BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN QUỐC VIỆT GIẢI XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ VỚI TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS KHUẤT VĂN NINH Hà Nội, 2013 LỜI CẢM ƠN Tác giả xin bày tỏ long biết ơn chân thành tới PGS.TS Khuất Văn Ninh, người thầy tận tâm truyền thụ kiến thức hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn Trong suốt trình thực luận văn, nhờ gương nghiên cứu khoa học nghiêm túc bảo tận tình thầy Khuất Văn Ninh giúp cho tác giả có ý thức trách nhiệm tâm cao để hoàn thành luận văn minh Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành long biết ơn thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, Ban giám hiệu, Phòng Sau đại học Trường Đại học sư phạm Hà Nội truyền thụ kiến thức, đóng góp ý kiến giúp đỡ tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Hà nội, tháng năm 2013 Học viên Trần Quốc Việt LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riên hướng dẫn PGS.TS Khuất Văn Ninh Trong nghiên cứu luận văn, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Một số kết đạt luận văn chưa công bố công trình khoa học khác Hà nội, tháng năm 2013 Học viên Trần Quốc Việt Mục lục Mở đầu 01 Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 03 1.1 Không gian metric 03 1.2 Nguyên lý ánh xạ co 07 1.3 Không gian Banach 09 1.4 Không gian Hilbert 12 1.5 Toán tử đơn điệu 13 Chương : Giải xấp xỉ phương trình toán tử với toán tử đơn điệu 20 2.1 Phương trình toán tử đơn điệu không gian Hilbert 20 2.2 Phương trình toán tử đơn điệu không gian Banach 24 2.3 Áp dụng giải phương trình toán tử không gian l2 32 2.4 Giải xấp xỉ toán biên phi tuyến 40 Chương 3: Ứng dụng phần mềm toán học vào giải số phương trình toán tử với toán tử đơn điệu không gian l2 46 Kết luận 54 Tài liệu tham khảo .55 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bài toán giải phương trình toán tử có phạm vi ứng dụng lớn ý nghĩa thực tiễn cao Đặc biệt phương trình toán tử loại hai với toán tử đơn điệu x  Ax  f Vì thực tiễn, có nhiều yếu tố làm cho toán có tính chất gần nghiên cứu giải xấp xỉ phương trình toán tử vấn đề mà nhiều nhà toán học nghiên cứu đề cập đến Việc giải xấp xỉ phương trình toán tử với toán tử đơn điệu phụ thuộc vào không gian hàm chứa miền xác định toán tử, việc xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ đánh giá tốc độ hội tụ việc cần thiết giải xấp xỉ phương trình toán tử Bởi chọn đề tài “Giải xấp xỉ phương trình toán tử với toán tử đơn điệu số không gian hàm” để thực luận văn Mục đích nghiên cứu Luận văn trình bày nghiên cứu lý thuyết giải xấp xỉ phương trình toán tử không gian hàm số ứng dụng Nhiệm vụ nghiên cứu Với mục đích nghiên cứu đề nhiệm vụ nghiên cứu luận văn là: - Giải xấp xỉ phương trình toán tử với toán tử đơn điệu không gian hàm cụ thể Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu việc giải phương trình