, q, r, s, t dạng mệnh đề A = { [ p ( q r ) ] ( p s ) ( t q ) s ] ( r t ) Chứng minh A (dùng luật logic hay dùng qui tắc suy diễn) b) Cho mệnh đề lượng từ A = “ ( x X, p(x) ) ( x X, q(x) ) ’’ B = “ x X, y X, p(x) q(y) ’’ Viết mệnh đề phủ định A B để chứng minh A B CÂU 2: Xét biển số xe có dạng x y z t u , , , mẫu tự latin ( từ A đến Z ) x, y, z, t, u chữ số hệ thập phân ( từ đến ) a) Có biển số xe ? b) Có biển số xe có chữ số khác có mẫu tự A mẫu tự B ? c) Có biển số xe có mẫu tự A có mẫu tự B ? CÂU 3: Cho hàm Boole f theo biến x, y, z t thỏa f 1(1) = = { (0,0,0,0),(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),(1,0,0,1),(1,0,1,0),(0,1,1,0),(1,1,1,0), (0,1,1,1),(1,1,1,1) } a) Vẽ biểu đồ Karnaugh S = Kar(f) xác định tế bào lớn S b) Viết dạng nối rời tắc tìm cơng thức đa thức tối tiểu cho hàm Boole f c) Vẽ sơ đồ mạng cổng logic tổng hợp f dựa vào cơng thức đa thức tối tiểu f ĐÁP ÁN TĨM TẮT: CÂU 1: a) Để ý ( r t ) ( r t ) nên phần trùng với phần a) CÂU ĐỀ THI 2010 (đợt 2) b) A = “ ( x X, p( x) ) ( x X, q( x ) ) ’’ “ ( x X, p( x) ) ( y X, q( y ) ) ’’ B = “ x X, y X, ( p( x) q( y ) ) ’’ Ta có A B ( có nghĩa có a, b X thỏa p(a ) q(b) ) Suy A B CÂU 2: a) Có 264 x 105 = 456.976 x 105 biển số xe b) Có A42 x 242 x A105 = 12 x 576 x 30240 = 209.018.880 biển số xe c) Số biển số xe khơng có mẫu tự A 254 x 105 Số biển số xe khơng có mẫu tự B 254 x 105 Số biển số xe khơng có mẫu tự A khơng có mẫu tự B 244 x 105 Dùng ngun lý bù trừ, ta có Số biển số xe khơng có mẫu tự A hay khơng có mẫu tự B 105(254 + 254 244) = 105(2.254 244) Dùng cách đếm phần bù, ta có số biển số xe có mẫu tự A có mẫu tự B 264 x 105 [ 105(2.254 244) ] = 105(264 2.254 + 244) = 105( 456.976 781.250 + 331.776) = = 7.502 x 105 CÂU 3: a) S = Kar(f) = { (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (3,1), (3,4), (4,1), (4,3), (4,4) } ( S có 11 ) S có tế bào lớn T1 = z t , T2 = y t , T3 = y z, T4 = x t T5 = y z b) Gọi tên S nối chúng phép tốn tổng Boole ( ), ta dạng nối rời tắc f sau : f(x,y,z,t) = x y z t x y z t x y z t x y z t x y z t x y z t x y z t x y z t x y z t x y zt xy z t Thuật tốn cho phép phủ S theo sơ đồ sau : T3 T5 T4 T1 (phép phủ tối tiểu) T2 (phép phủ tối tiểu) S = T3 T5 T4 T1 = T3 T5 T4 T2 (hai phép phủ tối tiểu) f có cơng thức đa thức tối tiểu đơn giản ngang f(x,y,z,t) = y z x t y z z t = y z x t y z y t c) Vẽ sơ đồ mạng cổng logic tổng hợp f(x,y,z,t) = y z x t y z z t NĂM 2012 (ĐỢT 1) CÂU : a) Cho biến mệnh đề p, q, r Chứng minh A B A = { p [ q ( p q r ) ] } B = [ q ( p r ) ] b) Cho C = “ x (0, +), y Q, e y x + “ Q tập hợp số hữu tỉ x C hay sai ? Tại ? Viết mệnh đề phủ định C CÂU : bác sĩ, kỹ sư luật sư xếp thành hàng dọc Hỏi có cách xếp a) Các đồng nghiệp đứng gần ? b) Các kỹ sư đứng