1 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn PGS TS Tạ Duy Phượng, Viện Toán học Với kính trọng lòng biết ơn sâu sắc, chân thành cảm ơn PGS TS Tạ Duy Phượng, người quan tâm, động viên tận tình hướng dẫn trình thực luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Sau Đại học, thầy giáo, cô giáo trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Nhân xin gửi lời cảm ơn tới Sở Giáo dục Đào tạo Điện Biên, Ban Giám hiệu trường Phổ thông Dân tộc Nội trú tỉnh Điện Biên, bạn đồng nghiệp tạo điều kiện, giúp đỡ mặt thời gian học tập nghiên cứu Và cuối cùng, xin cảm ơn tới gia đình, người thân động viên giúp đỡ nhiều trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2013 Tác giả Nguyễn Thị Thu Loan LỜI CAM ĐOAN Luận văn hoàn thành nhờ nỗ lực cố gắng nghiên cứu thân hướng dẫn nhiệt tình thầy giáo PGS TS Tạ Duy Phượng, Viện Toán học, hoàn thiện bổ sung sở nhận xét đánh giá góp ý thầy, cô giáo Hội đồng chấm Luận văn Thạc sĩ trao đổi bạn nhóm Trong trình nghiên cứu, kế thừa thành nhà khoa học với trân trọng biết ơn Tôi xin cam đoan số liệu, kết nghiên cứu luận văn trung thực, giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng năm 2013 Tác giả Nguyễn Thị Thu Loan MỤC LỤC Lời cảm ơn………………………………………………………………………… Lời cam đoan…………………………………………………………………….… Mục lục……………………………………………………………………… ……… Mở đầu………………………………………………………… ………………… Chương I Kiến thức ……… 1.1 Tập lồi………………………….…………………………………………….… 1.2 Bao lồi tập 10 1.3 Nón lồi 10 1.4 Nón sinh tập 11 1.5 Phần phần tương đối tập 11 1.6 Hàm lồi 11 1.7 Hàm tựa lồi 12 1.8 Hàm tựa lồi nửa ngặt 13 1.9 Hàm tựa lồi hiển 14 1.10 Hàm nửa liên tục nửa liên tục 14 Chương II Tính giảm toán tối ưu pareto 17 2.1 Quan hệ thứ tự tối ưu theo nón 17 2.2 Điểm hữu hiệu điểm hữu hiệu yếu tập 18 2.3 Tập  m  bất biến 20 2.4 Tập nón-tia 22 2.5 Bài toán tối ưu đa mục tiêu Pareto 34 2.6 Tính giảm toán tối ưu đa mục tiêu Pareto 35 Chương III Quan hệ toán tối ưu theo thứ tự từ điển tính giảm toán tối ưu pareto 41 3.1 Quan hệ nón theo thứ tự từ điển 41 3.3 Thứ tự từ điển…………………………………………….………… 45 3.3 Hàm tựa lồi theo thứ tự từ điển 46 3.4 Quan hệ tính giảm toán tối ưu theo thứ tự từ điển toán tối ưu Pareto 53 Kết luận 59 Tài liệu tham khảo 59 MỞ ĐẦU Cho hàm vectơ f :  n   m , f   f1 , , f m  , f ( x)   f1 ( x ), , f m ( x )  , x   n Xét toán tối ưu đa mục tiêu (Vector Optimization Problem-VOP): f ( x ) , D   n (P) xD Điểm x  D gọi điểm tối ưu Pareto toán (P) không tồn điểm x  D cho f i ( x)  f i ( x ) với i  1,2, , m tồn số i0 cho f i0 ( x)  fi0 ( x ) Rõ ràng, tồn điểm x  D thỏa mãn f i ( x)  f i ( x ) với i  1,2, , m tồn số i0 cho f i0 ( x )  fi0 ( x ), x  D tốt x  D (theo tiêu chuẩn min), x  D gọi tối ưu Điểm x  D gọi điểm tối ưu Pareto yếu toán (P) không tồn điểm x  D cho f i ( x )  f i ( x ) với i  1,2, , m Tập điểm tối ưu (tối ưu yếu) kí hiệu Min  D f  ( WMin  D f  ) Kí hiệu I m : 1,2, , m , I  I m ( I số phần tử I , I  m ) Xét toán tối ưu đa mục tiêu PI toán ban đầu, dạng f I ( x ) , xD   f I ( x )  f i1 , f i2 , , f iI , ik  1,2, , m Nghĩa là, toán ta bỏ bớt số mục tiêu toán ban đầu Thí dụ, toán ban đầu chọn học sinh học nước theo ba mục tiêu: Học giỏi, Đạo đức tốt, Sức khỏe tốt, toán là: Học giỏi Đạo đức tốt; Đạo đức tốt Sức khỏe tốt; Học giỏi Sức khỏe tốt (các toán tối ưu hai mục tiêu) Học giỏi; Đạo đức tốt; Sức khỏe tốt (các toán tối ưu mục tiêu) Ta có toán thú vị sau đây: Hãy quan hệ tập nghiệm toán tối ưu ban đầu (có m mục tiêu) với tập nghiệm toán Có hay không công thức biểu diễn tập nghiệm toán ban đầu qua tập nghiệm toán Nếu có, ta giải toán với số mục tiêu hơn, nói chung, dễ Từ dễ dàng khảo sát tập nghiệm toán ban đầu Bài toán lần Lowe, Thisse, Ward Wendell ([6], 1984) giải cho trường hợp hàm vectơ f tuyến tính lồi, Malivert Boisard ([7], 1994) cho trường hợp f tựa lồi chặt Các tác giả đưa công thức biểu diễn tập nghiệm yếu toán ban đầu qua tập nghiệm mạnh toán nó, tức WMin  D f    Min I  D f  (*)  I  I m Nếu có công thức theo Popovici ([8], 2005) , toán (VOP) gọi giảm (reducible) Các kết Malivert Boisard ([7], 1994) trình bày phân tích luận văn Hoàng Mai Hương ([1], 2005) Sun ([12], 1996) chứng minh công thức (*) cho lớp hàm vectơ tựa lồi chặt có thành phần tựa lồi mạnh Tạ Duy Phượng Mai Quang Tâm ([2], 1998) mở rộng kết Sun cho lớp toán với f hàm F  tựa lồi chặt Gần đây, N Popovici ([8]-[11], 2005-2008) đưa tiêu chuẩn giảm cho toán (VOP) với hàm f tổng quát với tiêu chuẩn tối ưu theo thứ tự từ điển Một số tính chất tập nghiệm (tính liên thông, tính co rút được,…) toán ban đầu nghiên cứu dựa công thức (*) biểu diễn tập nghiệm (xem, thí dụ, [2], [8], [9], [10], [11]) Luận văn có mục đích nghiên cứu tính giảm toán tối ưu đa mục tiêu, chủ yếu theo báo gần [8]-[11] N Popovici Mục đích nghiên cứu Luận văn có mục đích trình bày kết gần tính giảm toán tối ưu đa mục tiêu, chủ yếu dựa bốn báo N Popovici Luận văn gồm ba Chương Chương 1: Kiến thức Chương 2: Tính giảm toán tối ưu Pareto Chương 3: Quan hệ tính giảm toán tối ưu theo thứ tự từ điển toán tối ưu Pareto Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu, nghiên cứu trình bày kết tính giảm toán tối ưu đa mục tiêu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Tính giảm Bài toán tối ưu đa mục tiêu Phạm vi nghiên cứu: Các báo tài liệu liên quan đến toán tối ưu đa mục tiêu tính giảm toán tối ưu đa mục tiêu Phương pháp nghiên cứu Sử dụng kiến thức công cụ giải tích, giải tích hàm lí thuyết tối ưu để tiếp cận giải vấn đề Thu thập nghiên cứu tài liệu có liên quan, đặc biệt báo nước vấn đề mà luận văn đề cập tới Đóng góp