1 MC LC Trang Li cm n Li cam doan Li m u 3-4 Chng Tng quan v gi thuyt Erdửs-Szekeres v cỏc bi toỏn liờn quan Đ1.1 Gi thuyt Erdửs-Szekeres Đ1.2 ỏnh giỏ cn trờn v cn di ca N (n) .11 Đ1.3 Bi toỏn v a giỏc li rng 13 Đ1.4 ỏnh giỏ s a giỏc li to thnh t n im trờn mt phng v trớ tng quỏt 15 Chng Mt s cụng thc ỏnh giỏ s a giỏc li rng im trờn mt phng .22 Đ2.1 Mụmen an du ca cỏc a giỏc li rng .22 Đ2.2 ỏnh giỏ cn trờn v cn di cho T2 v cỏc cn liờn quan 31 Đ2.3 Cỏc ỏnh giỏ khụng gian cú s chiu cao hn 38 Đ2.4 Cỏc bt ng thc liờn quan n X k .42 Kt lun 68 Ti liu tham kho 69 LI CM N Lun c hon thnh ti trng i hc S phm H Ni II, di s hng dn ca PGS TS T Duy Phng, Vin Toỏn hc Tụi xin by t lũng bit n sõu sc ti Thy hng dn Tụi xin c cm n Khoa sau i hc, Cỏc Thy Cụ trng i hc S phm H Ni II v Vin Toỏn hc, trng Ph thụng Trung hc ó nhit tỡnh truyn th kin thc v to iu kin giỳp tụi hon thnh khúa Cao hc V cui cựng, xin cm n Gia ỡnh ó ng viờn v khớch l tụi rt nhiu thi gian nghiờn cu v hc H Ni, ngy 01 thỏng 12 nm 2011 Nguyn Vn Ton LI CAM OAN Tụi xin cam oan bn lun ny l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi di s hng dn ca PGS TS T Duy Phng Sụ liu v cỏc kt nghiờn cu lun ny l trung thc v khụng trựng lp vi cỏc ti khỏc H Ni, ngy 01 thỏng 12 nm 2011 Nguyn Vn Ton LI M U Lý chn ti Nm 1935, Erds-Szekeres ó a gi thuyt sau õy: Gi thuyt Erds-Szekeres Mi khụng ớt hn 2n2 im trờn mt phng v trớ tng quỏt (khụng cú ba im no thng hng) u cha n im l nh ca mt a giỏc li Gi thuyt Erds-Szekeres cú ý ngha trit hc sõu sc: T mt hp (cỏc im bt kỡ trờn mt phng) hn n, khụng cú trt t, nhng (cú s lng phn t) ln, ta cú th tỡm c mt cú cu trỳc p (a giỏc li) Bt chp s c gng ca hng trm nh toỏn hc, gi thuyt Erds-Szekeres mi ch c chng minh cho cỏc trng hp n 3,4,5,6 Trng hp n mi c chng minh gn õy (2006) bi Szekeres v Peters nh mỏy tớnh Trờn ng chng minh gi thuyt Erds-Szekeres, rt nhiu phng phỏp v bi toỏn mi ó xut hin Nm 1978, Erds ó phỏt biu mt bi toỏn mi, ú l Bi toỏn Erds (v a giỏc li rng) Cho n l mt s t nhiờn bt kỡ Tn ti hay khụng s nguyờn dng nh nht H (n), cho t mi cha ti thiu H ( n) im v trớ tng quỏt trờn mt phng, u cú th chn c n im l nh ca mt a giỏc li rng Liờn quan n hai bi toỏn trờn, bi toỏn tớnh s a giỏc li rng k nh to c t n im trờn mt phng ( v trớ tng quỏt) l thỳ v v quan trng Lun Mt s h thc liờn quan n gi thuyt Erds-Szekeres cú mc ớch trỡnh by tng quan v gi thuyt Erds-Szekeres v mt s bi toỏn liờn quan, ú c bit chỳ ý n cỏc h thc (ng thc v bt ng thc) liờn quan n s cỏc a giỏc rng to c t n im trờn mt phng Mc ớch nghiờn cu Mc ớch ca Lun l trỡnh by chng minh cỏc ng thc v bt ng thc liờn quan n cỏc i tng hỡnh hc nờu [4] v mt s ti liu liờn quan Da vo cỏc h thc ny, mt s cụng thc gii tớch v cụng thc ỏnh giỏ gi thuyt Erds-Szekeres cng s