gần luật sư đứng gần ? c) Mỗi bác sĩ đứng kỹ sư luật sư đứng gần ? CÂU : Cho hàm Boole f theo biến có công thức đa thức sau : f(x, y, z, t) = x y z t y z t x y z x y z t x z t x y z ( ký hiệu phép tốn tổng Boole ) a) Vẽ biểu đồ Karnaugh S = Kar(f) xác đònh tế bào lớn S b) Tìm công thức đa thức tối tiểu cho f c) Từ S = Kar(f), viết dạng nối rời tắc hàm Boole f f d) Vẽ sơ đồ mạng cổng logic tổng hợp f dựa vào cơng thức đa thức tối tiểu f ĐÁP ÁN TĨM TẮT: CÂU : a) A p q ( p q r ) u ( u r ) [ với u = ( p q ) ] ( u u ) ( u r ) (u r ) u r p q r q ( p r ) [ q ( p r ) ] = B b) C x = (0, +), y Q, e y 2e0 = = + (1/1) C = “ x (0, +), y Q, e y < x + (1/x) “ CÂU : a) 3! ( 3! 4! 5! ) = 103.680 cách xếp b) 5! ( 4! 5! ) = 345.600 cách xếp c) ( 3! 4! 5! ) = 34.560 cách xếp CÂU : a) S = Kar(f) = K( x y z t ) K( y z t) K( x y z) K(x y z t ) K( x z t) K(x y z ) = = { (1,3), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3) } ( S có 10 ) b) Các tế bào lớn S : T1 = y t, T2 = x t, T3 = x y, T4 = x y z , T5 = x z t T6 = y z t T5 (phép phủ chưa tối tiểu) Thuật tốn cho phép phủ S theo sơ đồ sau : T1 T3 T4 T6 (phép phủ tối tiểu) T5 (phép phủ tối tiểu) S = T1 T3 T4 T5 (1) S = T1 T3 T4 T6 (2) S = T1 T3 T5 (3) Phép phủ (1) chưa tối tiểu nên ta loại Phép phủ (2) (3) tối tiểu Từ (2) (3), ta có f(x,y,z,t) = y t x y x y z y z t = y t x y x z t f có cơng thức đa thức tối tiểu ứng với phép phủ (3) : f(x,y,z,t) = y t x y x z t c) S phần bù S bảng mã B4 S = { (1,1), (1,2), (1,4), (2,2), (3,2), (4,4) } ( ) Gọi tên S (tương ứng S ) nối chúng phép tốn tổng Boole ( ), ta dạng nối rời tắc f (tương ứng f ) sau : f(x,y,z,t) = x y z t x y z t x y z t x y z t x y z t x y z t x y z t x y z t x y zt xy z t f (x,y,z,t) = x y z t x y z t x y z t x y z t x y z t x y z t d) Vẽ sơ đồ mạng cổng logic tổng hợp f(x,y,z,t) = y t x y x z t NĂM 2012 (ĐỢT 2) CÂU 1: Cho < a < b H = { z C / (z2 a2)( z2 + b2) = } Trên tập hợp (H) = { A / A H } ta có quan hệ hai ngơi a) Kiểm chứng quan hệ thứ tự bán phần (H) b) Vẽ biểu đồ Hasse tìm min, max, tối tiểu tối đại (nếu có) ((H) , ) CÂU 2: Cho N = { 1, 2, 3, … , 1998, 1999 } M = { 1, 2, 3, … , 498, 499 } a) Có số k N cho k khơng chia hết cho 3, ? b) Có số k M cho chia k cho 3, 5, ta có số dư ? CÂU 3: Cho hàm Boole f theo biến x, y, z t thỏa f 1(1) = { (1,0,0,0), (1,1,0,0), (1,0,1,0), (0,1,1,0), (0,1,1,1), (1,1,0,1), (1,1,1,1) } a) Vẽ biểu đồ Karnaugh S = Kar(f) xác định tế bào lớn S b) Viết dạng nối rời tắc tìm cơng thức đa thức tối tiểu cho hàm Boole f c) Vẽ sơ đồ mạng cổng logic tổng hợp f dựa vào cơng thức đa thức tối tiểu f ĐÁP ÁN TĨM TẮT: CÂU : H = { a, a, bi, bi } H có 24 = 16 tập A1 = , A2 = {a}, A3 = {a}, A4 = {bi}, A5 = {bi}, A6 = { a, a }, A7 = { a, bi }, A8 = { a, bi }, A9 = { a, bi }, A10 = { a, bi }, A11 = { bi, bi }, A12 = { a, a, bi}, A13 = { a, a, bi}, A14 = { a, bi, bi}, A15 = { a, bi, bi} A16 = H = { a, a, bi, bi } Như (H) = { A / A H } có 16 phần tử A1, A2, … A16 a) Quan hệ phản xạ (A (H), A A ), phản xứng [ A, B (H), ( A B B A ) A = B ] truyền [ A, B, C (H), (A B B C) A C ] nên quan hệ thứ tự (H) Do có A2 = {a} A3 = {a} thỏa A2 A3 A3 A2 nên quan hệ thứ tự bán phần b) Vẽ cạnh nối cho cặp phần tử kề (H) quan hệ Để ý cặp phần tử kề (H) tập hợp H có quan hệ có số phần tử sai ( chẳng hạn A1 nối với A2 , A3 , A4 , A5 ; A2 nối với A6 , A7 , A8 ; A6 nối với A12, A13 ; A12 nối A16 , … ) c) min((H), ) = max((H), ) = H CÂU : a) N = { 1, 2, 3, …, 1998, 1999 }, A = { n N / 3 n }, B = { n N / 4 n } C = { n N / 5 n } A B = { n N / 12 n }, A C = { n N / 15 n } B C = { n N / 20 n } N = 1999, A = 666, B = 499, C = 399, A B = 166, A C = 133 B C = 99 A B C = { n N / 60 n } A B C = 33 A B C = A + B + C ( A B + A C + B C ) + A B C = 1199 Đáp số cần tìm N A B C = 1999 1199 = 800 b) M = { 1, 2, 3, … , 498, 499 } Xét n M cho n chia cho 3, có số dư Suy (n 2) bội số 3, Vậy (n 2) bội số (3 x x 5) = 60 nghĩa (n 2) { 0, 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480 } Do n { 2, 62, 122, 182, 242, 302, 362, 422, 482 } CÂU 3: a) S = Kar(f) = { (1,1), (1,3), (2,2), (2,3), (3,2), (4,1), (4,2) } ( S có ) Các tế bào lớn S : T1 = x y t , T2 = x z t , T3 = x y z , T4 = x y t, T5 = y z t T6 = x y z b) Gọi tên S nối chúng phép tốn tổng Boole ( ), ta dạng nối rời tắc f sau : f(x,y,z,t) = x y z t x y z t x y z t x y z t x y z t x y z t x y z t T4 (phép phủ tối tiểu) Thuật tốn cho phép phủ S theo sơ đồ sau : T1 T6 T3 T5 (phép phủ tối tiểu) T4 T2 (phép phủ tối tiểu) S = T1 T6 T3 T4 = T1 T6 T3 T5 = T1 T6 T4 T2 ( phép phủ tối tiểu ) f có cơng thức đa thức tối tiểu ngang : f(x,y,z,t) = x y t x y z x y z x y t = x y t x y z x y z y z t = x y t x y z x y t x z t c) Vẽ sơ đồ mạng cổng logic tổng hợp f(x,y,z,t) = x y t x y z x y t x y z NĂM 2013 (ĐỢT 1) CÂU : a) Cho biến mệnh đề p, q, r Chứng minh A B A = { [ p ( q r ) ] ( p r ) } B = [ p ( q r ) ] b) Cho mệnh đề C = “ x Q, y R, ey + ey < 2x ’’ Viết mệnh đề phủ định C xét chân trị C CÂU : Cho S = {1, 2, … , 14, 15} A = {1, 2, 5, 8, 10, 14} a) A có tập hợp mà tập có khơng q phần tử ? Có tập hợp B S thỏa B A = S ? b) Có tập hợp C có phần tử S mà tổng số C số ngun chẵn ? c) Có tập hợp D S mà tích số D số ngun lẻ ? CÂU : Cho S = {2, 6, 8, 10, 24, 30, 36, 60, 72, 90} Xét quan hệ thứ tự S sau : x, y S, x y x | y (x ước số y) Vẽ sơ đồ Hasse cho (S, ) tìm phần tử cực tiểu (hoặc tối tiểu), cực đại (hoặc tối đại), có ĐÁP ÁN TĨM TẮT: CÂU 1: a) A p (q r ) ( p r ) [ p q r ] ( p r ) [ p ( q r ) ] ( p r ) ( p r q ) ( p r ) (u q) u [ với u = (p r ) ] (u u ) (q u ) ( q u ) ( q u ) ( q p r ) ( p q r ) [ p ( q r ) ] = B b) C = “ x Q, y R, ey + ey 2x ‘’ C x = Q, y R, ey + ey e y e y = = 20 (bất đẳng thức Cauchy) Vậy C sai CÂU 2: a) Số tập A (mỗi tập có khơng q phần tử) C60 + C61 + C62 + C63 = + + 15 + 20 = 42 B = (S \ A) H với H tùy ý A Số tập B = Số tập H = 26 = 64 b) Đặt S = {2, 4, 6, … , 12, 14} | S2 | = C gồm (4 số chẵn) (4 số lẻ) (2 số chẵn số lẻ) Số tập C thỏa u cầu C74 + C84 + C72 C82 = 35 + 70 + (21 x 28) = 105 + 588 = 693 c) D tùy ý S1 = {1, 3, 5, … , 13, 15} với | D | | S1 | = Số tập D 28 (1 + 8) = 247 CÂU 3: min(S, ) = phần tử tối đại (S, ) 60, 72 90 NĂM 2013 (ĐỢT 2) CÂU 1: a) Cho biến mệnh đề u, v, w Chứng minh A B A = { [ u ( u w ) ] (v w) w } B = v (u w) Với P bất kỳ, ký hiệu P hiểu dạng phủ định P b) Cho mệnh đề C = “ > 0, p N, m, n N, (m > n p 0, p N, m, n N, ( m > n p [ xm = xn hay xm xn ] ) ‘’ CÂU 2: a) x x = 120 c) 120 + 301 = 421 b) (5 + 6) C42 + (4 + 6) C52 + (4 + 5) C62 = 66 + 100 + 135 = 301 CÂU 3: a) S = Kar(f) = K(x y z t) K( x y z t) K(yz t ) K(x y z ) K(y z t) K( x y z t ) [ S có ] Các tế bào lớn S T1 = y z, T2 = x z t, T3 = x y t, T4 = x y t, T5 = x y z T6 = y z t b) Gọi tên S nối chúng phép tốn tổng Boole ( ), ta dạng nối rời tắc f sau : f(x,y,z,t) = x y z t x y z t x y z t x y z t x y z t x y z t x y z t x y z t x y z t Thuật tốn cho phép phủ S theo sơ đồ : T1 T4 T6 T3 (phép phủ tối tiểu) T2 T5 (phép phủ tối tiểu) T3 (phép phủ chưa tối tiểu) S = T1 T4 T6 T3 = T1 T4 T6 T2 T5 = T1 T4 T6 T2 T3 ( hai phép phủ tối tiểu phép phủ thứ chưa tối tiểu nên bị loại ) Vậy f(x,y,z,t) = y z x y t y z t x y t = y z x y t y z t x z t x y z Ta có cơng thức đa thức tối tiểu f f(x,y,z,t) = y z x y t y z t x y t c) Vẽ sơ đồ mạng cổng logic tổng hợp f(x,y,z,t) = y z x y t y z t x y t NĂM 2014 (ĐỢT 1) CÂU 1: a) Cho C = “ x , y , y = cosx hay y = sinx’’ Viết mệnh đề phủ định C xét chân trị C b) Cho biến mệnh đề u, v, w Chứng minh A B A = { [ (v w) w ] u (u w) } B = u (v w) CÂU 2: Xét dãy số gồm a) Có dãy Có dãy b) Có dãy Có dãy chữ số hệ thập phân ( chẳng hạn dãy số 74285403, ) số ? số mà chữ số khác ? số mà chữ số 1, xuất lần ? số mà có chữ số 1, hay ? CÂU 3: Cho S = {3, 6, 9, 15, 18, 27, 30, 54, 90, 270} Xét quan hệ hai ngơi S sau: x, y S, x y x y (x bội số y) a) Giải thích quan hệ thứ tự S thứ tự tồn phần hay bán phần ? b) Vẽ sơ đồ Hasse cho (S, ) tìm phần tử cực tiểu (hoặc tối tiểu), cực đại (hoặc tối đại), có ĐÁP ÁN TĨM TẮT: CÂU 1: ( 2,5 đ = đ + 1,5 đ ) a) C = “ x , y , y cosx y sinx ) Do C sai C ( , y , y cos = sin = 4 b) A ( v w w) (u u w ) [( v w ) w)] [u ( u w )] [( v w) ( w w)] [(u u ) (u w )] [( v w) 1] [ O (u w )] ( v w) (u w ) [( v u w ) (w u w )] [( v u w ) (u w w )] [( v u w ) O] ( v