A - mở đầu I - lý do chọn đề tài Trong lịch sử phát triển của toán học thì toán học là một trong bộ môn khoa học đợc ra đời từ rất sớm. Xuất phát từ những đòi hỏi thực tế cuộc sống đã làm nảy sinh các kiến thức toán học. Toán học không những góp phần không nhỏ trong sự phát triển của các bộ môn khoa học khác. Có thể nói toán học là cơ sở của nhiều môn khoa học khác. Chính vì vậy trong nhà trờng phổ thông, môn toán là một trong những bộ môn cơ bản và việc nâng cao kiến thức toán cho học sinh đơng nhiên là cần thiết. Trong các kỳ thi, nhất là kỳ thi học sinh giỏi các cấp thì môn toán có thể nói rất khó khăn, đòi hỏi học sinh phải nắm đợc lợng kiến thức khá rộng và có kỹ năng vận dụng nó một cách linh hoạt sáng tạo. Kiến thức toán học rất rộng, hệ thống bài tập nhiều vì vậy không phải kiến thức bài tập nào giáo viên cũng có thể khai thác và mở rộng ra đợc. Giáo viên chỉ mở rộng cho những kiến thức chính, những dạng bài tập quan trọng, cách mở rộng cũng nhiều hớng khác nhau. Khái quát hoá để mở rộng thành những bài toán tổng quát khó hơn. T- ơng tự hoá để giới thiệu thêm những bài toán có cùng phơng pháp giải. Đặc biệt hoá để đa bài toán về dạng đặc biệt hơn dễ nhớ hơn, có khi chỉ đơn giản là phân tích thêm những kiến thức có liên quan để hớng dẫn học sinh giải theo nhiều cách khác nhau hoặc đặt thêm yêu cầu mới cho bài toán. Điều đó thôi thúc tôi chọn và nghiên cứu đề tài. Khai thác kiến thức cơ bản và bài tập trong sách giáo khoa để bồi d- ỡng học sinh khá giỏi. II - Nhiệm vụ nghiên cứu: Học sinh khá, giỏi hiện nay phần lớn chỉ đầu t vào việc giải hết bài toán khó này đến bài toán khó khác mà cha nâng cao đợc nhiều năng lực toán học. Mà theo quan niệm của tôi cho rằng: Việc ôn tập bồi dỡng học sinh giỏi môn toán cần phải: + Hình thành ở học sinh năng lực toán học bắt đầu từ: - Các bài toán đợc nghiên cứu không quá phức tạp, đã có lời giải, các thao tác t duy dạng sơ cấp. - Năng lực học toán phải tiến hành thơng xuyên liên tục trớc hết thông qua các tiết luyện tập. Đỗ Văn Tâm Trờng THCS Cẩm Đoai 4 - Cần xác định những năng lực toán học nào cần bồi dỡng cho học sinh, hệ thống bài tập cho phù hợp. B - Nội dung Một trong các chức năng của dạy học sáng tạo qua các bài toán ở tr- ờng trung học là hình thành ở học sinh năng lực sáng tạo bài toán mới. Xuất pháp từ bản chất tri thức toán học lôgíc ẩn láu dới vỏ ngôn ngữ , có thể sử dụng các biện pháp sau để hìmh thành năng lực sáng tạo bài toán mới cho học sinh. Biện pháp 1: Hớng dẫn học sinh nhìn thấy cấu trúc lôgíc của bài toán đặc biệt là nhìn thấy sự tơng đơng của các mệnh đề toán học. Biện pháp 2: Tổ chức cho học sinh hoạt động ngôn ngữ thông qua sử dụng các hệ thống khái niệm khác nhau. Hớng dẫn cho học sinh nhận ra sự thống nhất về cấu trúc lôgíc của các bài toán có