BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ PHƢƠNG TRÌNH TRÊN MÁY TÍNH ĐIỆN TỬ Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Hùng HÀ NỘI, 2013 LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hùng, người định hướng chọn đề tài tận tình giúp đỡ để hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 12 năm 2013 Tác giả Lê Thị Thu Thuỷ LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hùng luận văn thạc sỹ chuyên ngành toán giải tích với đề tài: “Giải gần số phƣơng trình máy tính điện tử” , kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 12 năm 2013 Tác giả Lê Thị Thu Thuỷ MỤC LỤC 1MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Dự kiến đóng góp đề tài Chƣơng MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các khái niệm số gần sai số 1.1.1 Khái niệm số gần 1.1.2 Sai số tính toán 1.1.3 Sai số ngẫu nhiên ình vi phân Chƣơng GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ PHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ PHƢƠNG TRÌNH SIÊU VIỆT TRÊN MÁY TÍNH CASIO FX- 570ES 11 2.1 Một số phương pháp tìm nghiệm gần phương trình đại số phương trình siêu việt 11 2.1.1 Phương pháp chia đôi 12 2.1.2 Phương pháp lặp 14 2.1.3 Phương pháp dây cung 17 2.1.4 Phương pháp tiếp tuyến (Phương pháp Newton-Raphson) 21 2.2 Tìm nghiệm gần số phương trình máy tính Casio fx- 570 ES 24 Chƣơng GIẢI GẦN ĐÚNG NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CAUCHY CHO PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN THƢỜNG TRÊN MÁY TÍNH CASIO FX 570- ES VÀ TRÊN MÁY VI TÍNH 39 3.1 Một số phương pháp 39 3.1.1 Phương pháp Euler 39 3.1.2 Phương pháp Euler cải tiến 43 3.1.3 Phương pháp Runge- Kutta 44 3.2 Giải toán Cauchy cho phương trình vi phân thường máy tính Casio fx- 570ES máy vi tính 50 KẾT LUẬN 62 TÀI LIỆU THAM KHẢO 63 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Phương trình vi phân phương g , , kinh tế toán thực tế (trong thiên văn, đo đạc ruộng đất,…), việc giải phương trình phức tạp, khó đưa phương trình phép biến đổi đại số Hơn nữa, công thức nghiệm phương trình phi tuyến phương trình vi phân thường phức tạp, cồng kềnh, nên cho dù có công thức nghiệm, việc khảo sát tính chất nghiệm qua công thức gặp nhiều khó khăn.Vì vậy, từ thời Archimedes, phương pháp giải gần xây dựng, nhiều phương pháp (phương pháp Newton-Raphson giải gần phương trình phi tuyến, phương pháp Euler phương pháp RungeKutta giải phương trình vi phân) trở thành kinh điển sử dụng rộng dãi thực tế Với phát triển tin học, phương pháp giải gần lại có ý nghĩa thực tế Để giải phương trình tay giấy, có phải hàng ngày với sai sót dễ sảy ra, với máy tính điện tử, chí với máy tính điện tử bỏ túi, cần vài phút giải với độ xác cao Tuy nhiên, việc thực tính toán toán học máy cách dễ dàng đòi hỏi người sử dụng có hiểu biết sâu sắc lý thuyết toán học Mặt khác, nhiều vấn đề lý thuyết (sự hội tụ, tốc