luận văn Hy vọng luận văn sinh viên học viên cao học sử dụng tài liệu tổng quan tham khảo tốt nghiên cứu tính giảm cấu trúc tập nghiệm toán tối ưu đa mục tiêu CHƯƠNG I KIẾN THỨC CƠ BẢN Trong suốt luận văn ta kí hiệu  n không gian Euclid hữu hạn chiều với số chiều n  1.1 Tập lồi Tập D  X tập khác rỗng không gian tuyến tính X D gọi lồi chứa đoạn thẳng nối hai điểm nó, tức x1 , x2  D l x1 , x2  t  : 1  t  x1  tx2  D với t  0;1 Nhận xét 1.1.1 Giả sử D  X tập lồi xi  D , i  1, , l Khi tổ hợp lồi l điểm xi thuộc D, tức l  ti xi  D với  ti  1,  ti  i 1 i 1 Chứng minh Khi l  định nghĩa tập lồi Giả sử khẳng định chứng minh với k  l  Nếu t1  khẳng định theo qui nạp l ti xi Khi i   t1 Giả sử  t1  Đặt x :  l ti 1  t i 2  t2 t t t  t   tl  t1    l   1  t1  t1  t1  t1  t1 l ti xi  D với xi  D , i  2, , l i 2  t1 D lồi nên theo qui nạp x   Lại theo định nghĩa tập lồi, ta suy l  l ti  t x  t x  (1  t ) xi   t1 x1  (1  t1 ) x  D  i i 1  i 1  i 1  t1  Nhận xét 1.1.1 chứng minh 10 1.2 Bao lồi tập Giao tất tập lồi chứa tập A  X gọi bao lồi tập A kí hiệu coA Nhận xét 1.2.1 - coA tập lồi nhỏ (theo nghĩa bao hàm thức) chứa tập A - coA trùng với tập hợp chứa tất tổ hợp lồi A : l l   coA   x  A : x   ti xi , xi  A,  ti  1, ti  0, i  1, , l   i 1 i 1  1.3 Nón lồi Tập C  X gọi nón x  C     x  C    Nón C gọi nón lồi C tập lồi Điều tương đương với: x, y  C     x   y  C  ,   0 Thật vậy: - Nếu C nón lồi  ,   0, x, y  C ta có x1   x  C , y1   y  C Khi đó, C lồi nên 1   x   y   x  y1  C 2 1  Vì C nón nên  x   y     x   y   C 2  - Ngược lại, giả sử  x   y  C , với  ,   0, x, y  C Chọn   ta có  x  C với x  C ,   suy C nón Chọn     ,   0,1 ta có  x   y   x  1    y  C Suy C tập lồi Vậy C nón lồi 46 3.3 Hàm tựa lồi theo thứ tự từ điển Ngoài định nghĩa hàm lồi suy rộng nêu Chương 1, đưa thêm số khái niệm sau Giả sử D tập lồi khác rỗng nằm không gian tuyến tính thực X Hàm vectơ f   f1 , , f m  : D   m gọi tựa lồi (tựa lồi hiển) theo tọa độ hàm tựa lồi (tựa lồi hiển) Định nghĩa 3.3.1 (xem [11]) Cho C   n nón lồi Hàm f : D   m gọi C  tựa lồi tập mức f 1  v  C    x  D : f ( x)  v  C lồi với v   m Dưới trình bày mệnh đề nói mối quan hệ tính tựa lồi (tựa lồi hiển) theo tọa độ tính tựa lồi (tựa lồi hiển) theo nón Mệnh đề 3.3.1 (Propsition 3.1, [9]) Cho f   f1 , , f m  : D   m hàm lấy giá trị vectơ I tập khác rỗng I m Khi f CI - tựa lồi f i tựa lồi với i  I , đặc biệt f  m  tựa lồi tựa lồi theo tọa độ Mệnh đề hệ trực tiếp định lí [3] Mệnh đề 3.3.2 (Propsition 3.2, [9]) Hàm lấy giá trị vectơ f : D   m Clex  tựa lồi với x , y  D mà f  x   lex f ( y) t  0,1 f  1  t  x  ty   lex f ( y ) Chứng minh Giả sử f Clex  tựa lồi xét cặp x, y  D với f  x  lex f ( y ) t  0,1 Khi theo định nghĩa C  tựa lồi, tập mức 47 f 1  f ( y )  Clex  lồi chứa hai điểm Do x, y  D với