y u r b M(a+ bi) O a x 1. Một số kiến thức cơ bản cần l u ý : y Số phức z=a+bi (a, bR ; i là đơn vị ảo, i 2 =-1) a là phần thực, b là phần ảo của z. z là số thực b= 0 z là số ảo a = 0 Biểu diễn hình học : số phức z =a+bi có sự tơng ứng 1-1 với điểm M(a, b) .Mỗi điểm M(a, b) lại có sự t- ơng ứng 1-1 với vectơ OM uuur hay với vectơ u r (a, b) trong mặt phẳng tọa độ Oxy (mặt phẳng phức). Để chỉ số phức z tơng ứng với điểm M ta viết M(z) Môđun của số phức z =a + bi (a, b R) : 2 2 .z a b z z OM OM= + = = = uuur z =1 : tập hợp các điểm M(z) là đờng tròn (O,R=1) z 1 : tập hợp các điểm M(z) là hình tròn tâm O, bán kính R=1, kể cả biên là đờng tròn. M(z) là trung điểm của đoạn M 1 (z 1 )M 2 (z 2 ) z = 1 2 (z 1 +z 2 ) . Với z 1 =a 1 +b 1 i ; z 2 = a 2 +b 2 i. 0 0 MM z z= - uuuuur Với z 0 =a 0 +b 0 i MM 0 2 = ( 0 z z- ).( z - 0 z ) (vì .z z z= ) 2 0 0 ( ).( )z z z z R- - = là phơng trình đờng tròn tâm I 0 (z 0 ), bán kính R. 2. Các ví dụ : Ví dụ 1 : Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng điều kiện sau : a) z = 3 4z i- + b) 3 4z z+ + = c) 1 2z z i- + - = Giải : a) Cách 1 : sử dụng kết quả z z= , và 1 1 z z z z+ = + , ta có: z = 3 4z i- + z = 3 4z i- + 3 4z z i= - - Gọi A là điểm biểu diễn số phức z 1 =3+4i ; M là điểm biểu diễn số phức z=x+yi Thì 3 4z i- - = AM uuuur . Vậy 3 4z z i= - - OM=AM Tập hợp M là đờng trung trực của đoạn thẳng OA. Cách 2 : z=x+yi z x yi= - Do đó : 3 4z z i= - - x 2 +y 2 =(x-3) 2 +(y-4) 2 6x+8y=25 (*) Vậy tập hợp M là đờng thẳng có phơng trình (*) b) Vì: 3 2 3z z x+ + = + nên: 3 4z z+ + = 2 3x + =4 (2x+3) 2 =16 1 2 3 4 2 2 3 4 7 2 x x x x ộ ờ = ộ + = ờ ờ ờ ờ + = - ờ ờ ở = - ờ ở c) Vì 1z z i- + - =1+(2y-1)i 1 2z z i- + - = 1+(2y-1) 2 =4 4y 2 -4y-2=0 1 3 2 1 3 2 y y ộ + ờ = ờ ờ ờ - ờ = ờ ở Vậy tập hợp M là hai đờng thẳng có phơng trình 1 3 2 y = Ví dụ 2 : Cho hai điểm M(z) và I(z 1 ) tơng ứng với số phức z=x+yi , x, y R và số phức z 1 =a+bi . a) Chứng minh hệ thức ; (z-z 1 ).( 1 z z- ) =(x-a) 2 +(y-b) 2 b) suy ra hệ thức : (z-z 1 ).( 1 z z- ) =R 2 ( R> 0) Là phơng trình một đờng tròn tâm I, bán kính R Giải : a) z-z 1 = (x-a) +(y-b) i ; 1 z z- =(x-yi) (a-bi) =(x-a)- (y-b)i Từ đó (z-z 1 ).( 1 z z- ) =[(x-a)+(y-b)i].[(x-a) (y-b)i] =(x-a) 2 +(y-b) 2 b) (z-z 1 ).( 1 z z- ) =R 2 (x-a) 2 +(y-b) 2 = R 2 . Đây là phơng trình đờng tròn tâm I(z 1 ) , bán kính R Ví dụ 3 : Tìm tập hợp các điểm M(z) thỏa mãn từng điều kiện sau : a) 1 2z i- + = b) 1 1z i+ - 2 c) 4z i- + 4z i+ =10 Giải : a) Xét số phức z=x+yi và z 1 =1-i tơng ứng với các điểm M và M 1 , thế thì : 1 2z i- + = 1 z z- = 2 ( ) ( ) 1 1x y i- + + =2 (x-1) 2 +(y+1) 2 =4. Vậy tập hợp M là đờng tròn tâm M 1 (z 1 ) , bán kính bằng 2 Cách 2 : 1 2z i- + = 1 z z- = 2M 1 M = 2 M cách M 1 cố định một khoảng