độ hội tụ, độ xác, độ phức tạp tính toán,…) soi sáng thực hành tính toán cụ thể Vì vậy, việc sử dụng thành thạo công cụ tính toán cần thiết cho học sinh, sinh viên Công cụ tính toán hỗ trợ đắc lực cho việc tiếp thu kiến thức lý thuyết, giảng dạy lý thuyết gắn với thực hành tính toán, giúp học sinh, sinh viên không tiếp thu tốt kiến thức khoa học, mà tiếp cận tốt với phương pháp công cụ tính toán đại Với mục đích minh họa khả sử dụng máy tính điện tử giảng dạy học môn Giải tích số, chọn đề tài: “Giải gần số phương trình máy tính điện tử” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu vấn đề việc sử dụng máy tính Casio fx- 570 ES máy vi tính để tìm nghiệm gần phương trình đại số, phương trình siêu việt phương trình vi phân Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu vấn đề việc sử dụng máy tính Casio fx- 570 ES máy vi tính để tìm nghiệm gần phương trình đại số, phương trình siêu việt phương trình vi phân m vi nghiên cứu Các phương pháp tìm nghiệm gần phương trình đại số, phương trình siêu việt vi phân thường máy tính Casio fx- 570 ES máy vi tính Phƣơng pháp nghiên cứu Phương pháp giải gần giải tích số Phương pháp giải phương trình vi phân phương trình phi tuyến Dự kiến đóng góp đề tài Hệ thống số phương pháp tìm nghiệm gần phương trình đại số, phương trình siêu việt phương trình vi phân máy tính Casio fx570 ES máy vi tính Chƣơng MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các khái niệm số gần sai số 1.1.1 Khái niệm số gần 1.1.1.1 Sai số tuyệt đối, sai số tương đối Trong tính toán, ta thường phải làm việc với giá trị gần đại lượng Ta nói a số gần a * , a không sai khác a * nhiều đại lượng gọi sai số thực a Do a * : a a* nên ta Tuy nhiên, ta tìm a , gọi sai số tuyệt đối a , thỏa mãn điều kiện: a a* (1.1) a Hay a a Đương nhiên, a a* a thỏa mãn điều kiện (1.1) a |a| nhỏ tốt Sai số tương đối a a Ví dụ Đo độ dài hai đoạn thẳng AB , CD ta a 10cm b 1cm với a b 0,01 Khi ta có a 0,01 0,1% Còn 10 b 0,01 1% hay b 10 a Hiển nhiên phép đo a xác hẳn phép đo b a b Như vậy, độ xác phép đo phản ánh qua sai số tương đối 1.1.1.2 Sai số thu gọn Một số thập phân a có dạng tổng quát sau: a ( p10 p 10 p p Trong i (i p s 10 p s ) p 1, p s ) ; p s a số nguyên; p s p số nguyên m(m 0) a có phần lẻ gồm m chữ số Nếu s , a số thập phân vô hạn Thu gọn số a vứt bỏ số chữ số bên phải a để số a ngắn gọn gần với a Quy tắc thu gọn: Giả sử a p 10 p i 10i p s 10 p s Và ta giữ lại đến số hạng thư j Gọi phân vứt bỏ a p 10 p 10 j j j , ta đặt 10 j Trong đó: j : j j Nếu : 0,5 10 j 10 j 0,5 10 j j 0,5 10 j j j j chẵn j toán với số chẵn tiện Sai số thu gọn a số thỏa mãn điều kiện: |a a| a Vì a p 10 p j 10 j 10 p j , Còn a p 10 j j 10 j Nên |a a | |( j j )10 j | 0.5.10 j Sau thu gọn, sai số tuyệt đối tăng lên | a* a | | a* a | | a a | a a 1.1.2 Sai số tính toán Trong tính toán ta thường gặp loại sai số sau: i , Sai số giả thiết