c trỡnh by Trong chng mc cú th, chỳng tụi cng c gng i sõu tỡm hiu thc hin nhng tớnh toỏn cỏc trng hp c th v tỡm cỏc kt qu mi Nhim v nghiờn cu Lun cú nhim v nghiờn cu mt hng tip cn (qua cỏc cụng thc gii tớch) gi thuyt Erds-Szekeres v mt s m rng ca gi thuyt ny i tng nghiờn cu i tng v phm vi nghiờn cu ca lun c gii hn gi thuyt Erds-Szekeres trờn mt phng Phng phỏp nghiờn cu chng minh cỏc cụng thc, cn s dng cỏc phng phỏp: Qui np, phn chng, ỏnh giỏ,v cỏc cụng c ca Gii tớch, gii tớch hm, i s tuyn tớnh, hỡnh hc t hp Gi thuyt khoa hc Trỡnh by tng quan v mt hng tip cn gi thuyt Erds-Szekeres qua cỏc cụng thc biu din v cụng thc ỏnh giỏ C gng a mt s nhn xột, quan sỏt v úng gúp mi nhm lm sỏng t gi thuyt Erds-Szekeres cho mt s trng hp c th CHNG TNG QUAN V GI THUYT ERDửS-SZEKERES V CC BI TON LIấN QUAN Đ1.1 Gi thuyt Erdửs-Szekeres Nm 1933, Esther Klein ó phỏt biu v chng minh bi toỏn sau õy Bi toỏn 1.1 Vi nm im cho trc v trớ tng quỏt (khụng cú ba im no thng hng) bao gi ta cng tỡm c bn im to thnh mt t giỏc li Hỡnh 1.1: ACDE l t giỏc li, nhng ABCE khụng phi l t giỏc li Di õy l chng minh ca Klein Xột bao li ca nm im (tp li nh nht cha nm im ó cho) v trớ tng quỏt Ch cú ba kh nng khỏc sau õy Kh nng (Hỡnh 1.2): Bao li ca nm im l mt ng giỏc ABCDE Khi y mi b bn im t nm im y u to thnh t giỏc li (v im cũn li nm ngoi t giỏc li ú) Trong trng hp ny cú tt c C54 t giỏc li ú chớnh l cỏc t giỏc ABCD, ABCE, ABDE, ACDE, BCDE Tt c cỏc t giỏc ny u khụng cha im cũn li bờn (im cũn li bờn ngoi t giỏc) Ta gi cỏc t giỏc ny l t giỏc rng Ngoi ra, ta cú tt c C53 10 tam giỏc c to thnh t nm im A, B, C, D, E (ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE) V tt c cỏc tam giỏc ny u l cỏc tam giỏc rng Hỡnh 1.2 Hỡnh 1.3 Hỡnh 1.4 Kh nng (Hỡnh 1.3): Bao li l mt t giỏc cha mt im cũn li bờn (im trong) Trong trng hp ny ta cú mt t giỏc li (kớ hiu l ABCD) cha mt im E bờn T giỏc li ABCD (ch cha ỳng mt im E bờn trong) c gi l t giỏc gn rng Vỡ khụng cú ba im no thng hng nờn E phi nm v cựng phớa vi B (hoc vi D) ca ng thng AC V ta cú t giỏc AECD (hoc ABCE) l t giỏc li rng, cũn t giỏc ABCE (hoc tng ng AECD) l t giỏc lừm Tng t, im E phi cựng phớa vi A (hoc vi C) ca ng chộo BD Khi y t giỏc BEDC (hoc t giỏc ABED) l t giỏc li rng v t giỏc ABED (hoc t giỏc BCDE) l t giỏc lừm Nh vy, Trng hp ta cú hai t giỏc li rng, mt t giỏc li gn rng v hai t giỏc lừm Ngoi ra, trng hp ny, ta cú tt c 10 tam giỏc c to thnh t nm im A, B, C, D, E ú l cỏc tam giỏc: ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE Trong ú tt c tam giỏc cú nh E u l tam giỏc rng (khụng cha hai im cũn li bờn trong) Vỡ k ng chộo AC (hoc BD) ca t giỏc li ABCD thỡ cỏc im khụng thng hng nờn E phi nm mt hai tam giỏc ABC hoc ACD (ABD hoc BCD) Nh vy ta cú hai tam giỏc gn rng (cha im E) v hai tam giỏc rng Kh nng (Hỡnh 1.4): Bao li cha ba im to thnh tam giỏc, thớ d, ABC Hai im cũn li E v D nm bờn tam giỏc Do khụng cú ba im no thng hng (cỏc im v trớ tng quỏt) nờn hai im E v D xỏc nh mt ng thng chia mt phng tam giỏc thnh hai phn cho cú hai nh ca tam giỏc ABC, thớ d, A v B, nm trờn cựng mt na mt phng m Hai im E v D cựng vi A v B to thnh mt t giỏc li rng ABDE T giỏc ny l t giỏc li nht Bn t giỏc ABDC, ABEC, BDCE, ADCE cũn li l cỏc t giỏc lừm Ngoi ra, ta cú tt c 10 tam giỏc c to thnh t nm im A, B, C, D, E ú l cỏc tam giỏc: ABC (cha hai im D, E bờn trong), ACD v BEC cha mt im bờn (tam giỏc gn rng) By tam giỏc cũn li ABD, ABE, ACE, ADE, BCD, BDE, CDE l cỏc tam giỏc rng T quan sỏt trờn, E Klein ó ngh mt bi toỏn tng quỏt sau õy Bi toỏn 1.2 Vi mi s t nhiờn n , hóy xỏc nh s nguyờn dng nh nht N (n) cho mi to thnh t ti thiu N (n) im trờn mt phng v trớ tng quỏt phi cha n im l nh ca mt a giỏc li n cnh Bi toỏn 1.2 c phỏt biu [8] v sau ny c gi l Bi toỏn ErdửsSzekeres Erdửs ó gi bi toỏn ny l bi toỏn cú kt hnh phỳc (happy end problem hay happy ending problem), vỡ khụng lõu sau bi bỏo [8] i (1935), Gyửrgy Szekeres v Esther Klein ó t chc ỏm ci (1937) v sng hnh phỳc bờn 60 nm Trong [8], Bi toỏn 1.2 ó c tỏch thnh hai bi toỏn: Bi toỏn 1.2a Tn ti hay khụng tn ti s N (n) ? Bi toỏn 1.2b Nu s N (n) tn ti thỡ lm th no xỏc nh c N (n) nh mt hm ca n Trong [8] ó chng minh s tn ti s N (n) bng hai cỏch Cỏch th nht Szekeres chng minh khụng lõu sau E Klein phỏt biu bi toỏn, da trờn nh lớ Ramsey (m ễng ó t tỡm li khụng bit nh lớ ny) T ú ta cú bt ng thc N (n) R4 (n,5) , ú R4 ( n,5) l s Ramsey Tuy nhiờn, ỏnh giỏ ny l quỏ ln so vi thc t Thớ d, vi n thỡ R4 5,5 210000 , quỏ xa so vi thc t N (5) Cỏch th hai Erdửs chng minh da trờn mt s quan sỏt hỡnh hc v c mt ỏnh giỏ tt hn N (n) C n n Nh vy, Bi toỏn 1.2a ó c tr li khng nh Rừ rng ba im khụng thng hng l to mt tam giỏc nờn N (3) E Klein ó chng minh (nh ó trỡnh by trờn) rng N (4) Bi toỏn 1.3 Vi chớn im cho trc v trớ tng quỏt (khụng cú ba im no thng hng) bao gi ta cng tỡm c nm im to thnh mt ng giỏc li Theo Erds v Szekeres [11], E Makai ó ch vớ d (Hỡnh 1.5) tn ti tỏm im m khụng cú nm im no s ú to thnh ng giỏc li, tc l N (5) Bi toỏn ó c Hong Chỳng gii thiu vi bn c Vit Nam Toỏn hc v Tui tr s 4, thỏng nm 1967 Ngay sau ú, cụng thc E (5) ó c on Hu Dng chng minh Toỏn hc v Tui tr s 10 thỏng 6, 1967 Hon ton c lp (nhng cựng phng phỏp) vi on Hu Dng, cụng thc ny cng c chng minh bi Bonnice [4] nm 1974 Hỡnh 1.5: Tp tỏm im khụng cú nm im to thnh ng giỏc li Nh vy, vi n ta cú N (5) v cụng thc ny ó c chng minh bi on Hu Dng vo nm 1967 v Bonnice vo nm 1974 Vi n ta cú Bi toỏn 1.4 Chng minh rng t mi 17 im v trớ tng quỏt trờn mt phng cú th tỡm c sỏu im l nh ca lc