các biểu tợng trực quan hình học ứng với các hệ thống khái niệm sau đó. Sau đây là một số ví dụ: I - Phần số học Ví dụ 1: Khai thác từ một bài toán lớp 6, chúng ta bắt đầu từ bài toán sau: Bài toán 1: Tổng sau có chia hết cho 3 không? A = 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 +2 8 + 2 9 + 2 10 (Bài 210 trang 27 SBT Toán 6 tập 1) Lời giải: Ta có: A = (2 + 2 2 )+ (2 3 + 2 4 )+ (2 5 + 2 6 )+ (2 7 +2 8 )+ (2 9 + 2 10 ) = 2.(1 + 2) + 2 3 . (1 + 2) + 2 5 . (1 + 2) + 2 7 . (1 + 2) + 2 9 . (1 + 2) = 2.3 + 2 3 . 3 + 2 5 . 3 + 2 7 . 3 + 2 9 . 3 Vậy A chia hết cho 3. Từ bài toán này ta giải đợc một số bài toán sau: Bài toán 1.1: Cho A = 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + . +2 57 + 2 58 + 2 59 +2 60 . Chứng minh rằng A chia hết cho 3. Lời giải: Tơng tự nh Bài toán 1. Đỗ Văn Tâm Trờng THCS Cẩm Đoai 5 Bài toán 1.2: Cho A = 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + . +2 57 + 2 58 + 2 59 +2 60 . Chứng minh rằng A chia hết cho 105. Lời giải: Ta có: 105 = 7.15 và (7, 15) = 1. Thật vậy: A = 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + . +2 57 + 2 58 + 2 59 +2 60 . = (2 + 2 2 + 2 3 ) + (2 4 + 2 5 + 2 6 ) + . + (2 58 + 2 59 +2 60 ) = 2.(1 + 2 + 2 2 ) + 2 4 .(1 + 2 + 2 2 ) + . + 2 58 .(1 + 2 + 2 2 ) = 2.7 + 2 4 .7 + . + 2 58 .7 => A chia hết cho 7. (1) A = 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + . + 2 57 + 2 58 + 2 59 +2 60 . = (2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 ) + . + (2 57 + 2 58 + 2 59 +2 60 ). = 2. (1 + 2 + 2 2 + 2 3 ) + . + 2 57 . (1 + 2 + 2 2 + 2 3 ). = 2.15 + . + 2 57 .15 => A chia hết cho 15. (2) Vì (7, 15) = 1 nên kết hợp (1) và (2) suy ra A chia hết cho 105. Nhận xét: Với A = 2 + 2 2 + . + 2 n a) Các Bài toán 1 và Bài toán 1.1 đúng khi số các số hạng n là số chẵn. b) Bài toán 1.2 đúng khi số các số hạng n chia hết cho 3 và 4. Từ đó suy ra n chia hết cho 12 Bài toán 1.3: Chứng minh rằng: 2 0 + 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + . +2 5n - 3 + 2 5n - 2 + 2 5n - 1 chia hết cho 31 nếu n là số nguyên dơng bất kỳ. Lời giải: Nhóm 5 số hạng rồi đặt thừa số chung của từng nhóm: 2 0 + 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + . +2 5n - 3 + 2 5n - 2 + 2 5n - 1 = (1 + 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 ) + 2 5 (1+ 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 ) + 2 5. 2 (1 + 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 ) + . .+ 2 5(n - 1) (1 + 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 ) = (1 + 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 )(1 + 2 5 + 2 5. 2 + . + 2 5(n - 1) ) = 31.(1 + 2 5 + 2 5. 