x, y f  1  t  x  ty   f 1 ( f ( y)  Clex ), tức f  1  t  x  ty   lex f ( y ) f  1  t  x  ty  lex f ( y) Ngược lại, giả sử với f  x   lex f  y  t  0,1 Cho v  m Ta phải chứng f 1  v  Clex  minh lồi Lấy x, y  f 1  v  Clex  t   0,1 Khi ta có f  x  lex v f  y  lex v Do thứ tự từ điển toàn phần ta chia hai trường hợp Trường hợp f  x lex f ( y) Đặt x : x, y : y , t : t  Từ giả thiết ta suy f  1  t  x  ty  lex f ( y ), tức f 1  t  x  ty  lex f ( y) Vì f  y  lex v, ta suy f 1  t x  t y  lex v , tức 1  t  x  t y  f 1  v  Clex  Trường hợp f  y   lex f ( x) Sử dụng giả thiết cho x : y, y : x, t :  t , ta f  1  t  x  ty lex f ( x)  lex v Do ta có 1  t  x  t y  f 1  v  Clex  Mệnh đề 3.3.3 (Propsition 3.3, [9]) Nếu f   f1 , , f n  : D   m hàm vectơ Clex  tựa lồi thành phần thứ f1 tựa lồi 48 Chứng minh Giả sử f Clex  tựa lồi Theo Mệnh đề 3.2.1 ta phải chứng minh f C1  tựa lồi Lấy v   m Theo Bổ đề 3.2.1 ta có f 1  v  C1     0 f 1  v   e1  Clex  Vì f Clex  tựa lồi, nên suy   0 f 1  v   e1  Clex  lồi, giao tập mức lồi Vậy f 1  v  C1  lồi với v   m , nghĩa f C1  tựa lồi Mệnh đề 3.3.4 (Propsition 3.4, [9]) Nếu hàm lấy giá trị vectơ f : D   m tựa lồi hiển theo tọa độ Clex  tựa lồi Chứng minh Giả sử f i hàm tựa lồi hiển với i  I n Lấy x, y  D cho f  x  lex f ( y ) t  0,1 Theo Mệnh đề 2.2 ta phải chứng minh f  1  t  x  ty  lex f ( y ) Bởi kết luận hiển nhiên với t  t  , ta giả sử t  0,1 Xét hai khả Trường hợp f  x   f ( y ) Với i  I n , ta có f i  x   f i ( y), fi  1  t  x  ty   fi ( y ), (theo tính tựa lồi hàm f i ) Suy f f  1  t  x  ty   lex 1  t  x  ty   f ( y)   n   f ( y )  Clex , f ( y ) Trường hợp f  x   f ( y ) Trong trường hợp tồn i  I n cho f i  x   fi ( y ) f j  x   f j ( y ) với j  I m , j  i Theo tính tựa lồi hiển f1 , , f m , ta suy fi 1  t  x  ty   fi ( y ) f j  1  t  x  ty   f j ( y ) với j  I m , j  i 49 Vậy ta có: f  1  t  x  ty   lex f ( y ) Mệnh đề 3.3.4 chứng minh Như ta biết hàm f : D   m  m  tựa lồi tựa lồi theo tọa độ Trong trường hợp này, với hoán vị   S m , hàm hợp P  f  n  tựa lồi Do nón theo thứ tự từ điển không đối xứng nên f Clex  tựa lồi số tọa độ hàm hợp P  f   S m  không Clex  tựa lồi Ta xét ví dụ sau Ví dụ 3.3 (Example 3.5, [9]) Xét hàm f : D   1,1   , xác định với x  D công thức f  x  :  x,  x,0 Dễ thấy với x, y  D ta có f  x  lex f ( y) x  y Do với t  0,1, f  1  t  x  ty  lex f ( y) f  x  lex f ( y ) Theo Mệnh đề 3.3.2 f Clex  tựa lồi Xét phép biến đổi   S Khi P  f cho bởi: P  f  x     x,0, x  với x  D Với x  1, y  1, t  ta có P  f  x  lex P  f ( y ), P  f 1  t  x  ty   P  f ( y )  lex Như theo Mệnh đề 3.3.2, P  f không Clex  tựa lồi Định nghĩa 3.3.2 Hàm f : D   m gọi tựa lồi theo thứ tự từ điển chi hàm hợp P  f Clex  tựa lồi với   S m Mệnh đề 3.3.5 (Propsition 3.7, [9]) Hàm f : D   m tựa lồi theo