giỏc li Núi cỏch khỏc, ta phi chng minh cụng thc N (6) 262 17 Tt nhiờn, Bi toỏn 1.4 l trng hp riờng ca Bi toỏn 1.2 n Mc dự vy, trng hp c th ny ca Bi toỏn Erdửs-Szekeres ó thỏch thc cỏc nh toỏn hc 70 nm Nú ch va mi c G Szekeres v L Peters chng minh nm 2006 (xem [16]) bng mỏy tớnh Da trờn cỏc ng thc N (3) , N (4) v N (5) 9, Erds v Szekeres a gi thuyt sau õy Gi thuyt Erds-Szekeres (1935, [8]) N (n) 2n vi mi n 57 t Trng hp 2: t l chn T B 5.5, k (- 1) X (e ,e ) k k= (e1 ,e2 ) khụng l T - hỡnh, v bng cỏc trng hp cũn li Vỡ vy, k (- 1) k (k - ) X k (P ) T Ta cú iu phi chng minh Trng hp 3: t = , trng hp ny ta cn ch rng 2X T iu ny l hin nhiờn, bi vỡ mi T - cu hỡnh (e1, e2 ) cng mt t giỏc li rng v mi t giỏc cú th nhn c t nhiu nht hai T - hỡnh t Nu ng thc xy thỡ k (- 1) X (e , e ) = k vi mi cp (e1, e2 ) nu nú k= khụng l T - cu hỡnh T B 2.2, X t + (e1, e2 ) = vi mi cp cnh, v tt nhiờn X t + (e1, e2 ) = cng ỳng cho cỏc cp l T - cu hỡnh Tng t nh trờn, iu ny suy X t + (P ) = v nh lý c chng minh vi r = Trng hp tng quỏt Bõy gi ta xột trng hp r bt kỡ, v bt u vi s m rng B 5.5: B 2.3 Cho r v cho e1, e2, , er l r cnh k cú cỏc nh ri v c cng bi P , nm v trớ li, v cng (2r )- giác Q li rng Hn na, ta gi s rng t (e1, e2, , er ) c nh ngha nh Chng 1, cú ớt nht im ca P phn ca nú Vi mi k 2r , t X k (e1 , e2 , , er ) l s k - giỏc li, rng cú e1 , e2 , , er l cỏc 58 cnh Khi ú, X r (e1 , e2 , , er )- X r + (e1 , e2 , , er ) + + X t (e1 , e2 , , er ) vi t 2r + , chn v X r (e1 , e2 , , er )- X r + (e1 , e2 , , er ) + - X t (e1 , e2 , , er ) Ê vi t Ê 2r + , l Tng ny bng vi t = 2r Hn na, du bng xy c hai trng hp v ch X t + (e1, e2 , , er ) = Chng minh Tng vụ hn X r (e1 , e2 , , er )- X r + (e1, e2 , , er ) + = (khi t ) = t (e1, e2 , , er ) khác rỗng , nh ó ch chng minh ca nh lý 2.3 Vỡ vy, nu X t + (e1, e2 , , er ) = thỡ du bng xy (trong c hai trng hp) Khụng mt tớnh tng quỏt, ta gi s e1 , e2 , , er xut hin theo th t chiu kim ng h dc theo biờn ca Q (hay theo biờn ca t ) Vi mi i t W i l s thnh phn liờn thụng ca t \ Q chỳng cú im cui l ei v im l ei + ( với er + c thay bng e1 ) trờn biờn ca nú t ei l cnh ca W i v cng l biờn ca Q (núi cỏch khỏc cỏc cnh ca Q l e1 , e1 , e2 , e2 , , er , er theo chiu kim ng h) t Pi = P ầW i vi i = 1, 2, , r (xem Hỡnh 2.14) 59 t e2 W1 e1 Q e1 e2 e3 e3 Hỡnh 2.14: Cu trỳc chng minh B 2.3 Vi mi k - giỏc li K cú cỏc cnh e1 , e2 , , er , cỏc nh ca nú l 2r im cui ca cỏc cnh e1 , e2 , , er v k - 2r im thờm c nhúm li r ụi mt ri V ,V , ,V r , vi V i l mt ca Pi cú s im j i , cho nú to thnh (j i + )- giỏc li rng vi cỏc im cui ca ei Ta cú r i= (j i + ) = k Ngc li, vi mi cỏch chn V i vi tớnh cht nh trờn, hp ca cỏc ny, cựng vi cỏc im cui ca ei , l mt nh ca k - giỏc li rng cú e1 , e2 , , er l cỏc cnh