ii , Sai số phương pháp j j lẻ tính iii , Sai số số liệu iv, Sai số tính toán Các số vốn có sai số, thêm sai số thu gọn nên tính toán xuất sai số tính toán Giả sử phải tìm đại lượng y theo công thức: y f ( x1, x2 , , xn ) Gọi x*i , y* (i 1, n ) xi , y (i 1, n) giá trị gần đối số hàm số Nếu f khả vi liên tục |y y* | | f ( x1, , xn ) f ( x*1, , x*n ) | n | f 'i || xi x*i | i Trong f i' đạo hàm f f tính điểm trung gian Do liên tục xi xi xi bé ta coi y | f 'i ( x1 , , xn ) | xi , Do y n y | y| | i xi ln f | xi Sau sai số phép tính 1.1.2.1 Sai số phép tính cộng trừ Vì n y xi ; i Nên n y xi i Giả sử y xi 49 hình thang ẩn, công thức điểm ẩn công thức Runge-Kutta kinh điển cấp bốn tương ứng sau: Trong công thức hình thang ẩn: yn yn h f ( xn , yn ) f ( xn , yn ) ta thay giá trị yn vế phải công thức Euler tiến: yn yn hf ( xn , yn ) Khi ta công thức: yn yn h f ( xn , yn ) f ( xn , y n ) Công thức gọi phương pháp hình thang hiển(explicit trapezoidal method) h ) theo phương pháp Euler Bằng cách sử dụng xấp xỉ bậc y ( xn tiến: y n h f ( xn , yn ) yn thay vào công thức phương pháp điểm ẩn yn yn h f ( xn h , y ( xn h ) Ta nhận phương pháp điểm hiển (explicit midpoint method): yn yn h f ( xn h , yn ) 2 Từ phương pháp Runge-Kutta ẩn cấp bốn kinh điển yn yn h f ( xn , yn ) f ( xn h , y ( xn h )) f ( xn , yn ) k4 ), n 0,1,2,3 (3.9) ta có công thức Runge-Kutta ẩn cấp bốn kinh điển sau: yn yn h (k1 2k 2 k3 50 Trong đó: k1 f ( xn , yn ) ; k2 f ( xn h , yn hk1 ); k3 f ( xn h , yn hk2 ); k4 f ( xn , yn (3.10) hk3 ) Như vậy, để tính yn theo công thức Runge-Kutta hiển, ta cần tính hệ số ki , i 1,2,3,4 theo giá trị hàm số f ( x, y ) điểm trước 3.2 Giải toán Cauchy cho phƣơng trình vi phân thƣờng máy tính Casio fx- 570ES máy vi tính Dưới trình bày cách giải toán Cauchy cho phương trình vi phân phương pháp Euler, Euler cải tiến phương pháp Runge-Kutta với bước nội suy khác máy tính khoa học casio fx 570 ES Maple Ví dụ 1: Sử dụng phương pháp Euler, phương pháp Euler cải tiến phương pháp Runge-Kutta với độ dài bước h 0,01 để tìm xấp xỉ nghiệm phương dx dy trình x y thỏa mãn điều kiện ban đầu y (0) đoạn 0,1 Phƣơng pháp Euler Khai báo công thức: yn h f ( xn 1, yn 1) yn yn Với h 0,01 Ta có yn h f ( xn 1, yn 1) 0,01 f ( xn 1, yn 1) yn Thực phép lặp (3.11) casio fx 570 ES Khai báo công thức (3.11) 51 0,01 ALPHA Y x ) ( ALPHA X ALPHA Y Dùng CALC để tính giá trị yn : CALC Máy hỏi: X ? Khai báo x0 : Bấm phím Máy hỏi: Y ? Khai báo y0 1: Bấm phím (kết quả: 0,99 ) Đưa kết vào ô nhớ Y : SHIFT STO Y Trở công thức (3.11) : Bấm phím Quy trình: Tính tiếp: CALC Máy hỏi: X ? Khai báo x1 0,1 : Bấm phím 0,1 Máy hỏi: Y ? Bấm phím ( y1 0,99 có sẵn ổ nhớ Y nên không cần khai báo lại) Kết hình 0,980299 Đưa kết vào ô nhớ Y : SHIFT STO Y Trở công thức: Bấm phím Lặp lại quy trình với thay đổi máy hỏi X? ta khai báo giá trị tiếp theo: 0,2 ; 0,3 ; 0,4 ;…;1,0 ta