thứ tự từ điển P  Clex   tựa lồi với   S m 50 Giả sử f tựa lồi theo thứ tự từ điển Khi với Chứng minh   Sm , P 1  f Clex  tựa lồi, tập mức  P 1  f  1  u  Clex  lồi với u   m Đặc biệt từ suy ra, với v   m tập mức 1  f   v  P  Clex     P 1 f 1   P v   C   1 lex tập lồi Vậy hàm f P  Clex   tựa lồi với   S m Ngược lại, giả sử f P  Clex   tựa lồi với   Sm Khi với với   Sm , P  1 f f P 1  Clex   tựa lồi, với v   m tập mức 1   v  C   f  P  v   P C  1  1 lex  1 lex lồi Vậy P  f Clex  tựa lồi với   S m , tức f tựa lồi theo thứ tự từ điển Mệnh đề 3.3.6 (Propsition 3.8, [9]) Nếu f : D   m tựa lồi theo thứ tự từ điển hàm tựa lồi theo tọa độ Chứng minh Giả sử f   f1 , , f m  tựa lồi theo thứ tự từ điển Khi với     Sm hàm P  f  f 1 , , f  m  Clex  tựa lồi Theo Mệnh đề 3.2.3 ta có kết luận f 1 tựa lồi với   S m , tức f i tựa lồi với i  I m Mệnh đề 3.3.7 (Propsition 3.9, [9]) Nếu f : D   m hàm tựa lồi hiển theo tọa độ tựa lồi theo thứ tự từ điển Chứng minh Cho   Sm Do hàm f tựa lồi hiển theo tọa độ nên hàm hợp P  f hàm tựa lồi hiển theo tọa độ Từ Mệnh đề 3.2.4 suy P  f Clex  tựa lồi Nhận xét 3.3.3 Tồn hàm nhận giá trị vectơ liên tục tựa lồi theo thứ tự từ điển tựa lồi hiển theo tọa độ 51 Ví dụ 3.3.2 (Remark 3.10, [9]) Xét hàm f   f1 , f  : D  0,3   xác   định công thức f  x    x,1,min  x  ,1 với x  D Dễ thấy f hàm tựa lồi theo thứ tự từ điển f1 f hàm tựa lồi hiển Mệnh đề 3.3.8 (Theorem 3.3, [11]) f : D   m hàm Cho   C le x   tựa lồi Khi với i  I m hàm f   C lex – tựa lồi i m m Chứng minh Giả sử i  I m Kết luận hiển nhiên với i  m, ta   giả sử i  1, , m  1 Để chứng minh f   C lex –tựa lồi, ta giả sử i m 1    a  C    lồi T a   a1 , ,  i , ta phải chứng tỏ tập mức f i Ta thấy 1  f     a  C     x  D | f    x   a  C    i i lex i i lex i     i  i   j   x  D |   a j e  f  x    C lex   j 1    i   m    x  D |  a j e j  f  x   C lex   e i 1  j 1   i  m     x  D | f  x    a j e j   e i 1  C lex  j 1     i  m      x  D | f  x      a j e j  t e i 1  C lex   t    j 1     f t  1  i m   j i 1   a j e  t e  C lex   j 1  i lex 52 đẳng thức thứ ba suy từ Bổ đề 3.2.1   Mặt khác, hàm f Clex – tựa lồi, nên suy với t   tập mức m f 1  i m   j i 1   a j e  t e  C lex  lồi  j 1  Hơn nữa, với t1 , t2   , t1  t2 , ta có: i a e j j  t e i 1 j 1 i m     C lex   a j e j  t1.e i1   t2  t1  ei 1  Clex m j 1 i i         a j e j  t1.ei 1    Clex  Clex   a j e j  t1 e i 1  C lex m m j 1 m j 1 Như vậy, f 1  i m   j i 1   a j e  t e  C lex   f  j 1  1  i m   j i 1   a j e  t1 e  C lex   j 1   i m  Suy  t f 1   a j e j  t ei1  Clex  tập lồi, hay hợp họ tập  j 1  lồi lồng giảm dần Vậy  f i  1  a  C    lồi i lex Với I  I m , với I  k 1, , m, ta xét hàm f I : D   k , xác định   f I  x  : fi1 ( x), , fik ( x) với x  D , i1 , , ik cho I  i1 , ik  i1   ik Hệ 3.3.1 Cho