toán tử loại hai với toán tử đơn diệu không gian Banach Hilbert Phương pháp nghiên cứu Phương pháp phân tích tổng hợp tài liệu dã có, từ hệ thống lại vấn đề liên quan đến đề tài Đóng góp luận văn Giải xấp xỉ phương trình toán tử theo phương pháp thác triển theo tham số máy tính Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian metric 1.1.1 Định nghĩa không gian metric Cho X tập khác rỗng Hàm d : X  X  gọi khoảng cách (hay metric) X thỏa mãn tiên đề sau: i) d ( x, y)  0, x, y  X ; d ( x, y)   x  y ii) d ( x, y)  d ( y, x) x, y  X iii) d ( x, z)  d ( x, y)  d ( y, z) x, y, z  X Cặp ( X , d ) d khoảng cách X gọi không gian metric Sau ta viết X thay cho ( X , d ) 1.1.2 Hình cầu, lân cận không gian metric Cho không gian metric X Tập hợp B  a, r   x  X : d  x, a   r , gọi hình cầu mở tâm a bán kính r Tập hợp B  a, r   x  X : d  x, a   r , gọi hình cầu đóng tâm a bán kính r Tập V  X gọi lân cận điểm x0  X tồn số r  cho: B  x0 , r   V Từ định nghĩa lân cận ta suy hình cầu B  x0 , r  lân cận x0 1.1.3 Sự hội tụ không gian metric Giả sử  xn  dãy điểm không gian metric X Điểm x gọi giới hạn dãy  xn  nếu: lim d  xn , x   n x  x Lúc ta nói dãy  xn  hội tụ đến x ký hiệu lim n  n 1.1.4 Không gian metric đầy Cho không gian metric X Dãy  xn   X gọi dãy Cauchy (hay dãy bản) nếu:   0, n : d  xn , xm    , n, m   Nếu dãy Cauchy không gian metric X hội tụ X gọi không gian metric đầy 1.1.5 Ví dụ Ví dụ 1.1.1 Ký hiệu Ca ,b không gian hàm số liên tục đoạn  a, b Xét hàm d : Ca ,b  Ca ,b  cho bởi: d  x, y   sup x  t   y  t  , x, y  Ca ,b t a ,b Ta có không gian Ca ,b không gian metric đầy Thật vậy: x, y  Ca ,b ta có x  t   y  t   0, t   a, b  sup x  t   y  t   t a ,b Vậy d ( x, y)  0, x, y  Ca ,b; d ( x, y)   x  y x, y  Ca ,b ta có sup x  t   y  t   sup y  t   x  t   d  x, y   d  y, x  t a ,b t a ,b t   a, b x  t   z  t   x  t   y  t   y t   z t  Từ ta có sup x  t   z  t   sup x  t   y  t   sup y  t   z  t  t a ,b t a ,b t a ,b Tức d  x, z   d  x, y   d  y, z  , x, y, z  Ca ,b Lại có, giả sử  xn   Ca ,b dãy Cauchy tùy ý, nghĩa   0, n cho: xn p  t   xn  t    , n  n , p, t   a, b Với t   a, b ta có dãy số tương ứng  xn  t  dãy Cauchy (1.1) x t  Đặt x  t   lim n  n Trong (1.1) cho p   ta có: x  t   xn  t    , n  n , t   a, b (1.2) Chứng tỏ hàm liên tục  xn  hội tụ đến hàm x , x  Ca ,b Từ (1.2) suy d  xn , x    , n  n  lim x  x n n Vậy Ca ,b không gian metric đầy Ví dụ 1.1.2  Ký hiệu l  x   x1 , x2 , , xi ,  | xi  , i  Xét hàm d : l  l   *  ,  xi   i 1 cho bởi:  2 d  x, y     xi  yi  , x, y  l  i 1  Ta có không gian l không gian metric đầy Thật Nhận xét rằng: d  x, y   0; d  x, y    x  y; d  x, y   d  y, x , x, y  l2 Mặt khác x, y, z  l áp dụng bất đẳng thức Minkovski dạng tổng ta có: d  x, y     xi  yi     xi  zi  zi  yi   i 1   i 1    2    xi  zi     zi  yi   i 1   i 1    2  d  x, y   d  x, z   d  z, y  Lại có, giả sử  xn  dãy Cauchy không gian