bảng giá trị bảng sau: n xn yn n xn yn 0,99 0,5 0,9443325712 0,1 0,980299 0,6 0,9360149312 0,2 0,9708891387 0,7 0,9279536917 0,3 0,9617628815 0,8 0,9201427112 0,4 0,9529130031 10 0,9 0,9125760851 52 Thực phép lặp (3.11) Maple Trong Maple, để tìm giá trị yi theo công thức lặp ta sử dụng mặc định (option) nhớ (remember) Mặc định Maple cho phép nhớ giá trị cũ để tính yn , mà không cần tính lại giá trị yn Trước tiên ta khởi động chương trình Maple nhờ lệnh restart: restart; Khai báo hàm f: f:=(x,y)->x-y^2; f : ( x, y ) x y2 Khai báo bước nội suy h 0,01 : h:=0.01; h : 01 Khai báo cách tính giá trị xn xn h (với x0 ): x:=n->n*h; x: n nh Khai báo thủ tục tính yn theo mặc định remember (nhớ): y:=proc(n) option remember; y(n-1)+h*f(x(n-1),y(n-1)); end; y := proc (n) option remember; y(n-1)+h*f(x(n-1),y(n-1)) end Khai báo giá trị ban đầu y: y(0):=1; y (0) : 53 Khai báo lệnh seq (sắp xếp theo dãy) để xếp giá trị y1, y2 , , y10 seq(y(i),i=1 10); 99, 980299, 9708891387, 9617628815, 9529130031, 9443325712, 9360149312, 9279536917, 9201427112, 9125760851 Ta thấy kết hoàn toàn trùng lặp với kết tính máy tính khoa học casio fx 570 ES Để so sánh kết với nghiệm xác, ta dùng lệnh dsolve(giải phương trình vi phân) để tìm nghiệm xác sau: Vào gói công cụ DEtools (công cụ Phương trình vi phân): with(DEtools): Tìm nghiệm phương trình vi phân nhờ lệnh dsolve kí hiệu nghiệm Sol: Sol:=dsolve({diff(Y(X),X)=X-Y(X)^2,Y(0)=1},Y(X)); X 3 33 BesselK 2 Sol : Y ( X ) 3 36 33 BesselK Ta thấy rằng, phương trình vi phân 2 , X 3 36 BesselI 2 , X 3 dx dy x Ấn định công thức nghiệm nhờ lệnh assign: BesselI , X 3 y hoàn toàn không dễ giải: nghiệm biểu diễn thông qua hàm đặc biệt Bessel assign(Sol); 2 , X 3 54 Dùng lệnh array(lập mảng) để tạo bảng nhằm so sánh giá trị gần đúng(tính theo công thức Euler) giá trị nghiệm(tính theo công thức nghiệm): array([seq([n,y(n),evalf(subs(X=n/10,Y(X)))],n=1 10)]); 10 99 980299 9708891387 9617628815 9529130031 9443325712 9360149312 9279536917 9201427112 9125760851 9137943302 8511912400 8076216241 7798073136 7652805920 7620921536 7686288190 7834988776 8054611496 8333833920 Trong bảng này, cột thứ số bước lặp, số cột thứ hai tương ứng giá trị xấp xỉ, số cột thứ ba giá trị theo công thức Ta thấy kết tính toán theo công thức Euler có sai số lớn so với nghiệm xác Phƣơng Euler cải tiến Trên máy tính khoa học Casio fx-570 ES Khai báo công thức yn yn 1 h.( f ( xn 1, yn ) yn 0,005( xn f ( xn , yn h f ( xn 1, yn 1))) xn 0,01( xn Hay yn với h 0,01 yn2 1 h 0,005 : ( yn yn2 )) ) (3.12) 55 ALPHA Y 0,005 ( ALPHA X ALPHA Y y 0,01 ( ALPHA X ( ALPHA Y ALPHA A ALPHA Y y ) ) x ) ALPHA STO Y (Trong công thức ta sử dụng ô X để lưu xn , ô Y để lưu yn A cho xn ) Bấm phím CALC (calculate-hãy tính) để tính giá trị yn Máy hỏi: X? Khai báo x0 : Bấm phím Máy hỏi: Y? Khai báo y0 1: Bấm phím Máy hỏi: A? Khai báo x1 0,1 : Bấm phím 0,1 Kết hình: 