Nh B 2.3, ta cú ( õy ta thay th i lng ji + bi ji ) X k (e1, , er ) = r ế X (e ), i= j1 , , j r j1 + j2 + + jr = k ji i õy, nh B 2.3, X j (ei ) ch c tớnh tng ng vi cỏc im i Pi (chỳng ta nh hng ei cho Pi nm na mt phng bờn 60 trỏi ca nú), v õy ta s dng ký hiu thụng thng X (e ) = vi mi e Vỡ vy t S t := t k k (- 1) X (e , , e ) = (- 1) k r k = 2r r ế X (e ) i= j i , , jr j1 + j2 + + jr = k k = 2r ji i Bõy gi ta thc hin qui np theo r Chỳng ta ó cú kt qu B vi r = Gi s rng r v B ỳng vi mi r Â< r Chỳng ta cú th vit li S t nh sau: ộ ự r- ỳ ji k - jr S t = ồ ờ(- 1) X j (er ) (- 1) X j (ei )ỳỳ ế i i i- k = r jr = j1 , , jr ỳ j1 + j2 + + jr = k ờở ỳỷ ộ ự t - 2r + r- t ỳ ji k - jr ỳ = (- 1) X j (er )ờờ X e ( ) ế j i ( i )ỳ i i- jr = j1 , , jr ờt = jr + r - ỳ j1 + j2 + + j r = k ờở ỳỷ t k - 2r + Ta thay k biu thc du ngoc bi k Â+ j r , v biu thc ny tr thnh: t - jr k (- 1) k ' = 2r - r- ế X (e ) i- j1 , , jr j1 + j + + jr = k ji i T gi thit qui np, tng ny l khụng õm vi t - jr 2r , chn; khụng dng vi t - j r 2r - , l; bng vi t - j r = 2r - Bõy gi gi s t 2r + l chn ú tớnh chn l ca t - j r v jr l nh Vỡ vy tt c cỏc s hng tng chớnh (vi jr ) l khụng õm, v S t Ta cú iu phi chng minh S dng cỏc lý lun nh trờn, ta ch c S t Ê t 2r + , l, v ta chỳ ý rng vi t = 2r thỡ tng ny luụn bng 61 Chng minh rng du bng xy nu X t + (P ) = hon ton nh cỏc chng minh trc v ta hon thnh chng minh B Chng minh nh lý 2.9 cho r bt k Nh trờn, ta ch cn chng minh bt ng thc u Nh chng minh ca nh lý 2.3, ta cú t k (- 1) k = 2r k r- C X (P ) = r k- r- k t k ồ (- 1) X (e , , e ) k r e1 , ,er k = r Trng hp 1: t 2r + v l Theo B 2.3, k t k = 2r (- 1) X (e , , e ) Ê k r t (e1 , , er ) cha ớt nht mt im ca P phn ca nú Nu iu ny khụng xy ra, thỡ (e1, , er ) l mt T r - cu hỡnh, v tng trờn bng Vỡ vy, t k (- 1) r C k r- k- r- X k (P ) Ê T r k = 2r Ta cú iu phi chng minh Trng hp 2: t 2r + v chn Theo B 2.3, k t k= 2r (- 1) X (e , , e ) k r , (e1, , er ) khụng l mt T r - cu hỡnh v bng cỏc trng hp cũn li Vỡ vy, t k (- 1) r C k r- k- r- X k (P ) T r k = 2r Ta cú iu phi chng minh Trng hp 3: t = 2r Trong trng hp ny chỳng ta cn ch rng 2X r T r iu ny l hin nhiờn vỡ mi T r - cu hỡnh (e1, , er ) cng mt (2r )- giỏc li rng v mi 62 a giỏc cú th nhn c t nhiu nht hai T r - cu hỡnh Do ú, nh lý c chng minh cho r bt k 2.4.3 Cỏc bt ng thc cha X , X , X Cỏc bt ng thc cho X Mt ng dng quan trng ca nh lý 5.2 l trng hp t = , t ú ta cú cỏc bt ng thc sau: X (P )- X (P ) Ê C n2 - n + 1, X (P )- 4X (P ) Ê n (n - 1)- H , Hay tng ng: ỡù ùù n (n - 1)- H ỹ n ù X (P ) max X (P )+ n - 1, X (P )ý ùù ùù 4 ùỵ ợù (11) Nh ó núi n chng Bỏrỏny v Furedi [3] ó ch rng X (P ) n - O (n log n ) T (11) v bt ng thc trờn ta suy X (P ) n - O (n log n ) iu ny cng ó c thit lp [3], nhng bt ng