l với xn   xn ,1 , xn ,2 ,  Lúc ta có:   0, n0   x k 1 Suy   0, n0  * , m, n  n0 , k  * :  xn ,k   m ,k * (1.3) , m, n  n0 , k  * : xm,k  xn ,k   Vậy với k  * dãy  xn ,k  dãy Cauchy hội tụ x , k  1,2, x   xk  lúc ta có: Đặt xk  lim n n , k Từ (1.3) cho m   ta được:  x k 1  xn ,k   , n  n0 k  lim x  x n n Ta cần chứng minh x  l Theo bất đẳng thức Minkovski ta có:    xk     xk  xn k  xn k   k 1   k 1         xk  xn k  k 1 0    2 2    x 2   n k    k 1  1   2    xk  xn k     xn k     k 1   k 1  0 nên 43 Viết lại toán dạng 5  u ''  au  au  1,  x  1, a  const  2  u    u 1   Ta có trình lặp sau 1 u ''m1  aum5  auk5  2 (2.41) với um1    um1 1  uk 1    uk 1 1  0, m, k  0,1,2 u0  x   x  x  1 Chia đoạn  0;1 thành 10 đoạn nhỏ điểm chia  x0  x1  x2   x10    Xét lưới h  ih | h  0,1; i  0,10 Lúc ta có xi  ih, ui  u  xi   u  ih  Khai triển Taylor với u  xi  h  u  xi  h  ta có u '  xi  u ''  xi  h h  o  h2 , 1! 2! u '  xi  u ''  xi  ui 1  u  xi  h   u  xi   h h  o  h  1! 2!  u ''  xi   u  xi  h   2u  xi   u  xi  h   h ui 1  u  xi  h   u  xi   Kết hợp với (2.41) ta có lược đồ sai phân 1  um1  i  1 h   2um1  ih   um1  i  1 h   h  aum5  ih   auk5  ih   1 2  (2.42) Với h  0,1, i  1,9, m, k  0,1,2 44 Đặt  2  2   2  A   0 0  0 0  0 0  u1  u  0 0  2   u3  0 0     , u    u7  2     2   u8  u9  2  99 0  b1  b   2 b3    1  b    ; bi  h  aum5  ih   auk5  ih   1 , i  1,9 2  b7    b8  b9  Lược đồ sai phân (2.42) trở thành hệ đại số tuyến tính Au  b Quá trình lặp (2.24) diễn sau: + Lần theo k Với k  , từ xấp xỉ ban đầu u0  x   x  x  1 tính giá trị mắt lưới u0,5 k  ih  , i  1,9 - Với m  : Bước 1: Ta tính giá trị mắt lưới u0,5 m  ih  , i  1,9 theo xấp xỉ u0  x   x  x  1 Bước 2: Kết hợp mắt lưới u0,5 m  ih  , i  1,9 vừa tìm với mắt lưới u0,5 k  ih  , i  1,9 tương ứng ta tìm giá trị bi : 45 1  bi  h  au0,5 m  ih   au0,5 k  ih   1 , i  1,9 2  Bước 3: Thay giá trị bi vào hệ phương trình đại số tuyến tính Au  b tìm nghiệm ui - Với m  : Bước 1: Thay giá trị mắt lưới u1,5 m  ih   ui5 , i  1,9 ( ui giá trị tìm trường hợp m  ) Bước 2: Ta tìm giá trị bi theo công thức: 1  bi  h2  au1,5 m  ih   au0,5 k  ih   1 , i  1,9 2  Bước 3: Thay giá trị bi vào hệ phương trình đại số tuyến tính Au  b tìm nghiệm ui - Với m  2,3 p : Quy trình thực tương tự với m  + Lần theo k Với k  , tính giá trị mắt lưới u1,5 k  ih   ui5 , i  1,9 với ui tìm trường hợp k  0, m  p - Với m  : Bước 1: Ta tính giá trị mắt lưới u0,5 m  ih  , i  1,9 với u0,5 m  ih   ui5 , i  1,9 với ui tìm trường hợp k  0, m  p Bước 2: Kết hợp mắt lưới u0,5 m  ih  , i  1,9 vừa tìm với mắt lưới u1,5 k  ih  , i  1,9 tương ứng ta tìm giá trị bi : 1  bi  h2  au0,5 m  ih   au1,5 k  ih   1 , i  1,9 2  Bước 3: Thay giá trị bi vào hệ phương trình đại số tuyến tính Au  b tìm nghiệm ui 46 - Với m  : Bước 1: Thay giá trị mắt lưới u1,5 m  ih   ui5 , i  1,9 ( ui giá trị tìm trường hợp m  0, k  1) Bước 2: Ta tìm giá trị bi theo