0,9901495000 tức y1 y0 0,005( x0 y02 x1 ( y0 0,01( x0 y02 )) ) Đưa kết y1 0,9901495000 vào ô nhớ Y : SHIFT STO Y Trở công thức (3.12) : bấm phím Tính tiếp: CALC Máy hỏi: X? Khai báo x1 0,1 : Bấm phím 0,1 Máy hỏi: Y? Bấm phím không cần khai báo lại) Máy hỏi: A? Bấm phím 0,2 ( y1 0,9901495000 ô nhớ Y nên 56 Lặp lại quy trình với thay đổi máy hỏi X? (A?) khai báo giá trị tiếp theo: 0,1 (0,2); 0,2 (0,3); 0,3 (0,4); 0,4 (0,5);…;0,9 (1,0) ta bảng giá trị (trùng với kết Maple đến chữ số cuối cùng) n xn yn n xn yn 0,9901495000 0,5 0,9451335698 0,1 0,9805911526 0,6 0,9369292038 0,2 0,9713174477 0,7 0,9289762027 0,3 0,9623211804 0,8 0,9212686668 0,4 0,9535954349 10 0,9 0,9138009194 Tính toán Maple Khởi động chương trình: restart; Khai báo hàm f: f:=(x,y)->x-y^2; f : ( x, y ) x y2 Khai báo bước nội suy h 0,01 : h:=0.01; h : 01 Khai báo công thức tính xn x0 nh : với: x:=n->n*h; x: n nh Khai báo thủ tục tính giá trị yn theo công thức Euler cải tiến: y:=proc(n) option remember; y(n-1)+h/2*(f(x(n-1),y(n-1))+f(x(n),y(n-1)+h*f(x(n-1),y(n-1)))); 57 end; y := proc (n) option remember; y(n-1)+1/2*h*(f(x(n-1),y(n-1))+f(x(n),y(n1)+h*f(x(n-1),y(n-1)))) end Khai báo giá trị ban đầu y: y(0):=1; y (0) : Khai báo lệnh seq (sắp xếp theo dãy) để xếp giá trị y1, y2 , , y10 seq(y(i),i=1 10); 9901495000, 9805911526, 9713174477, 9623211804, 9535954349, 9451335698, 9369292038, 9289762027, 9212686668, 9138009194 Vào gói công cụ phương trình vi phân DEtools: with(DEtools): Tìm nghiệm phương trình vi phân nhờ lệnh dsolve: Sol:=dsolve({diff(Z(X),X)=X-Z(X)^2,Z(0)=1},Z(X)); X 3 33 BesselK 2 Sol : Z ( X ) 3 36 33 BesselK 36 2 , X 3 BesselI 2 , X 3 2 , X 3 BesselI , X 3 Ấn định công thức nghiệm: assign(Sol); Lập mảng để só sánh giá trị gần đúng(tính theo công thức Euler) giá trị nghiệm(tính theo công thức nghiệm): 58 array([seq([n,y(n),evalf(subs(X=n/10,Z(X)))],n=1 10)]); 10 9901495000 9805911526 8511912400 9623211804 9535954349 9451335698 9369292038 9289762027 9212686668 9138009194 9137943302 8511912400 8076216241 7798073136 7652805920 7620921536 1156598536 7834988776 8054611496 8333833920 Kết tính toán Casio fx-570 ES hoàn toàn trùng khớp với kết tính toán Maple Phƣơng pháp Runge-Kutta cấp bốn Ta có f ( x, y ) x y , x0 0, y0 Áp dụng công thức (3.9) - (3.10) ta : xn yn2 k1 f ( xn 1, yn ) k2 f ( xn h , yn hk1 ) ( xn 0,01 ) ( yn 0,01k1 ) k3 f ( xn h , yn hk2 ) ( xn 0,01 ) ( yn 0,01k2 ) k4 f ( xn 1, yn hk3 ) xn ( yn 0,01k3 )2 Và yn yn h k1 2k2 k3 Khởi động chương trình: k4 yn 0,01 k1 2k2 k3 k4 59 restart; Định nghĩa Yrk (tính y theo Runge-Kutta): yrk:= „yrk‟; yrk : yrk Khai báo hàm f: f:=(x,y)->x-y^2; f : ( x, y ) x y2 Khai báo bước nội suy h 0,01 : h:=0.01; h : 01 Khai báo công thức tính xn x0 nh : với: x:=n->n*h; x: n nh Khai báo thủ tục tính giá trị yn theo công thức Runge-Kutta cấp bốn: yrk:=proc(n) local k1,k2,k3,k4; option