u w ) [u ( v w )] [u v w ] u (v w) = B CÂU 2: a) 108 = 100.000.000 A108 = 10 x x x x x x x = 1.814.400 b) A83 x 75 = 336 x 16807 = 5.647.152 108 78 = 100.000.000 5.764.801 = 94.235.199 CÂU 3: a) phản xạ (x S : x = 1.x nên x x ), phản xứng ( x,y S : [x y y x] [x = ky y = k’x với k, k’ ngun ≥ 1] [ x ≥ y y ≥ x ] [ x = y ] ), truyền (x,y,z S : [x y y z] [x = ky y = k’z với k, k’ ngun ≥ 1] [ x = kk’y với kk’ ngun ≥ ] [ x y ] ) thứ tự bán phần ( 6, S, ) b) (S, ) min(S, ) = 270 max(S, ) = [...]... số chẵn và 2 số lẻ) Số tập C thỏa u cầu là C74 + C84 + C72 C82 = 35 + 70 + (21 x 28) = 105 + 588 = 693 c) D tùy ý S1 = {1, 3, 5, … , 13, 15} với | D | 2 và | S1 | = 8 Số tập D là 28 (1 + 8) = 247 CÂU 3: min(S, ) = 2 và các phần tử tối đại của (S, ) là 60, 72 và 90 NĂM 2013 (ĐỢT 2) CÂU 1: a) Cho các biến mệnh đề u, v, w Chứng minh A B trong đó A = { [ u ( u w ) ] (v w) w } và B =... = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 = 1.814.400 và b) A83 x 75 = 336 x 16807 = 5.647.152 và 108 78 = 100.000.000 5.764.801 = 94.235.199 CÂU 3: a) phản xạ (x S : x = 1.x nên x x ), phản xứng ( x,y S : [x y và y x] [x = ky và y = k’x với k, k’ ngun ≥ 1] [ x ≥ y và y ≥ x ] [ x = y ] ), truyền (x,y,z S : [x y và y z] [x = ky và y = k’z với k, k’ ngun ≥ 1] [ x = kk’y với... yz t x y z y z t x y z t (ký hiệu là phép tốn tổng Boole) a) Vẽ biểu đồ Karnaugh S = Kar(f) và xác đònh các tế bào lớn trong S b) Viết dạng nối rời chính tắc và tìm các công thức đa thức tối tiểu cho f c) Vẽ sơ đồ mạng các cổng logic tổng hợp f dựa vào một cơng thức đa thức tối tiểu của f ĐÁP ÁN TĨM TẮT: CÂU 1: a) A [ u ( u w )] [( v w ) w ] [( u u ) ( u w )] [( v w )... Với P bất kỳ, ký hiệu P được hiểu là dạng phủ định của P b) Cho mệnh đề C = “ > 0, p N, m, n N, (m > n p 0 n p và [ xm = xn hay xm xn ] ) ‘’ CÂU 2: a) 4 x 5 x 6 = 120 c) 120 + 301 = 421 b) (5 + 6) C42 + (4 + 6) C52 + (4 + 5) C62 = 66 + 100 + 135 = 301 CÂU 3: a) S = Kar(f) = K(x y z t) K( x y z t) K(yz t ) K(x y z ) K(y z t) K( x y z t ) [ S có 9 ơ ] Các tế bào lớn trong S là T1 = y z, T2 = x z t, T3 = x y t, T4 = x y t, T5 = x y z và T6 = y z t b) Gọi tên mỗi ơ của S và nối chúng... y và y ≥ x ] [ x = y ] ), truyền (x,y,z S : [x y và y z] [x = ky và y = k’z với k, k’ ngun ≥ 1] [ x = kk’y với kk’ ngun ≥ 1 ] [ x y ] ) là thứ tự bán phần ( vì 6, 9 S, 6 9 và 9 6 ) b) (S, ) min(S, ) = 270 và max(S, ) = 3 ... được dạng nối rời chính tắc của f như sau : f(x,y,z,t) = x y z t x y z t x y z t x y z t x y z t x y z t x y z t x y z t x y z t Thuật tốn cho 3 phép phủ của S theo sơ đồ : T1 T4 T6 T3 (phép phủ tối tiểu) T2 T5 (phép phủ tối tiểu) T3 (phép phủ chưa tối tiểu) S = T1 T4 T6 T3 = T1 T4 T6 T2 T5 = T1 T4 T6 T2 T3 ( hai phép phủ đầu tiên là tối tiểu và phép phủ