công thức: 1  bi  h2  au1,5 m  ih   au1,5 k  ih   1 , i  1,9 2  Bước 3: Thay giá trị bi vào hệ phương trình đại số tuyến tính Au  b tìm nghiệm ui - Với m  2,3 p : Quy trình thực tương tự với m  + Lần 3,4 q theo k thực lần theo k Với trình lặp diễn ( p lần theo m q lần theo k ) ta tìm xấp xỉ giá trị nghiệm toán biên phi tuyến mắt lưới  Áp dụng trình lặp giải toán biên với a  800 u ''m1  400um5  400uk5  1, với um1    um1 1  uk 1    uk 1 1  0, m, k  0,1,2 u0  x   x  x  1 Ta có sai phân tương ứng là: um1  i  1 h   2um1  ih   um1 i  1 h   h 400um5 ih   400uk5 ih   1 , trị bi xác định công thức 1  bi  h  aum5  ih   auk5  ih   1 2  Với h  0,1, i  1,9 ta có giá trị xấp xỉ mắt lưới nghiệm sau lần lặp ( lần theo m lần theo k ) sau: 47 + ( Lần theo k lần theo m ): u1  0.04477820518 u2  0.07955713947 u3  0.1043490016 u4  0.1191911337 u5  0.1241311442 u6  0.1191911337 u7  0.1043490016 u8  0.07955713947 u9  0.04477820518 + ( Lần theo k lần theo m ): u1  0.044781881741 u2  0.07956435507 u3  0.104356440 u4  0.1192044338 u5  0.1241454736 u6  0.1192044338 u7  0.1043596440 u8  0.07956435507 u9  0.04478181741 + ( Lần theo k lần theo m ): u1  0.04478175884 u2  0.07956423807 u3  0.1043594714 u4  0.1192042180 u5  0.1241452411 u6  0.1192042180 u7  0.1043594741 u8  0.07956423807 u9  0.04478175884 48 Chương Ứng dụng phần mềm toán học vào giải số số phương trình toán tử với toán tử đơn điệu không gian l Trong chương này, ta sử dụng phần mềm Maple để chạy thuật toán giải phương trình toán tử với toán tử đơn điệu không gian l Ví dụ 3.1 Cho toán tử A tác dụng không gian l xác định sau:  1 x   x1 , x1 , , xi ,   l , xi  0;   2 Ax   x13 , x23 , , xi3 ,  Giải phương trình 1 1  x  Ax  f với f   , , , ,   l i  2 Giải: + Ta chứng minh toán tử A toán tử đơn điệu, ta có  1 x   x1 , x2 , , xi ,  , y   y1 , y2 , , yi ,   l ; xi , yi  0;   2   Ax  Ay, x  y     x i 1  i  yi3   xi  yi     xi  yi   xi2  xi yi  yi2   i 1 Vậy toán tử A toán tử đơn điệu miền xác định D  A  l + Ta chứng minh toán tử A toán tử liên tục Lipschitz, ta có  1 x   x1 , x2 , , xi ,  , y   y1 , y2 , , yi ,   l ; xi , yi  0;   2 49 Ax  Ay     xi3  y  i 1   i    1   2 2     xi  yi   xi2  xi yi  yi2       xi  yi   xi  yi    i 1   i 1   1.   xi  yi    i 1   x  y  2 Vây toán tử A toán tử liên tục Lipschitz với số Lipschitz L  Vì toán tử A tác dụng không gian l đơn điệu liên tục Lipschitz nên theo định lý (2.2.1) phương trình 1 1  x  Ax  f với f   , , , ,   l có i  2  1 nghiệm x   x1 , x2 , , xi ,   l ; xi  0;  Mặt khác số Lipschitz  2 L  nên ta chon N  đặt   , phương trình cho viết dạng  x , x , , x ,    x , x , , x ,    x , x , , x ,    2 i 3 2 i 3 i 1  , , ,  i  2 Áp dụng công thức lặp (2.24) ta có trình lặp: x  i m 1 1   A  xi m  A  xi n  f , với m, n  0,1,2,3 2 Ta thực trình lặp sau: + Bước 1: Ta lấy xấp xỉ ban đầu x  i, 01 1   , áp dụng trình lặp  i i 2, cho m chạy từ  ta có dãy x  i   1   A