thc th hin mi quan h hin gia X v X nờu trờn ó ch mi liờn h gia hai cn di mt cỏch trc tip hn Ta cng chỳ ý rng s hng u tiờn (11) tri hn s hng th hai X (P ) (n - 1)(n - 4)+ H So sỏnh vi cỏc cn di [3], s hng th hai (11) ch tri hn giỏ tr ca X trờn mt nh, gia n - O (n log n ) v (n - 1)(n - 4) + H 63 Cỏc bt ng thc cho X Trong phỏt biu nh lý sau, chỳng ta a vo mt kớ hiu mi H  = H Â(P ) c nh ngha nh sau: Vi mi p ẻ P , t Pp+ kớ hiu l hp tt c cỏc im ca P nm trờn P (theo ng cng ngang), v t C p+ kớ hiu l hp bao li ca Pp+ Khi ú H  l s ca im p ẻ P vi hai tip tuyn t p ti C p+ ct ti hai nh liờn tip (Hỡnh 2.15) C p+ q r p Hỡnh 2.15: Mt im p cha H  nh lý 2.10 ỡù ùù n (n - 1)- H ỹ ù X (P ) max X (P )- (n - )(n - )- H ', X (P )- T ý ùù 5 ùù ù ợù ỵ Chng minh Ta bt u chng minh bt ng thc u tiờn Vi mi ng giỏc li rng Q c cng bi P ta to c mt tam giỏc rng m cỏc nh l nh thp 64 nht p ca Q v hai nh ca Q khụng k vi p (xem Hỡnh 2.16) q r Hỡnh 2.16: Thay p i mt ng giỏc li rng thnh tam giỏc rng Rừ rng mi ng giỏc li rng sinh mt tam giỏc li rng nht nh vy Tuy nhiờn, khụng phi tt c cỏc tam giỏc rng u c sinh theo cỏch ny: gi s D = pqr l mt tam giỏc rng c cng bi P , cho p l uur nh thp nht, v r nm bờn phi ca pq Tng ng vi D , gúc nhn w (D ), cha cỏc im nm trờn P v bờn phi ca ng thng nh hng uur qr Tam giỏc D cha w (D ), v c chia thnh ba con: D , phn uur uur chia D L nm bờn trỏi pq , v phn chia D R nm bờn phi qr (xem hỡnh 17) q r DL D DR w (D ) p Hỡnh 2.17: Mt tam giỏc rng v s phõn chia ca gúc tng ng 65 Suy rng D khụng c sinh t mt ng giỏc v ch D L hoc D R bng rng Chỳng ta ỏnh giỏ s im ca E L ca tam giỏc D , vi D L l rng; phõn tớch hp ca cỏc tam giỏc cho D R l rng c ch mt cỏch y nh sau Ly mt im c inh p ẻ P , v xột E (p ) ca cỏc cnh qr c cng bi P cho pqr ẻ E L Chỳ ý rng c q v r u nm phớa trờn p Ta xem E (p ) nh l cỏc cnh ca th trờn Pp+ ca cỏc im nm phớa trờn p v E (p ) khụng cha mt chu trỡnh Thc vy, gi s ngc li E (p ) cú cha mt chu trỡnh v t q l mt nh chu trỡnh ú cho uur pq to gúc nh nht vi hng x - dng Vỡ q l im bờn phi nht ca chu trỡnh ny, E (p ) cha hai cnh pu , pv xut phỏt t q , cho c qu , qv nm theo ngc chiu kim ng h t pq , vi qu nm theo chiu kim ng h vi qv (xem Hỡnh 2.18) Nhng ú, hoc tam giỏc D = pqu hoc l bờn trỏi tng ng D L phi cha v , iu ny mõu thun vi nh ngha ca E (p ) Vỡ E (p ) cha nhiu nht Pp+ - cnh nờn tt c s tam giỏc D vi D L = f nhiu nht l n k= (k - ) = C n- Mt cỏch i xng, s tam giỏc D vi D R = f nhiu nht l C n2- Vỡ vy, s ca cỏc tam giỏc rng khụng c sinh bi mt ng giỏc rng theo cỏch trờn nhiu nht l (n - 1)(n - ) Chỳng ta cú th ci tin c ỏnh giỏ tụt hn bng chỳ ý rng, ta ó hai ln m tam giỏc D m c hai D L v D R l rng Chỳng ta cú th nhn c mt cn di cho s tam giỏc ú nh sau 66 DL u v p D p Hỡnh 2.18: E (p ) khụng