2 + . + 2 5(n - 1) ) chia hết cho 31. Vậy 2 0 + 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + . +2 5n - 3 + 2 5n - 2 + 2 5n - 1 chia hết cho 31. Bài toán 1.4: Đỗ Văn Tâm Trờng THCS Cẩm Đoai 6 a) Tính tổng S n = 1 + a 1 + a 2 + a 3 + . + a n b) áp dụng tính các tổng sau: S = 1 - 2 1 + 2 2 - 2 3 + 2 4 - . +2 100 T = 3 - 3 2 + 3 3 - 3 4 + . +3 1999 - 3 2000 Lời giải: a) Xét tổng S n = 1 + a 1 + a 2 + a 3 + . + a n Khi a = 1 ta có ngay: S n = n + 1. Khi a 1 ta có: a.S n = a + a 2 + . + a n + a n + 1 Suy ra: a.S n - S n = a n + 1 - 1 S n = (a n + 1 - 1) / (a - 1) b) S 100 = 1 + a 1 + a 2 + a 3 + . + a 100 = (a 101 + 1 - 1) / (a - 1) Với a = -2, ta đợc: S = 1 - 2 + 2 2 - 2 3 + 2 4 - . +2 100 = [(- 2) 101 - 1] / [-2 - 1] = (- 2 101 - 1)/ -3 = ( 2 101 + 1)/ 3. T = 3 - 3 2 + 3 3 - 3 4 + . +3 1999 - 3 2000 = 3. (1 - 3 + 3 2 - 3 3 + . +3 1998 - 3 1999 ) = 3. [(- 3) 2000 - 1] / [-3 - 1] = 3. ( 3 2000 - 1)/ - 4 Bài toán 1.5: a) Chứng minh rằng A là một luỹ thừa của 2 với: A = 4 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + . +2 20 b) Chứng minh rằng 2.A + 3 là một luỹ thừa của 3 với: A = 3 + 3 2 + 3 3 + 3 4 + . +3 100 Bài toán 1.6: Cho số tự nhiên A = 7 + 7 2 + 7 3 + 7 4 + 7 5 + 7 6 + 7 7 + 7 8 . a) Số A là chẵn hay lẻ. b) Số A có chia hết cho 5 không? Bài toán 1.7: Cho S = 2 + 2 2 + 2 3 + . +2 2000 . Hỏi S có chia hết cho 6 không? Bài toán 1.8: Chứng minh rằng tổng: P = 3 + 3 2 + 3 3 + 3 4 + 3 5 + 3 6 + 3 7 + 3 8 + 3 9 chia hết cho 13. II. Phần đại số: Đỗ Văn Tâm Trờng THCS Cẩm Đoai 7 Trong chơng trình Đại số 8, ở học kỳ I, học sinh đợc học về các hằng đẳng thức đáng nhớ, trong đó: A 2 + 2AB + B 2 = ( A + B ) 2 A 2 - 2AB + B 2 = ( A - B ) 2 và có nhận xét: ( A + B ) 2 0 với mọi A, B. ( A - B ) 2 0 với mọi A, B. dấu = xảy ra khi A + B = 0 hay A = - B và A - B = 0 hay A = B từ kiến thức này ta mở rộng và xây dựng nên nhiều bài toán khác. Sau đây là một số ví dụ: Bài 1: Chứng minh rằng biểu thức sau viết đợc dới dạng tổng các bình phơng của hai biểu thức: x 2 + 2( x + 1) 2 + 3( x + 2) 2 + 4( x + 3) 2 Lời giải: x 2 + 2( x + 1) 2 + 3( x + 2) 2 + 4( x + 3) 2 = 10x 2 + 40x + 50 = (x 2 + 10x + 5 ) + ( 9x 2 + 30x + 25 ) = ( x + 5) 2 + ( 3x + 5) 2 Bài 2: Hãy viết biểu thức sau dới dạng tổng của ba bình phơng. ( a + b + c) 2 + a 2 + b 2 + c 2 H ớng dẫn : ( a + b + c) 2 + a 2 + b 2 + c 2 = ( a + b) 2 + ( b + c) 2 +( a + c) 2 Bài 3: Tìm x, y biết: 4x 2 - 16x + y 2 + 4y + 20 = 0 H ớng dẫn : 4x 2 - 16x + 16 + y 2 + 4y + 4 = 0 ( 2x - 4) 2 + ( y + 2) 2 = 0 = = =+ = 2 2 02 042 y x y x Bài 4: Tìm x biết : x 2 + 2( x + 1) 2 + 3( x + 2) 2 + 4( x + 3) 2 = 0 H ớng dẫn : Từ kết quả của Bài 1 ta có phơng trình tơng đơng: Đỗ Văn Tâm Trờng THCS Cẩm Đoai 8 ( x + 5) 2 + ( 3x + 5) 2 = 0 = = =+ =+ 3 5 5 053 05 x x x x Vậy không có giá trị nào của x để vế trái bằng 0. Bài 5: Tìm x, y biết: 4x 2 - 16x + y 2 + 4y + 24 = 0 H ớng dẫn : 4x 2 - 16x + 16 + y 2 + 4y + 4 + 4 = 0 ( 2x - 4) 2 + ( y + 2) 2 + 