x  A xi   i m 1 m 2 01    f , với  xi 0  xi 01 50   Giả sử dãy  xi m1 hội tụ đến phần tử xi 02   xi 4 + Bước 2: Ta dựng trình lặp x  i   1   A x  A xi   i m 1 m 2 02    f , với  xi 0  xi 02 Áp dụng trình lặp cho m chạy từ  , giả sử dãy  xi m1 hội tụ đến   phần tử xi 03   xi 4 + Bước 3: Ta dựng trình lặp x  i   1   A x  A xi   i m 1 m 2 03    f , với  xi 0  xi 03 Áp dụng trình lặp cho m chạy từ  , giả sử dãy  xi m1 hội tụ đến   phần tử xi 04   xi 4 + Bước 4: Ta dựng trình lặp x  i m 1   1   A  xi m  A xi 2 04    f , với  xi 0  xi 04 Áp dụng trình lặp cho m chạy từ  , giả sử dãy  xi m1 hội tụ đến   phần tử xi 05   xi 4 Sau 16 lần lặp (4 lần theo m lần theo n ) ta thu nghiệm xấp xỉ   phương trình là: x  xi   Ta tìm x  xi 05 sai số thuật toán Maple sau [>x[m][1]:=a[m,i][1]: x[n][1]:=c[m,i][1]: f:=1/i: x[0][1]:=1/i; for m from to if m=0 then a[m,i][1]:=x[0][1]; 05 51 c[n,i][1]:=x[0][1]; a[m+1,i][1]:=evalf(eval(-(1/2)*x[0][1] ^ 3-(1/2)*c[n,i][1] ^ 3+(1/i),i=2),3); else a[m+1,i][1]:=evalf(eval(-(1/2)*a[m,i][1] ^ 3-(1/2)*c[n,i][1] ^ 3+(1/i),i=2),3); fi; od; [>x[m][2]:=a[m,i][2]: x[n][2]:=c[m,i][2]: x[0][2]:=x[m][1]: for m from to if m=0 then a[m,i][2]:=x[0][2]; c[n,i][2]:=x[0][2]; a[m+1,i][2]:=evalf(eval(-(1/2)*x[0][2] ^ 3-(1/2)*c[n,i][2] ^ 3+(1/i),i=2),3); else a[m+1,i][2]:=evalf(eval(-(1/2)*a[m,i][2] ^ 3-(1/2)*c[n,i][2] ^ 3+(1/i),i=2),3); fi; od; [>x[m][3]:=a[m,i][3]: x[n][3]:=c[m,i][3]: x[0][3]:=x[m][2]: for m from to if m=0 then a[m,i][3]:=x[0][3]; c[n,i][3]:=x[0][3]; a[m+1,i][3]:=evalf(eval(-(1/2)*x[0][3] ^ 3-(1/2)*c[n,i][3] ^ 3+(1/i),i=2),3); else a[m+1,i][3]:=evalf(eval(-(1/2)*a[m,i][3] ^ 3-(1/2)*c[n,i][3] ^ 3+(1/i),i=2),3; fi; 52 od; [>x[m][4]:=a[m,i][4]: x[n][4]:=c[m,i][4]: x[0][4]:=x[m][3]: for m from to if m=0 then a[m,i][4]:=x[0][4]; c[n,i][4]:=x[0][4]; a[m+1,i][4]:=evalf(eval(-(1/2)*x[0][4] ^ 3-(1/2)*c[n,i][4] ^ 3+(1/i),i=2),3); else a[m+1,i][4]:=evalf(eval(-(1/2)*a[m,i][4] ^ 3-(1/2)*c[n,i][4] ^ 3+(1/i),i=2),3); fi; od; [>x[m][1]:=a[m,i][1]: x[n][1]:=c[m,i][1]: f:=1/i: x[0][1]:=1/i; for m from to if m=0 then a[m,i][1]:=x[0][1]; c[n,i][1]:=x[0][1]; a[m+1,i][1]:=evalf(eval(-(1/2)*x[0][1] ^ 3-(1/2)*c[n,i][1] ^ 3+(1/i),i=3),3); else a[m+1,i][1]:=evalf(eval(-(1/2)*a[m,i][1] ^ 3-(1/2)*c[n,i][1] ^ 3+(1/i),i=3),3); fi; od; [>x[m][2]:=a[m,i][2]: x[n][2]:=c[m,i][2]: x[0][2]:=x[m][1]: for m from to if m=0 then 53 a[m,i][2]:=x[0][2]; c[n,i][2]:=x[0][2]; a[m+1,i][2]:=evalf(eval(-(1/2)*x[0][2] ^ 3-(1/2)*c[n,i][2] ^ 3+(1/i),i=3),3); else a[m+1,i][2]:=evalf(eval(-(1/2)*a[m,i][2] ^ 3-(1/2)*c[n,i][2] ^ 3+(1/i),i=3),3); fi; od; [>x[m][3]:=a[m,i][3]: x[n][3]:=c[m,i][3]: x[0][3]:=x[m][2]: for m from to if m=0 then a[m,i][3]:=x[0][3]; c[n,i][3]:=x[0][3]; a[m+1,i][3]:=evalf(eval(-(1/2)*x[0][3] ^ 3-(1/2)*c[n,i][3] ^ 3+(1/i),i=3),3); else a[m+1,i][3]:=evalf(eval(-(1/2)*a[m,i][3] ^ 3-(1/2)*c[n,i][3] ^ 3+(1/i),i=3),3; fi; od; [>x[m][4]:=a[m,i][4]: x[n][4]:=c[m,i][4]: x[0][4]:=x[m][3]: for m from to if m=0 then a[m,i][4]:=x[0][4]; c[n,i][4]:=x[0][4]; a[m+1,i][4]:=evalf(eval(-(1/2)*x[0][4] ^ 3-(1/2)*c[n,i][4] ^ 3+(1/i),i=3),3); else a[m+1,i][4]:=evalf(eval(-(1/2)*a[m,i][4] ^ 3-(1/2)*c[n,i][4] ^ 3+(1/i),i=3),3); fi; od; 54 [>x[m][1]:=a[m,i][1]: x[n][1]:=c[m,i][1]: f:=1/i: x[0][1]:=1/i; c[n,i][1]:=x[0][1]; a[m+1,i][1]:=evalf(eval(-(1/2)*x[0][1] ^ 3-(1/2)*c[n,i][1] ^ 3+(1/i),i=4),3); else a[m+1,i][1]:=evalf(eval(-(1/2)*a[m,i][1] ^ 3-(1/2)*c[n,i][1] ^ 3+(1/i),i=4),3); fi; od; [>x[m][2]:=a[m,i][2]: x[n][2]:=c[m,i][2]: x[0][2]:=x[m][1]: for m from to if m=0 then a[m,i][2]:=x[0][2]; c[n,i][2]:=x[0][2]; a[m+1,i][2]:=evalf(eval(-(1/2)*x[0][2] ^ 3-(1/2)*c[n,i][2] ^ 3+(1/i),i=4),3); else a[m+1,i][3]:=evalf(eval(-(1/2)*x[0][3] ^ 3-(1/2)*c[n,i][3] ^ 3+(1/i),i=4),3); else for m from to if m=0 then a[m,i][4]:=x[0][1]; c[n,i][4]:=x[0][1]; a[m+1,i][4]:=evalf(eval(-(1/2)*x[0][1] ^ 3-(1/2)*c[n,i][1] ^ 3+(1/i),i=4),3); else a[m+1,i][4]:=evalf(eval(-(1/2)*a[m,i][1] ^ 3-(1/2)*c[n,i][1] ^ 3+(1/i),i=4),3); fi; od; 55 saiso:=(1/2)*((1/2)^15/(1-1/2)*sqrt(sum((1/i)^2,i=2 inf inity))+((1/2)^15 /(1-1/2)*sqrt(sum((1/i)^2,i=2 inf inity)); Kết chạy thuật toán + Bước 1: x   0.236,0.405,0.301,  + Bước 2: x   0.230,0.447,0.288,  + Bước 3: x   0.231,0.461,0.275,  + Bước 4: x   0.233,0.448,0.274,  q n 1 q n 1 saiso  q  n   2  n   q f 2 f 1 q 1 q 15 15 1 1 2       2 2 1 1          i 2  i  i 2  i  1 2  6  36  0.000024477 196608 56 KẾT LUẬN Luận văn sâu vào nghiên cứu giải xấp xỉ phương trình toán tử với toán tử đơn điệu phương pháp thác triển theo tham số không gian Hilbert l , đồng thời nghiên cứu việc áp dụng phần mềm Maple vào tìm nghiệm xấp xỉ phương trình toán tử đơn điệu loại không gian l Với phạm vi luận văn thời gian có hạn, nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận bảo, góp ý thầy cô bạn đọc để vấn đề nghiên cứu hoàn thiện luận văn trở thành tài liệu hữu ích 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Minh Chương , Ya.D.Mamedov , Khuất Văn Ninh, (1992) , Giải xấp xỉ phương trình toán tử, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật [2] Nguyễn Minh Chương, Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường, (2001), Giải tích số, Nhà xuất giáo dục [3] Nguyễn Phụ Hy, (2006), Giải tích hàm, Nhà xuất khoa học Kỹ thuật Hà Nội [4] Hoàng Tụy, (2003), Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội [5] Gajewski H., Groger K., Zacharias K., (1978) ,Phương trình toán tử phi tuyến phương trình toán tử vi phân, NXB “Mir” Moskva (Bản Tiếng Nga) [6] Gaponenco Yu.L., (1986) Phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình toán tử loại hai với toán tử đơn điệu liên tục Lípschitz, Toán học tính toán Vật lý toán, T.26, N.8 (Bản Tiếng Nga) [7] Vainberg M.M., (1972) ,Phương pháp biến phân phương pháp toán tử đơn điệu, NXB “ Nauka” Moskva (Bản Tiếng Nga)