hàm f : D  m hàm tựa lồi theo thứ tự từ điển Khi đó, với   I  I m , hàm f I tựa lồi theo thứ tự từ điển Chứng minh Gọi   I  I m có I  k Để chứng tỏ f I : D   k tựa lồi theo thứ tự từ điển, ta xét phép hoán vị   S k Ta chọn phép hoán k  vị   S m cho p  f   p  f  Do hàm f tựa lồi theo thứ tự tử điển, 53 k    nên hàm hợp p  f Clex –tựa lồi Theo Mệnh đề 3.2.8, suy  p  f  m   Clex – tựa lồi Với   S k , tức f I tựa lồi theo thứ tự từ điển k 3.4 Quan hệ tính giảm toán tối ưu theo thứ tự từ điển toán tối ưu Pareto Trước tiên ta xét quan hệ theo nón  m , tức là, cho hai vectơ T T u   u1 , , u m    m v   v1, , vm    m Ta qui ước: u  v : ui  vi i  1,2, m; u  v : ui  vi i  1,2, m Giả sử D tập lồi khác rỗng nằm không gian tuyến tính thực X Cho trước hàm vectơ f   f1 , , f m  : D   m Với tập khác trống I  I m ta xét toán tối ưu đa mục tiêu sau: Minimize f I ( x) x  D  PI  Kí hiệu Min  D; f I  WMin  D; f J  tương ứng tập nghiệm hữu hiệu tập nghiệm hữu hiệu yếu toán  PI  Nhận xét 3.4.1 Tương tự Nhận xét 2.2.1, ta dễ dàng chứng minh Min  D; f I   WMin  D; f I   WMin  D; f J  với tập   I  J  I m Ta ý đến trường hợp đặc biệt X   n không gian Euclid hữu hạn chiều Kết sau nhấn mạnh vai trò số Helly (Helly number) X (tức n  1) việc rút gọn số tiêu chuẩn tựa lồi 54 Mệnh đề 3.4.1 (Proposition 4.3, [11]) Nếu f : D   n   m tựa lồi theo tọa độ WMin  D; f    WMin  D; f I   I  I m I  n 1 Chứng minh dựa định lí tiếng Helly Bây ta phát biểu kết Đinh lí 3.4.1 (Theorem 4.4, [11]) Nếu f : D   n   m tựa lồi theo thứ tự từ điển liên tục đường thẳng WMin  D; f    Min  D; f I  (3.4.1)  I  I m I  n 1 Chứng minh Trước hết với   I  I m ta có Min  D; f I   WMin  D; f I   WMin  D; f  , bao hàm thức sau  Min  D; f I   WMin  D; f  (3.4.2)  I  I m I  n 1 Mặt khác, f tựa lồi theo thứ tự từ điển nên theo Mệnh đề 3.3.6, tựa lồi theo tọa độ Do theo Mệnh đề 3.3.9 ta có WMin  D; f    Min  D; f I  (3.4.3)  I  I m I  n 1 Xét tập I  I m với  I  n  theo Hệ 2.3.1, f I hàm tựa lồi theo thứ tự từ điển Áp dụng Mệnh đề 3.4.1 với f I thay f ta thu WMin  D; f J    Min  D; f I   I  J Kết hợp (3.4.3) (3.4.4) ta suy (3.4.4) 55 WMin  D; f     Min  D; f J    I  I m  J  I I  n 1  Min  D; f I  (3.4.5)  I  I m I  n 1 Cuối từ (3.4.3) (3.4.5) ta (3.4.1) Điều phải chứng minh Hệ 3.4.1 Nếu hàm f : D   n   m tựa lồi hiển theo tọa độ (đặc biệt lồi) liên tục theo đường thẳng (3.4.1) Nhận xét 3.4.2 Theo Định lí 2.4.1, Y   m  m  bất biến khẳng định sau tương đương  A1  WMin Im Y  m -radiant ;  A2  với i  Im u, v  WMin I mY với u  v    ei ta có ray u, v   WMin ImY ;  A3  WMin I Y  I  I Min I Y m m Định lí 3.4.2 Nếu f : D   m hàm tựa lồi theo thứ tự từ điển thành  phần liên tục theo đường thẳng WMin Im f ( D)   m   m - radiant   Chứng minh Giả sử ngược lại WMin Im f ( D)   m không  m -radiant