Giới hạn hàm số Giới hạn hàm số I. Các định nghĩa về giới hạn: 1. Giới hạn hàm số: l ( ) , : ( ) x a im f x A 0 0 x a f x A = > > < < hoặc { } l ( ) ( ) n x a im f x A x a f x A = 2. Giới hạn bên trái: l ( ) , : ( ; ) ( ) x a im f x A 0 0 x a a f x A = > > < 3. Giới hạn bên phải: l ( ) , : ( ; ) ( ) x a im f x A 0 0 x a a f x A + = > > + < 4. Giới hạn ở vô cực: l ( ) , : ( ) x im f x A 0 M 0 x M f x A = > > > < l ( ) , : ( ) x im f x A 0 M 0 x M f x A + = > > > < l ( ) , : ( ) x im f x A 0 M 0 x M f x A = > > < < 5. Giới hạn là vô cực (không tồn tại giới hạn): l ( ) , : ( ) x a im f x M 0 0 x a f x M = > > < > 6. Quan hệ giữa giới hạn phải, giới hạn trái với giới hạn hàm số: l ( ) l ( ) l ( ) x a x a x a im f x A im f x im f x A + = = = II. Các định lí về giới hạn: Giả sử l ( ) x a im f x A = và l ( ) x a im g x B = , khi đó: 1. [ ] l . ( ) ( ) .l ( ) .l ( ) x a x a x a im k f x g x k im f x k im g x kA kB = = 2. [ ] l ( ). ( ) l ( ).l ( ) . x a x a x a im f x g x im f x im g x A B = = 3. ( ) l ( ) ( ) l ( ) l ( ) x a x a x a im f x f x A im B 0 g x im g x B = = 4. Nguyên lý giới hạn kẹp: Nếu ( ) ( ) ( )f x h x g x mà l ( ) l ( ) x a x a im f x im g x A = = thì l ( ) x a im h x A = 5. Các giới hạn đặc biệt (học sinh phải học thuộc vì các giới hạn này rất hay dùng) : ( ) sin lim lim ln( ) lim lim lim 1 x x o x o x x x o x o x o x 1 1 x e x 1 e 1 1 x 1 e 1 1 x x x = + = + + = = = ữ 6. Chú ý: có 4 dạng vô định: ; ; ; . 0 0 0 -Biên soạn: Nguyễn Cao Cờng- 1 Giới hạn hàm số Dạng 1: Giới hạn xác định Phơng pháp: Chú ý một số giới hạn cơ bản đã biết: + Nếu C là hằng số thì l o x x im C C = + l n x 1 im 0 x = + Nếu f(x) là hàm số sơ cấp và x o TXĐ thì l ( ) ( ) o o x x im f x f x = . Bài 1. Tìm các giới hạn sau: ( ) ( ) sin )l )l ) l ) l 2 3 2 4 3 2 x 2 x 1 x 2 x x 2 6 2005 x 1 x 1 2 x 4 x 9 x 3 a im x 5 x 3x 2 b im x 3 3x 5 x 4 c im 3x 8 d im 2 x x 1 x 2 + + + + + + + Dạng 2: Khử dạng vô định 0 0 Loại 1: o o P(x):đa thức,P(x với Q(x):đa thức,Q(x ) ( ) lim ( ) ) o x x 0 P x I Q x 0 = = = Ph ơng pháp: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim lim ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) o o o o 1 1 1 x x x x x x o 1 1 1 x x P x P x P x P x I Q x x x Q x Q x Q x = = = = Bài 2. Tìm các giới hạn: ( ) ( ) ( ) ( ) )l ) l )l )l 3 2 3 2 2 1 x 3 x 2 3 2 4 3 2 4 3 2 3 2 x 1 x 1 x 4 x 4 x 3 8 x 1 a im b im x 3x 6 x 5 x 1 2 x 4 2 1 x 4 2 2 x 2 2 x 5 x 3x x 1 c im d im 3x 8 x 6 x 1 x 2 2 1 x 2 2 2 x 2 + + + + + + + + + + + Loại 2: o o f(x )=g(x với f(x),g(x) chứa căn thức đồng bậc ) ( ) lim ( ) o x x 0 f x I g x = = Ph ơng pháp: Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân liên hợp ở tử và mẫu nhằm trục các nhân tử ( ) o x x ra khỏi căn thức. Bài 3. Tìm các giới hạn sau: ) lim ) lim ) lim ) lim 