cha mt chu trỡnh t D = pqr , vi p l nh thp nht, vi cỏc ký hiu ca nh lý trc, qr l mt cnh ca C p+ , vi tớnh cht l ng thng qua qr tỏch p C p+ Ngc li, d thy: mi cnh qr ca C p+ vi tớnh cht ó cho tam giỏc pqr c m hai ln Cỏc cnh qr nm dc theo biờn ca C p+ gia hai im ni ca tip tuyn t p vi C p+ T nh ngha, s cỏc cnh ớt nht l , tr p c m H  , trng hp ny s ú l Vỡ vy, s tt c ca cỏc tam giỏc c m ln ớt nht l (n - )- H  Khi ú, s tt c tam giỏc khụng c sinh t mt ng giỏc rng nhiu nht l (n - 1)(n - )- (n - )+ H Â= (n - )(n - )+ H  T ú suy X (P ) (n - )(n - )+ H  Ta cú iu phi chng minh Tip theo chỳng ta chng minh bt ng thc th ca nh lý Vi mi ng giỏc li rng Q c cng bi P chỳng ta cú tam giỏc rng, cỏc nh c nhn bi cỏch b i cỏc cp ca cỏc nh k ca Q (nh Hỡnh 16) Mt tam giỏc D cú th c sinh theo cỏch ny nhiu nht ba cỏch, mi trng hp ng giỏc sinh cú mt cp cnh khỏc ca D nh cỏc ng chộo Ta kt hp mi kh nng vi nh v ca D , nú l chung cho 67 hai cnh v chỳ ý cp (D, v ) nh mt tam giỏc nhn Rừ rng, tn ti cỏc tam giỏc nhn (D, v ) m s m rng nh trờn cho chỳng l khụng th t p, q l hai nh ca D , cho v nm bờn trỏi ca ng thng nh uur hng pq t Ppq+ l ca cỏc im P cho chỳng nm uur na mt phng bờn trỏi ca ng thng pq Khi ú (D , v ) khụng th m rng thnh mt ng giỏc li rng v ch v l mt im biờn ca Ppq+ cho tam giỏc pqv l rng t t = t pq l s cỏc im v nh vy u tiờn chỳ ý rng nu Ppq+ l khụng rng thỡ t v nu Ppq+ l rng thỡ t = Hn na, nu t > thỡ cỏc im ny to thnh mt chu trỡnh ca cỏc im liờn tip ca bao li ca Ppq+ v vi mi (t - 1) cp (u , v ) ca cỏc nh liờn tip bao quanh chỳng, (p, q, u , v ) l mt T - cu hỡnh (xem Hỡnh 2.19) u v p q Hỡnh 19: Cỏc tam giỏc nhn vi cnh pq khụng th c m rng thnh mt ng giỏc li rng 68 Cú n (n - 1) cp sp th t p, q v H ca chỳng tho t pq = (chỳng cú cỏc cnh c nh hng ca bao li ca P cha P phn bờn phi ca chỳng) Mi cp cũn li xỏc nh ớt nht mt tam giỏc nhn khụng m rng c, v cỏc tam giỏc thờ vo cú th to thnh mt T - cu hỡnh, õy mi hỡnh c thay i ỳng hai ln iu ny suy rng s tam giỏc nhn xu nhiu nht l n (n - 1)- H + 2T , v iu ny suy phn hai ca nh lý H qu 2.3 nh lý 2.9 suy ra, nu r = , ta cú 2X (P )- X (P ) Ê T (P ), so sỏnh bt ng thc ny vi (7) ta cú: 2X (P )- X (P ) Ê C n2 + 2X + X + T 2* Thay th cn di ca [3] bi X , ta c n2 Ê X + X + T 2* - O (n log n ) ổ1 ữ Vy mi cn trờn ca T 2* vi dng ỗỗ - c ữ n m ỏnh giỏ: ữ ữ ỗố2 ứ X + X cn - O (n log n ) Vỡ vy, mi hp cú s im n ln hoc cha khong n ng giỏc li rng, hoc khong n lc giỏc li rng 69 KT LUN Trong lun ny, chỳng tụi c gng v lờn mt bc tranh, mc dự cũn s si v phin din, v cỏc nghiờn cu xung quanh gi thuyt Erds-Szekeres Do khuụn kh v thi gian hn ch, lun khụng cp ti tt c nhng ny sinh t gi thuyt (bi toỏn) Erds-Szekeres v mi quan h sõu sc gia bi toỏn ny vi cỏc bi toỏn khỏc, cng nh nhng m rng v