4 = 0 VT 4 với mọi giá trị của x, y. => Không có giá trị nào của x, y thoả mãn bài tán. Với cách làm nh trên, học sinh dễ dàng làm bài tập sau: Bài 6: Tìm a, b, c để ( a - b) 2 + ( b - c) 2 +( a - c) 2 = 0 H ớng dẫn : ( a - b) 2 + ( b - c) 2 +( a - c) 2 = 0 <=> 0 0 0 = = = ac cb ba <=> a = b = c Học sinh có thể phân tích đề bài: phá ngoặc chuyển vế ta đợc: a 2 + b 2 + c 2 = ab + bc + ca ta suy ra đợc bài toán mới Bài 7: Chứng minh rằng nếu a 2 + b 2 + c 2 = ab + bc + ca thì a = b = c. Dựa vào kết quả bài 6, học sinh tự giải Với hớng dẫn nh bài tập 7 ta có thể đa ra một loạt bài tập có phơng pháp làm tơng tự. Bài 8: Chứng minh rằng nếu (a + b) 2 = 2.(a 2 + b 2 ) thì a = b. Bài 9: Cho a 2 + b 2 + c 2 + 3 = 2(a + b + c), chứng minh rằng a = b = c = 1. Bài 10: Cho (a + b + c) 2 = 3(ab + bc + ca), chứng minh rằng a = b = c . Bài 11: Cho (a - b) 2 + (b - c) 2 + (a - c) 2 = (a + b - 2c) 2 + (b + c - 2a) 2 + (a +c - 2b) 2 chứng minh rằng a = b = c . Bài 12: Cho x + y + z = 0, xy + yz + zx = 0, chứng minh rằng x = y = z. Từ bài tập 7, ta đa ra bài toán tổng quát hơn Đỗ Văn Tâm Trờng THCS Cẩm Đoai 9 Bài 13: Chứng minh rằng với 3 số a, b, c bất kỳ, ta có: a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ca H ớng dẫn: Cách 1: Nhân 2 vế với 2, làm tơng tự bài 7 (biến đổi tơng đơng). Cách 2: (a + b + c) 2 - (ab + bc + ca) = ( ) ( ) ( ) [ ] 222 2 1 accbba ++ 0 => đpcm Cách 3: Phơng pháp phản chứng. Cách 4: Sử dụng bất đẳng thức đã biết, ta có: ca ac bc cb ab ba + + + 2 , 2 , 2 222222 Cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều ta đợc: a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ca. Từ bài 13, ta đề xuất thêm một số bài toán mới: + Xét trờng hợp đặc biệt hơn: cho c = 1 ta có a 2 + b 2 + 1 ab + b + a + Kết hợp với hằng đẳng thức: (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca <=> a 2 + b 2 + c 2 = (a + b + c) 2 - 2(ab + bc + ca) ta có a 2 + b 2 + c 2 3(ab + bc + ca). b) ta có ( ) ( ) 2 222 2 cbacba cabcab ++++ =++ ( ) ( ) 2 222 2 222 cbacba cba ++++ ++ <=> 2(a 2 + b 2 + c 2 ) (a + b + c) 2 - (a 2 + b 2 + c 2 ) <=> (a + b + c) 2 3(a 2 + b 2 + c 2 ) Ta có thể khai thác những bài toán dạng này theo hớng khác là dạng toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. Bài 14: (Suy ra từ bài 5) Tìm giá trị bé nhất của A = 4x 2 - 16x + y 2 + 4y + 24 H ớng dẫn : Đỗ Văn Tâm Trờng THCS Cẩm Đoai 10 A 4, min A = 4 khi x = 2, y = -2 Bài 15: Tìm giá trị bé nhất(lớn nhất) của các biểu thức: P = x 2 - 2xy + 6y 2 - 12x + 2y + 45 Q = -x 2 + 2xy - 4y 2 - 2x - 10y - 3 R = x 2 - 2xy + 4y 2 - 2x - 10y + 3 H ớng dẫn : P = (x- 6 - y) 2 + 5(y - 1) 2 + 4 4 => min P = 4 khi x = 7, y = 1 Q = 10 - (x - y -1) 2 - 3(y - 2) 2 10 => max Q = 10 khi x = 3, y = 2. Từ bài 15 ta có thể suy ra kết quả sau: 1) f(x) = -x 2 + 2xy - 4y 2 + 2x + 10y - 3 có GTLN bằng 10 khi x = 3, y = 2. 