remember; k1:=f(x(n-1),yrk(n-1)); k2:=f(x(n-1)+h/2,yrk(n-1)+h*k1/2); k3:=f(x(n-1)+h/2,yrk(n-1)+h*k2/2); k4:=f(x(n),yrk(n-1)+h*k3); yrk(n-1)+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4) end; yrk := proc (n) local k1, k2, k3, k4; option remember; 60 k1 := f(x(n-1),yrk(n-1)); k2 := f(x(n-1)+1/2*h,yrk(n-1)+1/2*h*k1); k3 := f(x(n-1)+1/2*h,yrk(n-1)+1/2*h*k2); k4 := f(x(n),yrk(n-1)+h*k3); yrk(n-1)+1/6*h*(k1+2*k2+2*k3+k4) end Khai báo giá trị ban đầu y: yrk(0):=1; yrk (0) : Lập dãy giá trị y từ tới 10: seq(yrk(i),i=1 10); 9901486807, 9805895552, 9713151111, 9623181412, 9535917278, 9451292274, 9369242570, 9289706807, 9212625973, 9137943285 Vào gói công cụ phương trình vi phân DEtools: with(DEtools): Tìm nghiệm phương trình vi phân nhờ lệnh dsolve: Sol:=dsolve({diff(Y(X),X)=X-Y(X)^2,Y(0)=1},Y(X)); X Sol : Y ( X ) 36 Ấn định công thức nghiệm: assign(Sol); 3 BesselI 3 BesselI 3 2 , X 3 2 36 3 BesselK 2 , X 3 2 , X 3 BesselK , X 3 61 Lập mảng để so sánh giá trị gần đúng(tính theo công thức Runge-Kutta) giá trị nghiệm(tính theo công thức nghiệm): array([seq([n,yrk(n),evalf(subs(X=n/10,Y(X)))],n=1 10)]); 10 9901486807 9805895552 9713151111 9623181412 9535917278 9451292274 9369242570 9289706807 9212625973 9137943285 9137943295 8511912392 8076216236 7798073130 7652805915 7620921532 7686288187 7834988770 8054611493 8333833920 So sánh kết Runge-Kutta cấp bốn bảng với kết thực theo phương pháp Euler phương pháp Euler cải tiến, ta thấy cho kết xác điểm so với phương pháp Euler phương pháp Euler cải tiến 62 KẾT LUẬN Nội dung luận văn trình bày : Các phương pháp số giải phương trình đại số, phương trình siêu việt, phương pháp Euler cải tiến phương pháp Runge-Kutta giải toán giá trị ban đầu phương trình vi phân P trình siêu việt máy tính Casio fx-570 ES máy vi tính Chi tiết thao tác thực quy trình tính toán số toán máy tính điện tử khoa học Casio fx-570 ES chương trình Maple Ngoài theo phương pháp khác công cụ khác cho phép hình dung rõ kết lí thuyết (sự hội tụ, độ xác, tốc độ hội tụ, ), đồng thời cho thấy rõ điểm mạnh, điểm yếu phương pháp thực cụ thể máy tính 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Kì Anh: Giải tích số Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội 2001 [2] Nguyễn Minh Chương (Chủ biên), Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường: Giải tích số, Nhà xuất Giáo dục , Hà Nội 2001 [3].Tạ Văn Đĩnh: Phương pháp tính Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội 1999 [4] Doãn Tam Hòe: Toán học tính toán Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội 2005 [5] Tạ Duy Phượng: Giải tích số máy tính điện tử Bản thảo Bài giảng cao học [6] Tạ Duy Phượng: Phương pháp số giải phương trình vi phân thường Bản thảo giảng cao học [7] Vũ Tuấn, Đoàn Văn Ngọc: Phương trình vi phân, Nhà xuất Giáo dục 1996 [8] Stoer, R Bulirsch: Introduction to numerical Analysis, Springer, 2002, (Third Edition)