ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———————– NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THẢO HÀM RIÊNG CỦA BIẾN ĐỔI CHÍNH TẮC TUYẾN TÍNH OF (a,b,c,d) CHO TRƯỜNG HỢP |a + d| LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———————– NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THẢO HÀM RIÊNG CỦA BIẾN ĐỔI CHÍNH TẮC TUYẾN TÍNH OF (a,b,c,d) CHO TRƯỜNG HỢP |a + d| Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS.NGUYỄN MINH TUẤN Hà Nội - 2016 LỜI MỞ ĐẦU Tốn học khơng sở hữu chân lý mà cịn ẩn chứa bên vẻ đẹp tối thượng, vẻ đẹp lạnh lùng mộc mạc, giống điêu khắc, khiết tinh diệu có khả đạt đến hoàn hảo chặt chẽ mà có thứ nghệ thuật vĩ đại thể Và, phép biến đổi tắc tuyến tính LCT điêu khắc tốn học giải tích Được giới thiệu lần đầu vào năm 1970, phép biến đổi tắc tuyến tính LCT biến đổi tích phân với tham số {a, b, c, d} Phép biến đổi tắc tuyến tính LCT tổng quát phép biến đổi Fourier (F T ) Fourier phân (F RF T ) Biến đổi LCT không đối tượng nghiên cứu nhiều lĩnh vực tốn học lý thuyết mà cịn có nhiều ứng dụng lĩnh vực khoa học tự nhiên vật lý, học, quang học Mục đích luận văn tìm hiểu khái niệm LCT , trường hợp riêng LCT , xây dựng hàm riêng LCT trường hợp |a + d| ≤ từ đó, giải thích toán tạo ảnh quang học Nội dung luận văn gồm ba chương: Chương 1: Trình bày định nghĩa phép biến đổi tắc LCT , trường hợp biến đổi đặc biệt phép biến đổi này, hàm riêng biến đổi Fourier phân thứ số kết xây dựng hàm riêng LCT Chương 2: Phần đầu trình bày hàm riêng LCT trường hợp |a + d| < Phần hai, trình bày hàm riêng LCT trường hợp |a + d| = Trong trường hợp ta trình bày hàm riêng LCT a + d = b = 0; a + d = −2 b = 0; {a, b, c, d} = {±1, b, 0, ±1}; a + d = b = 0; a + d = −2 b = Chương 3: Trình bày quan hệ LCT với hệ quang học giải thích tốn tạo ảnh Các kết luận văn dựa báo "Eigenfuntions of linear canonical transform" tác giả Soo-Chang Pie Jian-Jiun Ding Tuy có nhiều cố gắng thời gian thực luận văn khơng nhiều, kiến thức cịn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi hạn chế sai sót Em mong nhận góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn đọc Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2016 Học viên Nguyễn Thị Phương Thảo LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn, bảo tận tình PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn, Trường Đại học Giáo dục - Đại học Quốc gia Hà Nội Thầy dành nhiều thời gian giúp đỡ, giải đáp thắc mắc em suốt trình làm luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Qua đây, em xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo khoa Toán - Cơ Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập Bên cạnh cịn có giúp đỡ nhiệt tình thầy phịng Sau Đại học tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ em hồn thành thủ tục bảo vệ, thầy bạn seminar Tốn Giải Tích có góp ý hữu ích để em hồn thành luận văn tốt Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực luận văn Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2016 Học viên Nguyễn Thị Phương Thảo Mục lục Phép biến đổi tắc tuyến tính (LCT ) 1.1 Định nghĩa LCT 1.2 Một số trường hợp đặc biệt LCT 1.2.1 Biến đổi Fourier (F T ) 1.2.2 Biến đổi Fourier phân thứ (F RF T ) 1.2.3 Biến đổi Fresnel 1.2.4 Phép toán co giãn 10 1.3 Hàm riêng biến đổi Fourier phân thứ 10 1.4 Tổng hợp hàm riêng LCT 11 Hàm riêng LCT cho trường hợp |a + d| 14 2.1 Tính chất 14 2.2 Hàm riêng LCT cho trường hợp |a + d| < 16 2.3 Hàm riêng LCT cho trường hợp |a + d| = 20 2.3.1 Trường hợp a + d = b = 20 2.3.2 Trường hợp a + d = −2 b = 21 2.3.3 Hàm riêng LCT {a, b, c, d} = {±1, b, 0, ±1} 22 2.3.4 Trường hợp a + d = b = 27 2.3.5 Trường hợp a + d = −2 b = 30 Ứng dụng LCT toán tạo ảnh 3.1 33 Quan hệ biến đổi LCT hệ quang học 33 3.2 Giải thích toán tạo ảnh 35 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 Chương Phép biến đổi tắc tuyến tính (LCT ) Được giới thiệu lần đầu vào năm 1970, phép biến đổi tắc tuyến tính (LCT ) phép biến đổi tích phân với bốn tham số {a, b, c, d} Trong số tài liệu, phép biến đổi LCT gọi phép biến đổi Fourier afin (AFT), biến đổi Fourier tổng quát, công thức Collins, biến đổi ABCD Phép biến đổi LCT có nhiều ứng dụng phân tích hệ rada, phân tích hệ mơi trường Grin, thiết kế máy lọc, Với giá trị tham số {a, b, c, d} ta có trường hợp đặc biệt LCT tương ứng Ví dụ, {a, b, c, d} = {1, b, 0, 1} LCT trở thành biến đổi Fresnel hàm tuần hoàn (hàm tuần hoàn gọi hiệu ứng Talbot); hay với {a, b, c, d} = {1/d, 0, 0, 1} LCT phép co giãn, có hàm riêng hàm Frac Trong chương này, ta tìm hiểu rõ hàm riêng LCT ứng với giá trị tham số {a, b, c, d} Ta dùng ký hiệu OF (a,b,c,d) OF(a,b,c,d) 1.1 Định nghĩa LCT Biến đổi tắc tuyến tính(LCT ) định nghĩa sau: Khi b = (a,b,c,d) OF (f (t)) ∞ (i/2)(d/b)u2 e i2πb = e−i(u/b)t e(i/2)(a/b)t f (t)dt (1.1) −∞ Khi b = (a,b,c,d) OF √ (f (t)) = d.e(i/2)cdu f (d.u) (1.2) với ad − bc = Tính chất: (a ,b1 ,c1 ,d1 ) OF (a ,b2 ,c2 ,d2 ) OF (a ,b3 ,c3 ,d3 ) (f (t)) = OF (f (t)) (1.3) đó:    = a3 b  c3 d a2 b    .  c2 d a1 b c1 d Do tính chất LCT mơ tả ma trận × nên tham số {a, b, c, d} LCT ma trận ×  a b    c d 1.2 1.2.1 Một số trường hợp đặc biệt LCT Biến đổi Fourier (F T ) Khi {a, b, c, d} = {0, 1, −1, 0}, biến đổi LCT trở thành F T √ (0,1,−1,0) i.OF ∞ 2π (f (t)) = FT(f (t)) = e−i.u.t f (u).du (1.4) −∞ Thật vậy: (0,1,−1,0) OF (f (t)) = (0,1,−1,0) OF (f (t)) √ (0,1,−1,0) (f (t)) i.OF e−i.u.t e(i/2)(0/−1)t f (u)du −∞ ∞ i2π = e−i.u.t g(t)dt −∞ = FT(f (t)) 2π = 1.2.2 ∞ (i/2)(0/1)u2 e i2π ∞ e−i.u.t f (u)dt −∞ Biến đổi Fourier phân thứ (F RF T ) Khi {a, b, c, d} = {cos α, sin α, − sin α, cos α} LCT trở thành F RF T định nghĩa sau (cos α,sin α,− sin α,cos α) OF (f (t)) = e(i/2)(cos α/ sin α).u 2π sin α ∞ e−i(u/ sin α).t e(i/2)(cos α/ sin α)t f (t)dt, × −∞ OFα (f (t)) = − i cot α (i/2) cot α.u2 e 2π ∞ e−i csc α.ut e(i/2) cot αt f (t)dt (1.5) × −∞ Biến đổi Fourier phân thứ (FRFT) biến đổi tổng quát biến đổi Fourier (FT) Biến đổi Fourier phân thứ thỏa mãn tính chất cộng tính OFα OFβ (f (t)) = OFα+β (f (t)) Áp dụng Tính chất (2.1.2) ta kết luận a + d = b = 0, f (t) hàm riêng LCT với tham số {1, ab2 , 0, 1} (1,b/a21 ,0,1) OF (2.31) (f (t)) = λ.f (t) Khi đó, LCT với tham số {a, b, c, d} hàm riêng φD (t) = OF a1 ,2b(d1 −a−1 )/(d−a),((d−a)a1 /2b),d1 (2.32) (f (t)), a1 , d1 tùy ý với giá trị riêng tương ứng λ Khi đó, f (t) hàm tuần hoàn f (t) = 2πE ∞ An exp 4na21 π +h |b| i.t n=0 ∞ + 4ma21 π +h |b| − i.t Bm exp m=0 h< 4πa21 ,An , Bm |b| , (2.33) tùy ý, E xác định công thức (2.25) giá trị riêng tương ứng xác định công thức (2.31) λ = exp(−ibh/2a21 ) Từ công thức (2.30) ta có    = a1 b  c1 d1 d−a 2b     a1 b 1 a1  a−1  Vì thế, cơng thức (2.31) viết lại sau φD (t) = i2πa21 b1 ∞ ei((d−a)/4b)t ei((t−x) −∞ /2a1 b1 ) f x dx a1 Khi đó, ta hàm g(t) định nghĩa tham số ρ sau g(t) = f |a1 | t , a1 ρ = a1 b = 2b(a1 d1 − 1) d−a Sau kết trên, ta tham số a1 bất biến Bởi a1 , d1 tùy ý, ta dùng tham số ρ thay cho a1 , d1 ρ tùy ý Kết công thức (2.31)-(2.33) viết lại đơn giản 28 Nếu g(t) hàm riêng LCT với tham số {1, b, 0, 1} g(t) = 2πS ∞ Cn exp i.t n=0 4nπ +h |b| ∞ + Dm exp − i.t m=0 h< 4πa21 , |b| 4mπ +h |b| , (2.34) Cn , Dm tùy ý ∞ (|Cn |2 + |Dn |2 ), S= (2.35) n=0 LCT với tham số {a, b, c, d} trường hợp a + d = b = hàm riêng (b,ρ) φD (t) =√ ei((d−a)/4b)t i2πρ ∞ ei((t−x) /2ρ) g(x)dx, (2.36) −∞ ρ chọn tự (nhưng a = d ta phải chọn ρ = 0) Giá trị riêng tương ứng λb,h = exp − ibh (2.37) Vì vậy, ta kết luận a + d = b = hàm riêng LCT phép nhân hàm hầu tuần hồn (hàm cơng thức (2.34) hàm hầu tuần hồn) Đặc biệt, ta chọn ρ = 0, (x1 − x2 )2 lim √ exp i ρ→0 i2πρ 2ρ = δ(x1 − x2 ), ta đơn giản hàm riêng LCT a + d = b = , (b,ρ) φD (t) = ei((d−a)/4b)t g(t) 29 (2.38) 2.3.5 Trường hợp a + d = −2 b = Trong trường hợp ta chọn {a2 , b2 , c2 , d2 } {−1, η, 0, −1} công thức (2.1) trở thành     =  a b  a1 b   −1 . c1 d c d  =    η . d1 −c1 −1 −b1   a1  −1 − a1 c1 η a21 η −c21 η −1 + a1 c1 η (2.39)  Khi a = d nghiệm {a1 , b1 , c1 , d1 } η giống công thức (2.30) Khi a = d giá trị {a, b, c, d} phải {−1, b, 0, 1}, trường hợp thảo luận (2.27) Từ tính chất (2.1.2) cơng thức (2.39) ta kết luận (−1,b/a21 ,0,1) OF a1 tùy ý (g(t)) = λ.g(t), g(t) hàm riêng LCT với tham số {−1, ab2 , 0, −1} Khi (a ,(2b(d1 −a−1 )/(d−a)),((d−a)a1 /2b),d1 ) φE (t) = OF g(t), d1 tùy ý hàm riêng LCT a + d = b = với giá trị riêng tương ứng λ Ta đơn giản kết trường hợp a + d = b = Từ cách tìm cơng thức (2.40)-(2.43) ta kết sau Nếu a + d = −2 , b = g(t) hàm riêng LCT với tham số {−1, b, 0, −1}, g(t) thỏa mãn [từ công thức (2.28) (2.29)] g(t) = 2πS g(t) = h< 4π b 2πS ∞ Cn cos t 4nπ|b|−1 + h , (2.40) Cn sin t 4nπ|b|−1 + h , (2.41) n=0 ∞ n=0 Cn tùy ý S= ∞ n=0 |Cn | 30 , LCT với tham số {a, b, c, d} hàm riêng (b,ρ) φE (t) =√ ei((d−a)/4b)t i2πρ ∞ ei((t−x) /2ρ) g(x)dx, (2.42) −∞ ρ tùy ý a = d ta phải chọn ρ = Giá tri riêng tương ứng cho công thức (2.40) (2.41) λ(b,h) = (−1)1/2 exp − ibh , (2.43) λ(b,h) = (−1)1/2 exp − ibh (2.44) Phương trình (2.42)-(2.44) hàm riêng giá trị riêng LCT a + d = −2 b = Từ cơng thức (2.40)-(2.42) ta kết luận a + d = −2 b = hàm riêng LCT phép nhân hàm hầu tuần hoàn đối xứng (hoặc hàm hầu tuần hoàn phản đối xứng) Để đơn giản công thức (2.42) ta chọn ρ = Khi cơng thức (2.42) đơn giản (b,ρ) φE (t) = ei((d−a)/4b)t g(t) Trong trường hợp hàm riêng LCT a + d = −2 b = đơn giản phép nhân hàm tuần hoàn đối xứng hàm hầu tuần hoàn phản đối xứng 31 Trường hợp A Hàm riêng −(1 + iτ )t2 √ exp 2σ σ · 2m m! π (|a + d| < 2) √ Trường hợp B t τ Hm ∞ n=0 E −1 ∞ m=0 0) Bm δ t + E= =sin−1 4nπ|c|−1 + h + An δ t − 4mπ|c|−1 + h −2, b = 0) exp(ich/2) h < 4π/|c|, An , Bm tùy ý, ∞ n=0 (|An | + |Bn |2 ) d−a ei 4b t i2πρ (t−x) ∞ ei 2ρ −∞ g(x)dx, exp(−ibh/2) g(t) = (a + d = 2, b = 2πS 0) ±(−1)1/2 exp(ich/2) An = Bn , An = −Bn với n Trường hợp D ∞ m=0 ∞ n=0 4nπ|b|−1 + h + Cn exp it Dm exp − it 4mπ|b|−1 + h S= , h < 4π/|c|, Cn , Dm tùy ý, ∞ n=0 (|Cn | + |Dn |2 ) hợp Giống trường hợp B, trừ −2, b = 0) − (a + d)2 , Giống trường hợp B, trừ E (a + d sgn(b) a+d hợp C (a + d = Trường (e−iα )1/2 exp(−iα.m), với α = cos−1 với Hm hàm Hermite |b| 2|b| σ2 = = , sin α − (a + d)2 sgn(b).(a − d) τ= − (a + d)2 (a + d = 2, b = Trường Giá trị riêng = Cn = Dn , Cn = −Dn với n ±(−1)1/2 exp −ibh Bảng 2.1: Hàm riêng LCT cho trường hợp 32 Chương Ứng dụng LCT toán tạo ảnh Trên sở tìm hiểu hàm riêng F RF T , ta tìm hiểu ba ứng dụng sau: Bài toán tạo ảnh (self-imaging problem) ; Bài toán cộng hưởng; Phương pháp lựa chọn Tương tự, ta dùng hàm riêng LCT để suy các ứng dụng Trong chương này, ta giải thích tốn tạo ảnh dựa hàm riêng LCT Trước hết, ta tìm hiểu cách sử dụng hàm riêng LCT để biểu diễn hệ quang học đưa số tính chất quan trọng sau 3.1 Quan hệ biến đổi LCT hệ quang học Biến đổi LCT có mối quan hệ mật thiết với quang học nhiều phép tốn lan truyền sóng biểu diễn trường hợp đặc biệt LCT [13]-[15] Ví dụ, từ công thức (1.7) ta sử dụng hàm riêng LCT với tham số 33 zλ , 0, 1} để mô tả ánh sáng đơn sắc qua môi trường suốt {a, b, c, d} {1, 2π với khoảng cách z Bên cạnh đó, ánh sáng đơn sắc với bước sóng λ xun qua thấu kính có tiêu cự tiêu cự f biểu diễn sau f Olens g(x) = ei(π/λ)n∆ e−i(π/f.λ)x g(x), n : chiết suất, ∆ : độ dày thấu kính Cơng thức tương ứng với biến đổi LCT với tham số {1, 0, −2π f λ , 1} (1,0,−2π/f λ,1) f Olens g(x) = ei(π/λ)n∆ OF (g(x)) (3.1) Từ công thức (1.7), (3.1) tổ hợp thành phần quang học biểu diễn ma trận abcd [18] Ta sử dụng biến đổi LCT để biểu diễn hệ quang học có mơi trường suốt nhiều thấu kính Ví dụ, hệ quang học gồm thấu kính với tiêu cự f qua môi trường suốt với khoảng cách z ,    zλ 2π   