Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2005 - 2006 của Doãn Hoài Nam

Phần A: Lý do chọn chuyên đề

Hệ phơng trình đối xứng là dạng toán hay trong chơng trình Toán của bậc học Phổ thông Để giải quyết tốt đợc bài toán dạng này, học sinh cần vận dụng nhiều kiến thức Toán Điều đó giúp cho học sinh biết huy động các kĩ năng Toán vào việc giải một bài toán cụ thể và còn rèn luyện cho học sinh kỹ năng về t duy Tính cần cù trong học tập, biết vận dụng các kiến thức đã học vào việc giải quyết một bài toán cụ thể.

Chính vì lí do đó, nên tôi đã su tầm và dạy cho học sinh chuyên đề:

“Hệ phơng trình đối xứng”

Phần b: những nội dung cụ thể

I Hệ phơng trình đối xứng loại I:

Phần 1- Định nghĩa: Dựa vào lý thuyết đa thức đối xứng

- Phơng trình n ẩn x1, x2, , xn gọi là đối xứng với n ẩn nếu thay xi bởi xj; xj bởi xi thì phơng trình

- Hệ phơng trình đối xứng loại I là hệ mà trong đó gồm các phơng trình đối xứng.

- Với học sinh phổ thông ta đa vào hệ đối xứng loại I với 2 ẩn số, với học sinh chuyên ta nên đa vào hệ đối xứng loại I với 3 ẩn số.

- Để giải đợc hệ phơng trình đối xứng loại I ta phải có định lý Viet.

*) Nếu đa thức F(x) = a0xn + a1xn-1 + an, a0 ≠ 0, ai  P có nghiệm trên P là c1, , cn thì

2.Định nghĩa: Hệ gồm 2 phơng trình đối xứng gọi là hệ đối xứng loại I, 2 ẩn

Một phơng trình 2 ẩn gọi là đối xứng nếu đổi vị trí hai ẩn thì phơng trình không đổi

+ Biểu diễn từng phơng trình của hệ qua x+y và xy

+ Đặt S = x+y, P = xy, ta có hệ mới chứa ẩn S, P Giải nó tìm S, P + Với mỗi cặp S, P ta có x, y là nghiệm của phơng trình X2 - SX + P = 0.

+ Tuỳ theo yêu cầu của bài toán ta giải hoặc biện luận hệ ẩn S, P và phơng trình

========================================================1

X2 - SX + P = 0 để có kết luận cho bài toán.

Với S = -3, P = 5 có x, y là nghiệm của phơng trình X2 + 3X +5 = 0 vô nghiệm Vậy hệ có tập nghiệm {(x;y)} = {(0;2); (2;0)}.

Loại 2: Đối xứng giữa các biểu thức của ẩn

+ Nâng hai vế của (2) lên luỹ thừa n và coi xn, yn nh nghiệm của phơng trình

Hệ (2) là hệ đối xứng đối với u,v Giải (2) tìm u, v từ đó suy ra nghiệm của (1) Loại 3: Giải và biện luận hệ theo tham số

VD6: Giải và biện luận hệ:

Để hệ có đúng hai nghiệm thì m=0 khi đó 2 nghiệm là {(x;y)} = {(1;1); (-1;-1)} Loại 4: Một số bài toán giải bằng cách đa về hệ.

II gi¶i HÖ ph¬ng tr×nh cã tham sè:

1 Gi¶i vµ biÖn luËn:

b Tìm các giá trị của m để hệ có nghiệm

b Tìm giá trị m đẻ hệ có nghiệm (x,y) với x > 0, y > 0 6 Cho x,y,z thoả mãn;

+ Giải phơng trình X3 - αX2 + βX - γ = 0 (1) tìm đợc nghiệm (x, y, z) của hệ Chú ý: (1) có nghiệm duy nhất  hệ vô nghiệm.

(1) có 1 nghiệm kép duy nhất  hệ có nghiệm.

(1) có 2 nghiệm : 1 nghiệm kép, 1 nghiệm đơn  hệ có 3 nghiệm.

Vậy hệ có nghiệm là {(a; 0; 0); (0; a; 0); (0; 0; a)} e.Chú ý: Có nhiều vấn đề cần lu ý khi giải hệ loại này

+ Với cách giải theo định lý Vi-et từ hệ ta phải đa ra đợc x + y + z; xy + yz + zx; xyz có thể nó là hệ quả của hệ nên khi tìm đợc nghiệm nên thử lại.

+ Vì là hệ đối xứng giữa các ẩn nên trong nghiệm có ít nhất 2 cặp nghiệm có cùng x, cùng y hoặc

Giải: Rõ ràng x = 0, y = 0, z = 0 không là nghiệm của hệ

Với x ≠ 0, y ≠ 0, z ≠ 0, nhân hai vế của (3) với xyz ta có xy + yz + zx = xyz (4).

- Hệ phơng trình 2 ẩn mà khi đổi vị trí hai ẩn trong hệ ta có phơng trình này trở thành phơng trình kia gọi là hệ đối xứng loại 2, 2ẩn.

- Cách giải: Trừ từng vế của hai phơng trình ta có phơng trình tích có mối liên quan giữa x, y rồi thay vào 1 phơng trình của hệ

A Dùng chủ yếu là phơng pháp biến đổi tơng đơng bằng phép cộng và thế Ngoài ra sử dụng sự đặc biệt trong hệ bằng cách đánh giá nghiệm, hàm số để giải.

Hệ này đơng tơng với 4 hệ sau:

Gi¶i: XÐt hai trêng hîp sau:

TH1: Trong 3 sè Ýt nhÊt cã 2 nghiÖm sè b»ng nhau:

Hai phơng trình còn lại tơng tự ta có hệ phơng trình tơng đơng với:

 y > z > x mâu thuẫn với (*).

Vậy điều giả sử sai Do vai trò x, y, z nh nhau.

Trong thực tế giảng dạy, tôi đã làm rõ cho học sinh các dạng bài về “Hệ phơng trình đối xứng” Tuy nhiên, chuyên đề của tôi còn hạn chế về số lợng các bài tập cũng nh về phơng pháp

Do·n Hoµi Nam

========================================================15