bin th ca gi thuyt Erds-Szekeres Thớ d, lun khụng cp nhiu n cỏc m rng ca gi thuyt Erds-Szekeres khụng gian nhiu chiu, cỏc ci biờn ca gi thuyt nh ỏnh giỏ s a giỏc cha khụng quỏ k im ca cho trc, ỏnh giỏ s a giỏc n sc (cỏc cnh cú cựng mu) cỏc on thng ni cỏc im c tụ bi mt s mu nht nh Nh vy, gi thuyt Erds-Szekeres cú liờn quan cht ch n lý thuyt th (tụ mu) v lý thuyt Ramsey (chia hp), Lun trung trỡnh by cỏc h thc liờn quan n s a giỏc rng cỏc im ó cho trờn mt phng theo bi bỏo [15] Theo cm nhn ca tỏc gi, cỏc kt qu [15] t thõn chỳng l khỏ thỳ v v m cỏch tip cn mi cho vic gii quyt gi thuyt Erds-Szekeres v cỏc bi toỏn liờn quan ng thi cỏc kt qu ny cng cú nhiu kh nng m rng (sang khụng gian nhiu chiu, cho bi toỏn v cỏc a giỏc gn rng, ) c cỏc kt qu mi Hy vng nhng ny cũn tip tc thu hỳt c nhiu s quan tõm hn na 70 TI LIU THAM KHO [1] on Hu Dng, T Duy Phng, Nguyn Tin Thnh, Gi thuyt ErdsSzekeres v cỏc bi toỏn liờn quan (Bn tho), 2011, 130 trang [2] Avis D., Rappaport D., Computing the largest empty convex subsets of a set of points, Proc First ACM Symp Comput Geom Baltimore, 1985, pp 161167 [3] I Bỏrỏny and Z Fỹredi, Empty simplices in Euclidean space, Canadian Math Bull 30, 1987, pp 436 445 [4] Bonnice W E., On convex polygons determined by a finite planar set, Amer Math Monthly 81,1974, pp 749752 [5] Chung, F.R.K., Graham, R.L., Forced convex n-gons in the plane, Discrete and Computational Geometry 19, 1998, pp 367371 [6] Edelman P H., Reiner R and Welker V , Convex, acyclic, and free sets of an oriented matroid, Discrete Comput, Geom, 27, 2002, pp 99 116 [7] Erds P., Some more problems on elementary geometry, Austral Math Soc Gaz ,1978, pp 5254 [8] Erds, P.; Szekeres, G., A combinatorial problem in geometry, Compositio Mathematica, Tom 2, 1935, pp 463470, [9] Gerken, T., Empty convex hexagons in planar point sets, Discrete and Computational Geometry 39 (13), 2008, pp 239272 [10] Harborth H., "Konvexe Fnfecke in ebenen Punktmengen", Elem Math 33, 1979, pp 116118 [11] J D Horton, Sets with no empty convex gons, Canadian Math, Bull, 26,1983, pp 482484 71 [12] Koselev, V A , On the Erds-Szekeres Problem, Doclady Mathematics, 2009, Vol 79, No3, pp 360-361 [13] Overmars, M., Finding sets of points withoutempty convex gons, Discrete Comput, Geom, 29, 2003, pp 381 392 [14] Overmars, M., Scholten B and Vincent, I., Sets without empty convex gons, Bull, European Assoc Theor Comp Sci., 37,1989, pp 160 168 [15] Pinchasi R., Radoicic R., Sharir M (1989), On empty convex polygons in planar point set Journal of Combinatorial Theory, Series A, Vol 113, No3, 2006, pp 385-419 [16] Szekeres, G and Peters, L (2006), Computer solution to the 17-point Erds-Szekeres problem, ANZIAM Journal, Vol 48, pp 151164