1.Định nghĩa giới hạn của hàm số tại một điểm Kiểm tra bài cũ 3.Định nghĩa giới hạn của hàm số tại vô cực 2.Định nghĩa giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm 4.Các định lí về giới hạn hữu hạn của hàm số Chú ý: Với mọi k nguyên dương ta đều có k k x x k k x x a) lim x ;b) lim x 1 1 c) lim 0;d) lim 0 x x + + + =+ = = = Nếu k chẵn Nếu k lẻ Các vấn đề cần ghi nhớ 0 x x lim f (x) L = 0 x x lim f (x) =+ x lim f (x) L + = Bài 1: áp dụng định nghĩa về giới hạn của hàm số tìm các giới hạn sau: 2 1 3 4 ) lim ; 1 x x x a x + Giải a)Với ta có: x 1 2 3x x 4 f (x) x 1 + = ( ) 4 3 x 1 x 3 x 1 + ữ = 3x 4 = + Với mọi dãy số (x n ) trong tập hợp R \ {1} mà lim x n = 1, ta có: lim f(x n ) = lim (3x n + 4) = 3.1 + 4 = 7 Vậy 2 x 1 3x x 4 lim 7 x 1 + = ( ) 2 x 2 2x 1 b) lim x 2 + + XÐt hµm sè ( ) 2 2x 1 f (x) x 2 + = + ( ) 2 x 2 2x 1 b) lim x 2 →− + + Víi mäi d·y (x n ) mµ x n - 2 víi mäi n vµ lim x n = - 2 , ta cã : ≠ ( ) n n 2 n 2x 1 f (x ) x 2 + = + Cã lim (2 x n +1) = 2(- 2) +1 = - 3 < 0, lim (x n +2) 2 = 0 vµ (x n + 2) 2 > 0 víi mäi n nªn n lim f (x ) =−∞ VËy ( ) 2 x 2 2x 1 lim x 2 →− + =−∞ + T×m giíi h¹n sau *Bµi sè 30 (SGK -159 ) 2 x 2 2 x 1 5 x 3 f ) lim 2x 3 →− + − − + 4 2 x 3 x 27x b) lim 2x 3x 9 → − − − *Bµi sè 31(SGK - 159) Bµi 2: *Bµi sè 32(SGK - 159) 5 3 3 2 3 x 2x x 1 a) lim (2x 1)(x x) →+∞ + − − + *Bµi 30 (SGK -159 ) 2 x 2 2 x 1 5 x 3 f ) lim 2x 3 →− + − − + 2 x 2 2 x 1 5 x 3 lim 2x 3 →− + − − = + ( ) ( ) 2 2 2 1 5 2 3 2 2 3 − + − − − = − + 2 1 5 1 3 − − = − *Bµi 31(SGK - 159) 4 2 x 3 x 27x b) lim 2x 3x 9 → − − − Víi mäi ta cã: x 3 ≠ 4 2 x 27x 2x 3x 9 − = − − ( ) 3 3 x(x 3 ) 3 2 x 3 x 2 −   − +  ÷   ( ) ( ) ( ) 2 x(x 3) x 3x 9 x 3 2x 3 − + + = − + ( ) ( ) 2 x 3 x x 3x 9 lim 2x 3 → + + = + 4 2 x 3 x 27x lim 2x 3x 9 → − ⇒ = − − ( ) ( ) 2 3 3 9 9 2.3 3 + + + = 9 ( ) ( ) 2 x x 3x 9 2x 3 + + = + Gi¶i Bµi 32(SGK - 159) 5 3 3 2 3 x 2x x 1 a) lim (2x 1)(x x) →+∞ + − − + ( ) ( ) 5 3 2 3 x 2x x 1 lim 2x 1 x x →+∞ + − − + T×m ( ) ( ) 5 3 2 5 2 3 2 2 1 1 2 2x x 1 x x 1 1 2x 1 x x 2 1 x x + − + − =    − + − +  ÷ ÷    Víi mäi x ta cã 0 ≠ 2 5 x 1 1 lim 2 2 x x →+∞   + − =  ÷   Mµ 2 2 x x 1 1 ; lim 2 2; lim 1 1 x x →+∞ →+∞     − = + =  ÷  ÷     ( ) ( ) 5 3 2 3 x 2x x 1 lim 2x 1 x x →+∞ + − ⇒ − + 2 1 2.1 = = 5 3 3 3 2 3 x 2x x 1 lim 1 1 (2x 1)(x x) →+∞ + − = = − + VËy Bài 32( SGK 159) 1 x 1 2x x 2x 3 + + = + Tìm các giới hạn sau: ( ) 4 2 x x ; d) lim x 1 2x x 1 + + + + Giải c) Có hàm số f(x) = xác định khi : 2 x x 2x 2x 3 + + + 2 x x 0 2x 3 0 + + x 0 x 1 3 x 2 Với ta có: 3 x 1; x 2 1 x 1 2x x 3 x 2 x + + = + ữ 1 1 2 x 3 2 x + + = + ữ mà 2 x x x 2x c) lim 2x 3 + + + x 1 lim 1 2 1 2 1 x + + = + = ữ ữ x 3 ; lim 2 2 x + = ữ Vậy: x 1 lim f (x) 2 = 2 1 x 1 2x x f (x) 2x 3 + + ữ = + ( ) 4 2 x x d) lim x 1 2x x 1 + + + + Có xác định với ( ) 4 2 x f (x) x 1 2x x 1 = + + + x 0 Với mọi x > 0 ta có: ( ) ( ) 2 4 2 4 2 x x 1 x f (x) x 1 2x x 1 2x x 1 + = + = + + + + 3 2 4 2 x 2x x 2x x 1 + + = + + 4 2 3 2 4 1 2 1 x x x 1 1 2 x x + + = + + mà 4 2 3 x 2 4 1 2 1 0 x x x lim 0 1 1 2 2 x x + + + = = + + Vậy ( ) 4 2 x x lim x 1 0 2x x 1 + + = + + Bµi 3: Chøng minh sù tån t¹i giíi h¹n cña hµm sè Bµi sè 22(SGK 151)– Cho hµm sè vµ hai d·y sè (x’ n ) vµ (x” n ) víi: 1 ( ) cosf x x = ( ) ' " 1 1 ; 2 2 1 2 n n x x n n π π = = + a) T×m giíi h¹n cña c¸c d·y sè (x’ n ) , (x” n ) , (f(x’ n )) vµ (f(x” n )) b) Tån t¹i hay kh«ng 0 1 lim cos ? x x → Gi¶i a)Do lim 2n π = + ∞ n 1 lim x ' lim 0 2n π ⇒ = = lim (2n 1) 2 π + = + ∞ n 1 lim x" lim 0 (2n 1) 2 π ⇒ = = + Suy ra: n lim f (x ' ) lim cos 2n 1 π = = n lim f (x" ) lim cos(2n 1) 0 2 ; π = + = V× n n lim x ' lim x" 0 = = mµ n n lim f (x ' ) lim f (x " ) ≠ Nªn kh«ng tån t¹i x 0 1 lim cos x → Chứng minh các giới hạn sau không tồn tại lim sin 2 x x + Hướng dẫn:+) Chọn hai dãy số (x n ) và (x n ) với ' ; 4 n n x n x n = = + +)Tìm lim x n , limx n , lim f(x n ) , lim f(x n ) Giải Khi đó lim ; n x = + ' lim n x = + limf(x n ) = lim sin2x n = lim sin 2 0n = limf(x n )= lim sin2x n = limsin 2 1 2 n + = ữ Vì lim f(x n ) lim f(x n ) nên không tồn tại lim sin 2 x x + . 1.Định nghĩa giới hạn của hàm số tại một điểm Kiểm tra bài cũ 3.Định nghĩa giới hạn của hàm số tại vô cực 2.Định nghĩa giới hạn vô cực của hàm số tại một. lim f (x) =+ x lim f (x) L + = Bài 1: áp dụng định nghĩa về giới hạn của hàm số tìm các giới hạn sau: 2 1 3 4 ) lim ; 1 x x x a x + Giải a)Với ta có: