- 1 - CHƯƠNG TRÌNH A. ĐẠI SỐ : I/ Rút gọn biểu thức. II/ Thực hiện phép tính. III/ Chứng minh đẳng thức. IV/ Chứng minh bất đẳng thức. V/ Các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai. VI/ Giải PT và HPT bằng phương pháp đặt ẩn phụ. VII/ Giải phương trình Vô tỉ – phương trình chứa giá trò tuyệt đối. VIII/ Giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất. IX/ Các bài toán liên quan đến hàm số. X/ Hệ thức Viét - áp dụng B. HÌNH HỌC: 20 BÀI TOÁN MẪU. - 2 - A. ĐẠI SỐ I. RÚT GỌN BIỂU THỨC : 1) Phương pháp: Để rút gọn một biểu thức ta thực hiện các bước sau: + Quy đồng mẫu (nếu có). + Đưa bớt thừa số ra ngoài dấu căn. + Trục căn thức ở mẫu( nếu có). + Thực hiện các phép tính. + Rút gọn. 2) Các ví dụ: Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức: 2 2 1 1 1) ; 2) 1 1 a b ab a b a a a A B a a a b a b a    + − − − − = − = +  ÷ ÷  ÷ ÷ − − + −    Giải: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 2 3 2 0, 0 0, 0 1) : 0 0 2 ( ) 0 0 0 0 2) : 1 0 1 1 0 1 1 (1 )(1 ) 1 ( ) 1 1 1 1 a b a b DK a b a b a b a b a b a ab b a b a b A a b a b a b a b a b a b A a a DK a a a a a a a a a B a a a a a a ≥ ≥  ≥ ≥   − ≠ ⇔   ≠   + ≠  + − − + − − = − = − − + − + = − − − = ⇒ = ≥  ≥   − ≠ ⇔   ≠   − ≠        − − − + + −  ÷   = + = +  ÷   ÷ − − − −         2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 ) (1 ). (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 1 (1 ) (1 ) 1 a a a a a a a a a a B ÷ − = + + + − + + − = = − + ⇒ = 3) Rút gọn rồi tính gía trò của biểu thức: 2 2 2 2 5 2 1 2 1 : 2 C a a a a khi a= + − − − − = Giải: Điều kiện: a 2 –1 ≥ 0 - 3 - 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) 2 1 1 ( 1) 2 1 1 ( 1) 2 1 1 ( 1) 2 1 1 ( 1 1) ( 1 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 C a a a a a a a a a a a a a a = − + − + − − − − + = − + − + − − − − + = − + − − − = − + − − − = − + − − − Với a = 5 2 , Ta được: C = 1 4) Rút gọn biểu thức: D = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 b c a c a b a b c + + + − + − + − ; biết a + b + c = 0. Giải: Có: a + b + c = 0 b c a⇒ + = − 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 b c a b c bc a b c a bc ⇔ + = ⇔ + + = ⇔ + − = − Tương tự ta có: c 2 + a 2 – b 2 = -2ab a 2 + b 2 – c 2 = -2 ac 1 1 1 ( ) 0 2 2 2 2 a b c D bc ab ac abc − + + ⇒ = + + = = − − − ( vì a+ b + c = 0) Vậy khi a + b + c = 0 thì D = 0 5) Cho a,b,c > 0. Rút gọn: 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 ; 2 ; M a b c ac bc a b c ac bc a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b khi a b c c Khi a b c = + + + + + + + − + = + + + + + + + − + = + + + + − = + + + + −  + + ≥  =  + <   - 4 - II. THỰC HIỆN PHÉP TÍNH: 1) Phương pháp: Dùng các phép biến đổi về căn thức, đưa biểu thức dưới dấu căn về dạng (a ± b) 2 để đưa ra thừa số ra ngoài căn…. 