Do tập f ( D )   m tập tăng nên theo nhận xét 3.4.1 tồn i  Im , u, v  WMin I m  f ( D)   m  w  ray  u , v  , cho u  v    ei w  WMin Im  f ( D)   m  Lưu ý u  v (mặt khác ta có ray  u , v   u ,   w  u  WMin I m f ( D)   m , mâu thuẫn) Lại u  f ( D )   m , nên ta chọn điểm x  D cho f ( x)  Im u Mặt khác, từ w  u     v  u   u    e i  f ( D )   m    ei  f ( D )   m w  WMin Im  f ( D)   m  , nên ta chọn điểm y  D cho 56 f ( y )  I m w Để ý v, w  u    ei v  WMin Im  f ( D)   m  , nhắc lại u  v , dễ dàng kiểm tra u j  v j  w j với j  I m \ i , f i ( x)  ui  vi  fi ( y)  wi Nhận thấy f ( x)  I m u   f ( y )  Im \i u , suy x y thuộc vào  tập f 1 u   m  int CIm \i Khẳng định tập tập lồi Thật vậy, theo Bổ đề 3.3 ta có   f 1 u   m  int CIm \i    Sm , i 1   f 1    u   S , i 1 P Clex   m   f 1  u  P  Clex   Nhắc lại hàm f tựa lồi theo thứ tự từ điển, nên theo Mệnh đề 3.3.7 ta suy f P  Clex   tựa lồi với   Sm Đặc biệt với   Sm với   i   1, tập mức f 1  u  P  Clex   tập lồi    tập lồi, giao tập lồi Vậy với t  0,1, ta có 1  t  x  ty  f u     int C     , tức f l  t u  intC   .Ta thấy f  l  0  f (x)  u  v  f ( y)  f l  I  , Do tập f 1 u   m  int CIn \i 1 m  x, y i In \ i x, y i m  i i In \ i i i x, y nhắc lại f i  lx , y liên tục, nên suy tồn số t *  0,1 cho f i  lx , y  t *   Do  ui  vi   f  lx, y  t *   u  m  int CIn \i    f  lx, y  t *   u  int CIn \i \  n ui   ui  vi  , suy f  lx , y  t *   I n \ i u Lại có u j  v j 57 với j I n \ i, ta suy f  lx , y  t *   I n \ i v Vì fi  l x, y t *   ui  vi   vi ,     ta kết luận f  lx, y t* Im v, điều mâu thuẫn với v  WMin Im f ( D)   m Lưu ý giả thiết tính liên tục định lí 3.4.2 cần thiết qua ví dụ sau Ví dụ 3.3.1 Cho f : D   1;1   hàm xác định bởi: x  D  1;1 , x  0; f ( x ) :  1; 1 , x  Dễ dàng thấy f hàm tựa lồi theo thứ tự từ điển, không liên tục (đúng hàm thành phần theo thứ tự nửa liên tục nửa liên tục dưới) Tuy nhiên, WMin I2  f ( D)   2   1 X 1,    1 X 1;1    1;1 X 1   1,  X 1  2 -radiant   Hệ 3.3.1 Với giả thiết Định lí 3.4.2 toán PIm toán Pareto rút gọn Chứng minh Theo Đinh lí 3.4.2 Nhận xét 3.4.1 ta có: WMin Im  f ( D)   m     I  I m Min I m  f ( D)   m  , Để ý Min I f ( D)  f ( D)  Min I  f ( D)   m  , WMin I f ( D)  f ( D)  WMin I  f ( D)   m  Với tập khác rỗng I  I m , suy 58 WMin I f ( D)  f ( D)  WMin I  f ( D)   m     f (D)  Min  f ( D)     f ( D)    I  Im Min I  f ( D)   m     I  Im m  I    I  Im Min I f ( D) Do ta có    WMin Im  D f   f 1 WMin Im f ( D )  f 1   I  I m Min I f ( D )     I Im f 1  Min I f ( D )    MinI  D f   I  I m   Vậy toán PIm Pareto rút gọn Dưới trình bày kết tính chất tôpô tập nghiệm Nhớ lại tập A  m gọi co rút mạnh tồn điểm a*  A hàm liên tục hA : 0,1 X A  A cho hA  0, a   a hA 1, a   a*  hA  t , a*  với a  A ; t  0,1 Hệ 3.4.1 Giả sử f : D   m