2 2 x 0 x 2 3 2 2 x 1 x 0 1 x 1 x 7 3 a b x x 4 x 7 1 1 x 1 c d 1 x x 5 2 + + + + + + Loại 3: o o f(x )=g(x với f(x) chứa căn thức kh"ng đồng bậc ) ( ) lim ( ) o x x 0 f x I g x = = Ph ơng pháp: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim lim . ( ) ( ) ( ) o o o o o m n m n o o x x x x o m n m n x x x x x x u x v x u x v x f x I c g x g x g x 0 u x c v x c u x c v x c g x g x g x = = = = = = = -Biên soạn: Nguyễn Cao Cờng- 2 Giới hạn hàm số Bài 4. Tìm các giới hạn sau: ) lim ) lim ) lim 3 3 3 2 2 x 1 x 0 x 0 x 7 x 3 2 x 1 8 x 1 2 x 1 3x a b c x x 3 x 2 x + + + + + + Dạng 3: Khử dạng vô định Ph ơng pháp: Xét P(x):đa thức với hoặc các hàm đại số Q(x):đa thức ( ) lim ( ) o x x P x I Q x = hoặc các hàm đại số. Gọi bậc P(x)=p, Q(x)=q và m=Min(p,q), khi đó chia cả tử và mẫu cho m x ta có kết luận sau: + Nếu pq thì tồn tại giới hạn. + Nếu p>q thì không tồn tại giới hạn. ài 5.Tìm các giới hạn sau: ( ) ( ) ) lim ) lim ) lim ( ) ( ) . ( ) ( ) ) lim 2 3 2 5 3 2 4 3 2 5 4 2 2 x x x 100 100 100 100 100 10 10 x 2 x 1 3 x x 2 2 x 3 x 4 x 1 6 x 7 x 4 x 3 3x a b c 2 x 1 x 5 x 2 x x 3 8 x 5 x 2 x 1 4 x x 1 x 2 x 99 x 100 d x 10 x 100 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Dạng 4: Khử dạng vô định Ph ơng pháp: Biến đổi đa về dạng Bài 6. Tìm các giới hạn sau: ( ) ) lim ) lim ( )( ) ) lim ( )( )( ) ( )( )( )( ) ) lim , x x 3 4 x m n x 1 a x x x b x a x b x c x 5 x 6 x 7 x 1 x 2 x 3 x 4 m n d m n Z 1 x 1 x + + + + + + + + + + + + + + Dạng 5: Khử dạng vô định .0 Ph ơng pháp: Biến đổi đa về dạng Bài 7. Tìm các giới hạn sau: ) lim . ) lim ) lim . 2 2 3 3 3 x x 2 2 x a x x 1 x b x x 1 x 1 c x x 2 x x 2 x x + + + + + + + + -Biên soạn: Nguyễn Cao Cờng- 3 Giới hạn hàm số Dạng 6: Khử dạng vô định hàm lợng giác Ph ơng pháp. Sử dụng các kết quả giới hạn cơ bản sau: sin .lim ;lim sin sin sin sin .lim lim . .lim sin sin sin .lim lim . lim .lim sin sin sin sin .lim lim . . .lim x o x o x o x o x o x o x o x o x o x o x o x o x x 1 1 1 x x ax ax ax 2 a a a x ax ax ax ax bx ax bx b 3 bx ax bx ax bx a tgax a ax 4 a x cosx ax tg 5 = = = = = = = = = = sin sin lim . ;lim limcos . sin x o x o x o tgax ax ax a ax ax a ax bx tgbx tgbx bx b tgbx bx b bx = = = = = Bài 8. Tìm các giới hạn sau: cos sin cos sin ) lim ) lim ) lim sin cos sin sin sin sin cos ) lim ) lim sin cos cos .cos .cos ) lim ) lim sin( ) 2 3 x 0 x 0 x 0 x 0 x 3 2 x 0 x 0 1 ax 1 ax ax tgax ax a b c 1 bx bx x x x x 3 x d e x x cosx 1 x 2 x nx 2 f g tgx x + ữ -Biên soạn: Nguyễn Cao Cờng- 4 . = + + = = = ữ 6. Chú ý: có 4 dạng vô định: ; ; ; . 0 0 0 -Biên so n: Nguyễn Cao Cờng- 1 Giới hạn hàm số Dạng 1: Giới hạn xác định Phơng pháp:. 0 u x c v x c u x c v x c g x g x g x = = = = = = = -Biên so n: Nguyễn Cao Cờng- 2 Giới hạn hàm số Bài 4. Tìm các giới hạn sau: ) lim