2) - f(x) có GTNN bằng -10 khi x = 3, y = 2. 3) )( 1 xf có GTNN bằng 10 1 khi x = 3, y = 2. Bài 16: Tìm GTNN của biểu thức: B = (x + 5) 2 + (3x + 5) 2 (bài tập số 1) H ớng dẫn : B = 10x 2 + 40x + 50 = 10(x 2 + 4x + 4) + 10 = 10(x + 2) 2 + 10 10 Min B = 10 khi x = -2. Xây dựng trờng hợp tổng quát: Xét đa thức ax 2 + bx + c, ta có: F(x) = ax 2 + bx + c = a(x + a b 2 ) 2 - a acb 4 4 2 Nếu a > 0 thì ax 2 + bx + c - a acb 4 4 2 => Min F(x) = - a acb 4 4 2 khi x = - a b 2 Nếu a < 0 thì F(x) - a acb 4 4 2 => Max F(x) = - a acb 4 4 2 khi x = - a b 2 Bài 17: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: B = (x - a) 2 + (x - b) 2 + (x - c) 2 với a, b, c cho trớc H ớng dẫn : B = 3(x - 3 cba ++ ) 2 + (a 2 + b 2 + c 2 ) - 3 )( 2 cba ++ Đỗ Văn Tâm Trờng THCS Cẩm Đoai 11 => min B = (a 2 + b 2 + c 2 ) - 3 )( 2 cba ++ khi x = 3 cba ++ III - Phần hình học Bài 1: Cho ABC, các đờng phân giác của các góc B và C gặp nhau tại S, các đờng thẳng chứa phân giác của hai góc ngoài B và C gặp nhau tại E. Chứng minh rằng: a) BSCE là tứ giác nội tiếp. b) 3 điểm A, S, E thẳng hàng. H ớng dẫn: a) CS là tia phân giác trong của C CE là tia phân giác ngoài của C => SCE = 90 0 . Chứng minh tơng tự SCE = 90 0 . => Tứ giác SBEC nội tiếp vì SCE + SBC = 180 0 b) S là giao điểm của 3 đờng phân giác trong, E là giao điểm của 2 đờng phân giác ngoài của B và C thuộc ABC. Theo định lí đã học => A, S, E thẳng hàng. Khai thác bài toán trên: Nhận xét 1: Ta có SCE = SBE = 90 0 => tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác BSCE là trung điểm của đoạn SE. Ta có thể đặt tiếp câu hỏi cho bài toán. c) Xác định tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác BSEC. Nhận xét 2: Vì SBEC là tứ giác nội tiếp => 21 EE + = 21 CC + = 2 1 ( CB + ) => Câu hỏi tiếp: d) Chứng minh rằng BEC = 2 1 ( CB + ) Nhận xét 3: BOC = 2 E = B + C mà CBA ++ = 180 0 => BOC + A = 180 0 e) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp Nhận xét 4: Đỗ Văn Tâm Trờng THCS Cẩm Đoai 12 A E CB S 1 1 2 2 O nằm trên đờng tròn ngoại tiếp ABC, S là tâm đờng tròn nội tiếp ABC, E là tâm đờng tròn bàng tiếp, OE = OS. f) Chứng minh rằng đoạn thẳng nối tâm đờng tròn nội tiếp với tâm đờng tròn bàng tiếp của tam giác bị đờng tròn ngoại tiếp tam giác ấy chia thành hai phần bằng nhau. Bài 2: Cho đờng tròn tâm O, đờng kính CD = 2R. Từ C và D kẻ hai tiếp tuyến Cx, Dy. Từ một điểm E trên đờng tròn, kẻ tiếp tuyến với đờng tròn đó cắt Cx, Dy lần lợt tại A, B. Chứng minh rằng: AOB = 90 0 . H ớng dẫn: (Có nhiều cách giải) Ta có AE, AC là các tiếp tuyến => AO là tia phân giác của COE Tơng tự: BO là tia phân giác của EOD Mà COE và EOD là hai góc kề bù => AOBO => AOB = 90 0 . Nhận xét 1: Có thể thay đổi vị trí điểm O bằng điểm M bất kỳ trên CD khi đó đờng thẳng vuông góc với ME tại E không là tiếp tuyến của (O) nữa. Vậy AMB = ? Nhận xét 2: 1) Trờng hợp M O => AMB = AOB = 90 0 . => cách chứng minh nh bài toán trên. 2) Trờng hợp M C Có CED = 1v => đờng thẳng vuông góc với ME tại E cắt Cx tại A, cắt Dy tại B => B D. => AMB = ACD = 90 0 Đỗ Văn Tâm Trờng THCS Cẩm Đoai 13 A E CM BD O x y A B E C D O x y O [...]