1 −2π fλ   1− = z f −2π fλ  zλ 2π  , zλ −2π ta dùng biến đổi LCT với tham số {1 − fz , 2π , f λ , 1} biểu diễn hệ quang học Để giải thích tượng tạo ảnh hệ quang học, ta xét tính chất sau Tính chất 3.1.1 (Điều kiện để hai LCT tương đương hệ quang học [29]) Ta biết a1 a2 = b1 b2 , kết biến đổi LCT với tham số {a1 , b1 , c1 , d1 , } {a2 , b2 , c2 , d2 }, tương ứng thỏa mãn hệ thức sau √ |F(a2 ,b2 ,c2 ,d2 ) (u)| = | σ.F(a1 ,b1 ,c1 ,d1 ) (σ.u)|, σ = a1 b1 = a2 b2 Khi đó, a) Nếu xét cường độ hai LCT tương đương a1 = a2 , b1 = b2 34 b) Nếu bỏ qua hiệu số co giãn hai LCT tương đương a1 : b = a2 : b , c1 : d1 = c2 : d2 c) Nếu xét cường độ bỏ qua hiệu số co giãn hai LCT tương đương a1 : b = a2 : b Vì hệ quang học, hiệu số pha hiệu số co giãn bỏ qua theo tính chất (3.1.1) ràng buộc hệ đưa vào để giải thích tượng tạo ảnh khơng nhiều Do đó, hầu hết hệ quang học có thay đổi hàm đưa vào với tượng tự tạo ảnh Để làm rõ điều này, ta xét trường hợp sau 3.2 Giải thích tốn tạo ảnh Từ mối quan hệ LCT hệ quang học, ta giải thích tượng tạo ảnh cách sử dụng hàm riêng LCT Nếu tìm ảnh đầu vào có ảnh đầu tương ứng Giả sử hệ quang học tổ hợp nhiều thấu kính mơi trường suốt, đó, ta biểu diễn hệ quang học LCT với tham số {a1 , b1 , c1 , d1 , } Do vậy, ánh sáng đưa vào có phân bố giống hàm riêng biến đổi LCT với tham số {a1 , b1 , c1 , d1 , } ta giải thích nguyên nhân tạo ảnh hệ quang học Tuy nhiên, hệ quang học, xét cường độ ánh sáng, bỏ qua hiệu số co giãn, từ Tính chất 3.1.1 tất hàm riêng LCT với tham số {a, b, c, d, } thỏa mãn a1 : b1 = a2 : b2 giải thích tượng tạo ảnh Vì vậy, giải thích tượng tạo ảnh hệ quang học ta đưa thuật toán sau Tìm tham số {a1 , b1 , c1 , d1 , } LCT từ biểu diễn hệ quang học Nếu xét hiệu số co giãn i) Chọn a = a1 , b = b1 ii) d ∈ (−∞, +∞), c = ad−1 b 35 Do đó, tất tham số {a, b, c, d, } LCT thỏa mãn a = a1 , b = b1 tìm Từ đó, ta giải thích tượng tạo ảnh Nếu bỏ qua hiệu số co giãn i) Chọn a = a1 σ ,b = b1 σ ii) d ∈ (−∞, +∞), c = ad−1 b tìm tất hàm riêng LCT với tham số {a, b, c, d, } LCT thỏa mãn a = a1 σ ,b = b1 σ iii) σ ∈ (−∞, +∞) làm lại i) ii) Như vậy, ta tìm tất tham số {a, b, c, d, } LCT thỏa mãn a : b = a1 : b1 Hàm riêng LCT với tham số {a, b, c, d, } tìm giải thích tượng tạo ảnh bỏ qua hiệu số co giãn tỷ số co giãn (tỷ số σ thỏa mãn |f0 (t)| = τ.|fi (σ.t)| fi (t) đầu vào f0 (t) đầu ra) σ= a1 b1 = a b Ta đưa ví dụ sau Cho hệ quang học gồm hai thấu kính Hình 3.1: Hệ quang học với hai thấu kính mơi trường suốt Ma trận biểu diễn hệ biến đổi LCT với tham số sau:        − f2π 2λ  zλ 2π   1 −2π f1 λ 1− = − f2π 1λ − z f1 2π f2 λ + zλ 2π 2πz f1 f2 λ Khi đó, tất hàm riêng LCT với tham số {a, b, c, d, } a:b=1− 36 z zλ : , f1 2π 1− z f2  giải thích tượng tạo ảnh quang học với tỷ số co giãn z f1 1− σ= a = zλ 2πb Khi a=1− z , f1 b= zλ , 2π (3.2) σ = hàm riêng LCT trường hợp giải tượng tạo ảnh bỏ qua hiệu số co giãn Sau ta thảo luận trường hợp σ = bỏ qua hiệu số co giãn Trước tiên ta chọn a b công thức (3.2) Giá trị a + d xác định từ hàm riêng biến đổi LCT Từ d giá trị a+d=1− z + d, f1 giá trị Giá trị d ∈ (−∞, +∞) ta tìm đầu vào hợp lý để giải thích tượng tạo ảnh hệ quang học bỏ qua hiệu số co giãn Trường hợp d = −3 + fz1 , (a + d = −2) (giả sử z = 2f1 ) Trong trường hợp này, để giải thích tượng tạo ảnh, ta xác định hàm φ(t) sau ∞ φ(t) = ei.