VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC MẶT PHẲNG Vị trí tương đối hai đường thẳng Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d d’ có phương trình là:  x  x0 y  y0 z  z0 d:   qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) có vtcp: u (a; b; c ) a b c  x  x0' y  y0' z  z0' qua M 0' ( x0' ; y0' ; z0' ) có vtcp: u ' (a '; b '; c ') d ':   a' b' c' Giữa d d’ có vị trí tương đối nào? VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC MẶT PHẲNG Vị trí tương đối hai đường thẳng x  x0 y  y0 z  z0 d:   a b c x  x0' y  y0' z  z0' d ':   a' b '     c ' + d chéo d’  [u , u '].M M '0 0  u d M0 M’0  u'  d’  Nếu  d d’ chéo vectơ M M ' u u ' có quan hệ gì? VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC MẶT PHẲNG Vị trí tương đối hai đường thẳng x  x0 y  y0 z  z0 d:   a b c x  x0' y  y0' z  z0' d ':   a' b '     c '  u d M0  u' M’0 + d chéo d’  [u , u '].M M '0 0     + d cắt d’  [u , u '].M M '0 0 a : b: c  a’ : b’ : c’   Nếu  d d’ cắt vectơ M M ' u u ' có quan hệ gì? d’ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC MẶT PHẲNG Vị trí tương đối hai đường thẳng x  x0 y  y0 z  z0 d:   a b c x  x0' y  y0' z  z0' d ':   a' b '     c '  u d M0  u' M’0 + d chéo d’  [u , u '].M M '0 0   + d cắt d’  [u , u '].M M '0 0 a : b: c  a’ : b’ : c’ + d // d’  a : b : c = a’ : b’ : c’  (x’x’0 - x0) : (x’y’0 - y0 ) : (x’z’0 - z0 )  d d’ song song vectơ  Nếu u u' có quan  hệ gì? Chúng có M0M0 ' quan hệ với vectơ ? d’ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC MẶT PHẲNG Vị trí tương đối hai đường thẳng x  x0 y  y0 z  z0 d:   a b c x  x0' y  y0' z  z0' d ':   a' b '     c '  u'  u M0 M’0 d d’ + d chéo d’  [u , u '].M M '0 0     + d cắt d’  [u , u '].M M '0 0 a : b: c  a’ : b’ : c’ + d // d’  a : b : c = a’ : b’ : c’  (x’x’0 - x0) : (x’y’0 - y0 ) : (x’z’0 - z0 ) + d  d’  a : b : c = a’ : b’ : c’ = (x’x’0 - x0) : (x’y’0 - y0 ) : (x’z’0 - z0 )  Nếu  d d’ trùng vectơ u u' có quan  hệ gì? Chúng có M0M0 ' quan hệ với vectơ ? VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC MẶT PHẲNG Vị trí tương đối hai đường thẳng Ví dụ Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng d d’ cho phương trình sau: x y z a) d :   , x  y 1 z  d ':   2  d d’ cắt           u (2;1; 4), u ' (3;  2;1), M M '0 (5;  8;  5)  [u, u '].M M '0 0 b) d : x y z   , 2 d ': x y 5 z    2  d d’ chéo          u (2;  2;1), u ' ( 2;3;0), M M '0 ( 1;  7; 4)  [u, u '].M M '0 26 0 x y z 1 c) d :   , 6 8  x y z d ':   6 12  d // d’ M M '0 (5; 2;1)  :  :   : :12 5 : :1 d) d : x y z   , d ': x y z    d  d’  M M '0 (6; 4; 2)  : : 6 : : 6 : : VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC MẶT PHẲNG Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d mặt phẳng (x’) phương trình là:  x  x0 y  y0 z  z0 d:   qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) có vtcp: u (a; b; c) a b c (x’) : Ax + By + Cz + D =  Ta có: u.n  Aa  Bb  Cc  có vtpt n ( A; B; C ) VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC MẶT PHẲNG Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng x  x0 y  y0 z  z0 d  d:   u a b c (x’) : Ax + By + Cz + D =  Ta có: u.n  Aa  Bb  Cc + d cắt (x’)  Aa + Bb + Cc   Nếu d cắt (x’) tích: hay khác 0?  