... qua dạy học giải một số bài toán cụ thể mà dần dần truyền cho học sinh cách thức, kinh nghiệm, tiến tới nghệ thuật trong việc suy nghĩ tìm tòi lời giải các bài toán Trên đây là những kiến thức của bản thân tôi trong việc ôn tập bồi dỡng học sinh thông qua việc hình thành cho học sinh năng lực học toán từ việc khai thác các kiến thức cơ bản trong chơng trình sách giáo khoa đi đến sáng tạo và đề xuất bài... Cẩm Đoai Em nào có cách làm? Em nào có cách làm khác? giác trong, E là giao điểm của 2 đ ờng phân giác ngoài của B và C thuộc ABC Theo định lí đã học => A, S, E thẳng GV hớng dẫn HS khai thác bài toán hàng trên Khai thác bài toán Nhận xét 1: Em có nhận xét gì về tứ giác BSEC? ( có hai góc vuông) Từ đó có nhận xét gì về tâm của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác BSEC? Từ SBEC là tứ giác nội tiếp => E1... ngoại tiếp tam giác ấy chia thành hai phần bằng nhau 4 Củng cố - luyện tập GV lu ý cho HS: - Tìm hiểu kỹ bài toán, vẽ hình chính xác - Biết cách phân tích, tổng hợp, khai thác bài toán 5 Hớng dẫn: - Xem kỹ bài tập đã làm trên lớp, cách khai thác bài toán - Làm bài tập sau: Bài 2: Cho đờng tròn tâm O, đờng kính CD = 2R Từ C và D kẻ hai tiếp tuyến Cx, Dy Từ một điểm E trên đờng tròn, kẻ tiếp tuyến với đờng... biện pháp nêu trên không những giúp cho học sinh hiểu sâu nắm vững kiến thức lôgíc của bài toán, biết cách "chuyển hoá" ngôn ngữ thông qua sử dụng hệ thống khái niệm Đỗ Văn Tâm Trờng THCS Cẩm Đoai 16 C Bài soạn - Tiết 1: Phần Hình học A Mục tiêu: - Rèn kỹ năng vẽ hình, trình bày lời giải bài toán hình - Rèn t duy toán thông qua khai thác, mở rộng các bài toán - HS tăng cờng năng lực sáng tạo, tính tự... rộng các kiến thức Nhng để thực sự là một học sinh giỏi toán thì học sinh phải có kỹ năng tìn tòi lời giải bài toán, không bao giờ bằng lòng và dừng lại với phơng pháp giải hiện có mà luôn luôn mong muốn tìm tòi, sáng tạo những lời giải hay, hấp dẫn hơn Vì vậy tôi nghĩ hãy cố gắng hớng dẫn học sinh cachs suy nghĩ, cách tìm tòi lời giải Đây là cơ hội để giáo viên trang bị cho học sinh một số tri thức phơng . lợng kiến thức khá rộng và có kỹ năng vận dụng nó một cách linh hoạt sáng tạo. Kiến thức toán học rất rộng, hệ thống bài tập nhiều vì vậy không phải kiến thức. kiến thức bài tập nào giáo viên cũng có thể khai thác và mở rộng ra đợc. Giáo viên chỉ mở rộng cho những kiến thức chính, những dạng bài tập quan trọng,