2) Các ví dụ: Tính: 8 2 15 8 2 15 ; 49 20 6 49 20 6 4 10 2 5 4 10 2 5 ; 4 7 4 7 2 A B C D = − − + = + + − = + + + − + = + − − − Giải: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 8 2 15 8 2 15 5 2 5.3 3 5 2 5.3 3 5 2 5.3 3 5 2 5.3 3 ( 5 3) ( 5 3) ( 5 3) ( 5 3) 2 3 2 : 8 2 15 8 2 15 8 2 15 8 2 15 2 (8 2 15)(8 2 15) 16 2 4 16 4 12 : 0 12 2 3 49 20 6 49 20 6 A A Cach A Do A A B = − − + = − + − + + = − + − + + = − − + = − − + = − = − − + = − + + − − + = − = − = < ⇒ = − = − = + + − HS Tự giải: Đáp số: B = 10 ; C = 5 1+ 2 2 4 7 4 7 2 8 2 7 8 2 7 2 2 2 ( 7 1) ( 7 1) 7 1 7 1 2 2 2 2 2 2 7 1 7 1 2 2 2 0 2 D = + − − − + − = − − + − + − = − − = − − + − + = − = − = 3) Bài Tập:Tính: H = 2006 2005.2007 2006 2005.2007 2 2 + − + (4 15)( 10 6)( 4 15 ); 13 160 53 4 90E F= + − − = − − + Đáp số : E = 2 ; F = -4 5 2 2 2 2 2 2 2 1991 1990.1992 1991 1990.1992 2 2 1991 1991 1 1991 1991 1 1991 1991 1 1991 1991 1 2 . 2 2 2 2 1991 1991 (1991 1) 1991 1 1992 G G + − = + + − − − + − − − = + + = + − − = + = Vì G > 0 Suy ra G = 1992 - 5 - III. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC: A = B (1) 1) Phương pháp giải : a) Phương pháp 1 :Dựa vào đònh nghóa: A = B ⇔ A – B = 0 + Lập hiệu số : A – B. + Biến đổi biểu thức: A – B và chứng tỏ A – B = 0 + Kết luận A = B. b) Phương pháp 2 : Biến đổi trực tiếp A = A 1 = A 2 = A 3 = ………….= B c) Phương pháp 3: Sử dụng giả thiết để biến đổi. d) Phương pháp 4: Chứng minh: A = C và B = C ⇒ A = B e) Phương pháp 5: Biến đổi tương đương Ta có: A = B / / // // (*) .A B A B⇔ = ⇔ = ⇔ ⇔ (*) đúng suy ra A = B f) Phương pháp 6: Quy nạp g) Phương pháp 7: Dùng biểu thức phụ 2) Các ví dụ : Ví dụ 1: Chứng minh: (x +y) 2 – y 2 = x(x+2y) Giải: Ta có: (x +y) 2 – y 2 - x(x+2y) = x 2 + 2xy + y 2 – y 2 – x 2 – 2xy = 0 Vậy: (x +y) 2 – y 2 = x(x+2y) Ví dụ 2:C/m 2 2 2 1 2 2 1 2 2 ; : 0m m m m m m m Khi m+ + + − + − + = > Giải: 2 2 ( 1) 2 ( 1) ( 1) 2 ( 1) ( 1 ) ( 1 ) 1 ( 1 ) 2 VT m m m m m m m m m m m m m m m m m m m VP = + + + + − + − + + = + + − + − = + + − + − = + = = Vậy khi m > 0 thì: 2 2 2 1 2 2 1 2 2m m m m m m m+ + + − + − + = Ví dụ 3: Cho a + b + c = 0. chứng minh: a) a 2 + b 2 – c 2 + 2ab = 0 b) a 3 + b 3 + c 3 = 3 abc Giải: a) Ta có: a + b + c = 0 2 2 2 2 2 ( ) 2 0a b c a b c a b ab c⇒ + = − ⇒ + = ⇒ + + − = (đpcm) b) Có: 3 3 a + b + c = 0 a+b=-c (a+b) c⇒ ⇒ = − 3 2 2 3 3 3 3 3 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 0 3 3 3 ( ) 3 ( ) 3 a a b ab b c a b c a b ab a b c ab a b a b c ab c a b c abc ⇒ + + + + = ⇔ + + = − − ⇔ + + = − + ⇔ + + = − − ⇔ + + = Ví dụ 4: Ví dụ 5: Chứng minh: ( ) 2 3 2 3 6 1+ + − = Giải: 2 (1) ( 2 3 2 3) 6 2 2 2 6 ⇔ + + − = ⇔ ⇔ + + = - 6 - Vậy: 2 3 2 3 6+ + − = PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP: + Bước 1: Với n = 1 ⇒ A(n) đúng + Bước 2: Giả sử A(n) đúng khi n = k ( k Z∈ ) + Bước 3: Ta chứng minh A(n) đúng với n = k + 1 Ví du ï6: Chứng minh rằng: 1 + 2 + 3 +…….+ n = ( 1) (1) 2 n n n Z + + ∀ ∈ Giải: + Với n = 1, ta có: 1(1 1) 1 1 1 2 + = ⇔ = đúng + Giả sử: (1) đúng khi n = k ( k ∈ Z) tức là: 1 + 2 + 3 +…….+ k = ( 1) 2 k k + (2) + Khi n = k + 1, ta phải chứng minh: 1 + 2 + 3 +…….+ k + (k +1) = ( 1)( 2) 2 k k+ + (3) có: (2) ⇔ 1 + 2 + 3 +…….+ k + (k +1) = ( 1) 2 k k + + k + 1 ⇔ 1 + 2 + 3 +…….+ k + (k +1) = ( 1) 2( 1) ( 1)( 2) 2 2 k k k k k+ + + + + = Vậy: 1 + 2 + 3 +…….+ n = ( 1) 2 n n n Z + + ∀ ∈ 3) Bài tập : Bài1: Chứng minh: 2 1 a b b a b a b a b − − = − − + ; với a > 0, b > 0 , a ≠ b Bài2: a) Chứng minh rằng nếu a = b + 1 thì (a + b)(a 2 + b 2 )(a 4 + b 4 ) = a 8 – b 8 b) Chứng minh rằng nếu a + b + c = 0 thì a 3 + a 2 c - abc + b 2 c + b 3 = 0 Bài3: Chứng minh: * 1 1 1 , ( 1) 1 1 n N n n n n n n = − ∈ + + + + Bài4: Chứng minh: 2( 3 1) 2 3n = + − là một số tự nhiên. Bài5: Chứng minh: 3 ( ) 2 3( ) 3 x y x x y y xy y x y x x y y − + + − + = − + Bài6: Chứng minh: 3 2 ( 1) ( 1) , : 0, 0 a a b b a b Khi a b a a b ab a a − − − − = > ≥ + + − Giải: Bài2: a) Có a = b +1 1a b ⇒ − = 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 8 8 (a + b)(a + b )(a + b )=1.(a + b)(a + b )(a + b ) =(a-b)(a + b)(a + b )(a + b ) =(a -b )(a + b )(a + b ) =(a )(a + b )=ab b ⇒ − − c) Có: a 3 + a 2 c - abc + b 2 c + b 3 = (a 3 + b 3 ) + (a 2 c – abc + b 2 c) =(a + b)(a 2 – ab + b 2 ) + c( a 2 – ab +b 2 ) - 7 - =(a + b + c)( a 2 – ab + b 2 ) = 0; Vì a + b + c = 0 Vậy: a 3 + a 2 c - abc + b 2 c + b 3 = 0, khi: a + b + c = 0 Bài3: 2 2 1 1 ( 1) 1 1( 1 ) 1 1 1 1 . . 1 1 1 ( 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 VT n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n VP n n = = + + + + + + + − = = + + + + + + + − + = = − + + + = − = + Bài4: Có : 2( 3 1) 2 3n = + − = 4 2 3 2( 3 1) 2( 3 1) 4 2 3 2 2 − + + = − = 2 ( 3 1) ( 3 1) ( 3 1)( 3 1) 3 1 2 N+ − = + − = − = ∈ Vậy n là số tự nhiên. Bài1; Bài5; Bài6 HS tự chứng minh. - 8 - IV/ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC: A > B (1) 1) Phương pháp giải: a) Phương pháp1:Dùng Đònh nghóa A > B ⇔ A – B > 0 ( hoặc B – A < 0) + Lập hiệu: A – B. + Rút gọn A – B và chứng tỏ A – B > 0 ( hoặc B – A < 0) + Kết luận A > B. b) Phương pháp2: Biến đổi trực tiếp A = A 1 = A 2 = ………… = B + M 2 > B ; M ≠ 0 c) Phương pháp3: Sử dụng giả thiết hoặc một bất