u.n  n VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC MẶT PHẲNG Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng  x  x0 y  y0 z  z0 u d:   a b c (x’) : Ax + By + Cz + D =  Ta có: u.n  Aa  Bb  Cc M0 + d cắt (x’)  Aa + Bb + Cc    Aa  Bb  Cc 0 + d // (x’)    Ax0  By0  Cz0  D 0  Nếu d // (x’) tích: u.n hay khác 0? Điểm M0 mp(x’) có mối quan hệ gì?  n d VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC MẶT PHẲNG Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng x  x0 y  y0 z  z0 d:   a b c (x’) : Ax +By + Cz + D = Ta có: u.n  Aa  Bb  Cc  u M0 + d cắt (x’)  Aa + Bb + Cc    Aa  Bb  Cc 0 + d // (x’)    Ax0  By0  Cz0  D 0   Aa  Bb  Cc 0 + d  (x’)   Nếu d  (x’) tích: u.n  D 0  Cz  Ax0  Byhay khác 0? Điểm M0 mp(x’) có mối quan hệ gì?  n d VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC MẶT PHẲNG Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng d x  x0 y  y0 z  z0 d: a  b  c  u (x’) : Ax +By + Cz + D = Ta có: u.n  Aa  Bb  Cc + d cắt (x’)  Aa + Bb + Cc    Aa  Bb  Cc 0 + d // (x’)    Ax0  By0  Cz0  D 0  Aa  Bb  Cc 0 + d  (x’)    Ax0  By0  Cz0  D 0 + d  (x’)  a : b : c = A : B : C  n Nếu  d  (x’) hai u n vectơ gì? có mối quan hệ Ví dụ Cho hai đường thẳng d d’ có phương trình: x  y 1 z d:   , 1 x  y z 1 d ':   1 mặt phẳng (x’): x + 2y + z - = a) Xét vị trí tương đối d d’ b) Chứng minh d d’ cắt mặt phẳng (x’) Viết phương trình đường thẳng qua hai giao điểm Giải:  d qua điểm M0(x’1; -1; 0) có vtcp u (2;1;  1) d’ qua điểm M’0(x’3; 0; -1) có vtcp u ' ( 1; 2;1)         Cã: [u, u '] (3;  1;5) vµ M M '0 (2;1;  1)  [u, u '].M M '0 0 mà : : -1  -1 : : Vậy d d’ cắt Ví dụ Cho hai đường thẳng d d’ có phương trình: x  y 1 z d:   , 1 x  y z 1 d ':   1 mặt phẳng (x’): x + 2y + z - = b) Chứng minh d d’ cắt mặt phẳng (x’) Viết phương trình đường thẳng qua hai giao điểm  Giải: b) mp(x’) có vtpt n (1; 2;1) Ta có:    n.u 1.2  2.1  1.( 1) 3 0, n.u ' 1.( 1)  2.2  1.1 4 0 Vậy d d’ cắt mp(x’) Toạ độ giao điểm M d (x’) nghiệm hpt:  x  y 1 z    1   x  y  z  0  x 7 /    y  /  M(x’7/3; -1/3; -2/3)  z  /  Ví dụ Cho hai đường thẳng d d’ có phương trình: x  y 1 z d:   , 1 x  y z 1 d ':   1 mặt phẳng (x’): x + 2y + z - = b) Chứng minh d d’ cắt mặt phẳng (x’) Viết phương trình đường thẳng qua hai giao điểm Giải: Toạ độ giao điểm M d (x’) nghiệm hpt:  x  y 1 z    1   x  y  z  0  x 7 /    y  /  M(x’7/3; -1/3; -2/3)  z  /  Toạ độ giao điểm N d’ (x’) nghiệm hpt:  x  y z 1     1  x  y  z  0  x 13 /    y  /  N(x’13/4; -1/2; -5/4)  z  /  Ví dụ Cho hai đường thẳng d d’ có phương trình: x  y 1 z d:   , 1 x  y z 1 d ':   1 mặt phẳng (x’): x + 2y + z - = b) Chứng minh d d’ cắt mặt phẳng (x’) Viết phương trình đường thẳng qua hai giao điểm Giải: Phương trình đường thẳng MN là:   11  Cã MN  ;  ;  Lấy vectơ phương MN  12 12   u (11;  2;7), ta có phương trình đường thẳng MN:  x 7 /  11t   y  /  2t  z  /  7t  CỦNG CỐ Qua em cần nắm được: + Vị trí tương đối hai đường thẳng cách xét + Vị trí tương đối đường thẳng cách xét + Vận dụng mối quan hệ giữa: đường thẳng với đường thẳng, đường thẳng với mặt phẳng quan hệ hai mặt phẳng đề giải toán viết phương trình đường thẳng thỗ mãn điều kiện cho trước