π((−2+z/f1 )/zλ)t ei(t−x) /2ρ g(x)dx, −∞ ∞ g(t) = Cn cos 2πt 2n +h , zλ Cn sin 2πt 2n +h , zλ n=0 ∞ g(t) = n=0 với ρ Cn tùy ý, h< zλ Ta chọn ρ = φ(t) = A.ei.π((−2+z/f1 )/zλ)t g(t) 37 Trường hợp −3 + fz1 < d < + fz1 , (−2 < a + d < 2) Trong trường hợp này, từ mục 2.2, ta hàm φ(t) sau: (σ,τ ) φm −(iτ + 1)t2 t H m 2σ σ (t) = exp Trường hợp d = + fz1 , (a + d = 2) Trong trường hợp này, để giải thích tượng tạo ảnh, ta xác định hàm sau i(π/f1 λ)t2 φ(t) = e ∞ ei((t−x) /2ρ) g(x)dx, −∞ ∞ Cn exp g(t) = n=0 i2πt 2n +h zλ ∞ Dm exp + m=0 − i2πt 2m +h , zλ ρ, Cn , Dm tùy ý h< zλ Ta chọn ρ = φ(t) = ei.π.t /f1 λ g(t) Vì vậy, để giải thích tượng tạo ảnh hệ quang học có nhiều ảnh đầu vào, ý thấu kính (tiêu cự f2 ) khơng ảnh hưởng tượng tạo ảnh, ta dùng phương pháp tương tự thay đổi giá trị b, d khoảng (−∞, +∞) để tìm đầu vào mà giải thích tượng tạo ảnh xét hiệu số co giãn 38 KẾT LUẬN Luận văn giải cơng việc sau: • Định nghĩa biến đổi tắc tuyến tính LCT , biến đổi Fourier, biến đổi Fourier phân thứ, biến đổi Fresnel, số kết xây dựng hàm riêng LCT • Chỉ hàm riêng giá trị riêng biến đổi LCT trường hợp |a + d| ≤ • Giải thích tượng tạo ảnh quang học dựa sở kết thu từ hàm riêng biến đổi LCT Tuy nhiên, thời gian thực luận văn khơng nhiều kiến thức cịn hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận góp ý thầy bạn đọc để luận văn hồn chỉnh 39 Tài liệu tham khảo [1] K B Wolf, Integral transforms in science and engineering, in Canonical Transform New York: Plenum, 1979, ch.9 [2] S Abe and J T Sheridan, Optical operations on wave functions as the Abelian subgroups of the special affine Fourier transformation, Opt.Lett, vol 19, no 22, pp 1801-1803, 1994 [3] L M Bernardo, ABCD matrix formalism of fractional Fourier optics, Opt Eng., vol 35, no 3, pp 732-740 Mar 1996 [4] S Abe and J T Sheridan, Almost Fourier and almost Fresnel transformation,Opt.Commun.,vol.113, pp 385-388, 1995 [5] M Moshinsky and C Quesne, Linear canonical transformations and their unitary representation, J Math Phys., vol 12, no 8, pp 1772-1783, Aug 1971 [6] S A Collins, Lens-system diffraction integral written in terms of matric optics, J Opt Soc Amer., vol 60, pp 1168-1177, Sept 1970 [7] V Namias, The fractional order Fourier transform and its application to quantum mechanics, J.Inst Math Appl., vol 25, pp 241-265, 1980 [8] L B Almeida, The fractional Fourier transform and time-frequency representations, IEES Trans Signal Processing, vol 42, pp 