bằng 2. Vậy tập hợp M là đờng tròn tâm M 1 , bán kính bằng 2. b) Xét điểm A(-1,i) . Từ giả thiết : 1 MA 2 Vậy tập hợp M là hình vành khăn giới hạn bởi hai đờng tròn đồng tâm, tâm A, bán kính thứ tự bằng 1 và 2 3. Bài tập : 1. Cho điểm M(z) với số phức z = a-3 +ai , a là tham số. a) tìm tập hợp các điểm M khi a thay đổi. b) Xác định a để tọa độ điểm M thỏa mãn : xy = 1 c) Xác định a sao cho z đạt giá trị nhỏ nhất. 2. Tìm tập hợp các điểm M(z) thỏa mãn từng điều kiện sau : a) 6 2 2 2 2 2 z i - - - = b) ( ) 2 z- ( ) i z+ là số ảo tùy ý. 3. Tìm tập hợp các điểmM(z) thỏa mãn : a) 2 z i- = 2z z i- + b) ( ) 2 2 z z- = 4 4. Tìm tập hợp các điểm M(z) thỏa mãn : Y A 1 -1 0 x a) z i- 1 b) 1z i- - < 1 5. Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn các số phức z =x+yi thỏa mãn từng điều kiện sau : 2 0 1 1 x y y x ỡ ù Ê + Ê ù ù ớ ù Ê - + ù ù ợ Giải : 1. a) Ta có : 3x a y a ỡ ù = - ù ớ ù = ù ợ y =x+3 . Vậy tập hợp M là đờng thẳng có phơng trình : y = x+3 b) Ta có : 3x a y a ỡ ù = - ù ớ ù = ù ợ xy = 1 (a-3).a= 1 a 2 -3a-1 = 0 3 13 2 a = c) z = ( ) 3a ai- + =(a-3) 2 +a 2 =2a 2 -6a+9=2(a 2 -3a+ 9 2 ) =2(a- 3 2 ) 2 + 9 2 z 9 2 . Vậy môđun của z đạt giá trị nhỏ nhất bằng 9 2 khi và chi khi a = 3 2 2. a) 6 2 2 2 2 2 z i - - - = 2 2 ( ) 2 2 z i- + = 6 2 4 - . ( * ) Gọi A là điểm biểu diễn số phức z 1 = 2 2 + 2 2 i, thế thì : (*) 1 z z- = 6 2 4 - AM uuuur = 6 2 4 - AM = 6 2 4 - Tập hợp M là đờng tròn tâm A(z 1 ), bán kính 6 2 4 - . b) Ta có z =x+yi thì z x yi= - . ( ) 2 z- ( ) i z+ =[(2-x)-yi].[(x+(1-y)i]=(-x 2 -y 2 +2x+y)+(-x-2y+2)i ( ) 2 z- ( ) i z+ là số thuần ảo -x 2 -y 2 +2x+y = 0x 2 +y 2 -2x-y=0 (x-1) 2 +(y- 1 2 ) 2 = 5 4 . Vậy tập hợp M là đờng tròn, tâm là điểm I biểu diễn số phức z= 1+ 1 2 i, bán kính bằng 5 2 . 3. a) 2 z i- = 2z z i- + 2 ( ) 1x y i+ - = ( ) 2 1y i+ 4[x 2 +(y-1) 2 ]=4(y+1) 2 y= 1 4 x 2 Y 1 0 1 x Vậy tập hợp M là parabol : y= 1 4 x 2 . b) ( ) 2 2 z z- = 4 ( ) ( ) .z z z z- + = 4 4xyi =4 16x 2 y 2 =16y= 1 x Vậy tập hợp M là hai hypebol có phơng trình : y= 1 x 4. a) Xét điểm A(0,1) biểu diễn số phức z 1 =i. Thế thì : z i- 1 1 z z- 1 AM uuuur 1 AM 1. Vậy tập hợp M là hình tròn tâm A , bán kính 1, kể cả biên. b) 1z i- - < 1 Xét điểm A (1, 1), thế thì : 1z i- - < 1 AM uuuur < 1 AM< 1. Vậy tập hợp M là hình tròn tâm A , bán kính 1, không kể biên. 5. Tập hợp các điểm M là miền hình phẳng giới hạn bởi hai đờng thẳng song song y=-x ; y=-x+1 và parabol y=-x 2 +1 Y 1 A 0 1 x . Một số kiến thức cơ bản cần l u ý : y Số phức z=a+bi (a, bR ; i là đơn vị ảo, i 2 =-1) a là phần thực, b là phần ảo của z. z là số thực b= 0 z là số ảo. b) trong mặt phẳng tọa độ Oxy (mặt phẳng phức) . Để chỉ số phức z tơng ứng với điểm M ta viết M(z) Môđun của số phức z =a + bi (a, b R) : 2 2 .z a b z