hàm tựa lồi theo thứ tự từ điển liên tục tập lồi compact khác rỗng D không gian tôpô vectơ thực X Khi tập tối ưu Min Im f ( D) co rút mạnh Chứng minh Do f liên tục D compact tập f ( D ) compact ,do f ( D)  m tập đóng, theo Định lí 3.4.2 ta có WMin In  f ( D)   m   m  radiant Vậy f ( D)  m bóng đơn (simply shaded) Mặt khác tập f ( D) compact, nên giao  f ( D)      v    m  m  tập compact với điểm v   m Kết luận suy trực tiếp từ định lí Benoist (xem Định lí 2, [2]) 59 KẾT LUẬN Luận văn trình bày nghiên cứu gần tính giảm toán tối ưu Pareto toán tối ưu theo thứ tự từ điển chủ yếu dựa tài liệu [8]-[11] , có tham khảo thêm tài liệu khác Nội dung luận văn nằm hai chương cuối Chương trình bày tính giảm toán tối ưu Pareto Chương trình bày mối Quan hệ tính giảm toán tối ưu theo thứ tự từ điển toán tối ưu Pareto Theo cảm nhận tôi, đề tài thú vị, làm giảm tính phức tạp làm sáng tỏ cấu trúc tập nghiệm toán tối ưu đa mục tiêu Hy vọng luận văn sinh viên học viên cao học sử dụng tài liệu tham khảo tính giảm toán tối ưu đa mục tiêu 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hoàng Mai Hương (2005) Biểu diễn tập nghiệm toán tối ưu đa mục tiêu tựa lồi chặt, Luận văn Thạc sĩ Toán học, Viện Toán học, Hà Nội [2] Mai Quang Tâm (1998) Công thức biểu diễn tính liên thông tập nghiệm toán tối ưu hàm F-lồi, Luận văn Thạc sĩ Toán học, Viện Toán học, Hà Nội [3] J Benoist, J M Borwen and N Popovici, 2003, A characterization of quasiconvex vector-valued functions, Proc Am Math Soc., 131, 1109–1113 [4] J Benoist, and N Popovici, 2001, Contractibility of the efficient frontier of three-dimensional simply-shaded sets, Journal of Optimization Theory and Applications, 111, 81–116 [5] J Benoist, and N Popovici, 2002, Characterizations of finite-dimensional shaded sets, Nonlinear Analysis Forum, 7, 67–72 [6] T J Lowe, J -F Thisse, J E Ward and R E Wendell, 1984, On efficient solutions to multiple objective mathematical programs, Management Science, 30, 1346–1349 [7] C Malivert and N Boissard, 1994, Structure of efficient sets for strictly quasiconvex objectives, Journal of Convex Analysis, 1, 143–150 [8] N Popovici, 2005, Pareto reducible multicriteria optimization problems, Optimization, 54, 253-263 [9] N.Popovici, 2006, Structure of efficient sets in lexicographic quasiconvex multicriteria optimization, Operations Research Letters, 34,142-148 [10] N Popovici, 2007, Explicitly quasiconvex set-valued optimization, Journal Global Optimization, 38, 103-118 [11] N Popovici, 2008, Involving the Helly number in Pareto reducibility, Operations Research Letters, 36, 173-176 [12] E J Sun, 1996, On the connectedness of the efficient set for strictly quasiconvex vector minimization problems, Journal of Optimization Theory and Applications, 89, 475–481