3084-3091, Nov 1994 40 [9] H M Ozaktas, M A Kutay, and Z Zalevsky, The fractional Fourier transform with applications in optics and processing, New York: Wiley, 2000 [10] J W Goodman, Introduction to Fourier optics, 2nd ed New York: McGrawHill, 1988 [11] S C Pei and J J Ding Eigenfuntions of the canonical transform and selfimaging problems in optical system, in Proc IEE Int Conf Acoust., Speech, Signal Process., Istanbul, Turkey, June 2000, pp 73-76 [12] D F V James and G S Agarwal, The generalized Fresnel transform and its applications to optics, Opt Commun., vol 126, pp 207-212, May, 1996 [13] M J Bastiaans, Wigner distribution funtion and its application to firstorder optics, J Opt Soc Amer., vol 69, pp 1710-1716, 1979 [14] M Nazarathy and J Shamir, First-order optics–A canonical operator representation: Lossless system, J Opt Soc Amer., vol 72, pp 356-364, 1982 [15] M J Bastiaans, Propagation laws for the second-order moments of the Wigner distribution funtion in first-order optical systems, Optik, vol 82, pp 173-181, 1989 [16] J T Winthrop and C R Worthington, Theory of Fresenel images Plane periodic objects in monochromatic light, J Opt Soc Amer., vol 55, pp 373381, 1965 [17] K Paiorski, The self-imaging phenomenon and its applications, in Progess in optics, E Wolf, Ed Amsterdam, The Netherlands: North-Holland, 1989, pt 1, vol 27 [18] W Zhao and R M Rao, Discrete-time, continuous-dilation construction of self-similar signals and linear scale-invariant systems, to be published 41 [19] G W Wornell, Signal processing with Fractals, Upper Saddler River, NJ: Prentice-Hall, 1996 [20] R N Bracewell, The Fourier integal and its applications, 3rd ed Bonston, MA: McGraw-Hill, 2000 [21] T Alieva and A M Barbe, Self-fractional Fourier funtions and selection of modes, J Phys A: Math Gen, vol 30, pp 211-215,1997 [22] —– Self-imaging in fractional Fourier transform systems, Opt Commun., vol 152, pp 11-15, June 1998 [23] S G Lipson and H Lipson, Optical physics, 2nd ed Cambridge, U K Cambridge Univ, Press, 1981, pp 190-192 [24] S J Leon, Linear algebra with applications, 4th ed Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1994 [25] T Alieva and M J Bastiassns, Powers of transfer matrices determined by means of eigenfuntions, J Opt Soc Amer A, vol 16, no 10, pp 2413-2418, Oct, 1999 [26] H Hamam and J L de Bougrenet de la Tocnaye, Programmable joint fractional Talbot computer-generated holograms, J Opt Soc Amer., vol 12, no 2, pp 314-324, Feb 1995 [27] A W Lohmann, An arry illuminator based on the Talbot effect, Optik, vol 79, pp 41-45, 1998 [28] J Leger and G J Swanson, Efficient arry illuminator using binary-optics phase plates as fractional Talbot planes, Opt Lett., vol 15, pp 288-290, 1990 [29] T Aliva and F Agullo-Lopez, Imaging in first-order optical systems, J Opt Soc, Amer A, vol 13, no 12, pp 2375-2380, Dec 1996 42