đẳng thức đã biết. d) Phương pháp4: Chứng minh A > C và C > B suy ra A > B e) Phương pháp5: Biến đổi tương đương: A > B ⇔ A 1 > B 1 ⇔ …… ⇔ (*) đúng, suy ra A > B f) Phương pháp 6: Quy nạp. g) Phương pháp7: PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG Để Chứng minh A > B , Ta làm như sau: + Bước 1: Giả sử A ≤ B. + Bước 2: Dùng các phép biến đổi tương đương để dẫn đến điều vô lý. + Bước 3: Kết luận A > B. h) Phương pháp9: Phân tích số hạng 2) Các ví dụ : Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi a, b, c ta luôn có: a 2 + b 2 + c 2 ab bc ca≥ + + Dấu “= “ xảy ra lúc nào? Giải: Ta có: a 2 + b 2 + c 2 ab bc ca− − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 0, , , 2 a b c ab bc ac a ab b a ac c b bc c a b a c b c a b c a b c ab bc ca = + + − − −   = − + + − + + − +     = − + − + − ≥ ∀   ⇒ + + ≥ + + dấu “=” xảy ra khi a = b = c. Ví dụ 2: CMR: 2 2 3 0 4 x x+ + > Với mọi giá trò của x Giải: Ta có: 2 2 2 2 3 2 1 2 ( 1) 2 0,x x x x x x+ + = + + + = + + > ∀ , Vì (x + 1) 2 ≥ 0 Do đó: 2 2 3 0 4 x x+ + > Với mọi giá trò của x Vì 4 > 0 Ví dụ 3:Chứng minh ví dụ 1 Ta có: (a – b) 2 0; ,a b≥ ∀ 2 2 2 0a ab b⇔ − + ≥ - 9 - 2 2 2 (1)a b ab⇔ + ≥ ( Dấu bằng xảy ra khi a = b) Tương tự: 2 2 2b c bc+ ≥ (2) (Dấu bằng xảy ra khi b = c) 2 2 2a c ac+ ≥ (3) (Dấu bằng xảy ra khi a = c) Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta có: 2a 2 + 2b 2 + 2c 2 ≥ 2abb + 2bc + 2ac 2 2 2 a b c ab bc ac⇔ + + ≥ + + Dấu “=” xảy ra khi a = b = c 3) Bài tập: 1) Chứng minh: a b a b b a + ≤ + ( Với a>0; b>0) 2) Chứng minh: 2 2 (2 1) 5 4 0, 0a a a a− + + + ≥ ∀ ≥ 3) Chứng minh: 2 2 10 4 0, 1 x x x x x − + − < ∀ + 4) Chứng minh: 1 1 4 , ( , 0)x y x y x y + ≥ ∀ > + 5) Chứng minh: 2 2 2 2 2 a b a b+ +   ≥  ÷   6) Chứng minh: 1 1 1 1, 1.2 2.3 ( 1) n N n n + + + < ∀ ∈ + 7) Chứng minh: 2 2 2 2 1a b c d a b c d+ + + + ≥ + + + Giải: 1) Với a>0; b>0, Ta có: 3 3 ( )( ) 0 (*) a b a a b b a b a b a b ab b a ab a b a b a ab b ab ab a ab b a b a b + + + ≤ + ⇔ + ≤ ⇔ ≤ + + + + ⇔ ≤ ⇔ ≤ + + + ⇔ ≤ + (*) Đúng Với a>0; b>0. Vậy BĐT được chứng minh 4) Ta có: (x – y ) 2 0, ,x y≥ ∀ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 4 4 4 ; : ( ) 0 ( ) ( ) 4 1 1 4 x y xy xy x y xy x y xy Khi xy x y xy x y xy x y x y xy x y y x x y ⇔ − + ≥ ⇔ + ≥ + ⇔ ≥ + > + + + ⇔ ≥ ⇔ + ≥ + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5) : ( ) 0 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) 2 2 2 Do a b a b ab a b a b ab a b a b a b a b a b a b − ≥ ⇔ + ≥ ⇔ + ≥ + + ⇔ + ≥ + + + +   ⇔ + ≥ ⇔ ≥  ÷   - 10 - 1 1 1 1 1 1 1 1 6) (1 ) ( ) ( ) 1.2 2.3 ( 1) 2 2 3 1 1 1 1 1 1, 1 1 1 n n n n n n n N n n n + + + = − + − + + − + + + − = − = = < ∀ ∈ + + + 2 2 2 1 1 7)( ) 0 0 2 4 1 ; (1) 4 a a a a a − ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ + ≥ Tương tự ta có: 2 2 2 1 ; (2) 4 1 ; (3) 4 1 ; (4) 4 b b c c d d + ≥ + ≥ + ≥ ⇒ 2 2 2 2 1a b c d a b c d+ + + + ≥ + + + V/ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI. 1) Ghi nhớ: Cho phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (1), với a, b, c phụ thuộc vào tham số m + Bài toán1: Tìm điều kiện của m để PT (1) có nghiệm. (1) có nghiệm khi: a) Hoặc a = 0, b ≠ 0 b) Hoặc a ≠ 0, 0 ∆ ≥ + Bài toán2: Điều kiện để PT (1) có 2 nghiệm phân biệt: a ≠ 0 và 0 ∆ > + Bài toán3: Điều kiện để PT (1) có 1 nghiệm: a = 0 và b ≠ 0, hoặc a ≠ 0 và 0 ∆ = + Bài toán4: a) Điều kiện để PT (1) có 2 nghiệm cùng dấu: 0 ∆ ≥ và P > 0 b) Điều kiện để PT (1) có 2 nghiệm dương: 0 ∆ ≥ , P > 0 , S > 0 c) Điều kiện để PT (1) có 2 nghiệm âm: 0 ∆ ≥ , P > 0 , S < 0 d) Điều kiện để PT (1) có 2 nghiệm trái dấu: P < 0 hoặc a và c trái dấu + Bài toán5: Điều kiện để PT (1) có 1 nghiệm x = x 1 . Tìm nghiệm kia? Thay x = x 1 vào(1), ta có: ax 1 2 + bx 1 + c = 0 ⇒ m Thay giá trò của m vào (1) ⇒ x 2 hoặc Tính x 2 = S – x 1 hoặc x 2 = 1 P x + Bài toán6: Điều kiện để PT (1) có 2 nghiệm x 1, x 2 thỏa mãn một trong các giả thiết sau: 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 3 3 1 2 1 2 1 1 ) ) ) ) ) a x x b x x k c n x x d x x h e x x t α β γ + = + = + = + ≥ + = 2) Phương pháp giải: Điều kiện chung: 0∆ ≥ (*) p dụng đònh lý Viét: 1 2 1 2 b S x x a c P x x a −  = + =     = =   [...]... m 3) Các ví dụ: Ví dụ1: Cho Pt x2 + 3x – m = 0 (1) a) Tìm các giá trò của m để Pt (1) có nghiệm b) Đònh m để PT (1) có 1 nghiệm bằng -2 Tìm nghiệm kia Giải: a) PT (1) có nghiệm khi ∆ ≥ 0 9 ⇔ 32 − 4.1.(−m) ≥ 0 ⇔ 9 + 4m ≥ 0 ⇔ m ≥ 4 b) Vì Pt (1) có một nghiệm bằng x1= -2 nên ta có: (-2)2 + 3.(-2 ) – m = 0 ⇔ 4 – 6 – m = 0 ⇔ m = -2 −b −3 = = −3 ⇒ x 2 = −3 − x 1 = −3 − (−2) = −1 Ta có: x1 + x2 = a 1 c 2... 4) Bài Tập: 1) Tìm tất cả các giá trò của m để PT: a) 5x2 + 3x +10 = 0 có nghiệm b) -2x2 + mx - 3 = 0 có nghiệm c) mx2 - 4x - 5 = 0 có nghiệm 2) Cho PT: 2x2 – 10x + m – 1 = 0 (2) a) Giải PT (2) khi m = 9 b) Với giá trò nào của m thì Pt(2) có hai nghiệm phân biệt 3) Cho PT (m + 1)x2 + 3x – 2 = 0 (3) a) Giải PT(3) khi m = 4 b) Với giá trò nào của m thì Pt(3) có hai nghiệm phân biệt c) Tìm m, biết PT(3) . 160 53 4 90 E F= + − − = − − + Đáp số : E = 2 ; F = -4 5 2 2 2 2 2 2 2 199 1 199 0. 199 2 199 1 199 0. 199 2 2 2 199 1 199 1 1 199 1 199 1 1 199 1 199 1 1 199 1 199 1 1 2. 199 1 199 1 1 2 . 2 2 2 2 199 1 199 1 ( 199 1 1) 199 1 1 199 2 G G + − = + + − − − + − − − = + + = + − − = + = Vì G > 0 Suy ra G = 199 2 - 5 - III. CHỨNG MINH